第三講相似理論

1、相似理論 同濟大學汽車實驗室同濟大學汽車實驗室周周 鋐鋐同濟大學汽車實驗室同濟大學汽車實驗室相似理論概述v概述概述v相似的概念相似的概念v相似原理相似原理 相似第一定理（正定理） 相似第二定理（逆定理） 相似第三定理（定理）v相似準則的求法相似準則的求法 方程分析 量綱分析 同濟大學汽車實驗室同濟大學汽車實驗室相似理論概述v研究自然現(xiàn)象的方法研究自然現(xiàn)象的方法理論分析方法：理論分析方法：以數(shù)學為主要工具實驗方法：實驗方法：v直接試驗法直接試驗法 - - 可對試驗對象直接進行試驗不受試驗條件的限制，如汽車性能試驗。v模型試驗法模型試驗法 - 受到試驗條件的限制，不能對試驗對象直接進行試驗，只能對

2、模型進行試驗，用其試驗結(jié)果來反映實物，如汽車空氣動力學試驗。1. 模型試驗的原則：試驗結(jié)果能真正反映實物規(guī)律。同濟大學汽車實驗室同濟大學汽車實驗室相似的概念 v幾何相似幾何相似（空間相似）L3 32 21 1Cllllll其中CL為常數(shù)。同濟大學汽車實驗室同濟大學汽車實驗室相似的概念 v時間相似時間相似：對應的時間間隔互成比例 t5 52 21 1Ctttttt某系統(tǒng)壓力和時間的關系圖 其中Ct為常數(shù)同濟大學汽車實驗室同濟大學汽車實驗室相似的概念 v運動相似：運動相似：方向一致，大小成一定比例方向一致，大小成一定比例其中CV為常數(shù)。 Vi i2 21 1Cvvvvvv 不同直徑圓管中流體運動

3、同濟大學汽車實驗室同濟大學汽車實驗室相似的概念v動力相似：動力相似：對應時刻，對應點所受的力互成比例v應力場相似：應力場相似：對應時刻，對應點應力方向一致，大小互成比例v溫度場相似，電磁場相似溫度場相似，電磁場相似 其中C為常數(shù)。aCmmamamFF 其中Ca為常數(shù)。C2 21 1同濟大學汽車實驗室同濟大學汽車實驗室相似定理v 相似第一定理：相似第一定理： 凡彼此相似現(xiàn)象，必定具有數(shù)值相同的相似準則。v 相似第二定理：相似第二定理： 凡具有同一特性的現(xiàn)象（即被同一關系方程式或完整的關系方程式組所描述的現(xiàn)象）當單值條件彼此相似，且由單值條件所包含的物理量組成的相似準則在數(shù)值上相等，則這些現(xiàn)象必須

4、相似。v 相似第三定理：相似第三定理： 描述現(xiàn)象的關系方程式可以轉(zhuǎn)變成相似準則之間的關系式。同濟大學汽車實驗室同濟大學汽車實驗室相似第一定理v什么是相似準則？ 例1：兩三角形相似，則 其中 稱相似倍數(shù)稱相似倍數(shù) 同一三角形兩邊之比： 或 代入得： 或：11 1LCll22 2LCll33 3LCll1221Kll 12 2 1Kll21212211 2 1lllllClCllLL 1212 12KKK 稱各相似三角形間數(shù)值都以這一相同的比值21ll為為相似準則相似準則。相似三角形的相似準則就是同一三角形某兩邊長之比。321LLLccc同濟大學汽車實驗室同濟大學汽車實驗室相似第一定理v 相似第一

5、定理相似第一定理 凡彼此相似現(xiàn)象，必定具有數(shù)值相同的相似準則。凡彼此相似現(xiàn)象，必定具有數(shù)值相同的相似準則。特點：特點：v 相似準則的個數(shù)取決于所研究現(xiàn)象的內(nèi)在規(guī)律。1. 相似準則是無量綱的（零因次）不變量，可用表示。同濟大學汽車實驗室同濟大學汽車實驗室相似第一定理v 運動相似的相似準則運動相似的相似準則 相似的兩系統(tǒng)瞬間速度分別為 ， 由兩系統(tǒng)相似 ： 相似倍數(shù)相似倍數(shù) 進一步改寫： dtdlV ， , ,dtdlVv CvvtCtt ltvccc dtCdlCdtdlVCtlv 即：dtdlVCCCltv由 可得：dtdlV 1CCCltv上式左端稱為相似指標，它標志著兩個運動系統(tǒng)是否相似。

