2022年高考數(shù)學真題分類匯編11份及答案

1、2022高考數(shù)學真題分類匯編一、集合一、單選題1.（2022·全國甲（理） 設全集，集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解方程求出集合B,再由集合的運算即可得解.【詳解】由題意，所以,所以.故選：D.2.（2022·全國甲（文） 設集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合的交集運算即可解出【詳解】因為，所以故選：A.3.（2022·全國乙（文） 集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合的交集運算即可解出【詳解】因為，所以故選：A.4.（2022·全國乙（理） 設全

2、集，集合M滿足，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先寫出集合,然后逐項驗證即可【詳解】由題知,對比選項知，正確,錯誤故選:5.（2022·新高考卷）若集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出集合后可求.詳解】，故，故選：D6.（2022·新高考卷） 已知集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出集合后可求.【詳解】，故，故選：B.7.（2022·北京卷T1） 已知全集，集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用補集的定義可得正確的選項【詳解】由補集定義可知：或，

3、即，故選：D8.（2022·浙江卷T1） 設集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用并集的定義可得正確的選項.詳解】，故選：D.二、常用邏輯用語1.（2022·北京卷T6） 設是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當時，”的（ ）A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】設等差數(shù)列的公差為，則，利用等差數(shù)列的通項公式結合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結論.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，則，記為不超過的最大整數(shù).若為單調遞增數(shù)列，則，若，則當時，；若，則

4、，由可得，取，則當時，所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當時，”；若存在正整數(shù)，當時，取且，假設，令可得，且，當時，與題設矛盾，假設不成立，則，即數(shù)列是遞增數(shù)列.所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當時，”.所以，“是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當時，”的充分必要條件.故選：C.2.（2022·浙江卷T4） 設，則“”是“”的（ ）A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由三角函數(shù)的性質結合充分條件、必要條件的定義即可得解.【詳解】因為可得：當時，充分性成立；當時，必要性不成立；所以當，是的充分不必要條件.故選：A.2

5、022高考數(shù)學真題分類匯編二、復數(shù)一、單選題1. （2022·全國甲（理）若，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由共軛復數(shù)的概念及復數(shù)的運算即可得解.2.（2022·全國甲（文） 若則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的運算法則，共軛復數(shù)的概念以及復數(shù)模的計算公式即可求出【詳解】因為，所以，所以故選：D.3.（2022·全國乙（文）設，其中為實數(shù)，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的運算法則以及復數(shù)相等的概念即可解出【詳解】因為R，所以，解得：故選：A.4.（20

6、22·全國乙（理）已知，且，其中a，b為實數(shù)，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先算出,再代入計算,實部與虛部都為零解方程組即可【詳解】由,得,即故選:5.（2022·新高考卷）2. 若，則（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】利用復數(shù)的除法可求，從而可求.【詳解】由題設有，故，故，故選：D6.（2022·新高考卷）（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用復數(shù)的乘法可求.【詳解】，故選：D.7.（2022·北京卷T2） 若復數(shù)z滿足，則（ ）A. 1B. 5C. 7D. 25【答案】B【解

7、析】【分析】利用復數(shù)四則運算，先求出，再計算復數(shù)的?！驹斀狻坑深}意有，故故選：B8.（2022·浙江卷T2）已知（為虛數(shù)單位），則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用復數(shù)相等的條件可求.【詳解】，而為實數(shù)，故，故選：B.2022高考數(shù)學真題分類匯編三、不等式一、選擇題1.（2022·全國甲（文）T12） 已知，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指對互化以及對數(shù)函數(shù)的單調性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，然后由指數(shù)函數(shù)的單調性即可解出【詳解】由可得，而，所以，即，所以又，所以，即，所以綜上，故選：A.2.（2022&

8、#183;全國甲（理）T12） 已知，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由結合三角函數(shù)的性質可得；構造函數(shù)，利用導數(shù)可得，即可得解.【詳解】因為,因為當所以,即,所以；設，所以在單調遞增，則,所以，所以,所以，故選：A 3.（2022·新高考卷T7）設，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】構造函數(shù)， 導數(shù)判斷其單調性，由此確定大小.【詳解】設，因為，當時，當時，所以函數(shù)在單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設，則,令，當時，函數(shù)單調遞減，當時，函數(shù)單調遞增，又，所以當時，所以當時，函數(shù)單調遞增，所以，即，

