正弦定理余弦定理應(yīng)用舉例(距離)(高度)(角度)

1、1.2 正弦定理余弦定理正弦定理余弦定理 應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常見(jiàn)題型用正弦定理和余弦定理解三角形的常見(jiàn)題型 測(cè)量測(cè)量:距離問(wèn)題、距離問(wèn)題、高度問(wèn)題、高度問(wèn)題、角度問(wèn)題、角度問(wèn)題、計(jì)算面積問(wèn)題、計(jì)算面積問(wèn)題、航海問(wèn)題、航海問(wèn)題、物理問(wèn)題等物理問(wèn)題等.要測(cè)量不可到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離要測(cè)量不可到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離,可用可用哪些方法哪些方法?如圖如圖:設(shè)設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，怎樣測(cè)兩點(diǎn)在河的兩岸，怎樣測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離量?jī)牲c(diǎn)之間的距離?AB方案一方案一:構(gòu)造直角三角形構(gòu)造直角三角形AB在河岸的一側(cè)取一點(diǎn)C,使得ACBCC若能測(cè)得AC的長(zhǎng)及BAC,那么AB即可求出此方案有缺

2、陷嗎此方案有缺陷嗎? 如圖如圖,設(shè)設(shè)A,B兩點(diǎn)在河的兩岸兩點(diǎn)在河的兩岸.需要測(cè)量需要測(cè)量A,B兩點(diǎn)間的距離兩點(diǎn)間的距離,測(cè)量者在測(cè)量者在A的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C.測(cè)出測(cè)出AC=55米米,求求A,B兩點(diǎn)間的距離兩點(diǎn)間的距離.75ACBBCA BAC=45,題型分類(lèi)題型分類(lèi) 深度剖析深度剖析題型一題型一 與距離有關(guān)的問(wèn)題與距離有關(guān)的問(wèn)題如圖，如圖，A、B兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸（不可到兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測(cè)量達(dá)），設(shè)計(jì)一種測(cè)量A、B兩點(diǎn)間距離的兩點(diǎn)間距離的方法。方法。.AB.DC基基線線 要測(cè)量對(duì)岸要測(cè)量對(duì)岸A、B兩點(diǎn)之間的距離，選取兩點(diǎn)之間的距離，選取 相距相距 k

3、m的的C、D兩點(diǎn)兩點(diǎn),并測(cè)得并測(cè)得ACB=75, BCD=45,ADC=30,ADB=45,求求 A、B之間的距離之間的距離. 分析題意，作出草圖，綜合運(yùn)用正、分析題意，作出草圖，綜合運(yùn)用正、 余弦定理求余弦定理求解解.3【例例2 2】解解 如圖所示在如圖所示在ACD中，中，ACD=120，CAD=ADC=30，AC=CD= km.在在BCD中，中，BCD=45，BDC=75，CBD=60.在在ABC中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得3sin 7562.sin 602BC 2226262( 3)()23cos 752232335,5(km).5km.ABABAB 、 之之間間的的距距離離為為

4、3練習(xí)練習(xí)1 海上有海上有A、B兩個(gè)小島相距兩個(gè)小島相距10海里，從海里，從A島望島望C島和島和B島島 成成60的視角，從的視角，從B島望島望C島和島和A島成島成75的視角，那么的視角，那么B島和島和C島間的距離是島間的距離是 。ACB10海里海里6075答：答：65海里海里解：應(yīng)用正弦定理，解：應(yīng)用正弦定理，C=45 BC/sin60 =10/sin45 BC=10sin60 /sin45 解：如圖，在解：如圖，在ABC中由余弦定理得：中由余弦定理得：784)21(201221220cos222222 BACACABABACBCA 我艦在敵島我艦在敵島A南偏西南偏西50相距相距12海里的海里

5、的B處，處，發(fā)現(xiàn)敵艦正由島沿北偏西發(fā)現(xiàn)敵艦正由島沿北偏西10的方向以的方向以10海里海里/小時(shí)的小時(shí)的速度航行問(wèn)我艦需以多大速度、沿什么方向航行才速度航行問(wèn)我艦需以多大速度、沿什么方向航行才能用能用2小時(shí)追上敵艦？小時(shí)追上敵艦？CB405010 我艦的追擊速度為我艦的追擊速度為14n mile/h28 BC 【例例3 3】又在又在ABC中由正弦定理得：中由正弦定理得： sinsinACBCBAsin5 3 sin14ACABBC故0.6186B 38013故我艦行的方向?yàn)楸逼珫|故我艦行的方向?yàn)楸逼珫|11047A 我艦在敵島我艦在敵島A南偏西南偏西50相距相距12海里的海里的B處，發(fā)現(xiàn)敵艦正處，