6、 彼此相似的現(xiàn)象，其相似指標等于1。（相似第一定理另一表達） lCll 同濟大學汽車實驗室同濟大學汽車實驗室相似第一定理 1ltvCCC改寫為1 llttVV不變量lVtltVltV 即 稱兩個運動相似系統(tǒng)間數(shù)值相同的綜合量 為相似準則. lVtv 力相似的相似準則力相似的相似準則)N(e也稱牛頓準則，不變量mvFt1CmCvCtCF相似指標 運動相似的相似準則運動相似的相似準則同濟大學汽車實驗室同濟大學汽車實驗室相似第一定理2222221zzzzzzxyzzvvvvvvpvvvgxyzzxyz0yxzvvzxyz2222221xxxxxxxyzxvvvvvvpvvvgxyzxxyz22222

7、21yyyyyyxyzyvvvvvvpvvvgxyzyxyz 粘性不可壓縮流體的穩(wěn)定等溫運動物理現(xiàn)象，以下用四個方程來描述。在氣流不超過0.30.4倍聲速時，氣流密度相對變化小，可視為性不可壓縮流體。 X軸 Y軸 Z軸 式中： 各軸的重力加速度分量 流體動力粘度 流體密度 壓力,xyzg g gp同濟大學汽車實驗室同濟大學汽車實驗室相似第一定理例2：汽車風洞中空氣流動、管路中液體流動等不可壓縮流體穩(wěn)定等溫運動物理現(xiàn)象的數(shù)學描述為以下用四個方程組，根據(jù)質(zhì)量守恒定律，粘性不可壓縮流體穩(wěn)定等溫運動現(xiàn)象有三個相似準則：vlRe1（雷諾準則）22vglFr（傅魯?shù)聹蕜t）23vpEu（歐拉準則） 同濟大學

8、汽車實驗室同濟大學汽車實驗室相似第一定理v 總結(jié)總結(jié)v各相似倍數(shù)不能是任意的，它們受相似指標式的制約；v將相似倍數(shù)代入相似指標式得綜合量相似準則；v無量綱是相似準則的主要屬性；1. 相似準則的個數(shù)取決于現(xiàn)象的物理本質(zhì)。 同濟大學汽車實驗室同濟大學汽車實驗室相似第二定理 v相似第二定理相似第二定理凡具有同一特性的現(xiàn)象（即被同一關系方程式或完整的關系方程式組所描述的現(xiàn)象）當單值條件彼此相似，且由單值條件所包含的物理量組成的相似準則在數(shù)值上相等，則這些現(xiàn)象必須相似。 定理作用：闡明了兩個現(xiàn)象相似的充分條件，即模型實驗必須遵守的條件和法則。同濟大學汽車實驗室同濟大學汽車實驗室相似第二定理例3：以粘性不

9、可壓縮流體的穩(wěn)定等溫運動現(xiàn)象為例，當滿足以下條件時，現(xiàn)象就彼此相似。（一）單值條件相似（一）單值條件相似， 包括： (1)(1)幾何條件相似幾何條件相似（即空間條件所有具體現(xiàn)象都發(fā)生在一定的幾何空間內(nèi)）LClldd d管徑 l管長(2)(2)物理條件相似物理條件相似 (即所具有具體現(xiàn)象都在具有一定物理性質(zhì)的介質(zhì)下進行)gnCgCC , , 密度 粘度重力加速度同濟大學汽車實驗室同濟大學汽車實驗室相似第二定理(3)(3)邊界條件相似邊界條件相似（邊界條件即所有具體現(xiàn)象都受到與其直接相鄰的周圍情況影響） 即在入口及出口處的(4)(4)初始條件相似初始條件相似（初始條件即現(xiàn)相的演變與初始狀態(tài)有關）

