第七章離散控制系統(tǒng)

1、第一節(jié)第一節(jié) 概述概述第二節(jié)第二節(jié) 連續(xù)信號的采樣和復現(xiàn)連續(xù)信號的采樣和復現(xiàn)第三節(jié)第三節(jié) 離散控制系統(tǒng)的數(shù)學模型離散控制系統(tǒng)的數(shù)學模型第四節(jié)第四節(jié) 離散控制系統(tǒng)的性能分析離散控制系統(tǒng)的性能分析第五節(jié)第五節(jié) 離散控制系統(tǒng)的設計離散控制系統(tǒng)的設計第七章第七章 離散控制系統(tǒng)離散控制系統(tǒng) 第一節(jié)第一節(jié) 概述概述離散的含義：離散離散的含義：離散相對于時間、 相對于信號、 相對于系統(tǒng)中的一個測點而言。連續(xù)系統(tǒng)：連續(xù)系統(tǒng)：系統(tǒng)中任一點上的信號在時間上連續(xù)。離散系統(tǒng)：離散系統(tǒng)：系統(tǒng)中有一點信號在時間上不連續(xù)。 采樣（數(shù)據(jù)） 連續(xù)信號 數(shù)字信號 離散控制系統(tǒng) 控制系統(tǒng) 數(shù)字控制系統(tǒng) 計算機控制系統(tǒng)y(t)A/D

2、計算機e(t)e(kT)r(t)u(kT)u(t)傳感器受控對象D/A計算機控制系統(tǒng)簡單分析計算機控制系統(tǒng)簡單分析離散控制系統(tǒng)的分析Z變換、Z平面零極點分布、脈沖傳遞函數(shù)、 數(shù)字控制器設計。離散控制與連續(xù)控制的系統(tǒng)分析之間的比較離散控制與連續(xù)控制的系統(tǒng)分析之間的比較離散控制 連續(xù)控制 Z變換 S變換脈沖傳遞函數(shù)G(z) 傳遞函數(shù)G(s) Z平面零極點分布 S平面零極點分布Z平面根軌跡 S平面根軌跡差分方程 微分方程朱里判據(jù) 勞斯判據(jù) 第二節(jié)第二節(jié) 連續(xù)信號的采樣和復現(xiàn)連續(xù)信號的采樣和復現(xiàn)采樣：采樣：數(shù)學抽象分析數(shù)學抽象分析A/Dx(t)x(kT)x(t) x*(t)采樣器x(t)tT(t)0

3、T 2T-T-2Tt傅立葉級數(shù)表示：其中， 為角頻率ktjkTseTt1)(Ts2)2()2()()()()0()()(1)()2()2()()()()0()()()(*TtTxTtTxtxLtxLetxTtxTtTxTtTxtxkTtkTxtxktjkkTs)()()(*ttxtxTKTkTtt)()(一串脈沖表示 與 的關系據(jù)遲延定理：復平移定理：kkTsekTxsX)()(*)(*sX)(kTxksktjkatsjksXTetxTLtxLasXtxeLtLsXetxLs)(1)(1)()()(1)()()(*表示 與 的關系)(*sX)(sX 頻譜分析頻譜分析: : 采樣信號的頻率特性為

4、原信號的無限項諧頻采樣信號的頻率特性為原信號的無限項諧頻特性之和。特性之和。 當k=0時， ，稱為X*(j)的主頻，其幅頻特性如圖(a)。 若s2max則各頻譜不重合，如圖(b)。 若s0.0005，使+1 失穩(wěn) 一般T價格，性能 T 價格，性能 選擇按最高性能價格比。 有關按性能指標選擇T的經(jīng)驗公式： 二、采樣周期的選擇二、采樣周期的選擇Tfss221、按跟蹤有效性指標、按跟蹤有效性指標帶寬 定義b) 0(707. 0)(jGjGb24rsrtTtbsb2010或bsbT5102 . 135. 0sT0 . 11 . 0cTcT35. 022. 0sT100 . 1cTcT959517. 0

