結(jié)構(gòu)力學(xué)——第14章結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)

1、第十四章 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)14-1 概 述14-2 結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度14-3 單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)14-8 振型分解法14-9 無限自由度結(jié)構(gòu)的振動(dòng)14-5 單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)14-7 多自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)14-10 計(jì)算頻率的近似法14-1 概 述 動(dòng)力荷載作用下，結(jié)構(gòu)將發(fā)生振動(dòng)，各種量值均隨時(shí)動(dòng)力荷載作用下，結(jié)構(gòu)將發(fā)生振動(dòng)，各種量值均隨時(shí)間而變化，要考慮慣性力的影響。間而變化，要考慮慣性力的影響。動(dòng)力荷載的種類動(dòng)力荷載的種類(1) 周期荷載：隨時(shí)間按一定規(guī)律變化的周期性荷載，如

2、按正弦周期荷載：隨時(shí)間按一定規(guī)律變化的周期性荷載，如按正弦 (或余弦或余弦)規(guī)律變化的稱為簡(jiǎn)諧周期荷載，也稱為規(guī)律變化的稱為簡(jiǎn)諧周期荷載，也稱為 振動(dòng)荷載振動(dòng)荷載。(2) 沖擊荷載：很快地把全部量值加于結(jié)構(gòu)而作用時(shí)間很短即行沖擊荷載：很快地把全部量值加于結(jié)構(gòu)而作用時(shí)間很短即行 消失的荷載。消失的荷載。(3) 突加荷載：在一瞬間施加于結(jié)構(gòu)上并繼續(xù)留在結(jié)構(gòu)上的荷載。突加荷載：在一瞬間施加于結(jié)構(gòu)上并繼續(xù)留在結(jié)構(gòu)上的荷載。14-1 概 述(4) 快速移動(dòng)的荷載。高速移動(dòng)的列車、汽車等?？焖僖苿?dòng)的荷載。高速移動(dòng)的列車、汽車等。(5) 隨機(jī)荷載：變化規(guī)律不能用確定的函數(shù)關(guān)系表示的荷載。隨機(jī)荷載：變化規(guī)律不

3、能用確定的函數(shù)關(guān)系表示的荷載。 如風(fēng)的脈動(dòng)作用、地震等。如風(fēng)的脈動(dòng)作用、地震等。結(jié)構(gòu)振動(dòng)的形式結(jié)構(gòu)振動(dòng)的形式(1) 自由振動(dòng)：結(jié)構(gòu)受到外部因素干擾發(fā)生振動(dòng)，而在振動(dòng)自由振動(dòng)：結(jié)構(gòu)受到外部因素干擾發(fā)生振動(dòng)，而在振動(dòng) 過程中不再受外部干擾力作用。過程中不再受外部干擾力作用。(2) 強(qiáng)迫振動(dòng)：在振動(dòng)過程中不斷受外部干擾力作用。強(qiáng)迫振動(dòng)：在振動(dòng)過程中不斷受外部干擾力作用。14-2 結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度結(jié)構(gòu)振動(dòng)的結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度自由度：結(jié)構(gòu)在彈性變形過程中確定全部質(zhì)點(diǎn)位：結(jié)構(gòu)在彈性變形過程中確定全部質(zhì)點(diǎn)位 置所需的獨(dú)立參數(shù)的數(shù)目。置所需的獨(dú)立參數(shù)的數(shù)目。 圖圖a所示簡(jiǎn)支梁跨中固定一個(gè)所示簡(jiǎn)支梁跨中固定一個(gè)重

4、量較大的物體，如果梁本身的重量較大的物體，如果梁本身的自重較小可略去，把重物簡(jiǎn)化為自重較小可略去，把重物簡(jiǎn)化為一個(gè)集中質(zhì)點(diǎn)，得到圖一個(gè)集中質(zhì)點(diǎn)，得到圖b所示的計(jì)所示的計(jì)算簡(jiǎn)圖。算簡(jiǎn)圖。梁在振動(dòng)中的自由度梁在振動(dòng)中的自由度=1單自由度結(jié)構(gòu)單自由度結(jié)構(gòu)具有一個(gè)自由度的結(jié)構(gòu)。具有一個(gè)自由度的結(jié)構(gòu)。多自由度結(jié)構(gòu)多自由度結(jié)構(gòu)自由度大于自由度大于1的結(jié)構(gòu)。的結(jié)構(gòu)。14-2 結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度圖圖a所示結(jié)構(gòu)有三個(gè)集中質(zhì)點(diǎn)。所示結(jié)構(gòu)有三個(gè)集中質(zhì)點(diǎn)。自由度自由度=1圖圖b所示簡(jiǎn)支梁上有三個(gè)集中質(zhì)量。所示簡(jiǎn)支梁上有三個(gè)集中質(zhì)量。自由度自由度=3圖圖c所示剛架有一個(gè)集中質(zhì)點(diǎn)。所示剛架有一個(gè)集中質(zhì)點(diǎn)。自由度自由度=2自

5、由度的數(shù)目不完全取決于質(zhì)點(diǎn)的數(shù)目自由度的數(shù)目不完全取決于質(zhì)點(diǎn)的數(shù)目14-2 結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度 圖圖d所示剛架上有四個(gè)集中質(zhì)點(diǎn)，所示剛架上有四個(gè)集中質(zhì)點(diǎn)，但只需要加三根鏈桿便可限制全部質(zhì)但只需要加三根鏈桿便可限制全部質(zhì)點(diǎn)的位置。如圖點(diǎn)的位置。如圖e。自由度自由度=3 圖圖f所示梁，其分布質(zhì)量集度為所示梁，其分布質(zhì)量集度為m，可看作有無窮多個(gè)可看作有無窮多個(gè)mdx的集中質(zhì)量，是的集中質(zhì)量，是無限自由度結(jié)構(gòu)。無限自由度結(jié)構(gòu)。自由度的數(shù)目與結(jié)構(gòu)是否靜定或超靜定無關(guān)自由度的數(shù)目與結(jié)構(gòu)是否靜定或超靜定無關(guān) 圖圖a所示機(jī)器的塊式基礎(chǔ)，當(dāng)機(jī)所示機(jī)器的塊式基礎(chǔ)，當(dāng)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，若只考慮基礎(chǔ)的垂直振器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，若只考

6、慮基礎(chǔ)的垂直振動(dòng)，可用彈簧表示地基的彈性，用動(dòng)，可用彈簧表示地基的彈性，用一個(gè)集中質(zhì)量代表基礎(chǔ)的質(zhì)量。使一個(gè)集中質(zhì)量代表基礎(chǔ)的質(zhì)量。使結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為圖示的單自由度結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為圖示的單自由度結(jié)構(gòu)。14-2 結(jié)構(gòu)振動(dòng)的自由度 圖圖b所示的水塔，頂部水池較重，所示的水塔，頂部水池較重，塔身重量較輕，略去次要因素后，塔身重量較輕，略去次要因素后，可簡(jiǎn)化為圖示的直立懸臂梁在頂端可簡(jiǎn)化為圖示的直立懸臂梁在頂端支承集中質(zhì)量的單自由度結(jié)構(gòu)。支承集中質(zhì)量的單自由度結(jié)構(gòu)。實(shí)際結(jié)構(gòu)針對(duì)具體問題可以進(jìn)行簡(jiǎn)化實(shí)際結(jié)構(gòu)針對(duì)具體問題可以進(jìn)行簡(jiǎn)化14-3 單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng) 如圖所示在跨中支承集中質(zhì)量的簡(jiǎn)支梁，把質(zhì)點(diǎn)如圖

