向量及其運算2.2向量的線性關(guān)系分析

1、華南農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系多媒體教學(xué)課件多媒體教學(xué)課件第二章第二章 向量與線性方程組向量與線性方程組 2.1 2.1 向量及其運算向量及其運算2.22.2向量的線性關(guān)系向量的線性關(guān)系2.32.3向量組與矩陣的秩向量組與矩陣的秩2.4 2.4 齊次線性方程組齊次線性方程組2.5 2.5 非齊次線性方程組非齊次線性方程組消元法解線性方程組的三種同解變形消元法解線性方程組的三種同解變形 ，用矩陣的初等行，用矩陣的初等行變換表示了用消元法解線性方程組的過程。變換表示了用消元法解線性方程組的過程。n 個未知量個未知量n個方程的線性方程組，引進行列式的概念，若個方程的線性方程組，引進行列式的概念，若系數(shù)

2、行列式的值不等于系數(shù)行列式的值不等于0，那么可由克拉默法則表示出它的唯，那么可由克拉默法則表示出它的唯一解。同時，這類方程也可以表示為矩陣方程，用求逆矩陣的一解。同時，這類方程也可以表示為矩陣方程，用求逆矩陣的方法也能夠表示出它的唯一解。方法也能夠表示出它的唯一解。當(dāng)方程組的系數(shù)行列式等于當(dāng)方程組的系數(shù)行列式等于0，或者方程的個數(shù)少于未知量，或者方程的個數(shù)少于未知量的個數(shù)時，的個數(shù)時，求逆矩陣求逆矩陣和和克拉默法則克拉默法則的這兩種方法都失效了。的這兩種方法都失效了。此時，是否有解？如果有，有幾個？不止一個時，解與解之此時，是否有解？如果有，有幾個？不止一個時，解與解之間是什么聯(lián)系？間是什么聯(lián)

3、系？2.1 向量及其運算向量及其運算 引例引例 一個方程對應(yīng)一組數(shù)一個方程對應(yīng)一組數(shù)1 12212,nnna xa xa xba aa b矩陣的一行對應(yīng)一組數(shù)矩陣的一行對應(yīng)一組數(shù)線性方程組可對應(yīng)一組數(shù)組；矩陣也可對應(yīng)一組數(shù)組。線性方程組可對應(yīng)一組數(shù)組；矩陣也可對應(yīng)一組數(shù)組。定義定義2.1由由n個數(shù)個數(shù)12,na aa組成的組成的有序數(shù)組有序數(shù)組12(,)na aa稱為一個稱為一個 n 維行向量維行向量，記作，記作12(,)na aa，其中，其中稱為向量稱為向量ia的第的第i個個分量分量（或（或坐標(biāo)坐標(biāo)）。）。如果將有序數(shù)組寫成一列的形式，則稱向量如果將有序數(shù)組寫成一列的形式，則稱向量為列向量。

4、為列向量。12naaa實際上，行向量即為一個行矩陣，列向量即為一個列矩陣。實際上，行向量即為一個行矩陣，列向量即為一個列矩陣。幾個概念幾個概念1、同維向量同維向量：分量個數(shù)相等的向量稱為同維向量。：分量個數(shù)相等的向量稱為同維向量。2、相等向量相等向量：如果向量：如果向量 與與 是同維向量，而且對應(yīng)是同維向量，而且對應(yīng) 的分量相等，則稱向量的分量相等，則稱向量 與與 相等。相等。3、零向量零向量：分量都是：分量都是0的向量稱為零向量，記作的向量稱為零向量，記作O。4、負(fù)向量負(fù)向量：稱向量：稱向量 為向量為向量 的負(fù)向量，記作的負(fù)向量，記作 。12,naaa12,na aa12,n 5、向量組向量

5、組：如果：如果n個向量個向量 是同維向量，則稱為是同維向量，則稱為 向量組向量組 12,n 向量的線性運算向量的線性運算1、向量的加減法、向量的加減法，稱向量，稱向量設(shè)設(shè)1212, , =,nna aab bb，則稱向量，則稱向量1122,nnab abab為向量為向量 與向量與向量 的的和向和向量量，記作，記作1122,nnab abab為向量為向量 與向量與向量 的的差向量差向量，記作，記作 。2、數(shù)乘向量、數(shù)乘向量向量的加、減、數(shù)乘運算稱為向量的向量的加、減、數(shù)乘運算稱為向量的線性運算線性運算。12(,), ,na aaR設(shè)向量設(shè)向量則稱向量則稱向量12(,)naaa為數(shù)為數(shù) 與向量與向