10、由于是穩(wěn)定流動，故不計此條件。（二）由單值條件所包含的物理量所組成的相似準則相等（二）由單值條件所包含的物理量所組成的相似準則相等vzzyyxxCV VV VV V不變量2 2 VlgVlgFr不變量lVlVRe （傅魯?shù)聹蕜t） （雷諾準則）同濟大學汽車實驗室同濟大學汽車實驗室相似第二定理 例4：以運動為例，已知兩個運動的相似準則數(shù)值相等 即： tlVtlV 1 LCCCtvllttVV 式中 為相似指標 LtvCCC 設：t dl dV 將對應量（相似倍數(shù)） lCll tCtt vCvv 代入t dl dv 得： dtdlvCCClvt即 dtdlv 所以，當 時（即相似指標=1） 1lvt

11、CCC表明兩個運動能用完全相同的方程表示。 同濟大學汽車實驗室同濟大學汽車實驗室相似第二定理v若兩個運動的單值條件完全相同，則兩個運動是完全相同的同一運動。v若兩個運動的單值條件相似，則兩個運動彼此相似。v若兩個運動的單值條件既不相同也不相似，則得到的僅是服從同一自然規(guī)律的兩個互不相同也不相似的運動。現(xiàn)象相似相似準則數(shù)值相同 + 單值條件相似同濟大學汽車實驗室同濟大學汽車實驗室相似第三定理v相似第三定理相似第三定理 描述現(xiàn)象的關系方程式可以轉(zhuǎn)變成相似準則之間的關系式。 準則關系式可表達為： 式中1，2，3，為正整數(shù)。 定理作用：提供了一種由模型實驗研究來揭示原型內(nèi)在規(guī)律的方法。 只要用適當?shù)姆?/p>

12、法求出相似準則，再用模型實驗數(shù)據(jù)擬合出 ，就可獲知原型的內(nèi)在規(guī)律。0),(21nF0),(21nF同濟大學汽車實驗室同濟大學汽車實驗室相似第三定理 例5：討論圖示系統(tǒng)的動力相似問題 kmavx現(xiàn)已知該系統(tǒng)的動力相似準則為： m/kt21x/at22mkvx3 由相似第二定理知：模型與原型相似，必須相似準則相等，即1.1.用相似第二定理獲得模型實驗應遵守的條件用相似第二定理獲得模型實驗應遵守的條件22 tm k t m k為實物為模型， m k v x m k v x同濟大學汽車實驗室同濟大學汽車實驗室相似第三定理（a）若希望：時間相似倍數(shù) 位移相似倍數(shù) 則代入上式得：（b）假如原型運動周期太大

13、或太小，希望改變模型的周期。 則令時間的相似倍數(shù)為 代入前式得 實際條件： t t, 1Ct即 x xCxkm m kv va akm m1 k2v v a a2, t tCt借助相似第二定理借助相似第二定理可以得出模型實驗可以得出模型實驗必須遵循的條件。必須遵循的條件。同濟大學汽車實驗室同濟大學汽車實驗室相似第三定理2.2.應用相似第三、第一定理獲得模型實驗應遵守的條件應用相似第三、第一定理獲得模型實驗應遵守的條件 將 改寫成： 將 每組的實驗數(shù)據(jù)代入相似準則式 可求得許多組 對應值 將其擬合成曲線，獲得函數(shù)關系 0,F321122f 133f a, v, x, t21 t m k x t

14、a22 m k v x32 122f 1 133f31132,與122f133f 同濟大學汽車實驗室同濟大學汽車實驗室相似第三定理 根據(jù)第一定理，彼此相似的現(xiàn)象，相似準則必相等，準則函數(shù)關系也必相同。由此推廣到實物,可得到v-t,a-t其他函數(shù)形式。 根據(jù)第二定理,可求出模型實驗遵守的條件。 根據(jù)第三定理，可以求模型實驗結(jié)果整理成相似準則間的函數(shù)式，以便把模型實驗結(jié)果推廣到原型中去。同濟大學汽車實驗室同濟大學汽車實驗室相似準則的求法1.1.方程分析方程分析 a.a.相似轉(zhuǎn)換法相似轉(zhuǎn)換法(以簡單運動為例 )(1)寫出現(xiàn)象(微分與方程描述 ) 原型中 模型中(2)寫出相似倍數(shù)的表示式 原型與模型方