7、所示在跨中支承集中質(zhì)量的簡(jiǎn)支梁，把質(zhì)點(diǎn)m拉離原拉離原有的彈性平衡位置，然后突然放松，則質(zhì)點(diǎn)將在原有平衡位置有的彈性平衡位置，然后突然放松，則質(zhì)點(diǎn)將在原有平衡位置附近往復(fù)振動(dòng)。在振動(dòng)過程中不受外來干擾，這時(shí)的振動(dòng)即是附近往復(fù)振動(dòng)。在振動(dòng)過程中不受外來干擾，這時(shí)的振動(dòng)即是自由振動(dòng)自由振動(dòng)。14-3 單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng) 圖圖a所示為一個(gè)簡(jiǎn)單的質(zhì)點(diǎn)彈簧模型。取重物的靜力平所示為一個(gè)簡(jiǎn)單的質(zhì)點(diǎn)彈簧模型。取重物的靜力平衡位置為計(jì)算位移衡位置為計(jì)算位移y的原點(diǎn)，規(guī)定位移的原點(diǎn)，規(guī)定位移y和質(zhì)點(diǎn)所受的力都已和質(zhì)點(diǎn)所受的力都已向下為正向下為正。(1) 列動(dòng)力平衡方程。取振動(dòng)任一時(shí)刻的質(zhì)點(diǎn)為隔離體如圖列動(dòng)力平

8、衡方程。取振動(dòng)任一時(shí)刻的質(zhì)點(diǎn)為隔離體如圖b。彈簧拉力彈簧拉力(恢復(fù)力恢復(fù)力) Fe=k11y慣性力慣性力 ymF I質(zhì)點(diǎn)處于動(dòng)力平衡狀態(tài)質(zhì)點(diǎn)處于動(dòng)力平衡狀態(tài)0eI FF命命mk112可得可得011ykym 單自由度結(jié)構(gòu)單自由度結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)微分方程自由振動(dòng)微分方程則有則有02yy (a)1、不考慮阻尼時(shí)的自由振動(dòng)、不考慮阻尼時(shí)的自由振動(dòng)14-3 單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)(2) 列位移方程。如圖列位移方程。如圖c。 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)m振動(dòng)時(shí)，把慣性力振動(dòng)時(shí)，把慣性力FI看作是靜力荷看作是靜力荷載作用在體系上，則質(zhì)點(diǎn)處的位移為載作用在體系上，則質(zhì)點(diǎn)處的位移為1111IymFy 對(duì)單自由度結(jié)構(gòu)有對(duì)單自由度結(jié)構(gòu)有

9、11111k式式(a)為一常系數(shù)線性齊次微分方程，其通解為為一常系數(shù)線性齊次微分方程，其通解為可得與可得與(1)相同的結(jié)果相同的結(jié)果011ykym tAtAtysincos)(21振動(dòng)的初始條件為振動(dòng)的初始條件為000yyyyt ，則有則有0201yAyA，可得可得tytyysincos00(b)14-3 單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)式中式中y0初位移，初位移， 初速度。初速度。0y 結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)由兩部分組成：結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)由兩部分組成：一部分是初位移一部分是初位移y0引起的，為余弦規(guī)律；引起的，為余弦規(guī)律；一部分是初速度一部分是初速度 引起的，為正弦規(guī)律。如圖引起的，為正弦規(guī)律。如圖a、b。0y

10、 14-3 單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)令令cos0ay,sin0ay 則有則有/tan00yy,2220yya式式(b)可寫為可寫為)sin(tay(c)簡(jiǎn)諧振動(dòng)如圖簡(jiǎn)諧振動(dòng)如圖ca為振幅，表示質(zhì)點(diǎn)的最大位移；為振幅，表示質(zhì)點(diǎn)的最大位移； 為初相角。為初相角。周期周期2TTf1工程頻率工程頻率T2角頻率或頻率角頻率或頻率14-3 單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)可得可得st1111111gmggmmk(d)g重力加速度；重力加速度；st重量重量mg所產(chǎn)生靜力位移。所產(chǎn)生靜力位移。式式(d)表明：表明：隨隨st的增大而減小，即把質(zhì)點(diǎn)放在結(jié)構(gòu)最大位的增大而減小，即把質(zhì)點(diǎn)放在結(jié)構(gòu)最大位 移處，則可得到最低的自振頻

11、率和最大的振動(dòng)周期。移處，則可得到最低的自振頻率和最大的振動(dòng)周期。例例14-1 當(dāng)不考慮梁的自重時(shí)，比較圖中所示三種支承情況的梁當(dāng)不考慮梁的自重時(shí)，比較圖中所示三種支承情況的梁 的自振周期。的自振周期。14-3 單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)解：由式解：由式(d)可知，應(yīng)先求結(jié)構(gòu)在重量作用下的靜力位移，有可知，應(yīng)先求結(jié)構(gòu)在重量作用下的靜力位移，有EIFlEIFlEIFl192，7687，48333231代入式代入式(d)可得可得333231192，7768，48mlEImlEImlEI據(jù)此有據(jù)此有2:51. 1:1:321說明：隨著結(jié)構(gòu)剛度的增大，說明：隨著結(jié)構(gòu)剛度的增大， 其自振頻率也相應(yīng)地增高。其

12、自振頻率也相應(yīng)地增高。14-3 單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)2、考慮阻尼作用時(shí)的自由振動(dòng)、考慮阻尼作用時(shí)的自由振動(dòng)阻尼力的產(chǎn)生：外部介質(zhì)的阻力，支承的摩擦等；阻尼力的產(chǎn)生：外部介質(zhì)的阻力，支承的摩擦等； 物體內(nèi)部的作用，材料分子之間的摩擦等。物體內(nèi)部的作用，材料分子之間的摩擦等。 粘滯阻尼力：阻尼力與其振動(dòng)的速度成正比，與速度的方向粘滯阻尼力：阻尼力與其振動(dòng)的速度成正比，與速度的方向 相反。相反。yFR稱為阻尼系數(shù)稱為阻尼系數(shù)考慮阻尼力時(shí)，質(zhì)點(diǎn)考慮阻尼力時(shí)，質(zhì)點(diǎn)m的受力圖如圖所示的受力圖如圖所示由動(dòng)力平衡得由動(dòng)力平衡得0eRIFFF即即011ykyym 令令mk112mk214-3 單自由度結(jié)構(gòu)的自

13、由振動(dòng)線性常系數(shù)齊次微分方程線性常系數(shù)齊次微分方程則有則有022yyky (f)設(shè)其解為設(shè)其解為rtCey代入式代入式(f)得特征方程得特征方程0222krr兩個(gè)根為兩個(gè)根為222, 1kkr討論討論(1) k大阻尼情況：大阻尼情況：r1、r2是兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)，式是兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)，式(f)的通解為的通解為)sinhcosh(222221tkCtkCeykt 是非周期函數(shù)，不會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)，結(jié)構(gòu)偏離平衡位置后將緩是非周期函數(shù)，不會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)，結(jié)構(gòu)偏離平衡位置后將緩慢回復(fù)到原有位置。慢回復(fù)到原有位置。(3) k=臨界阻尼情況：臨界阻尼情況：r1=r2=-k，式，式(f)的通解為的通解為)(21tCCeykt非周