6、發(fā)現(xiàn)敵艦正由島沿北偏西由島沿北偏西10的方向以的方向以10海里海里/小時(shí)的速度航行問(wèn)我艦需小時(shí)的速度航行問(wèn)我艦需以多大速度、沿什么方向航行才能用以多大速度、沿什么方向航行才能用2小時(shí)追上敵艦？小時(shí)追上敵艦？CB405010 求距離問(wèn)題要注意：求距離問(wèn)題要注意：（1 1）選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，要首先確定所）選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，要首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接解；若求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解解. .（2 2）確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可）確定用正弦定理還是余弦定理

7、，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理用，就選擇更便于計(jì)算的定理. .(3)(3)閱讀課本第閱讀課本第1111頁(yè)和第頁(yè)和第1212頁(yè)的例頁(yè)的例1,1,例例2 2的的距離測(cè)量方法距離測(cè)量方法. . AB是底部是底部B不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，A為為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度AB的方法的方法分析：由于建筑物的底部分析：由于建筑物的底部B是不可到達(dá)的，所以不能直是不可到達(dá)的，所以不能直接測(cè)量出建筑物的高。由解接測(cè)量出建筑物的高。由解直角三角形的知識(shí)，只要能直角三角形的知識(shí)，只要能測(cè)出一點(diǎn)測(cè)出一點(diǎn)C到建筑物的頂部到建筑物的頂部A的距離的

8、距離CA,并測(cè)出由點(diǎn)并測(cè)出由點(diǎn)C觀察觀察A的仰角，就可以計(jì)算的仰角，就可以計(jì)算出建筑物的高。所以應(yīng)該設(shè)出建筑物的高。所以應(yīng)該設(shè)法借助解三角形的知識(shí)測(cè)出法借助解三角形的知識(shí)測(cè)出CA的長(zhǎng)的長(zhǎng)。)sin(sinaAChahAChAEAB)sin(sinsinsin解：選擇一條水平基線解：選擇一條水平基線HG,使使H,G,B三點(diǎn)在同一條直線上。由三點(diǎn)在同一條直線上。由在在H,G兩點(diǎn)用測(cè)角儀器測(cè)得兩點(diǎn)用測(cè)角儀器測(cè)得A的的仰角分別是仰角分別是，CD=a,測(cè)角儀測(cè)角儀器的高是器的高是h.那么，在那么，在ACD中，中，根據(jù)正弦定理可得根據(jù)正弦定理可得例例1、AB是底部是底部B不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，不可到達(dá)的一

9、個(gè)建筑物，A為建筑為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度AB的方法的方法 題型二題型二 與高度有關(guān)的問(wèn)題與高度有關(guān)的問(wèn)題練習(xí)練習(xí)1 如圖，要測(cè)底部不能到達(dá)的煙囪的高如圖，要測(cè)底部不能到達(dá)的煙囪的高AB，從與煙囪底，從與煙囪底部在同一水平直線上的部在同一水平直線上的C、D兩處，測(cè)得煙囪的仰角分別是兩處，測(cè)得煙囪的仰角分別是和 45 60，CD間的距離是間的距離是12m.已知測(cè)角儀器已知測(cè)角儀器高高1.5m,求煙囪的高。求煙囪的高。圖中給出了怎樣的一個(gè)圖中給出了怎樣的一個(gè)幾何圖形？已知什么，幾何圖形？已知什么，求什么？求什么？AA1BCDC1D1分析：分析：如圖

10、，因?yàn)槿鐖D，因?yàn)锳B=AA1+A1B，又，又已知已知AA1=1.5m,所以只要求出所以只要求出A1B即可。即可。解：解：15sin120sin12sinsinsinsin:,154560,111111111111BDDCBCDBCBDCBDCDBC由正弦定理可得中在6621836182211BCBA)(365 .1911mAABAAB）（答：煙囪的高為答：煙囪的高為.)(365 .19m）（例例2.在在200 m高的山頂上，測(cè)得山下一塔頂與塔底的高的山頂上，測(cè)得山下一塔頂與塔底的俯角分別是俯角分別是30，60,則塔高為多少米則塔高為多少米 解析解析 作出示意圖如圖，作出示意圖如圖， 由已知：在