9、所以故選：C.4.（2022·新高考卷T12） 對任意x，y，則（ ）A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項的真假【詳解】因為（R），由可變形為，解得，當且僅當時，當且僅當時，所以A錯誤，B正確；由可變形為，解得，當且僅當時取等號，所以C正確；因為變形可得，設，所以，因此，所以當時滿足等式，但是不成立，所以D錯誤故選：BC2022高考數(shù)學真題分類匯編四、平面向量一、選擇題1.（2022·全國乙（文）T3） 已知向量，則（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】【分析】先求得，然后求得.【詳解】因為，所以.故選

10、：D2.（2022·全國乙（理）T3） 已知向量滿足，則（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定模長，利用向量的數(shù)量積運算求解即可.【詳解】解：，又9，故選：C.3.（2022·新高考卷T3） 在中，點D在邊AB上，記，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運算即可解出【詳解】因為點D在邊AB上，所以，即，所以故選：B4.（2022·新高考卷T4） 已知，若，則（ ）A. B. C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】利用向量的運算和向量的夾角的余弦公式的坐標形式化簡即可求得【詳解】解

11、：,即,解得,故選：C二、填空題1.（2022·全國甲（文）T13） 已知向量若，則_【答案】或【解析】【分析】直接由向量垂直的坐標表示求解即可.【詳解】由題意知：，解得.故答案為：.2.（2022·全國甲（理）T13） 設向量，的夾角的余弦值為，且，則_【答案】【解析】【分析】設與的夾角為，依題意可得，再根據(jù)數(shù)量積的定義求出，最后根據(jù)數(shù)量積的運算律計算可得【詳解】解：設與的夾角為，因為與的夾角的余弦值為，即，又，所以，所以故答案為：2022高考數(shù)學真題分類匯編五、函數(shù)與導數(shù)一、選擇題1.（2022·全國甲（文T7）(理T5)）函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（ ）A. B

12、. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性結合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質逐項排除即可得解.【詳解】令，則，所以為奇函數(shù)，排除BD；又當時，所以，排除C.故選：A.2.（2022·全國甲（文T8）(理T6)）. 當時，函數(shù)取得最大值，則（ ）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可知，即可解得，再根據(jù)即可解出【詳解】因為函數(shù)定義域為，所以依題可知，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時取最大值，滿足題意，即有故選：B.3.（2022·全國乙（文T8） 如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間的大致圖像，則該函數(shù)是（ ）A. B. C.

13、 D. 【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)圖像的特征結合函數(shù)的性質逐項排除即可得解.【詳解】設，則，故排除B;設，當時，所以，故排除C;設，則，故排除D.故選：A.4.（2022·全國乙（理）T12） 已知函數(shù)的定義域均為R，且若的圖像關于直線對稱，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對稱性和已知條件得到，從而得到，然后根據(jù)條件得到的值，再由題意得到從而得到的值即可求解.【詳解】因為的圖像關于直線對稱，所以，因為，所以，即，因為，所以，代入得，即，所以，.因為，所以，即，所以.因為，所以，又因為，聯(lián)立得，所以的圖像關于點中心對稱，因為函數(shù)的定義域為R，所以因為

14、，所以.所以.故選：D【點睛】含有對稱軸或對稱中心的問題往往條件比較隱蔽，考生需要根據(jù)已知條件進行恰當?shù)霓D化，然后得到所需的一些數(shù)值或關系式從而解題.5.（2022·新高考卷T10）已知函數(shù)，則（ ）A. 有兩個極值點B. 有三個零點C. 點是曲線的對稱中心D. 直線是曲線的切線【答案】AC【解析】【分析】利用極值點的定義可判斷A，結合的單調性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】由題，令得或，令得，所以在上單調遞減，在，上單調遞增，所以是極值點，故A正確；因，所以，函數(shù)在上有一個零點，當時，即函數(shù)在上無零點，綜上所述，函數(shù)有一個零點，故B錯誤；令，該函