14、期函數(shù)，不發(fā)生振動(dòng)。非周期函數(shù)，不發(fā)生振動(dòng)。此時(shí)阻尼比此時(shí)阻尼比=1，k=m，可得臨界阻尼系數(shù)，可得臨界阻尼系數(shù)m2cr故有故有cr阻尼比為阻尼系數(shù)與臨界阻尼系數(shù)之比。阻尼比為阻尼系數(shù)與臨界阻尼系數(shù)之比。14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)結(jié)構(gòu)在外來干擾力作用下產(chǎn)生的振動(dòng)。結(jié)構(gòu)在外來干擾力作用下產(chǎn)生的振動(dòng)。如圖所示，干擾力如圖所示，干擾力F(t)直接作用在質(zhì)點(diǎn)直接作用在質(zhì)點(diǎn)m上，可得上，可得0)(eRItFFFF即即)(11tFykyym 或或)(122tFmyyy (h)微分方程微分方程(h)的解有兩部分：一是相應(yīng)齊次方程的通解的解有兩部分：一是相應(yīng)齊次方程的通解

15、 y0，)sincos(210tBtBeyt二是與干擾力二是與干擾力F(t)相應(yīng)的特解相應(yīng)的特解y當(dāng)干擾力為簡(jiǎn)諧荷載時(shí)：當(dāng)干擾力為簡(jiǎn)諧荷載時(shí)：tFtFsin)(為干擾力的頻率為干擾力的頻率F 為干擾力的最大值為干擾力的最大值14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)振動(dòng)方程振動(dòng)方程(h)成為成為tmFyyysin22 (i)設(shè)式設(shè)式(i)的一個(gè)特解為的一個(gè)特解為tCtCycossin21代入式代入式(i)解出解出4)(24)()(2222222222222221mFCmFC將將y0與特解合并，由初始條件與特解合并，由初始條件00,0yyyyt 可得可得(j)cos2sin)(4)(sin

16、)(2cos24)(sincos222222222222222222000ttmFttmFetyytyeytt14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng) 由式由式(j)可知，振動(dòng)由三部分組成：可知，振動(dòng)由三部分組成：(1) 由初始條件決定的自由振動(dòng)；由初始條件決定的自由振動(dòng)；(2) 伴隨干擾力的作用發(fā)生的振動(dòng)頻率為伴隨干擾力的作用發(fā)生的振動(dòng)頻率為，稱為伴生自由振動(dòng)；，稱為伴生自由振動(dòng)；(3) 按干擾力頻率按干擾力頻率振動(dòng)，稱為振動(dòng)，稱為純強(qiáng)迫振動(dòng)純強(qiáng)迫振動(dòng)或或穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)如圖。如圖。 前兩部分振動(dòng)很快衰減掉，前兩部分振動(dòng)很快衰減掉，最后只剩下純強(qiáng)迫振動(dòng)。最后只剩下純強(qiáng)迫振動(dòng)。

17、過渡階段過渡階段振動(dòng)開始的一段時(shí)間內(nèi)幾種振動(dòng)同時(shí)存在的階段；振動(dòng)開始的一段時(shí)間內(nèi)幾種振動(dòng)同時(shí)存在的階段；平穩(wěn)階段平穩(wěn)階段純強(qiáng)迫振動(dòng)階段。純強(qiáng)迫振動(dòng)階段。14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)1、不考慮阻尼的純強(qiáng)迫振動(dòng)、不考慮阻尼的純強(qiáng)迫振動(dòng)此時(shí)此時(shí)=0，由式，由式(j)的第三項(xiàng)可知純強(qiáng)迫振動(dòng)方程為的第三項(xiàng)可知純強(qiáng)迫振動(dòng)方程為tmFysin)(22最大動(dòng)力位移即最大動(dòng)力位移即振幅振幅為為2222211)(mFmFA111121mmk因因st112211yFAyst=F11：F作為靜力荷載引起的靜力位移作為靜力荷載引起的靜力位移st2211yA位移動(dòng)力系數(shù)位移動(dòng)力系數(shù)，最大動(dòng)力位移與，最

18、大動(dòng)力位移與 靜力位移之比值。靜力位移之比值。14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)當(dāng)當(dāng)時(shí)：時(shí)：為負(fù)，動(dòng)力位移與動(dòng)力荷載反向。為負(fù)，動(dòng)力位移與動(dòng)力荷載反向。 對(duì)單自由度結(jié)構(gòu)，當(dāng)干擾力與慣性力的作用點(diǎn)重合時(shí)，對(duì)單自由度結(jié)構(gòu)，當(dāng)干擾力與慣性力的作用點(diǎn)重合時(shí)，位移動(dòng)力系數(shù)位移動(dòng)力系數(shù)與與內(nèi)力動(dòng)力系數(shù)內(nèi)力動(dòng)力系數(shù)是相同的，統(tǒng)稱為是相同的，統(tǒng)稱為動(dòng)力系數(shù)動(dòng)力系數(shù)。2211 隨隨/ 而變化，當(dāng)干擾力頻率而變化，當(dāng)干擾力頻率接近于結(jié)構(gòu)的自振頻率接近于結(jié)構(gòu)的自振頻率時(shí)，動(dòng)力系數(shù)迅速增大；時(shí)，動(dòng)力系數(shù)迅速增大； =時(shí)，理論上時(shí)，理論上無窮大，此時(shí)內(nèi)無窮大，此時(shí)內(nèi)力和位移都將無限大力和位移都將無限大共振

19、共振。工程設(shè)計(jì)中應(yīng)盡量避免發(fā)生共振工程設(shè)計(jì)中應(yīng)盡量避免發(fā)生共振14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)2、考慮阻尼的純強(qiáng)迫振動(dòng)、考慮阻尼的純強(qiáng)迫振動(dòng)將式將式(j)的第三項(xiàng)寫為的第三項(xiàng)寫為)sin(tAy振幅振幅mFA2222224)(1相位差相位差2212tan振幅振幅A可寫為可寫為styA動(dòng)力系數(shù)動(dòng)力系數(shù)2222224)1 (114-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)動(dòng)力系數(shù)動(dòng)力系數(shù)與與/及及的關(guān)系如的關(guān)系如圖所示。圖所示。14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)討論討論(1) 時(shí)，時(shí)，很小，質(zhì)量近似于不動(dòng)或作振幅很微小的顫動(dòng)。很小，質(zhì)量近似于不動(dòng)或作振幅很微小的顫動(dòng)

20、。 結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)的Fe、FR可以忽略，位移與荷載的相位差為可以忽略，位移與荷載的相位差為180。(3) 時(shí)，時(shí)，增加很快，增加很快，受阻尼的影響很大受阻尼的影響很大 。當(dāng)阻尼較小。當(dāng)阻尼較小 時(shí)，時(shí)，值很大，共振現(xiàn)象仍很危險(xiǎn)。值很大，共振現(xiàn)象仍很危險(xiǎn)。工程設(shè)計(jì)中一般常取工程設(shè)計(jì)中一般常取)3 . 125. 1 (14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)例例14-2 如圖發(fā)電機(jī)的重量如圖發(fā)電機(jī)的重量G=35kN，梁的，梁的I=8.810-5m4，E=210GPa，發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)離心力的垂直分力幅值，發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)離心力的垂直分力幅值F=10kN。不考。不考慮阻尼，試求當(dāng)發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)數(shù)為慮阻尼，試求