11、由已知：在RtOAC中，中，OA=200，OAC=30，則，則OC=OAtanOAC =200tan 30= 在在RtABD中，中，AD= ，BAD=30， 則則BD=ADtanBAD=200 3.3200 33200 33 200tan 30,3 200400200.33BCCDBD 練習(xí)練習(xí)2 在山頂鐵塔上在山頂鐵塔上B處測(cè)得地處測(cè)得地面上一點(diǎn)面上一點(diǎn)A的俯角的俯角75，在塔，在塔底底C處測(cè)得處測(cè)得A處的俯角處的俯角45。已知鐵塔已知鐵塔BC部分的高為部分的高為30m，求，求出山高出山高CD.分析：根據(jù)已知條件，應(yīng)該設(shè)分析：根據(jù)已知條件，應(yīng)該設(shè)法計(jì)算出法計(jì)算出AB或或AC的長(zhǎng)的長(zhǎng)解：在解：

12、在ABC中，中，BCA=90+=1350, ABC=90-=150, BAC=-=300, BAD=750.根據(jù)正弦定理，根據(jù)正弦定理，ACBABBACBCsinsin23030sin135sin30sinsin00BACACBBCAB所以，15 15 33015 315(km)CDBDBC) 13(1542623075sin230sin0BADABBD練習(xí)練習(xí)3 如圖所示，測(cè)量河對(duì)岸的如圖所示，測(cè)量河對(duì)岸的 塔高塔高AB時(shí)，可以選與塔底時(shí)，可以選與塔底B在同一水在同一水 平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與與D，現(xiàn)測(cè)得，現(xiàn)測(cè)得 BCD=，BDC=，CD=x，并，并 在點(diǎn)在點(diǎn)C測(cè)得塔頂測(cè)得塔頂

13、A的仰角為的仰角為，求塔高，求塔高AB. 解解 在在BCD中，中，CBD= ,sinsinsinsinsinsin()tansinRt,tan.sin()BCCDBDCCBDxCDBDCBCCBDxABCABBCACB 由由正正弦弦定定理理得得所所以以在在中中 解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟是：解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟是：（1）準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求；）準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求；（2）依題意畫(huà)出示意圖；）依題意畫(huà)出示意圖；（3）分析與問(wèn)題有關(guān)的三角形；）分析與問(wèn)題有關(guān)的三角形；（4）運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形）運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形, 逐步求解問(wèn)題的答案；逐

14、步求解問(wèn)題的答案；（5）注意方程思想的運(yùn)用；）注意方程思想的運(yùn)用；（6）要綜合運(yùn)用立體幾何知識(shí)與平面幾何知識(shí)）要綜合運(yùn)用立體幾何知識(shí)與平面幾何知識(shí).它等于地球橢圓子午線上緯度1分（一度等于六十分，一圓周為360度）所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)。 1海里=1.852公里(千米) (中國(guó)標(biāo)準(zhǔn)) n mile：海里，航海上度量距離的單位。 沒(méi)有統(tǒng)一符號(hào)例例1 如圖，某漁輪在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出如圖，某漁輪在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出呼救信號(hào)，我海軍艦艇在處獲悉后，測(cè)出該呼救信號(hào)，我海軍艦艇在處獲悉后，測(cè)出該漁輪在方位角為漁輪在方位角為，距離為，距離為10n mile的的處，并測(cè)得漁輪正沿方位角為處，并測(cè)得漁輪正沿方位角為

15、105 的方向，的方向，以以n mile/h的速度向小島靠攏我海軍艦艇的速度向小島靠攏我海軍艦艇立即以立即以n mile/h的速度前去營(yíng)救求艦艇的速度前去營(yíng)救求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時(shí)間（角度精確到的航向和靠近漁輪所需的時(shí)間（角度精確到0.1 ,時(shí)間精確到時(shí)間精確到min）北北北北BC105方位角：方位角：指從正北方向指從正北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角的水平角題型三題型三 與角度有關(guān)的問(wèn)題與角度有關(guān)的問(wèn)題北北北北BC105解：設(shè)艦艇收到信號(hào)后解：設(shè)艦艇收到信號(hào)后xh在處靠攏漁輪，則在處靠攏漁輪，則21x，x，又，又AC=10, ACB=45+(180105)=