15、數(shù)的定義域為，則是奇函數(shù)，是的對稱中心，將的圖象向上移動一個單位得到的圖象，所以點是曲線的對稱中心，故C正確；令，可得，又，當切點為時，切線方程為，當切點為時，切線方程為，故D錯誤.故選：AC6.（2022·新高考卷T12） 已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（ ）A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】轉化題設條件為函數(shù)的對稱性，結合原函數(shù)與導函數(shù)圖象的關系，根據(jù)函數(shù)的性質逐項判斷即可得解.【詳解】因為，均為偶函數(shù)，所以即，所以，則，故C正確；函數(shù)，的圖象分別關于直線對稱，又，且函數(shù)可導，所以，所以，所以，所以，故B正確，D錯誤；若函數(shù)滿足題設條件，

16、則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤.故選：BC.【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是轉化題干條件為抽象函數(shù)的性質，準確把握原函數(shù)與導函數(shù)圖象間的關系，準確把握函數(shù)的性質（必要時結合圖象）即可得解.7.（2022·新高考卷T8） 若函數(shù)的定義域為R，且，則（ ）A. B. C. 0D. 1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)的一個周期為，求出函數(shù)一個周期中的的值，即可解出【詳解】因為，令可得，所以，令可得，即，所以函數(shù)為偶函數(shù)，令得，即有，從而可知，故，即，所以函數(shù)的一個周期為因為，所以一個周期內的由于22除以6余4，所以故選：A8.（2022

17、·北京卷T4） 己知函數(shù)，則對任意實數(shù)x，有（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接代入計算，注意通分不要計算錯誤【詳解】，故A錯誤，C正確；，不是常數(shù)，故BD錯誤；故選：C9.（2022·北京卷T7） 在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術，為實現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和的關系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強，單位是下列結論中正確的是（ ）A. 當，時，二氧化碳處于液態(tài)B. 當，時，二氧化碳處于氣態(tài)C. 當，時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D. 當，時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)【

18、答案】D【解析】【分析】根據(jù)與的關系圖可得正確的選項.【詳解】當，時，此時二氧化碳處于固態(tài)，故A錯誤.當，時，此時二氧化碳處于液態(tài)，故B錯誤.當，時，與4非常接近，故此時二氧化碳處于固態(tài)，另一方面，時對應的是非超臨界狀態(tài)，故C錯誤.當，時，因, 故此時二氧化碳處于超臨界狀態(tài)，故D正確.故選：D10.（2022·浙江卷T7） 已知，則（ ）A. 25B. 5C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化，冪的運算性質以及對數(shù)的運算性質即可解出【詳解】因為，即，所以故選：C.二、填空題1.（2022·全國乙（文T16） 若是奇函數(shù)，則_，_【答案】 . ； .

19、【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出【詳解】因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以其定義域關于原點對稱由可得，所以，解得：，即函數(shù)的定義域為，再由可得，即，在定義域內滿足，符合題意故答案為：；2.（2022·全國乙（理）T16） 已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點和極大值點若，則a的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】由分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，可得時，時，再分和兩種情況討論，方程的兩個根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，構造函數(shù)，根據(jù)導數(shù)的結合意義結合圖象即可得出答案.【詳解】解：，因為分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，所以當時，當時，若時，當時，則此時，

20、與前面矛盾，故不符合題意，若時，則方程的兩個根為，即方程的兩個根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，令，則，設過原點且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點為，則切線的斜率為，故切線方程為，則有，解得，則切線的斜率為，因為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，所以，解得，又，所以，綜上所述，的范圍為.【點睛】本題考查了函數(shù)的極值點問題，考查了導數(shù)的幾何意義，考查了轉化思想及分類討論思想，有一定的難度.3.（2022·新高考卷T15）若曲線有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】設出切點橫坐標，利用導數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經過原點得到關于的方程，根據(jù)此方程應

21、有兩個不同的實數(shù)根，求得的取值范圍.【詳解】，設切點為,則,切線斜率,切線方程為：,切線過原點，,整理得：,切線有兩條，,解得或,的取值范圍是,故答案為：4.（2022·新高考卷T14） 寫出曲線過坐標原點的切線方程：_，_【答案】 . . 【解析】【分析】分和兩種情況，當時設切點為，求出函數(shù)導函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標原點求出，即可求出切線方程，當時同理可得；【詳解】解： 因為，當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標原點，所以，解得，所以切