21、當(dāng)發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)數(shù)為n=500r/min時(shí)，量的最大彎矩和撓時(shí)，量的最大彎矩和撓度（不計(jì)梁的自重）。度（不計(jì)梁的自重）。解：在解：在G作用下，梁中點(diǎn)的最大靜位移為作用下，梁中點(diǎn)的最大靜位移為m1053. 24833stEIGl自振頻率為自振頻率為1sts3 .62g干擾力頻率為干擾力頻率為1s3 .52602n求得動(dòng)力系數(shù)求得動(dòng)力系數(shù)4 . 31122梁中點(diǎn)的最大彎矩梁中點(diǎn)的最大彎矩mkN69FstGmaxMMM梁中點(diǎn)最大撓度梁中點(diǎn)最大撓度mm98. 4Fststmaxyy14-4 單自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng) 圖圖a所示簡(jiǎn)支梁，干擾力不作用在質(zhì)點(diǎn)上。所示簡(jiǎn)支梁，干擾力不作用在質(zhì)點(diǎn)上。建立

22、質(zhì)點(diǎn)建立質(zhì)點(diǎn)m的振動(dòng)方程。的振動(dòng)方程。 F=1作用在點(diǎn)作用在點(diǎn)1時(shí)使點(diǎn)時(shí)使點(diǎn)1產(chǎn)生的位產(chǎn)生的位移為移為11，如圖，如圖b。 F=1作用在點(diǎn)作用在點(diǎn)2時(shí)使點(diǎn)時(shí)使點(diǎn)1產(chǎn)生的位產(chǎn)生的位移為移為12，如圖，如圖c。作用在質(zhì)點(diǎn)作用在質(zhì)點(diǎn)m上的慣性力為上的慣性力為ymF I 在慣性力在慣性力FI和干擾力和干擾力F(t)共同作共同作用下，任一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)用下，任一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)m處的位移為處的位移為)()()(121112I11tFymtFFy 即即)(111211tFykym 14-5 單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)瞬時(shí)沖量：荷載瞬時(shí)沖量：荷載F(t)在極短的時(shí)間在極短的時(shí)間t0內(nèi)給與振動(dòng)物體的沖量?jī)?nèi)給與振

23、動(dòng)物體的沖量瞬時(shí)沖量作用下的振動(dòng)問題瞬時(shí)沖量作用下的振動(dòng)問題 圖圖a所示荷載大小為所示荷載大小為F，作用時(shí)間為，作用時(shí)間為t ，其沖量其沖量I=Ft ，即圖中陰影部分的面積。，即圖中陰影部分的面積。瞬時(shí)沖量作用下質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量增值為瞬時(shí)沖量作用下質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量增值為0ym由由0ymI可得可得mIy 0 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)獲得初速度后沖量即時(shí)消失，質(zhì)點(diǎn)在這種沖擊下當(dāng)質(zhì)點(diǎn)獲得初速度后沖量即時(shí)消失，質(zhì)點(diǎn)在這種沖擊下將產(chǎn)生自由振動(dòng)。將初始條件代入式將產(chǎn)生自由振動(dòng)。將初始條件代入式(g)可得瞬時(shí)沖量可得瞬時(shí)沖量I作用下作用下質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)m的位移方程為的位移方程為temItyeyttsin)sin(014-5 單自由度結(jié)構(gòu)在任意

24、荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng) 若瞬時(shí)沖量不是在若瞬時(shí)沖量不是在t=0而是在而是在t=時(shí)加于質(zhì)點(diǎn)時(shí)加于質(zhì)點(diǎn)上，其位移方程為上，其位移方程為)()(sin)(ttemIyt 圖圖b所示一般形式的干擾力所示一般形式的干擾力F(t)可認(rèn)為是一系列微小沖量可認(rèn)為是一系列微小沖量F()d連續(xù)連續(xù)作用的結(jié)果，應(yīng)此有作用的結(jié)果，應(yīng)此有teFmyttd)(sin)(1)(0(k)不考慮阻尼不考慮阻尼=0，=則有則有tFmytd)(sin)(10(m)式式(k)及式及式(m)稱為稱為杜哈梅積分杜哈梅積分14-5 單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng) 若在若在t=0質(zhì)點(diǎn)原來還具有初始位移和初始速質(zhì)點(diǎn)原來還具有初始位移和初

25、始速度，則質(zhì)點(diǎn)位移為度，則質(zhì)點(diǎn)位移為teFmtyytyeytttd)(sin)(1)sincos()(0000若不考慮阻尼則有若不考慮阻尼則有tFmtytyytd)(sin)(1sincos000(n)14-5 單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)（1）突加荷載。變化規(guī)律如圖）突加荷載。變化規(guī)律如圖a所示。所示。設(shè)：加載前結(jié)構(gòu)處于靜止?fàn)顟B(tài)，將設(shè)：加載前結(jié)構(gòu)處于靜止?fàn)顟B(tài)，將 F()=F代入式代入式(k)求得求得tteyytsincos1st其振動(dòng)曲線如圖其振動(dòng)曲線如圖b。)1 (stdeyy時(shí)最大動(dòng)位移時(shí)最大動(dòng)位移yd為為t動(dòng)力系數(shù)為動(dòng)力系數(shù)為1 e不考慮阻尼不考慮阻尼t(yī)yycos1ststd

26、2yy 14-5 單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)（2）短期荷載。變化規(guī)律如圖所示。）短期荷載。變化規(guī)律如圖所示。當(dāng)當(dāng)t=0時(shí)，時(shí)，有突加荷載加入并一直作用在結(jié)構(gòu)上；有突加荷載加入并一直作用在結(jié)構(gòu)上；當(dāng)當(dāng)t=t0時(shí)，時(shí)，有一個(gè)大小相等方向相反的突加荷載加入。有一個(gè)大小相等方向相反的突加荷載加入。利用（利用（1）得到的突加荷載作用下的計(jì)算公式按疊加法求解：）得到的突加荷載作用下的計(jì)算公式按疊加法求解：tyyttcos1,0st0)2(sin2sin2cos)(cos)(cos1 cos1,00st0st0stst0tttytttyttytyytt自由振動(dòng)自由振動(dòng)當(dāng)當(dāng)t0T/2時(shí)，最大位移發(fā)

27、生在前一階段。時(shí)，最大位移發(fā)生在前一階段。2短期荷載的最大動(dòng)力效應(yīng)與突加荷載相同。短期荷載的最大動(dòng)力效應(yīng)與突加荷載相同。14-5 單自由度結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)1、振動(dòng)微分方程的建立、振動(dòng)微分方程的建立剛度法剛度法 圖圖a所示無重量簡(jiǎn)支梁，所示無重量簡(jiǎn)支梁，略去梁的軸向變形和質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)略去梁的軸向變形和質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)，為動(dòng)，為n個(gè)自由度的結(jié)構(gòu)。個(gè)自由度的結(jié)構(gòu)。加入附加鏈桿阻止所有質(zhì)點(diǎn)的位移，如圖加入附加鏈桿阻止所有質(zhì)點(diǎn)的位移，如圖b。各質(zhì)點(diǎn)的慣性力為各質(zhì)點(diǎn)的慣性力為)21(niymii， 各鏈桿的反力為各鏈桿的反力為)21(niymii， 14-6 多自由度結(jié)

28、構(gòu)的自由振動(dòng)令各鏈桿發(fā)生與各質(zhì)點(diǎn)實(shí)際位置相同的位移，如圖令各鏈桿發(fā)生與各質(zhì)點(diǎn)實(shí)際位置相同的位移，如圖c。各鏈桿上所需施加的力為各鏈桿上所需施加的力為)21(RniFi，不計(jì)阻尼，各鏈桿上的總反力應(yīng)等于零。不計(jì)阻尼，各鏈桿上的總反力應(yīng)等于零。0RiiiFym 以質(zhì)點(diǎn)以質(zhì)點(diǎn)mi為例有為例有niniiiiiiykykykykF2211Rkii、kij為剛度系數(shù)其物理意義見圖為剛度系數(shù)其物理意義見圖d、e?？傻每傻胕質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力平衡方程為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力平衡方程為02211niniiiiiiiykykykykym 14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)對(duì)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都列出一個(gè)動(dòng)力平衡方程，于是可得對(duì)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都列出一個(gè)動(dòng)