5、07. 0TTTs的時間。：從)(%95095yT 按被控物理量 ，見下表。受控過程類型采樣周期流量壓力液位溫度成分12355810151520)(sTs工業(yè)過程控制的采樣周期推薦值2、按調(diào)節(jié)有效性指標、按調(diào)節(jié)有效性指標dsd2010過程擾動信號基頻d 加前置濾波器后LssG11)(1bsbLsL10020105轉折頻率L三、連續(xù)控制的離散化法三、連續(xù)控制的離散化法 思路：利用成熟的連續(xù)控制器，只要采樣周期取得足夠小，等效于連續(xù)控制器。例：用替換法將連續(xù)PID離散化。設連續(xù)PID調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)為 ，將 代入上式并整理可得離散PID調(diào)節(jié)器的脈沖傳遞函數(shù)sTsTsTKsGVDIR111)(112

6、zzTs1112211011111121)(zczzdzddTTTTzzTTzzTTKzGVVDIR上式中系數(shù) 和 由下列各式計算210,ddd1cVVIVVDVRVDIVRVDIVVRTTTcTTTTTTTKdTTTTTTTKdTTTTTTTTKd121021)(2211211若令該控制器的輸出為若令該控制器的輸出為U(z)，輸入為，輸入為E(z)，則有，則有)1)(1 ()()(11122110zczzdzddzEzU對應的差分方程可寫為對應的差分方程可寫為)2() 1()1 ()2() 1()()(11210kucuckedkedkedku若要求出控制量的增量 ， 則可得) 1()()(

7、kukuku-位置算式) 1()2() 1()()(1210kuckedkedkedku-速度算式 上述式中的參數(shù) 可用連續(xù)PID的參數(shù)直接代入計算，這些參數(shù)是通過連續(xù)PID參數(shù)整定方法得到的。VDIRTTTK,四、四、Z域根軌跡設計法域根軌跡設計法 1、繪制：如同S域根軌跡繪制一樣繪制Z域根軌跡，因為只是s換為z，其它形式不變。 2、最佳性能區(qū)等n等等等等 d等等等n等等 d3、Z平面性能指標換算 rsppttM，)(已知：求：，n 公式： a1122100lnpMa6 . 0當時有10016 . 0pMstK01. 06 . 402. 0405. 03KnsKt22111rnttg當5 .

8、 0附近，rnt42. 2這些公式與連續(xù)系統(tǒng)(標準二階)的公式相比實質(zhì)一樣，有經(jīng)驗，有變形。4、舉例)()(assasG9 . 0197. 0048. 0)(1)(1zzzssGZzzG求用根軌跡法設計數(shù)字控制器D(z)解：(1)KzD)(，特征方程0)(1zGK畫根軌跡A?？梢娢绰湓谧罴研阅軈^(qū)當a=0.1，T=1，采用零階保持器，有等等 等n等等 dBA（1）等等等n等等 d（2）0)(368. 09 . 01368. 0)9 . 0()(zGzzKzzKzD(2)有根軌跡B，已有改善。115. 0)9 . 0)(1(97. 0048. 01lim1KzzzKTzzKzv得68. 6K相應

9、處2 . 0，仍偏小。(3) 設8 . 08 . 0)(zzKzD得根軌跡如圖。處 =1， K=9.5 具有較好的性能 (2) 用伯德圖法設計D(w) 未校正Bode圖 定D(w) 校正的Bode圖 五、五、w域頻率特性設計法域頻率特性設計法通過w變換，Z域映射到w域，于是可視同為S域，連續(xù)系統(tǒng)的頻域法可應用。設計步驟：(1) w變換)(2121GTTzG(3)(112zDzzTD舉例：11 . 01)(sssG采樣周期T=1秒，求Kv=1，PM=50的D(z)。解：)905. 0)(1(97. 0048. 0)(1)(1zzzssGLzzG10999. 01211202121)(TTzGG1

10、001010.1 0.2 0.5 12510 20 5010010000.1 0.2 0.5 12510 20 50100100021補償?shù)南辔辉Ａ緽ode圖設計未經(jīng)校正的系統(tǒng)GM=10設610999. 01)(D校正的系統(tǒng)滿足要求，可看出Kv=1回憶： 1型系統(tǒng) 低頻段 斜率-20dB/dec,與橫軸交點為Kv5 . 0905. 08 .15112)(zzzzTDzDD(z)G(z)R(z)Y(z)E(z)U(z)-六、數(shù)字控制器的直接設計法六、數(shù)字控制器的直接設計法 系統(tǒng)框圖閉環(huán)系統(tǒng))()(1)()()(zGzDzGzDzF)(1)()(1)(zFzFzGzD直接設計公式F(z)按性能要求