22、線方程為，即；故答案為：；5.（2022·北京卷T11） 函數(shù)的定義域是_【答案】【解析】【分析】根據(jù)偶次方根的被開方數(shù)非負、分母不為零得到方程組，解得即可；【詳解】解：因為，所以，解得且，故函數(shù)的定義域為；故答案為：6.（2022·北京卷T14）設函數(shù)若存在最小值，則a的一個取值為_；a的最大值為_【答案】 0（答案不唯一） . 1【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)中的函數(shù)的單調性進行分類討論，可知，符合條件，不符合條件，時函數(shù)沒有最小值，故的最小值只能取的最小值，根據(jù)定義域討論可知或， 解得 .【詳解】解：若時，；若時，當時，單調遞增，當時，故沒有最小值，不符合題目要求；若時

23、，當時，單調遞減，當時，或，解得，綜上可得；故答案為：0（答案不唯一），17.（2022·浙江卷T14） 已知函數(shù)則_；若當時，則的最大值是_【答案】 . . #【解析】【分析】結合分段函數(shù)的解析式求函數(shù)值，由條件求出的最小值,的最大值即可.【詳解】由已知，所以，當時，由可得，所以，當時，由可得，所以，等價于，所以，所以的最大值為.故答案為：，.3、 解答題1.（2022·全國甲（文）T20） 已知函數(shù)，曲線在點處的切線也是曲線的切線（1）若，求a；（2）求a的取值范圍【答案】（1）3 （2）【解析】【分析】（1）先由上的切點求出切線方程，設出上的切點坐標，由斜率求出切點坐

24、標，再由函數(shù)值求出即可；（2）設出上的切點坐標，分別由和及切點表示出切線方程，由切線重合表示出，構造函數(shù)，求導求出函數(shù)值域，即可求得的取值范圍.【小問1詳解】由題意知，則在點處的切線方程為，即，設該切線與切于點，則，解得，則，解得；【小問2詳解】，則在點處的切線方程為，整理得，設該切線與切于點，則，則切線方程為，整理得，則，整理得，令，則，令，解得或，令，解得或，則變化時，的變化情況如下表：01000則的值域為，故的取值范圍為.2.（2022·全國甲（理）T21） 已知函數(shù)（1）若，求a的取值范圍；（2）證明：若有兩個零點，則環(huán)【答案】（1） （2）證明見的解析【解析】【分析】（1）

25、由導數(shù)確定函數(shù)單調性及最值，即可得解；（2）利用分析法，轉化要證明條件為，再利用導數(shù)即可得證.【小問1詳解】的定義域為，令,得當單調遞減當單調遞增，若,則,即所以的取值范圍為【小問2詳解】由題知,一個零點小于1,一個零點大于1不妨設要證,即證因為,即證因為,即證即證即證下面證明時，設，則設所以,而所以,所以所以在單調遞增即,所以令所以在單調遞減即,所以；綜上, ,所以.【點睛】關鍵點點睛 ：本題極值點偏移問題，關鍵點是通過分析法，構造函數(shù)證明不等式這個函數(shù)經常出現(xiàn)，需要掌握3.（2022·全國乙（文）T20） 已知函數(shù)（1）當時，求的最大值；（2）若恰有一個零點，求a的取值范圍【答案

26、】（1） （2）【解析】【分析】（1）由導數(shù)確定函數(shù)的單調性，即可得解；（2）求導得，按照、及結合導數(shù)討論函數(shù)的單調性，求得函數(shù)的極值，即可得解.【小問1詳解】當時，則，當時，單調遞增；當時，單調遞減；所以；【小問2詳解】，則，當時，所以當時，單調遞增；當時，單調遞減；所以，此時函數(shù)無零點，不合題意；當時，在上，單調遞增；在上，單調遞減；又，當x趨近正無窮大時，趨近于正無窮大，所以僅在有唯一零點，符合題意；當時，所以單調遞增，又，所以有唯一零點，符合題意；當時，在上，單調遞增；在上，單調遞減；此時，又，當n趨近正無窮大時，趨近負無窮，所以在有一個零點，在無零點，所以有唯一零點，符合題意；綜上，