29、力平衡方程，于是可得0002211222212122121211111nnnnnnnnnnnykykykymykykykymykykykym 寫成矩陣形式為寫成矩陣形式為00000212122221112112121 nnnnnnnnnyyykkkkkkkkkyyymmm多自由度結(jié)構(gòu)無阻尼自由振動(dòng)微分方程多自由度結(jié)構(gòu)無阻尼自由振動(dòng)微分方程14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)簡(jiǎn)寫為簡(jiǎn)寫為0YKYM 式中：式中：M為質(zhì)量矩陣，在集中質(zhì)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)中是對(duì)角矩陣；為質(zhì)量矩陣，在集中質(zhì)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)中是對(duì)角矩陣； K 為剛度矩陣，是對(duì)稱矩陣；為剛度矩陣，是對(duì)稱矩陣； 為加速度列向量；為加速度列向量；Y為位移列向量。為

30、位移列向量。Y 柔度法柔度法將各質(zhì)點(diǎn)的慣性力看作是靜荷載如圖將各質(zhì)點(diǎn)的慣性力看作是靜荷載如圖a。結(jié)構(gòu)上任一質(zhì)點(diǎn)結(jié)構(gòu)上任一質(zhì)點(diǎn)mi處的位移應(yīng)為處的位移應(yīng)為)()()()()(222111nninjjijiiiiiiiymymymymymy 14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)ii、ij為柔度系數(shù)其物理意義見圖為柔度系數(shù)其物理意義見圖b、c。由此，可以建立由此，可以建立n個(gè)位移方程個(gè)位移方程00022211122222112121221211111nnnnnnnnnnnnnymymymyymymymyymymymy 多自由度結(jié)構(gòu)無阻尼自由振動(dòng)微分方程多自由度結(jié)構(gòu)無阻尼自由振動(dòng)微分方程14-6 多自由度

31、結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)寫成矩陣形式為寫成矩陣形式為00000212121222211121121 nnnnnnnnnyyymmmyyy簡(jiǎn)寫為簡(jiǎn)寫為0YMY 為結(jié)構(gòu)的柔度矩陣，是對(duì)稱矩陣。為結(jié)構(gòu)的柔度矩陣，是對(duì)稱矩陣。可推得可推得K1柔度矩陣與剛度矩陣是互為逆陣。柔度矩陣與剛度矩陣是互為逆陣。2、按柔度法求解、按柔度法求解14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)設(shè)位移方程的特解為設(shè)位移方程的特解為), 2 , 1()sin(nitAyii代入位移方程可得代入位移方程可得010101222211122222211211221212111nnnnnnnnnnnnAmAmAmAmAmAmAmAmAm振幅方程振幅方程1

32、4-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)寫成矩陣形式寫成矩陣形式012AIM式中式中T21nAAAA振幅列向量振幅列向量單位矩陣單位矩陣要得到振幅不全為零的解答，振幅方程組的系數(shù)行列式為零。要得到振幅不全為零的解答，振幅方程組的系數(shù)行列式為零。0111222211122222112112122111nnnnnnnnnmAmAmmmAmmmm頻率方程頻率方程或?qū)憺榛驅(qū)憺?4-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)012IM 將行列式展開將行列式展開含含 的的n次代數(shù)方程，從而可得到次代數(shù)方程，從而可得到n個(gè)自個(gè)自振頻率振頻率1，2，n，將頻率從小到大排列，分別稱為第，將頻率從小到大排列，分別稱為第一，第二，一，第二，

33、 ，第，第n頻率。頻率。將任一將任一k代入特解得代入特解得), 2 , 1()sin()()(nitAykkkiki此時(shí)各質(zhì)點(diǎn)按同一頻率此時(shí)各質(zhì)點(diǎn)按同一頻率k作同步簡(jiǎn)諧振動(dòng)，各質(zhì)點(diǎn)位移的比值為作同步簡(jiǎn)諧振動(dòng)，各質(zhì)點(diǎn)位移的比值為)()(2)(1)()(2)(1:knkkknkkAAAyyy任何時(shí)刻結(jié)構(gòu)的振動(dòng)都保持同一形狀。任何時(shí)刻結(jié)構(gòu)的振動(dòng)都保持同一形狀。主振動(dòng)主振動(dòng)多自由度結(jié)構(gòu)按任一自振頻率多自由度結(jié)構(gòu)按任一自振頻率k進(jìn)行的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。進(jìn)行的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。主振型主振型相應(yīng)的特定振動(dòng)形式，簡(jiǎn)稱振型。相應(yīng)的特定振動(dòng)形式，簡(jiǎn)稱振型。14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)), 2 , 1(010101)(2)(2

34、22)(111)(2)(22222)(1121)(1)(2212)(12111nkAmAmAmAmAmAmAmAmAmknknnnknknknnnkkkknnnkkk將將k代回振幅方程得代回振幅方程得可寫為可寫為), 2 , 1(01)(2nkAIMkk 系數(shù)行列式為零，系數(shù)行列式為零，n個(gè)方程中只有個(gè)方程中只有(n-1)個(gè)是獨(dú)立的，不個(gè)是獨(dú)立的，不能確定各質(zhì)點(diǎn)的幅值，但可確定其比值即振型。能確定各質(zhì)點(diǎn)的幅值，但可確定其比值即振型。14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)T)()(2)(1)(knkkkAAAA振型向量振型向量設(shè)設(shè) ，即可求出其余各元素的值，此時(shí)振型稱為標(biāo)準(zhǔn)化振型。，即可求出其余各元素

35、的值，此時(shí)振型稱為標(biāo)準(zhǔn)化振型。1)(1kA主振動(dòng)的線性組合構(gòu)成振動(dòng)微分方程的一般解：主振動(dòng)的線性組合構(gòu)成振動(dòng)微分方程的一般解：), 2 , 1()sin()sin()sin()sin(1)()(22)2(11)1(nitAtAtAtAynkkkkinnniiiikkiA、)(各主振動(dòng)分量的振幅、初相角各主振動(dòng)分量的振幅、初相角由初始條件確定。由初始條件確定。自振頻率、振型：與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量分布和柔度系數(shù)有關(guān)；自振頻率、振型：與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量分布和柔度系數(shù)有關(guān)； 反映了結(jié)構(gòu)本身固有的動(dòng)力特性。反映了結(jié)構(gòu)本身固有的動(dòng)力特性。14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)兩個(gè)自由度結(jié)構(gòu)的振幅方程為兩個(gè)自由度結(jié)構(gòu)的振幅方程

36、為0101222221121221212111AmAmAmAm頻率方程為頻率方程為011222211212122111mAmmm令令210)()(2121222112221112mmmm解得解得2)(4)()(2)(4)()(2121222112222111222111221212221122221112221111mmmmmmmmmmmm14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)可得兩個(gè)自振頻率可得兩個(gè)自振頻率221111求第一陣型求第一陣型將將=1代入振幅方程可得代入振幅方程可得21211121)1 (1)1 (211mmAA求第二陣型求第二陣型將將=2代入振幅方程可得代入振幅方程可得2121112