11、確定1、直接設計準則、直接設計準則(四類九項四類九項) 最佳性能 4條 準則四、五、六、七 必要性約束 2條 準則一、二 選擇性約束 1條 準則三 控制器修正 2條 準則八、九準則一準則一閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性約束準則閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性約束準則1-F(z)的零點必須包含G(z)單位圓上和單位圓外的極點，且F(z)的零點必須包含G(z)在單位圓上和單位圓外的零點。解釋：若要閉環(huán)穩(wěn)定，閉環(huán)特征根在單位圓內(nèi)，若G(z)有在單位圓上和圓外的零極點，則要消去。準則二準則二控制器可實現(xiàn)性約束準則控制器可實現(xiàn)性約束準則F(z)在處的零點數(shù)必須不小于G(z)在處的零點數(shù),或F(z-1)在原點的零點數(shù)必須不小于G(

12、z-1)在原點的零點數(shù)。 注：保證D(z)為有理函數(shù)才具有可物理實現(xiàn)性。準則三準則三控制平穩(wěn)性約束準則控制平穩(wěn)性約束準則(無波紋準則無波紋準則)F(z)必須為有限多項式，并且F(z)的零點必須包含G(z)的全部零點。注: 控制平穩(wěn)指控制器的輸出在擾動后迅速達到穩(wěn)態(tài)而不是長時間振蕩。 有限多項式相對于無窮級數(shù)而言，一個信號與有限多項式相乘，則動態(tài)過程很快結束。比較)1 ()()() 1)()()(54321121zzzzzXzGzXzzzXzGzX準則四準則四穩(wěn)態(tài)誤差設計準則穩(wěn)態(tài)誤差設計準則 若設控制系統(tǒng)為0型系統(tǒng)，則須使 若設控制系統(tǒng)為1型系統(tǒng)，則須使 ppccF1) 1 (1) 1 (Fvc

13、F1) 1 (若設控制系統(tǒng)為2型系統(tǒng)，則須使 式中F 為F的一階導數(shù)， F“為F的二階導數(shù)。acFFF2) 1 (0) 1 (1) 1 (azavzvpzpKTzGzDzcTKzGzDzcKzGzDc22111)()() 1(lim)()() 1(lim)()(lim注:由穩(wěn)態(tài)誤差公式反推而來。1)(zzzR例20100111)()(11) 1(lim)(1NNNCzzZGzDzepz2010011) 1 (11)(1) 1(lim)()()(11)()(1)()(1)(1)()(1)()()(1NNNcFzzzFzezGzDzGzDzGzDzFzGzDzGzDzFpzpcF11) 1 (1p

14、ppcccF1111) 1 (余此類推可得余證 準則五準則五最小拍設計準則最小拍設計準則 mzzAzR11)()(若使控制系統(tǒng)在最小拍達到零穩(wěn)態(tài)誤差對于典型輸入信號須使mzzF11)(1或mzzF111)(證：mzzzzzAzFzzRzFzzEze11111)()(1) 1(lim)()(1) 1(lim)() 1(lim)(不含令0)(e，則*1)(11)(1zFzzFm*)(1zF)1 (1 z的因式這時*)(1)()(zFzAzE，其階數(shù)為從擾動至穩(wěn)定的拍數(shù)。如21321)(zzzE，則 2拍結束。若要最少拍，可設1)(1*zFmzzF11)(1準則六無超調(diào)系統(tǒng)設計準則準則六無超調(diào)系統(tǒng)設