27、a的取值范圍為.【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與單調性，把函數(shù)零點問題轉化為函數(shù)的單調性與極值的問題.4.（2022·全國乙（理）T21）已知函數(shù)（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若在區(qū)間各恰有一個零點，求a的取值范圍【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先算出切點,再求導算出斜率即可（2）求導,對分類討論,對分兩部分研究【小問1詳解】的定義域為當時,所以切點為,所以切線斜率為2所以曲線在點處的切線方程為【小問2詳解】設若,當,即所以在上單調遞增,故在上沒有零點,不合題意若,當,則所以在上單調遞增所以,即所以在上單調遞增,故在上沒有零點,不合

28、題意若(1)當,則,所以在上單調遞增所以存在,使得,即當單調遞減當單調遞增所以當當所以在上有唯一零點又沒有零點,即在上有唯一零點(2)當設所以在單調遞增所以存在,使得當單調遞減當單調遞增又所以存在,使得,即當單調遞增,當單調遞減有而,所以當所以在上有唯一零點,上無零點即在上有唯一零點所以,符合題意所以若在區(qū)間各恰有一個零點,求的取值范圍為【點睛】方法點睛：本題的關鍵是對的范圍進行合理分類，否定和肯定并用，否定只需要說明一邊不滿足即可，肯定要兩方面都說明.5.（2022·新高考卷T22） 已知函數(shù)和有相同最小值（1）求a；（2）證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左

29、到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列【答案】（1） （2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)導數(shù)可得函數(shù)的單調性，從而可得相應的最小值，根據(jù)最小值相等可求a.注意分類討論.（2）根據(jù)（1）可得當時， 的解的個數(shù)、的解的個數(shù)均為2，構建新函數(shù)，利用導數(shù)可得該函數(shù)只有一個零點且可得的大小關系，根據(jù)存在直線與曲線、有三個不同的交點可得的取值，再根據(jù)兩類方程的根的關系可證明三根成等差數(shù)列.【小問1詳解】的定義域為，而，若，則，此時無最小值，故.的定義域為，而.當時，故在上為減函數(shù)，當時，故在上為增函數(shù)，故.當時，故在上為減函數(shù)，當時，故在上為增函數(shù)，故.因為和有相同的最小值，故，整理得到，其中，設，則，故為

30、上的減函數(shù)，而，故的唯一解為，故的解為.綜上，.【小問2詳解】由（1）可得和的最小值為.當時，考慮的解的個數(shù)、的解的個數(shù).設，當時，當時，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，設，其中，則，故在上為增函數(shù)，故，故，故有兩個不同的零點，即的解的個數(shù)為2.設，當時，當時，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，有兩個不同的零點即的解的個數(shù)為2.當，由（1）討論可得、僅有一個零點，當時，由（1）討論可得、均無零點，故若存在直線與曲線、有三個不同的交點，則.設，其中，故，設，則，故在上為增函數(shù)，故即，所以，所以在上為增函數(shù)，而，故在上有且只有一個零點，且：當時，即即，當時，即即，因此若存在直線與曲線

31、、有三個不同交點，故，此時有兩個不同的零點，此時有兩個不同的零點，故，所以即即，故為方程的解，同理也為方程的解又可化為即即，故為方程的解，同理也為方程的解，所以，而，故即.【點睛】思路點睛：函數(shù)的最值問題，往往需要利用導數(shù)討論函數(shù)的單調性，此時注意對參數(shù)的分類討論，而不同方程的根的性質，注意利用方程的特征找到兩類根之間的關系.6.（2022·新高考卷T22） 已知函數(shù)（1）當時，討論的單調性；（2）當時，求a的取值范圍；（3）設，證明：【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為. （2） （3）見解析【解析】【分析】（1）求出，討論其符號后可得的單調性.（2）設，求出，先討論時題設中的不等式

32、不成立，再就結合放縮法討論符號，最后就結合放縮法討論的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.（3）由（2）可得對任意的恒成立，從而可得對任意的恒成立，結合裂項相消法可證題設中的不等式.【小問1詳解】當時，則，當時，當時，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.【小問2詳解】設，則，又，設，則，若，則，因為為連續(xù)不間斷函數(shù)，故存在，使得，總有，故在為增函數(shù)，故，故在為增函數(shù)，故，與題設矛盾.若，則，下證：對任意，總有成立，證明：設，故，故在上為減函數(shù)，故即成立.由上述不等式有，故總成立，即在上為減函數(shù)，所以.當時，有， 所以在上為減函數(shù)，所以.綜上，.【小問3詳解】取，則，總有成立，令，則，故即對任意的恒成立.所以對任意的