6、量 的數(shù)乘向量，記作的數(shù)乘向量，記作 向量線性運算的運算律向量線性運算的運算律1 （）交換律交換律結(jié)合律結(jié)合律分配律分配律2 （ ） （）（）(4) ()O O（3）(8) () (5) 1(6) ()()() (7) （）=例例1 210 11334 設(shè)向量（ ， ， ） ， （， ， ），求 343 2104113 63 04 412 10712 ， ， ， ， ， ，解解 練習(xí)練習(xí)：已知：已知 ，求，求 3,5,7,9 ,1,5,2,0 , 解解 4,0, 5, 9 11 112 21121 122 2221 12 2n nn nmmmn nma xa xa xba xa xa xba

7、xa xa xb（1） 12 (1,2, )jjjmjaajna1122nnxxxb則方程組有則方程組有向量形式向量形式 線性方程組的向量表達式線性方程組的向量表達式 若記若記 線性方程組線性方程組 j即為系數(shù)矩陣的第即為系數(shù)矩陣的第 列列 j2.2 向量的線性關(guān)系向量的線性關(guān)系解解 設(shè)設(shè)1122kk則則121122122512382613kkkkkkkk所以所以122 定義定義2.4 設(shè)有同維向量設(shè)有同維向量 ，如果存在，如果存在一組數(shù)一組數(shù) ，使得，使得 成立，成立，則稱向量則稱向量 可由向量組可由向量組 線性表示線性表示，或稱向量，或稱向量 是向量組是向量組 的的線性組合線性組合。12,

8、n 12,nk kk1122nnkkk12,n 12,n 例例212121（， ， ），（2,3,6）, =（5,8,13），設(shè)設(shè)判斷向量判斷向量 能否由向量組能否由向量組 線性表示？如果可以，求出線性表示？如果可以，求出表達式。表達式。12，1122nnxxx小結(jié)：小結(jié)： 可由向量組可由向量組線性表示線性表示 線性方程組線性方程組 有解有解12n， ， 定義定義2.5顯然：含有零向量的向量組是線性相關(guān)的。顯然：含有零向量的向量組是線性相關(guān)的。因為因為121000nOO 12n， ，12,nk kk1122nnkkko12n， ，設(shè)有向量組設(shè)有向量組 ，如果存在一組，如果存在一組不全為零的數(shù)不

9、全為零的數(shù) ，使得，使得 成立，則稱成立，則稱向量組向量組 線性相關(guān)線性相關(guān)，否則，稱向量組，否則，稱向量組 線性無關(guān)線性無關(guān)。即當(dāng)且僅當(dāng)。即當(dāng)且僅當(dāng) 全為零時全為零時， 才成立，則稱向量組才成立，則稱向量組 線性無關(guān)線性無關(guān)。12n， ，1122nnkkkO12n， ，12,nk kk兩個向量線性相關(guān)的充要條件是對應(yīng)分量成比例。兩個向量線性相關(guān)的充要條件是對應(yīng)分量成比例。 1210 0001000 0 0n， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，1證明證明例例3證明下列向量組線性無關(guān)。證明下列向量組線性無關(guān)。 1 122nnkkko設(shè)設(shè) 120 00nkkk（ ， ， ， ）（ ，

10、 ， ， ）則則 12 0nkkk所以所以 12n， ， ，所以向量組所以向量組 線性無關(guān)。線性無關(guān)。 12n， ， ，稱向量組稱向量組 為為n維向量空間維向量空間的的單位坐標(biāo)向量組單位坐標(biāo)向量組。 任何一個任何一個n維向量維向量 都可由向量組都可由向量組 線性表示，線性表示，12,na aa12n， ， ，12naaa12n例例4 討論向量組討論向量組12112 210 2151， ， ， ， ， ， ，342 0 313110 41， ， ， ， ， ， ，的線性相關(guān)性的線性相關(guān)性解解 設(shè)設(shè)112233440kkkk則則134124123123412342020230254030kkkkk

11、kkkkkkkkkkkk利用矩陣的初等變換，可求得利用矩陣的初等變換，可求得12342, 1, 0kkkk 注：有無窮多組解注：有無窮多組解可見，向量組可見，向量組線性相關(guān)線性相關(guān)齊次線性方程組齊次線性方程組有非零解有非零解12,n 11220nnxxx所以向量組所以向量組 線性相關(guān)。線性相關(guān)。 1234, 練習(xí)練習(xí) 判斷向量組的線性相關(guān)性判斷向量組的線性相關(guān)性 1232,1, 1, 1 ,0,3, 2,0 ,2,4, 3, 1 解解 設(shè)設(shè) 1122330kkk則有則有 13123123132203402300kkkkkkkkkk因為因為 1231,1,1kkk 是方程組的一組非零解是方程組的