15、計準則為使閉環(huán)控制系統(tǒng)無超調(diào)，使注：這是由111)(azbzzFabeatT1式中加零階保持器導出來的。ssF11)()1 (11)(1ssZzzF慣性環(huán)節(jié)無超調(diào)準則七衰減振蕩系統(tǒng)設計準則準則七衰減振蕩系統(tǒng)設計準則為得衰減振蕩特性, 設10e)(1)aa(1bea10)1Tcos(w2eannnw2211T2nT12式中注：這是由連續(xù)二階系統(tǒng) 2nn22nwsw2swF(S)22112111)(zazazbZf用根匹配法導出的。準則八控制器平穩(wěn)性修正準則準則八控制器平穩(wěn)性修正準則為了保證控制的平穩(wěn)性，必須除去D(z)中等于-1或接近-1的極點，做法是令 ， 。若這樣消除一個極點后，將使有限零點

16、數(shù)大于極點數(shù)，則可令接近于1的一個零點因式 。注：接近于1的極點會造成持續(xù)振蕩。準則九準則九控制器穩(wěn)定性修正準則控制器穩(wěn)定性修正準則為了保證控制的穩(wěn)定性，必須除去D(z)中的不穩(wěn)定極點。可令單位圓上或外的極點因式 。若消去一個極點后，將使有限零點數(shù)大于極點數(shù)，可令接近于1的一個零點因式 。aaz1)1 (1)0 . 19 . 0:(abbz111aaz1)1 (11abbz1112、數(shù)字控制系統(tǒng)的直接設計步驟、數(shù)字控制系統(tǒng)的直接設計步驟 1）按一個最佳性能準則設計F1(z)； 2）按必要性約束準則和選擇性約束準則修正F1(z) 為F2(z) ； 3）按直接設計公式D1(z)； 4）按需要修正D

17、1(z)為 D2(z)。 3、最佳性能準則的應用、最佳性能準則的應用 已給出四個最佳性能準則。任選最少拍，無超調(diào)和衰減振蕩準則之一就可確定F(z)。若選穩(wěn)態(tài)誤差準則,只能確定F(z)的一部分，還要根據(jù)動態(tài)性能要求確定其余部分，如根據(jù)主導極點。4、必要性約束準則和選擇性約束準則的應用、必要性約束準則和選擇性約束準則的應用 應用方法：每次必須使用必要性約束準則，每次必須使用必要性約束準則， 按需選用選擇性約束準則按需選用選擇性約束準則1） 公式推導 設：)1 ()1)(1 ()1 ()1)(1 ()(1121111211zazazazbzbzbKzzGnml為用因子積形式整理成圓內(nèi)外零極點分開形式

18、)()()()()(11101110zAzAzBzBKzzGl1100ABAB零極點在圓內(nèi)的因子積零極點在圓上或外的因子積應用兩類3個約束準則： 設(F2)n 表示的F2分子多項式12111112111111101211)()()(zCzFzAzFzCzFzBzBzzFnnnln注：(1) 項是控制器可實現(xiàn)性約束準則應用的結果，對應于G(z)在原點的零點數(shù)(準則2)。 (2) 應用穩(wěn)定性約束的結果，對應于G(z)在圓內(nèi)和圓外的零極點(準則1)。 (3) 項是控制器平穩(wěn)性準則的應用結果，(準則3)。 無平穩(wěn)要求時 設為1。 (4) 為應用最佳性能準則的設計結果。 (5) 項為上兩式同時成立的平衡

19、因式。lz11AB0B0B nnFF11121CC2） 、 和 的確定1n2n3n定義：11222311511014degdegdeg1degdegreeCnCnFnFAnFBBznnnn由 11102CFBBzFnln可知314nnn由211211CFAFnn知325nnn聯(lián)立3211nnn可得1115434251nnnnnnn3） 最小 、 的確定4n5n原則：有重疊，則簡化合并。有重疊，則簡化合并。如對于 11102CFBBzFnln， 當 nF1含有l(wèi)z時，則設lz項=1，當 nF1含有)(00llzl時，則設lz項)0(llz。C1 C2的存在，使的存在，使F1， (1-F1)不必同