15、程中對應量之比(3)將相似倍數(shù)表示式代入方程組進行相似轉(zhuǎn)換，得出相似指標式 因為 所以(4)把相似倍數(shù)表示式代入相似指標式中，求得相似準則。整理后 dtdl v dt dl v VC v vtCT TlC l ldtCdlCvCtlvdtdlCCCltv1ltvCCC1 l l t t v v不變量lvtltvltv 同濟大學汽車實驗室同濟大學汽車實驗室相似準則的求法1.1.方程分析方程分析 b.b.積分類比法積分類比法(以簡單運動為例 )(1)寫出現(xiàn)象的基本微分方程組和全部單值條件 原型中 模型中 (2)用方程式中的任何一項除以其他各項 原型方程中相應的兩項的比值，兩者相等(3)將所有的導數(shù)

16、用相應量的比值代替 ,便得出準則 對于兩相似現(xiàn)象，其中某量l的相似倍數(shù)為： 則有 比較 和 得：dtdl v dt dl v 1dtdlV1 dt dl VdtdlV dt dl V常數(shù)lCll dtdlv 常數(shù)lCllllll 1212lC l llCdl dl l llim l ldl dl同濟大學汽車實驗室同濟大學汽車實驗室相似準則的求法 同理 兩式相除得 將式 中的導數(shù)用積分類比來代替，即可得出相似準則 同理動力相似 可表達成 其結(jié)果與相似轉(zhuǎn)換法完全一致。 只有當已知描述現(xiàn)象的方程式的具體形式時，才能用這種方法導出形式相似準則。 t tdt dt t l: t ldtdl: dt dl

17、dtdlV dt dl V不變量lvtltvltv dtdvmF mvFtmFmFdtdvdtdv 同濟大學汽車實驗室同濟大學汽車實驗室相似準則的求法2.量綱分析法量綱分析法 基本知識基本知識 因次（量綱）因次（量綱）物理量測量單位的種類。如米、厘米、毫米是不同的測量單位，但屬長度單位，用符號L表示L長度各單位的因次 基本量基本量在國際單位制（SI）中，當研究力學和機械運動現(xiàn)象時，取長度、質(zhì)量和時間為“基本量” 基本因次基本因次基本量相應的因次，如L、M和T 導出量導出量由上述基本量根據(jù)該物理量的定義或相應的物理定律導出的量。 同濟大學汽車實驗室同濟大學汽車實驗室相似準則的求法a.a.量綱分析

18、法的一般步驟量綱分析法的一般步驟(以物體受力運動為例 )(1)考察物體現(xiàn)象，決定表征該現(xiàn)象的所有物理量，寫成一般函數(shù)關系式 表征受力運動現(xiàn)象 一般函數(shù)式(f、t、m、v) = 0(2)寫出一般 項的式子(3)寫出 項中各物理量的量綱(4)把各物理量的量綱代入(5)根據(jù)量綱齊次原則，列出物理量指數(shù)間的聯(lián)立方程組(6)解聯(lián)立方程 X2=1，X3=1，X4=1 則： -牛頓準則4x3x2x1xtvmf 4X3X12XXI2TLTMLMT 1X23X4X2X1X3X1XTMLNemvfttvfm11 f = L M T-2 (千克米/秒2)m= M (千克) t = T (秒) v =LT-1 (米/秒)X1+X3=0 L X1+X2=0 M 2X1X3+X4=0 T 同濟大學汽車實驗室同濟大學汽車實驗室相似準則的求法b.b.矩陣法矩陣法(以液體穩(wěn)定流動現(xiàn)象為例 )(1)寫出表征液體流動有關的物理量的一般函數(shù)式。(2)寫出 項的指數(shù)式(3)列出量綱矩陣(4)寫出各指數(shù)間的聯(lián)立方程組 (5)列出 矩陣 變換上式v流速； l管道定性尺寸； p壓力；介質(zhì) ；粘度；g重力加速度。6x5x4x3x2x1xlvgp x1 x2 x3 x4 x5 x6 p g v l M 1 0 1 0 0 1 L -1 1 -1 1 1 -3 T -2 -2 -1 -1 0 0 0 631xxx02