33、，有，整理得到：，故，故不等式成立.【點睛】思路點睛：函數(shù)參數(shù)的不等式的恒成立問題，應該利用導數(shù)討論函數(shù)的單調性，注意結合端點處導數(shù)的符號合理分類討論，導數(shù)背景下數(shù)列不等式的證明，應根據(jù)已有的函數(shù)不等式合理構建數(shù)列不等式.7.（2022·北京卷T20） 已知函數(shù)（1）求曲線在點處切線方程；（2）設，討論函數(shù)在上的單調性；（3）證明：對任意的，有【答案】（1） （2）在上單調遞增. （3）證明見解析【解析】【分析】（1）先求出切點坐標，在由導數(shù)求得切線斜率，即得切線方程；（2）在求一次導數(shù)無法判斷的情況下，構造新的函數(shù)，再求一次導數(shù)，問題即得解；（3）令，即證，由第二問結論可知在0,+

34、）上單調遞增，即得證.【小問1詳解】解：因為，所以，即切點坐標為，又，切線斜率切線方程為：【小問2詳解】解：因為， 所以，令，則， 在上單調遞增，在上恒成立，上單調遞增.【小問3詳解】解：原不等式等價于，令，即證，由（2）知在上單調遞增，在上單調遞增，又因為，所以命題得證.8.（2022·浙江卷T22） 設函數(shù)（1）求的單調區(qū)間；（2）已知，曲線上不同的三點處的切線都經過點證明：（）若，則；（）若，則（注：是自然對數(shù)底數(shù)）【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為. （2）（）見解析；（）見解析.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，討論其符號后可得函數(shù)的單調性.（2）（）由題設構造關于切點

35、橫坐標的方程，根據(jù)方程有3個不同的解可證明不等式成立，（） ，則題設不等式可轉化為，結合零點滿足的方程進一步轉化為，利用導數(shù)可證該不等式成立.【小問1詳解】，當，；當，故的減區(qū)間為，的增區(qū)間為.【小問2詳解】（）因為過有三條不同的切線，設切點為，故，故方程有3個不同的根，該方程可整理為，設，則，當或時，；當時，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，因為有3個不同的零點，故且，故且，整理得到：且，此時，設，則，故為上的減函數(shù)，故，故（）當時，同（）中討論可得：故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，不妨設，則，因為有3個不同的零點，故且，故且，整理得到：，因為，故，又，設，則方程即為：即為，記則為有三個不同的根，

36、設，要證：，即證，即證：，即證：，即證：，而且，故，故，故即證：，即證：即證：，記，則，設，則即，故在上為增函數(shù)，故，所以，記，則，所以在為增函數(shù)，故，故即，故原不等式得證：【點睛】思路點睛：導數(shù)背景下的切線條數(shù)問題，一般轉化為關于切點方程的解的個數(shù)問題，而復雜方程的零點性質的討論，應該根據(jù)零點的性質合理轉化需求證的不等式，常用的方法有比值代換等.2022高考數(shù)學真題分類匯編六、數(shù)列一、選擇題1.（2022·全國乙（文）T10）已知等比數(shù)列的前3項和為168，則（ ）A. 14B. 12C. 6D. 3【答案】D【解析】【分析】設等比數(shù)列的公比為，易得，根據(jù)題意求出首項與公比，再根據(jù)

37、等比數(shù)列的通項即可得解.【詳解】解：設等比數(shù)列的公比為，若，則，與題意矛盾，所以，則，解得，所以.故選：D.2.（2022·全國乙（理）T8） 已知等比數(shù)列的前3項和為168，則（ ）A. 14B. 12C. 6D. 3【答案】D【解析】【分析】設等比數(shù)列的公比為，易得，根據(jù)題意求出首項與公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項即可得解.【詳解】解：設等比數(shù)列的公比為，若，則，與題意矛盾，所以，則，解得，所以.故選：D.3.（2022·全國乙（理）T4） 嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務后，繼續(xù)進行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)