37、2)2(1)2(221mmAA14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)例例14-3 試求圖試求圖a所示等截面簡(jiǎn)支梁的自振頻率并確定主振型。所示等截面簡(jiǎn)支梁的自振頻率并確定主振型。解：自由度解：自由度=2，由圖，由圖b、c可得可得EIlEIl486724343211232211求得求得EImlEIml486486153231得到得到3322331105.22486169. 5154861mlEImlEImlEImlEI14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)第一陣型第一陣型12121111)1(1)1(21mmAA第二陣型第二陣型12121112)2(1)2(22mmAA如圖如圖d，振型是正對(duì)稱的。，振型是正對(duì)

38、稱的。如圖如圖e，振型是反對(duì)稱的。，振型是反對(duì)稱的。結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量分布是對(duì)稱的，結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量分布是對(duì)稱的，則其主振型是正對(duì)稱的或反對(duì)稱的。則其主振型是正對(duì)稱的或反對(duì)稱的。取一半結(jié)構(gòu)計(jì)算。取一半結(jié)構(gòu)計(jì)算。14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)例例14-4 圖圖a所示剛架各桿所示剛架各桿EI都為常數(shù)，假設(shè)其質(zhì)量集中于各結(jié)都為常數(shù)，假設(shè)其質(zhì)量集中于各結(jié) 點(diǎn)處，點(diǎn)處，m2=1.5m1。試確定其自振頻率和相應(yīng)的振型。試確定其自振頻率和相應(yīng)的振型。解：結(jié)構(gòu)是對(duì)稱的，其振型為正、反對(duì)稱兩種。由受彎直桿的解：結(jié)構(gòu)是對(duì)稱的，其振型為正、反對(duì)稱兩種。由受彎直桿的 假定，判定不可能發(fā)生正對(duì)稱形式的振動(dòng)，其振型只能是

39、假定，判定不可能發(fā)生正對(duì)稱形式的振動(dòng)，其振型只能是 反對(duì)稱的。可取圖反對(duì)稱的?？扇Db所示一半結(jié)構(gòu)計(jì)算。所示一半結(jié)構(gòu)計(jì)算。超靜定結(jié)構(gòu)超靜定結(jié)構(gòu)14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)作超靜定結(jié)構(gòu)在作超靜定結(jié)構(gòu)在F1=1和和F2=1作用下的彎矩圖，如圖作用下的彎矩圖，如圖a、b。取靜定的基本結(jié)構(gòu)作取靜定的基本結(jié)構(gòu)作 圖，如圖圖，如圖c、d。21MM 、EIhEIhEIh48274823483932112322311計(jì)算得計(jì)算得14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)EIhmEIhm3123110751. 0,4561. 1有有可得可得3122311165. 31,83. 01hmEIhmEI第一陣型第一陣型67

40、3. 01第二陣型第二陣型874. 02反對(duì)稱反對(duì)稱振動(dòng)，振動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)同質(zhì)點(diǎn)同向振動(dòng)向振動(dòng)反對(duì)稱反對(duì)稱振動(dòng)，振動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)反質(zhì)點(diǎn)反向振動(dòng)向振動(dòng)14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)3、按剛度法求解、按剛度法求解利用柔度矩陣與剛度矩陣互為逆陣的關(guān)系，通過變換可得利用柔度矩陣與剛度矩陣互為逆陣的關(guān)系，通過變換可得02AMK振幅方程振幅方程02MK頻率方程頻率方程由頻率方程可解出由頻率方程可解出n個(gè)自振頻率，代回振幅方程得個(gè)自振頻率，代回振幅方程得), 2 , 1(0)(2nkAMKkk確定相應(yīng)的確定相應(yīng)的n個(gè)主振型個(gè)主振型14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)兩個(gè)自由度的結(jié)構(gòu)頻率方程為兩個(gè)自由度的結(jié)構(gòu)頻率方程為02

41、22221121211mkkkmk展開展開0)()()(212221121222112221kkkmkmkmm解得解得212122211222211122211122, 1)(42121mmkkkmkmkmkmk兩個(gè)主振型為兩個(gè)主振型為1211122)2(1)2(221211121)1 (1)1 (21kkmAAkkmAA例例14-5 圖圖a所示三層剛架橫梁的剛度可視為無窮大，設(shè)剛架的所示三層剛架橫梁的剛度可視為無窮大，設(shè)剛架的 質(zhì)量集中在各層的橫梁上。試確定其自振頻率和主振型。質(zhì)量集中在各層的橫梁上。試確定其自振頻率和主振型。14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)解：剛架振動(dòng)時(shí)各橫梁只能水平移動(dòng)，

42、自由度解：剛架振動(dòng)時(shí)各橫梁只能水平移動(dòng)，自由度=3，結(jié)構(gòu)的剛度，結(jié)構(gòu)的剛度 系數(shù)如圖系數(shù)如圖b、c、d。14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)建立剛度矩陣為建立剛度矩陣為110132026243lEIK質(zhì)量矩陣為質(zhì)量矩陣為10005 . 10002mM14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)有有11015 .EIMK2324EIml由頻率方程得由頻率方程得011015 . 1320226展開展開082718323解得解得834. 3,774. 1,392. 0321自振頻率自振頻率324mlEI333231592. 9,525. 6,067. 3mlEImlEImlEI14-6 多

43、自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)確定主振型確定主振型將將k=1即即k=1=0.392代入振幅方程有代入振幅方程有00011015 . 1320226)(3)(2)(1kkkAAA1)1(1A設(shè)設(shè)標(biāo)準(zhǔn)化的第一振型為標(biāo)準(zhǔn)化的第一振型為290. 4608. 21)1(3)1(2)1(1)1(AAAA同理可求得同理可求得584. 1226. 11)2(3)2(2)2(1)2(AAAA294. 0834. 01)3(3)3(2)3(1)3(AAAA14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)第一、二、三振型分別如圖第一、二、三振型分別如圖a、b、c。14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)4、主振型的正交性、主振型的正交性n個(gè)自由度的

44、結(jié)構(gòu)有個(gè)自由度的結(jié)構(gòu)有n個(gè)自振頻率及個(gè)自振頻率及n個(gè)主振型，個(gè)主振型，每一頻率及相應(yīng)的主振型均滿足振幅方程即：每一頻率及相應(yīng)的主振型均滿足振幅方程即：分別設(shè)分別設(shè)k=i，k=j，可得，可得0)()(2kkAMK)(2)(iiiMAKA兩邊左乘以兩邊左乘以T)( jA兩邊左乘以兩邊左乘以T)(iA)(2)(jjjMAKA則有則有)(T)(2)(T)(ijiijMAAKAA(1)(T)(2)(T)(jijjiMAAKAA(2)K、M均為對(duì)稱矩陣，將式均為對(duì)稱矩陣，將式(2)兩邊轉(zhuǎn)置有兩邊轉(zhuǎn)置有)(T)(2)(T)(ijjijMAAKAA(3)14-6 多自由度結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)將式將式(1)減去式減去