20、時原樣設入。不必同時原樣設入。應用最少拍準則時，用nF11，則 nF1項=1，其它三個準則用 nF1時，則nF11項=1。dndnFFFFF)()()()(1222222111101211011)()(nnnnzqzqqzCzpzppzC 4） 、 的系數(shù)計算1C2C設共有 個系數(shù)待定因為有令12312nnn即有3121nnndnddnFFFFFF)()()()()(111211221C有 個系數(shù)11n2C有 個系數(shù)12n212nn11101211212)()()1 ()()()1 (CFBBzFCFAFFFnldnndn 據(jù)此恒等式可確定C1、C2，這可利用等式兩邊相同z-k項系數(shù)相同的原則

21、。例如：333311011012210211)()()1 (nnnldnnnzxzxxCFBBzFzyzyzyCFA 則有 ，有 個方法可確定2103nyxii， 13n13n個系數(shù)。5、控制器修正準則的應用、控制器修正準則的應用)(1)()(1)(221zFzFzGzDnF )(2和nF )1 (2的確定含有21CC、，使得)(1zD可能包含圓外或靠近-1的極點，都要用修正準則。6、設計舉例、設計舉例例7-16)05. 01)(1 . 01 (10)(ssssG采樣周期T=0.2秒，ttr)(，求最少拍無波紋D(z)。解：)01832. 01)(135. 01)(1 ()14. 11)(04

22、5. 01 (76. 0)05. 01)(1 . 01 (10)1 ()(11111121zzzzzzsssZzzG據(jù)最小拍設計準則，ttr)(，211)1 ()(zTzzR2111)1 ()(1zzF知由)(zG1011101114. 11045. 01zAzBzBzzl設計2121121101111012)1 ()1 ()1 ()()(CFCAFFCBBzCFBBzFnnnnn中包含在因nFz)1 ()1 (11為確定C1C2階數(shù)，計算4121121112)1 (deg3deg2134254151014nnnnnnnFnBBznn已不必計算3n)1)(1 ()1 (1)(14. 11)(0

23、45. 01 (22112121211112zbzbzFzaazzzF只用兩個系數(shù)是為了使分母多項式為首1多項式，已設取b0=1由于nnnndFFFFFFFFF)1 (1)(1)1 ()(1)(222211111，423212211142132121221211212423212211120513. 0)185. 10513. 0()185. 1 (1)2()(21)2(110513. 0)185. 10513. 0()185. 1 (zazaazaazazbbzbbbbzbbbbzbbFzazaazaazaF2212121212121211210513. 0185. 10513. 02)(1

24、85. 1)(212abbaabbbbaabbbbabb 因沒有不穩(wěn)定極點和不平穩(wěn)極點，所以D1(z) 就是結果。注：1-z-1對應于z=1的極點 聯(lián)立求解得045. 08032. 07046. 01518. 12121bbaa據(jù)直接設計公式有)045. 01)(8032. 01)(1 ()6117. 01)(183. 01)(135. 01 (1516. 1)(1)()(1)(111111221zzzzzzzFzFzGzD例7-17 設受控過程) 110(1)(sssG求1型系統(tǒng)且閉環(huán)極點5 . 04 . 02, 1jz的控制器。解：)9048. 01)(1 ()9672. 01 (0483

25、7. 0) 110(1)1 ()(111121zzzzssZzzG)1 (1111zAB 為使閉環(huán)極點落在0.4+j0.5的位置，須有閉環(huán)特征方程041. 08 . 0)(2zzzP采樣周期T=1秒，可確定兩個系數(shù)，可設考慮用穩(wěn)態(tài)誤差準則vcFF1) 1 (1) 1 (，41. 08 . 0)(2211zzbbzF據(jù)穩(wěn)態(tài)誤差準則有141. 08 . 01) 1 (211bbF11)41. 08 . 01 ()8 . 02)()41. 08 . 01 ()41. 08 . 0()8 . 02)()41. 08 . 0() 1 (221112221211vzcbbbzzzbzbzzbF1vc設聯(lián)立求解02. 059. 021bb1111112211111)()()41. 08 . 01 ()02. 059. 0()(CFCFBzFzzzzzFnn11201111deg2)02. 059. 0(deg)1 ()1 (1115114212112nnznzznCACFAFnn211122111241. 08 . 01)(1 ()1 (41. 08 . 01)02. 059. 0()(zzbzzzFzzzazFnn有)02. 059. 0(41. 08 . 01)(1 (112111