38、列：，依此類推，其中則（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，再利用數(shù)列與的關系判斷中各項的大小，即可求解.【詳解】解：因為，所以，得到，同理，可得，又因為，故，；以此類推，可得，故A錯誤；，故B錯誤；，得，故C錯誤；，得，故D正確.故選：D.4.（2022·新高考卷T3） 中國的古建筑不僅是擋風遮雨的住處，更是美學和哲學的體現(xiàn)如圖是某古建筑物的剖面圖，是舉， 是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為，若是公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（ ）A. 0.75B. 0.8C. 0.85D. 0.9【答案】D【解析】【分析】設，則可得關于的方程，求出其解

39、后可得正確的選項.【詳解】設，則，依題意，有，且，所以，故，故選：D5.（2022·浙江卷T10） 已知數(shù)列滿足，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先通過遞推關系式確定除去，其他項都在范圍內，再利用遞推公式變形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放縮可得出【詳解】，易得，依次類推可得由題意，即，即，累加可得，即，即，,又，累加可得，即，即；綜上：故選：B【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是利用遞推關系進行合理變形放縮.二、填空題1.（2022·全國乙（文）T13）記為等差數(shù)列的前n項和若，則公差_【答案】2【解析】【分析】轉化條件為，即可

40、得解.【詳解】由可得，化簡得，即，解得.故答案為：2.2.（2022·北京卷T15） 己知數(shù)列各項均為正數(shù)，其前n項和滿足給出下列四個結論：的第2項小于3； 為等比數(shù)列；為遞減數(shù)列； 中存在小于的項其中所有正確結論的序號是_【答案】【解析】【分析】推導出，求出、的值，可判斷；利用反證法可判斷；利用數(shù)列單調性的定義可判斷.【詳解】由題意可知，當時，可得；當時，由可得，兩式作差可得，所以，則，整理可得，因為，解得，對；假設數(shù)列為等比數(shù)列，設其公比為，則，即，所以，可得，解得，不合乎題意，故數(shù)列不等比數(shù)列，錯；當時，可得，所以，數(shù)列為遞減數(shù)列，對；假設對任意，則，所以，與假設矛盾，假設不成

41、立，對.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題在推斷的正誤時，利用正面推理較為復雜時，可采用反證法來進行推導.三、解答題1.（2022·全國甲（文T18）(理T17）記為數(shù)列的前n項和已知（1）證明：是等差數(shù)列；（2）若成等比數(shù)列，求的最小值【答案】（1）證明見解析； （2）【解析】【分析】（1）依題意可得，根據(jù)，作差即可得到，從而得證；（2）由（1）及等比中項的性質求出，即可得到的通項公式與前項和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質計算可得【小問1詳解】解：因為，即，當時，得，即，即，所以，且，所以是以為公差的等差數(shù)列【小問2詳解】解：由（1）可得，又，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，所以，所以

42、，當或時2.（2022·新高考卷T17） 記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列（1）求的通項公式；（2）證明：【答案】（1） （2）見解析【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式求得，得到，利用和與項的關系得到當時，,進而得：，利用累乘法求得，檢驗對于也成立，得到的通項公式；（2）由（1）的結論，利用裂項求和法得到，進而證得.【小問1詳解】，,又是公差為的等差數(shù)列，,當時，,整理得：,即,，顯然對于也成立，的通項公式；【小問2詳解】 3.（2022·新高考卷T17）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且（1）證明：；（2）求集合中元素個數(shù)【答案】（1）證明見解析

43、； （2）【解析】【分析】（1）設數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出方程組即可證出；（2）根據(jù)題意化簡可得，即可解出【小問1詳解】設數(shù)列的公差為，所以，即可解得，所以原命題得證【小問2詳解】由（1）知，所以，即，亦即，解得，所以滿足等式的解，故集合中的元素個數(shù)為 4.（2022·北京卷T21） 已知為有窮整數(shù)數(shù)列給定正整數(shù)m，若對任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列（1）判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；（2）若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；（3）若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：【答案】（1）是連續(xù)可表數(shù)列；不是連續(xù)可表數(shù)列 （2）證明見解析 （3）證明見解