45、式(3)得得0)(T)(22ijjiMAA當(dāng)當(dāng)ij時(shí)，時(shí)，i j，應(yīng)有，應(yīng)有0)(T)(ijMAA對(duì)于質(zhì)量矩陣對(duì)于質(zhì)量矩陣M，不同頻率的兩個(gè)主振型是彼此正交的。，不同頻率的兩個(gè)主振型是彼此正交的。將此關(guān)系代入式將此關(guān)系代入式(1)得得0)(T)(ijKAA對(duì)于剛度矩陣對(duì)于剛度矩陣K，不同頻率的兩個(gè)主振型是彼此正交的。，不同頻率的兩個(gè)主振型是彼此正交的。 主振型的正交性是結(jié)構(gòu)本身固有的特性，可以用來簡(jiǎn)主振型的正交性是結(jié)構(gòu)本身固有的特性，可以用來簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)的動(dòng)力計(jì)算，可用以檢驗(yàn)所得主振型是否正確?；Y(jié)構(gòu)的動(dòng)力計(jì)算，可用以檢驗(yàn)所得主振型是否正確。14-7 多自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)平穩(wěn)階段

46、的純強(qiáng)迫振動(dòng)平穩(wěn)階段的純強(qiáng)迫振動(dòng) 圖圖(a)所示無重量簡(jiǎn)支梁，所示無重量簡(jiǎn)支梁，用柔度法建立振動(dòng)微分方程。用柔度法建立振動(dòng)微分方程。任一質(zhì)點(diǎn)任一質(zhì)點(diǎn)mi的位移的位移yi為為PI2I21I1ininiiiyFFFy式中式中ttFyikjjijisinsinP1PkjjijiF1P各動(dòng)力荷載幅值在質(zhì)點(diǎn)各動(dòng)力荷載幅值在質(zhì)點(diǎn)mi處引起的靜力位移處引起的靜力位移iiymF I對(duì)對(duì)n個(gè)質(zhì)點(diǎn)有個(gè)質(zhì)點(diǎn)有tymymymytymymymytymymymynnnnnnnnnnnnnnsinsinsinP222111P22222211212P11221211111 14-7 多自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)寫成

47、矩陣形式寫成矩陣形式tYMYsinP 式中式中TP2P1PPn荷載幅值引起的靜力位移向量荷載幅值引起的靜力位移向量純強(qiáng)迫振動(dòng)的解答為純強(qiáng)迫振動(dòng)的解答為), 2 , 1(sin0nityyii，0iy為質(zhì)點(diǎn)為質(zhì)點(diǎn)mi的振幅。的振幅。tyyiisin20 代入位移方程可得代入位移方程可得0101012P02022201112P202022222011212P10102212012111nnnnnnnnnnnnnymymymymymymymymym振幅方程振幅方程14-7 多自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)或?qū)憺榛驅(qū)憺?11P202YIM式中式中I是單位矩陣，是單位矩陣，Y0是振幅向量。求解此方

48、程即得各質(zhì)點(diǎn)是振幅向量。求解此方程即得各質(zhì)點(diǎn)在純強(qiáng)迫振動(dòng)中的振幅，從而得各質(zhì)點(diǎn)的慣性力為在純強(qiáng)迫振動(dòng)中的振幅，從而得各質(zhì)點(diǎn)的慣性力為tFtymymFiiiiiisinsin0I02I 020IiiiymF慣性力的最大值慣性力的最大值結(jié)論：位移、慣性力、干擾力將同時(shí)達(dá)到最大值。結(jié)論：位移、慣性力、干擾力將同時(shí)達(dá)到最大值。 計(jì)算最大動(dòng)力位移和內(nèi)計(jì)算最大動(dòng)力位移和內(nèi)力時(shí)，可將慣性力、干擾力時(shí)，可將慣性力、干擾力的幅值作為靜力荷載加力的幅值作為靜力荷載加于結(jié)構(gòu)上計(jì)算，如圖于結(jié)構(gòu)上計(jì)算，如圖b。14-7 多自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)將振幅方程改寫為將振幅方程改寫為010101P0I202I20

49、1I1P20I202I222201I21P10I102I1201I2111nnnnnnnnnnnFmFFFFmFFFFm可寫為可寫為01P0I12FM最大慣性力向量最大慣性力向量當(dāng)當(dāng)=k (k=1,2,n)，振幅、慣性力、內(nèi)力值均為無限大，振幅、慣性力、內(nèi)力值均為無限大共振共振14-7 多自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)例例14-6 圖圖a為一等截面剛架，已知為一等截面剛架，已知m1=1kN， m2=0.5kN，F(xiàn)=5kN，每分鐘振動(dòng)，每分鐘振動(dòng)300次，次，l=4m， EI=5103kNm2。試作剛架的最大動(dòng)力彎矩圖。試作剛架的最大動(dòng)力彎矩圖。解：此對(duì)稱剛架承受反對(duì)稱荷載，可取圖解：此對(duì)

50、稱剛架承受反對(duì)稱荷載，可取圖b所示半剛架計(jì)算。所示半剛架計(jì)算。三個(gè)自由度：三個(gè)自由度：m1的水平位移的水平位移m2的水平位移的水平位移m3的豎向位移的豎向位移14-7 多自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)0I1Fm1的最大慣性力的最大慣性力0I30I2FF 、m2沿水平、豎向最大慣性力沿水平、豎向最大慣性力則有則有010101P303I233302I3201I31P203I2302I222201I21P103I1302I1201I2111FmFFFFmFFFFm(1)14-7 多自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)求系數(shù)和自由項(xiàng)，作相應(yīng)彎矩圖如圖求系數(shù)和自由項(xiàng)，作相應(yīng)彎矩圖如圖cf。由圖乘法

51、得由圖乘法得3P33P23P1323313312333322311m1,m32,m20m00. 1,m59. 0,m00.20m17. 0,m00.32,m33.13FEIFEIFEIEIEIEIEIEIEI14-7 多自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)集中質(zhì)量的數(shù)值為集中質(zhì)量的數(shù)值為/mskN051. 0,/mskN102. 02221mm振動(dòng)荷載的頻率為振動(dòng)荷載的頻率為1 -s10s603002代入式代入式(1)得得016.9900. 150. 003200. 133.6700.2002050. 000.2034.3603I02I01I03I02I01I03I02I01IFFFFFFFF

52、FFFF解得解得FFFFFF023. 0,764. 0,971. 003I02I01I由疊加法由疊加法P303I202I101IMMFMFMFM最大動(dòng)力彎矩圖如圖最大動(dòng)力彎矩圖如圖g。14-7 多自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng) 圖圖a所示所示n個(gè)自由度個(gè)自由度的結(jié)構(gòu)，當(dāng)干擾力均作的結(jié)構(gòu)，當(dāng)干擾力均作用在質(zhì)點(diǎn)處時(shí)，可得動(dòng)用在質(zhì)點(diǎn)處時(shí)，可得動(dòng)力平衡方程為力平衡方程為)()()(n221122222121221121211111tFykykykymtFykykykymtFykykykymnnnnnnnnnnn 寫成矩陣形式寫成矩陣形式)(tFYKYM 若干擾力為同步簡(jiǎn)諧荷載若干擾力為同步簡(jiǎn)諧荷

53、載tFtFsin)(式中式中F=( F1 F2 Fn )T，為荷載幅值列向量。，為荷載幅值列向量。14-7 多自由度結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)在平穩(wěn)階段各質(zhì)點(diǎn)均按頻率在平穩(wěn)階段各質(zhì)點(diǎn)均按頻率作同步簡(jiǎn)諧振動(dòng)。作同步簡(jiǎn)諧振動(dòng)。tYYsin0代入動(dòng)力平衡方程整理得代入動(dòng)力平衡方程整理得FYMK02)(求得各質(zhì)點(diǎn)振幅值求得各質(zhì)點(diǎn)振幅值各質(zhì)點(diǎn)的慣性力為各質(zhì)點(diǎn)的慣性力為tFtMYYMFsinsin0I02I 可得可得FFIKM20I21)(求得慣性力幅值求得慣性力幅值 位移、慣性力、干擾力同時(shí)達(dá)到最大值，將位移、慣性力、干擾力同時(shí)達(dá)到最大值，將FI、F(t)最大最大值作為靜力荷載作用于結(jié)構(gòu)，計(jì)算最大動(dòng)

