中考專題練習(xí)----二次函數(shù)與三角形

1、二次函數(shù)與三角形一.二次函數(shù)與三角形面積k例1：如圖，已知在同一坐標(biāo)系中，直線），=依+ 2-,與y軸交于點P,拋物線），= W2（k + l）x + 4k與x軸交于48,0）, 3（,0）兩點。C是拋物線的頂點。（1）求二次函數(shù)的最小值（用含k的代數(shù)式表示）；（2）若點4在點B的左側(cè)，且玉工2<0。當(dāng)k取何值時，直線通過點8：是否存在實數(shù)k,使Sm8p = S8c?如果存在，請求出此時拋物線的解析式：如果不存在，請說明理由。例2：已知拋物線y = -工2-（?-4）工+ 3（"1-1）與*軸交于4 8兩點，與y軸交于C點，（1）求m的取值范圍；（2）若?<0,直線丁 =

2、履一1經(jīng)過點4與y軸交于點D，且AO-8O = 5及,求拋物線的解析式：（3）若A點在8點左邊，在第一象限內(nèi)，（2）中所得的拋物線上是否存在一點P,使直線%平分AACQ的面積? 若存在，求出P點的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由。>' = -a2 +5x-6 ；拋物線上不存在點P18例3.已知矩形A8CD中，AB=2, AD=4,以AB的垂直平分線為x軸，A8所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo) 系O寫出4 8、C、。及4）的中點E的坐標(biāo)：。求以E為頂點、對稱軸平行于y軸，并且經(jīng)過點8、C的拋物線的解析式；求對角線BD與上述拋物線除點B以外的另一交點P的坐標(biāo)：（4JAPEB的面積S&qu

3、ot;E8與8c的面積$,尸女具有怎樣的關(guān)系？證明你的結(jié)論。拋物線尸一梟工一2> + 1經(jīng)過點C（4, 一， P1）例4 .如圖1,已知直線），=一1工與拋物線），=一,/+6交于A, 8兩點.24（1）求A 8兩點的坐標(biāo)；（2）求線段A3的垂直平分線的解析式：（3）如圖2,取與線段A8等長的一根橡皮筋，端點分別固定在A B兩處.用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖尸在直 線A8上方的拋物線上移動，動點尸將與A, 8構(gòu)成無數(shù)個三角形，這些三角形中是否存在一個面積最大的三角形？ 如果存在，求出最大面積，并指出此時尸點的坐標(biāo)；如果不存在，請簡要說明理由.二.與三角形形狀例5.如圖，拋物線，=(“2一5

4、4¥ + 4經(jīng)過443。的三個頂點，已知8Cx釉，點4在工軸上，點。在y軸上, 且4C = 8C.(1)求拋物線的對稱軸：(2)寫出A, B, C三點的坐標(biāo)并求拋物線的解析式：(3)探究：若點P是拋物線對稱軸上且在工軸下方的動點，是否存在尸48是等腰三角形.若存在，求出所有 符合條件的點P坐標(biāo)；不存在，請說明理由.例6 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為(1,2),點8的坐標(biāo)為(3,1),二次函數(shù))，= /的圖象記為拋物線(1)平移拋物線乙，使平移后的拋物線過點A ,但不過點B ,寫出平移后的一個拋物線的函數(shù)表達(dá)式:(2)平移拋物線八 使平移后的拋物線過A 8兩點，記為拋物線/

5、、，如圖，求拋物線/，的函數(shù)表達(dá)式.(3)設(shè)拋物線的頂點為C, K為y軸上一點.若S&bk=S4Abc，求點K的坐標(biāo).(4)請在圖上用尺規(guī)作圖的方式探究拋物線上是否存在點P,使AABP為等腰三角形.若存在，請判斷點尸 例7.己知：如圖，拋物線y = aF+加+ c經(jīng)過A(1,O)、3(5,0)、C(0,5)三點.共有幾個可能的位置(保留作圖痕跡)；若不存在, 911y =廠 x + 22(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(2)若過點C的直線)工辰+ 與拋物線相交于點E (4, 7»),請求出CBE的面積S的值:(3)在拋物線上求一點玲使得48%為等腰三角形并寫出P.點的坐標(biāo)：(4)