44、析【解析】【分析】（1）直接利用定義驗證即可；（2）先考慮不符合，再列舉一個合題即可；（3）時，根據(jù)和的個數(shù)易得顯然不行，再討論時，由可知里面必然有負數(shù)，再確定負數(shù)只能是，然后分類討論驗證不行即可【小問1詳解】，所以是連續(xù)可表數(shù)列；易知，不存在使得，所以不是連續(xù)可表數(shù)列【小問2詳解】若,設為,則至多，6個數(shù)字，沒有個，矛盾；當時,數(shù)列，滿足， 【小問3詳解】，若最多有種，若，最多有種，所以最多有種，若，則至多可表個數(shù)，矛盾,從而若,則，至多可表個數(shù)，而，所以其中有負的，從而可表120及那個負數(shù)（恰 21個），這表明中僅一個負的，沒有0，且這個負的在中絕對值最小，同時中沒有兩數(shù)相同,設那個負數(shù)為

45、 ，則所有數(shù)之和，再考慮排序，排序中不能有和相同，否則不足個， （僅一種方式），與2相鄰，若不在兩端,則形式，若，則（有2種結果相同，方式矛盾）， 同理 ，故在一端，不妨為形式，若,則 （有2種結果相同，矛盾），同理不行，則 （有2種結果相同，矛盾），從而，由于,由表法唯一知3,4不相鄰,、故只能，或，這2種情形，對：，矛盾，對：，也矛盾，綜上 【點睛】關鍵點睛，先理解題意，是否為可表數(shù)列核心就是是否存在連續(xù)的幾項（可以是一項）之和能表示從到中間的任意一個值本題第二問時，通過和值可能個數(shù)否定；第三問先通過和值的可能個數(shù)否定，再驗證時，數(shù)列中的幾項如果符合必然是的一個排序，可驗證這組數(shù)不合題5.

46、（2022·浙江卷T20） 已知等差數(shù)列的首項，公差記的前n項和為（1）若，求；（2）若對于每個，存在實數(shù)，使成等比數(shù)列，求d的取值范圍【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列通項公式及前項和公式化簡條件，求出，再求；(2)由等比數(shù)列定義列方程，結合一元二次方程有解的條件求的范圍.【小問1詳解】因為，所以，所以，又，所以，所以，所以，【小問2詳解】因為，成等比數(shù)列，所以，由已知方程的判別式大于等于0，所以，所以對于任意的恒成立，所以對于任意的恒成立，當時，當時，由，可得當時，又所以2022高考數(shù)學真題分類匯編五、三角函數(shù)與解三角形一、單選題1.（2022·全

47、國甲（文）T5）將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C，若C關于y軸對稱，則的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由平移求出曲線的解析式，再結合對稱性得，即可求出的最小值.【詳解】由題意知：曲線為，又關于軸對稱，則，解得，又，故當時，的最小值為.故選：C.2.（2022·全國甲（理）T11）設函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由的取值范圍得到的取值范圍，再結合正弦函數(shù)的性質得到不等式組，解得即可【詳解】解：依題意可得，因為，所以，要使函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，又，的圖象

48、如下所示：則，解得，即故選：C3.（2022·全國乙（文）T11） 函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用導數(shù)求得的單調區(qū)間，從而判斷出在區(qū)間上的最小值和最大值.【詳解】，所以在區(qū)間和上，即單調遞增；在區(qū)間上，即單調遞減，又，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.故選：D4.（2022·新高考卷T6） 記函數(shù)的最小正周期為T若，且的圖象關于點中心對稱，則（ ）A. 1B. C. D. 3【答案】A【解析】【分析】由三角函數(shù)的圖象與性質可求得參數(shù)，進而可得函數(shù)解析式，代入即可得解.【詳解】由函數(shù)的最小正周期T滿足，得，解得，又

49、因為函數(shù)圖象關于點對稱，所以，且，所以，所以，所以.故選：A5.（2022·北京卷T5） 已知函數(shù)，則（ ）A. 在上單調遞減B. 在上單調遞增C. 在上單調遞減D. 在上單調遞增【答案】C【解析】【分析】化簡得出，利用余弦型函數(shù)的單調性逐項判斷可得出合適的選項.【詳解】因為.對于A選項，當時，則在上單調遞增，A錯；對于B選項，當時，則在上不單調，B錯；對于C選項，當時，則在上單調遞減，C對；對于D選項，當時，則在上不單調，D錯.故選：C.6.（2022·北京卷T10） 在中，P為所在平面內的動點，且，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】依題意建立平面直角坐標系，設，表示出，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質計算可得；【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標系，則，因為，所以在以為圓心，為半徑的圓上運動，設，所以，所以，