16、120.由余弦定理，得：由余弦定理，得：即,cos2222ACBBCACBCACAB2222 10 9 cos120(21 )(9 )10 xxx 化簡(jiǎn)得：化簡(jiǎn)得：0109362 xx解得：解得：x=（h）=40(min)(負(fù)值舍去）負(fù)值舍去）由正弦定理，得由正弦定理，得143321120sin9sinsinxxABACBBCBAC所以所以21.8，方位角為，方位角為45 +21.8 =66.8 答：艦艇應(yīng)沿著方位角答：艦艇應(yīng)沿著方位角66.8 的方向航行，的方向航行，經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)min就可靠近漁輪就可靠近漁輪練習(xí)：海中有島練習(xí)：海中有島A，已知，已知A島周?chē)鷯u周?chē)?海里內(nèi)有暗礁，今有一貨海里內(nèi)有

17、暗礁，今有一貨輪由西向東航行，望見(jiàn)輪由西向東航行，望見(jiàn)A島在北偏東島在北偏東75，航行，航行20 海里后，海里后，見(jiàn)此島在北偏東見(jiàn)此島在北偏東30，如貨輪不改變航向繼續(xù)前進(jìn)，問(wèn)有無(wú)，如貨輪不改變航向繼續(xù)前進(jìn)，問(wèn)有無(wú)觸礁危險(xiǎn)。觸礁危險(xiǎn)。2ABCM北北北北220解：解：在在ABC中中ACB=120ABC=15由正弦定理得：由正弦定理得：sin15sin 45ACBC由由BC=20 ,可求可求AC 得得AM= 8.978265215 無(wú)觸礁危險(xiǎn)無(wú)觸礁危險(xiǎn)ABCM北北北北22075 30 例例2.在海岸在海岸A處處,發(fā)現(xiàn)北偏東發(fā)現(xiàn)北偏東45方向方向,距離距離A n mile的的B處有一艘走私船，在處有

18、一艘走私船，在A處北偏西處北偏西75的的 方向方向,距離距離A 2 n mile的的C處的緝私船奉命以處的緝私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船的速度追截走私船.此時(shí)，走私船正以此時(shí)，走私船正以 10 n mile/h的速度從的速度從B處向北偏東處向北偏東30方向逃竄方向逃竄, 問(wèn)緝私船沿什么方向能最快追上走私船？問(wèn)緝私船沿什么方向能最快追上走私船？ 分析分析 如圖所示，注意到最快追上走如圖所示，注意到最快追上走 私船且兩船所用時(shí)間相等，若在私船且兩船所用時(shí)間相等，若在D 處相遇，則可先在處相遇，則可先在ABC中求出中求出BC， 再在再在BCD中求中求BCD.31 3則有則有CD=

19、10 t，BD=10t.在在ABC中，中，AB= -1，AC=2，BAC=120, 由余弦定理，由余弦定理，得得BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=（ -1）2+22-2（ -1）2cos 120=6,BC= ， 即即CBD=90+30=120，在在BCD中，由正弦定理，得中，由正弦定理，得BCD=30.即緝私船北偏東即緝私船北偏東60方向能最快追上走方向能最快追上走私船私船. 3336sin10 sin1201sin,210 3BDCBDtBCDCDt 3解解:設(shè)緝私船用設(shè)緝私船用t h在在D處追上走私船，處追上走私船，2sin1202sin4526ABCABC 由由正正弦弦定定

20、理理，如圖如圖.當(dāng)甲船位于當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉處時(shí)獲悉,在其正東方向相距在其正東方向相距20海海里的里的 B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救.甲船立即甲船立即 前往救前往救援援.同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西.相距相距10海里海里C處的乙船處的乙船,試問(wèn)乙船應(yīng)朝北偏東多少度的方向沿直線試問(wèn)乙船應(yīng)朝北偏東多少度的方向沿直線前往前往B處營(yíng)救處營(yíng)救(角度精確到角度精確到1).30ABC071練習(xí)2 如圖如圖:甲船以每小時(shí)甲船以每小時(shí) 海里的速度向正海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行. 當(dāng)甲船位于當(dāng)甲船位于 處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105方向的方向的 處，此時(shí)兩船相距處，此時(shí)兩船相距20海里海里. 當(dāng)當(dāng)甲船航行甲船航行20分鐘到