6、除(3)中所求的幾點外，在拋物線上是否還存在其它的點P使得ASP為等腰三角形？若存在，請求出一共有幾個滿足條件的點P (要求簡要說明理由，但不證明)；若不存在這樣的點P，請說明理由.y =(工一1)(4-5)=-6x + 5.例8.如圖，在直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為(-2, 0),連接。4將線段OA繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)120° OB.工”求點B的坐標(biāo)；。求經(jīng)過4 0、8三點的拋物線的解析式；閏在口中拋物線的對稱軸上是否存在點C,使480C的周長最小？若存在，求出點C的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由；如果點P是(2)中的拋物線上的動點，且在x軸的下方，那么是否有最大面積？若有，求出此時P點的

7、坐標(biāo)及的最大面積：若沒有，請說明理由.三.二次函數(shù)與三角形相似3例9：己知一次函數(shù)y =-二X12的圖象分別交X軸、y軸于4 C兩點，4（1）求出4、C兩點的坐標(biāo)：（2）在X軸上找出點8,使AACBsAAOC,若拋物線過a、8、C三點，求出此拋物線的解析式：（3）在（2）的條件下，設(shè)動點P、Q分別從4 8兩點同時出發(fā)，以相同速度沿AC、8A向C、4運動，連結(jié)PQ, 使是否存在m的值，使以八、P、Q為頂點的三角形與AA3C相似，若存在，求出所有m的值：若不存 在，請說明理由。/. y = (x + 16)(x-9) = x2 + x-12o121212例10.如圖在平而直角坐標(biāo)系中，拋物線 =6

8、與直線y = 相交于4 B兩點.2（1）求線段A8的長.（2）若一個扇形的周長等于（1）中線段AB的長，當(dāng)扇形的半徑取何值時，扇形的而積最大，最大面積是多少？（3）如圖8,線段43的垂直平分線分別交x軸、y軸于C,。兩點，垂足為點M,分別求出OM, OC,。的長，并驗證等式1 1 T 7OC2 OD2是否成立.(4)如圖 9,在 RtZABC 中，ZACB = 90 CD LAB,垂足為。，設(shè) 8c =。，AC = b9 AB = c. CD = h,1.如圖，已知拋物線經(jīng)過A （-2, 0）, B （-3, 3）及原點O,頂點為C.（1）求拋物線的解析式：（2）若點D在拋物線上，點E在拋物線

9、的對稱軸上，且以A、0、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，求 出點D的坐標(biāo)：（3） P是y軸左側(cè)拋物線上的動點，過P作PM取軸，垂足為M,是否存在點P,使得以P、M、A為頂點 的三角形與HBOC相似？若存在，請求出點P的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由.15'+2 % 符合條件的 D 有三個：D1 (-3, 3) D2 (1, 3) D3 (1, -1) Pa ( 3,9), p?(.3, 3)2 .如圖，拋物線與x軸交于A (-1, 0), B (3, 0)兩點，與y軸交于點C (0,-3),設(shè)拋物線的頂點為D.(1)求該拋物線的解析式與頂點D的坐標(biāo)；(2)以B、C、D為頂點的三角形是直角

10、三角形嗎？請證明你的結(jié)論.(3)探究坐標(biāo)軸上是否存在點P,使得以P、A、C為頂點的三角形與回BCD相似？若存在，請求出點P的坐 標(biāo)：若不存在，請說明理由.y=X 2" 3 頂點 D (1, 4) Pi (0, 0), P2 (9. 0), P3 (0, 3 )3 .如圖，已知點A(-l, 0), B (4, 0),點C在y軸的正半軸上，且回ACB=90。，拋物線了二加十及經(jīng)過 A、B、C三點.(1)求拋物線的解析式：(2)在拋物線上是否存在點N,使得加=4?如果存在，請求出點n的坐標(biāo)：如果不存在，請說明理 由._1 2,3y 22 存在 N1 (2, 3),。2 + 2花T-立力-2

11、旦-1+".4 .如圖，拋物線y=ax2+bx-4與x軸交于A （4, 0）、B （-2, 0）兩點,與y軸交于點C,點P是線段AB上的 一動點（端點除外），過點P作PDI2AC,交BC于點D,連接CP.（1）求該拋物線的解析式：（2）當(dāng)回PCD的面積最大時，求點P的坐標(biāo).y = -7?-x-42p (1, o)5 .如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A的坐標(biāo)為（2 2）,點B的坐標(biāo)為（6, 6）,拋物線經(jīng)過A、0、B三點, 連接OA、0B.（1）求拋物線的解析式：（2）點N是拋物線上位于直線0B下方的一個動點，求團BON面積的最大值，并求出此時點N的坐標(biāo);（3）點P是拋物線上直線0B