54、力位移和內(nèi)力。值作為靜力荷載作用于結(jié)構(gòu)，計(jì)算最大動(dòng)力位移和內(nèi)力。14-8 振型分解法多自由度結(jié)構(gòu)無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程為多自由度結(jié)構(gòu)無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程為)(tFKYYM 只有集中質(zhì)量的結(jié)構(gòu)，只有集中質(zhì)量的結(jié)構(gòu)，M為對(duì)角陣，為對(duì)角陣，K不是對(duì)角陣不是對(duì)角陣方程藕聯(lián)方程藕聯(lián)各質(zhì)點(diǎn)的位移向量各質(zhì)點(diǎn)的位移向量T21nyyyY幾何坐標(biāo)幾何坐標(biāo)坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換結(jié)構(gòu)標(biāo)準(zhǔn)化的主振型向量表示為結(jié)構(gòu)標(biāo)準(zhǔn)化的主振型向量表示為)()2()1 (,n設(shè)設(shè))()2(2)1(1nnY位移向量按主振型分解位移向量按主振型分解展開展開nnnnnnnnnnnnnnnyyy21)()2()1()(2)2(2)1(2)(1)2(

55、1)1(1)()(2)(1)2()2(2)2(12)1()1(2)1(112114-8 振型分解法簡(jiǎn)寫為簡(jiǎn)寫為Y 把幾何坐標(biāo)把幾何坐標(biāo)Y變換成數(shù)目相同的另一組新坐標(biāo)變換成數(shù)目相同的另一組新坐標(biāo)T21n正則坐標(biāo)正則坐標(biāo))()2()1 (n主振型矩陣，幾何坐標(biāo)與正則坐標(biāo)主振型矩陣，幾何坐標(biāo)與正則坐標(biāo) 之間的轉(zhuǎn)換矩陣之間的轉(zhuǎn)換矩陣令令)(T)(iiiMM 第第i個(gè)主振型的廣義質(zhì)量個(gè)主振型的廣義質(zhì)量MMMMMn0021T廣義質(zhì)量矩陣，對(duì)角矩陣廣義質(zhì)量矩陣，對(duì)角矩陣KKKKKn0021T14-8 振型分解法廣義剛度矩陣，對(duì)角矩陣廣義剛度矩陣，對(duì)角矩陣主對(duì)角線上的任一元素主對(duì)角線上的任一元素)(T)(ii

56、iKK 利用振型正交性可得利用振型正交性可得)(T)(2)(T)(ijiijMK令令i=j，可得，可得iiiMK2或或iiiMK與單自由度結(jié)構(gòu)的頻率公式相似與單自由度結(jié)構(gòu)的頻率公式相似14-8 振型分解法22221200n設(shè)設(shè)有有MK2)()()()()()()()(21T)(T)2(T)1(TtFtFtFtFtFtFtFtFnn廣義荷載向量廣義荷載向量)()(T)(tFtFii相應(yīng)第相應(yīng)第i個(gè)主振型的廣義荷載個(gè)主振型的廣義荷載振動(dòng)方程變換為振動(dòng)方程變換為)(tFKM 解除藕聯(lián)，各自獨(dú)立解除藕聯(lián)，各自獨(dú)立), 2 , 1()(nitFKMiiiii 14-8 振型分解法整理得整理得), 2 ,

57、 1()(2niMtFiiiii 與單自由度結(jié)構(gòu)無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)方程形式相同。與單自由度結(jié)構(gòu)無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)方程形式相同。初位移、初速度為零時(shí)，由杜哈梅積分求得初位移、初速度為零時(shí)，由杜哈梅積分求得), 2 , 1()(sin)(1)(0nidtFMtitiiiin個(gè)自由度結(jié)構(gòu)的計(jì)算簡(jiǎn)化為個(gè)自由度結(jié)構(gòu)的計(jì)算簡(jiǎn)化為n個(gè)單自由度計(jì)算問題個(gè)單自由度計(jì)算問題振型分解法振型分解法（振型疊加法）：將位移（振型疊加法）：將位移Y分解為各主振型的疊加分解為各主振型的疊加14-8 振型分解法振型分解法計(jì)算步驟振型分解法計(jì)算步驟(1) 求自振頻率和振型求自振頻率和振型), 2 , 1(,)(niii(2) 計(jì)算廣義質(zhì)

58、量和廣義荷載計(jì)算廣義質(zhì)量和廣義荷載), 2 , 1()()(T)()(T)(nitFtFMMiiiii(3) 求解正則坐標(biāo)的振動(dòng)微分方程求解正則坐標(biāo)的振動(dòng)微分方程), 2 , 1()(2niMtFiiiii (4) 計(jì)算幾何坐標(biāo)計(jì)算幾何坐標(biāo)Y 求出各質(zhì)點(diǎn)位移求出各質(zhì)點(diǎn)位移計(jì)算其他動(dòng)力反應(yīng)。計(jì)算其他動(dòng)力反應(yīng)。與單自由度問題一樣求解。與單自由度問題一樣求解。14-8 振型分解法例例14-7 圖圖a所示結(jié)構(gòu)在結(jié)點(diǎn)所示結(jié)構(gòu)在結(jié)點(diǎn)2處受有突加荷載作用，試求兩處受有突加荷載作用，試求兩 結(jié)點(diǎn)的位移和梁的彎矩。結(jié)點(diǎn)的位移和梁的彎矩。)0()0(0)(tFttF解：解：(1) 結(jié)構(gòu)的自振頻率和振型結(jié)構(gòu)的自振頻

59、率和振型(圖圖b、c)323105.22,69. 5mlEImlEI11,11)2()1(2) 廣義質(zhì)量廣義質(zhì)量)(T)(iiiMM mmmM21100111mmmM2110011214-8 振型分解法廣義荷載廣義荷載)(T)(tFFii)()(011)(1tFtFtF)()(011)(1tFtFtF(3) 求正則坐標(biāo)求正則坐標(biāo))cos1 (21)(sin)(1)(121101111tmdtFMtt)cos1 (21)(sin)(1)(222202222tmdtFMtt(4) 求位移求位移21211111yy14-8 振型分解法)cos1 (0667. 0)cos1 (2)cos1 ()cos

60、1 (221212221121211ttmFttmFy)cos1 (0667. 0)cos1 (22121211ttmFy兩質(zhì)點(diǎn)位移圖形狀如圖兩質(zhì)點(diǎn)位移圖形狀如圖d。14-8 振型分解法(5) 求彎矩求彎矩兩質(zhì)點(diǎn)的慣性力為兩質(zhì)點(diǎn)的慣性力為)cos(cos221111IttFymF )cos(cos221222IttFymF 由圖由圖e可求梁的動(dòng)彎矩，如可求梁的動(dòng)彎矩，如)cos1 (31)cos1 (69)(92)(212I1I1ttFllFtFlFtM14-9 無限自由度結(jié)構(gòu)的振動(dòng) 圖圖a所示具有均布質(zhì)量的單跨梁，其振動(dòng)時(shí)彈性曲線上所示具有均布質(zhì)量的單跨梁，其振動(dòng)時(shí)彈性曲線上任一點(diǎn)的位移任一