12、一組非零解 所以所以 123, 線性相關(guān)線性相關(guān)證明證明例例5 已知向量組已知向量組 線性無關(guān)，證明：向量組線性無關(guān)，證明：向量組 線性無關(guān)。線性無關(guān)。123，122331，1122233310kkk設(shè)設(shè) 1311222330kkkkkk（）（）（）則則 123，因為因為 線性無關(guān)線性無關(guān) 323000kkkkkk112所以有所以有 230kkk1解得解得 122331，所以向量組所以向量組 線性無關(guān)。線性無關(guān)。 例例6 設(shè)設(shè)123, 線性無關(guān)，又線性無關(guān)，又312323，試證明，試證明123, 線性相關(guān)線性相關(guān)11232232,證明證明 設(shè)設(shè)1122330kkk則有則/p>

13、(2)()(23)0kkkkkkkk 因為因為123, 線性無關(guān)線性無關(guān) 所以有所以有13123123200230kkkkkkkk由于由于1021110213所以所以123,k k k不全為零不全為零 所以所以123, 線性相關(guān)線性相關(guān) 事實上，可取事實上，可取 1232,1,1kkk 證明證明 因為向量組因為向量組12m， ，線性相關(guān)線性相關(guān)所以存在一組不全為零的數(shù)所以存在一組不全為零的數(shù)mkkk,21，使得，使得02211kkkkmm則則0k否則，若否則，若0k則由則由m,21線性無關(guān)，線性無關(guān)，可推得可推得021mkkk于是向量組于是向量組12m， ，線性無關(guān)線性無關(guān)這與已知矛盾，所以這

14、與已知矛盾，所以0k12m， ，定理定理2.1若向量組若向量組 線性無關(guān)，而向量組線性無關(guān)，而向量組 線性相關(guān)，則向量線性相關(guān)，則向量 可由向量組可由向量組 線性表示，而且表示方法惟一。線性表示，而且表示方法惟一。12m， ，12m， ，于是于是11221()mmkkkk 假設(shè)另有表達式假設(shè)另有表達式1122mmlll則可得則可得121122()()()0mmmkkklllkkk由于由于m,21線性無關(guān)，線性無關(guān)，所以所以), 2 , 1( mikklii且表示方法唯一且表示方法唯一所以所以 可由向量組可由向量組 線性表示，線性表示，12m， ，所以所以 可由向量組可由向量組 線性表示。線性表

15、示。12m， ，定理定理2.2 向量組向量組n,21線性相關(guān)線性相關(guān)的充分必要條件的充分必要條件 是該向量組中是該向量組中至少有一個至少有一個向量可由其余的向量組線性向量可由其余的向量組線性 表示。表示。證明證明 因為向量組因為向量組 n,21線性相關(guān)線性相關(guān) 所以存在不全為零的數(shù)所以存在不全為零的數(shù)12,nk kk使得使得 11220nnkkk不妨設(shè)不妨設(shè)10k 于是有于是有1223311()nnkkkk 反過來，若有反過來，若有23,n 1可由可由線性表示線性表示 12233mmlll則有則有223310mmlll所以所以n,21線性相關(guān)線性相關(guān) 例例7 設(shè)設(shè)21231,1,1 ,1,1,

16、1 ,1,1,1,1, , 試問試問為何值時，為何值時，可由可由123, 線性表示，且表示線性表示，且表示方法唯一？方法唯一？解解 設(shè)設(shè)112233xxx則有則有12312321231111xxxxxxxxx（*）因為因為可由可由123, 線性表示，且表示方法唯一線性表示，且表示方法唯一所以，方程組（所以，方程組（*）只有唯一的一組解）只有唯一的一組解所以有所以有1111110111解得解得03 且小結(jié)小結(jié)：齊次線性方程組齊次線性方程組11220nnxxx有非零解有非零解齊次線性方程組齊次線性方程組11220nnxxx只有零解只有零解12,n 線性相關(guān)線性相關(guān)向量組向量組（1）向量組向量組12,n 線性無關(guān)線性無關(guān)（2）(3) 向量向量 可由向量組可由向量組 線性表示線性表示12,n 線性方程組線性方程組 有解有解1122nnxxx向量組的線性相關(guān)性的幾個性質(zhì)定理向量組的線性相關(guān)性的幾個性質(zhì)定理 1、單個非零向量是線性無關(guān)的。、單個非零向量是線性無關(guān)的。 2、兩個向量線性相關(guān)兩個向量線性相關(guān)的充分必要條件是的充分必要條件是對應(yīng)分