12、上方一點，求使得日BOP的面積與日BON的最大面積相等時的P點坐標(biāo).7 = 1 x2 - i j 耳 3+3我，才+ 3/，舄 3-一42 回 I 4/4）1 I12kp = -r+lp = -x+ c與直線交于A、E6 .如圖，已知直線2 與L軸交于點A,與x釉交于點D,拋物線 2兩點，與x軸交于B、C兩點，且B點坐標(biāo)為（1, 0）.（1）求該拋物線的解析式；（2）動點P在x軸上移動，當(dāng)回PAE是直角三角形時，求點P的坐標(biāo).£ 3£11y=I x2-x+l： 滿足條件的P點坐標(biāo)為（1，0）或（1, 0）或（3, 0）或（2 , 0）.7 .在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰

13、直角三角板ABC放在第一象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點A（0, 2）.點C（l, 0）,如圖所示;拋物線/一儀2經(jīng)過點B.（1）求點B的坐標(biāo)；（2）求拋物線的解析式：（3）在拋物線上是否還存在點P（點B除外）.使回ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求 所有點P的坐標(biāo)：若不存在.請說明理由.8 .已知二次函數(shù)丫=3乂2+6乂2的圖象經(jīng)過點A （1, 0）及B （-2, 0）兩點.（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及拋物線頂點M的坐標(biāo)：（2）若點N為線段BM上的一點，過點N作x釉的垂線，垂足為點Q,當(dāng)點N在線段BM上運動時（點N 不與點B、點M重合），設(shè)NQ的長為3四邊形NQAC的面積為S,

14、求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出四 邊形NQAC的面積的最大值：（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使即AC為直角三角形？若存在,直接寫出所有符合條件的點P的 坐標(biāo)點 P 坐標(biāo)為（2,4）,（2,4）,（2,2）,（2,2）9 .如圖，在平而直角坐標(biāo)系中，OABC是直角三角形用ACB=9（T,AC=BC,OA=1, 0C=4,拋物線 =工+取+，經(jīng)過A, B兩點，拋物線的頂點為D.（1）求b,c的值：（2）點E是直角三角形ABC斜邊AB上一動點（點A、B除外），過點E作x軸的垂線交拋物線于點F,當(dāng)線 段EF的長度最大時，求點E的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下：求以點E、B、F、D為頂點的四邊形

15、的面積：在拋物線上是否存在一點P,使后EFP是以EF為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點P的坐標(biāo)：若 不存在，說明理由.352-亞 52 +廊 5115y=x2-2x-3. E 的坐標(biāo)為(2 ,亍).px (2, 2 ), p2 (2, 2 ), p3 ( 2 , - 4 ).10 .如圖，在立角坐標(biāo)系中，拋物線y=a / +bx+c(aH 0)與x軸交于A卜l,0),B(3,0)兩點，拋物線交y軸于點C(0,3), 點D為拋物線的頂點.直線y=x-l交拋物線于點M,N兩點，過線段MN上一點P作y軸的平行線交拋物線于 點Q.(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo)：(2)問點P在何處時，線段P

16、Q最長，最長為多少？(3 )設(shè)E為線段OC上的三等分點，連接EP,EQ ,若EP=EQ時，求點P的坐標(biāo)回點D的坐標(biāo)(1,4)； P點的坐標(biāo)為：(L0) , (2Z1) , (0,-1)y= -XA-12,、IL如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 2與拋物線=以力"3交于八、b兩點，點A在x軸上,點B的縱坐標(biāo)為3.點P是直線AB下方的拋物線上一動點（不與點A、B重合），過點P做x軸的垂線交直 線AB于點C,作PD31AB于點D.（1）求 a, b 及sin/ACP 的值；（2）設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m.用含m的代數(shù)式表示線段PD的長，并求出線段PD長的最大值：連接PB,線段PC把回PDB分成兩個三角形，是否存在合適的m的值，使這兩個三角形的面積之比為9:10? 若存在，直接寫出m的值；若不存在，說明理由.3 422232I、若胎= 625, 2、已知：2a =3, 3 =2,則_ +_=.，+1 b+3、已知(不一)，-1丫+|2x + y + 4| = 0 則3x-2y=()A、-l B、-2C、2 DA4、已知實數(shù)滿足|2008-。| +Ja-2009