第三章 FIR 數字濾波器設計all(2009)

1、3.1 FIR DF 3.1 FIR DF 的線性相位特征的線性相位特征3.2 FIR DF 3.2 FIR DF 設計的窗函數法設計的窗函數法3.3 3.3 頻率抽樣法頻率抽樣法 1. 1.線性相位線性相位()()()jjjH eH ee 相頻響應相頻響應如果：如果：( )k 線性相位線性相位若若:( )k 也稱線性相位也稱線性相位| )(| jeH)( 幅頻響應幅頻響應( )()y nx nk輸出是輸入的簡單移位，移位的大小正比于輸出是輸入的簡單移位，移位的大小正比于 因此不會發(fā)生失真。因此不會發(fā)生失真。例：例：kh(n)( )x n)(ny keHj )(, 1| )(| jkjjeeX

2、eY )()()(| )(|)()()()( jjjjjjeXeeHeXeHeY 輸出輸出：若：若：則則：線性相位線性相位例例1：100( )cos()cos(2()y nnknk則：則：沒有發(fā)生相位失真沒有發(fā)生相位失真00( )cos()cos(2)x nnn例2：若：00200/403/2( )3/2( )cos(/4)cos(2)y nnn 則：發(fā)生了相位失真發(fā)生了相位失真00( )cos()cos(2)x nnn-1001020-202-1001020-202-1001020-202( )x n1( )y n2( )y n 如果系統(tǒng)的相頻響應如果系統(tǒng)的相頻響應不是線性的不是線性的，那么

3、系統(tǒng)的輸出將不再是輸入信號作線那么系統(tǒng)的輸出將不再是輸入信號作線性移位后的組合，因此，性移位后的組合，因此，輸出將發(fā)生失輸出將發(fā)生失真。真。 定義：定義：為系統(tǒng)的群延遲為系統(tǒng)的群延遲(Group Delay, GD)若系統(tǒng)具有線性相位，則其若系統(tǒng)具有線性相位，則其GD為常數為常數。 ddg)()( 2 2 FIR DFFIR DF的線性相位條件的線性相位條件 在絕大部分信號處理的場合，人在絕大部分信號處理的場合，人們都期盼系統(tǒng)具有線性相位，但是，們都期盼系統(tǒng)具有線性相位，但是，如何實現線性相位？如何實現線性相位？對對 FIR FIR 系統(tǒng)，如果保證：系統(tǒng)，如果保證：( )(1)0,1,1h n

4、h NnnN 則該系統(tǒng)具有線性相位。則該系統(tǒng)具有線性相位。( )(1)h nh Nn 第一類第一類線性相位條件線性相位條件偶對稱偶對稱( )(1)h nh Nn 奇對稱奇對稱第二類第二類線性相位條件線性相位條件證明線性相位線性相位()()()jjjH eH ee 相頻響應相頻響應如果：如果：( )k 線性相位線性相位幅頻響應幅頻響應若若:也稱線性相位也稱線性相位 k)(偶對稱偶對稱奇對稱奇對稱)1()(nNhnh )1()(nNhnh N奇奇數數N偶偶數數10()( )Njj nnH eh n e(1)11122(1)0121( )( )()2NNNjj nj nNnnNh n eh n eh

5、e1mNn 令：利用 的對稱性，有()jH e111122(1)00()( )(1)NNjj nj NmnmH eh n eh Nm e 1()21()2NjNheh(n)=h(N-1-n)1. 為奇數為奇數N)(mh112(1)0()( )Njj mj NmmH eh m ee 1()21()2NjNhe111112()()2220( )1()2NNNNjjmjmmeh m eeNh111220112 ( )cos ()()22NNjmNNeh nmh增益增益 (Amplitude) 與幅度與幅度 (Magnitude)(H| )(|jeH)(H可正可負可正可負，例：例：1 , 1 , 1)

6、(nhjjeeHcos21)(| )(|jeH總為正總為正,)(cos21)(H增益增益3/2,3/20,)(|cos21 | )(|jjeHeH幅度幅度,)(cos21)(H3/2,3/20,)(|cos21 | )(|jjeHeH111220112 ( )cos ()()22NNjmNNeh nmh12Nnm令：1122111()2 ()cos()22NNjjnNNH eehnnh1()02( )12 ()1,2,(1) 22Nhna nNhnnN令令：(1) 2(1)/20()( )cos()Njj NnH eea nnp197(1) 20( )(1)2( )( )cos()NgnNHa

7、 nn 相位增益 所以，只要保證濾波器的系數偶對稱，所以，只要保證濾波器的系數偶對稱，該濾波器必然具有線性相位。該濾波器必然具有線性相位。 2ggHH(1) 2(1)/20()( )cos()Njj NnH eea nnp1972(1)/211()( )cos() 2Njj NnH eeb nn( )2 (),1,2,22NNb nhnn2(1)/211()2 ()cos() 22Njj NnNH eehnn2. 為偶數為偶數N令：則： 2ggHH1(1) 2221()( )sin()NNjjnH eec nn1( )2 ()1,2,(1) 22Nc nhnnN( )(1)/2/2N 3. 為

8、奇數為奇數N第二類第二類線性相位條件線性相位條件( )(1)h nh Nn 122211()( )sin ()2NNjjnH eed nn( )2 ()1,2,22Nd nhnnN( )(1)/2/2N 請掌握四種情況下線性相位表達式的推導方法。4. 為偶數為偶數N的線性組合，在的線性組合，在 時，時， 易取得最大易取得最大值，因此這一類濾波器易體現低通特性，且是值，因此這一類濾波器易體現低通特性，且是偶函數。通過頻率移位，又可體現高通、帶通、偶函數。通過頻率移位，又可體現高通、帶通、帶阻特性。所以，經典的低通、高通、帶通和帶阻特性。所以，經典的低通、高通、帶通和帶阻濾波器的帶阻濾波器的 都是

9、偶對稱的。都是偶對稱的。說明：說明： 第一類第一類 FIR 系統(tǒng)是系統(tǒng)是cos()n0()jH e( )h n的線性組合，在的線性組合，在 時，時， 的值為零，且的值為零，且是奇函數。這一類濾波器都是作為特殊形式的是奇函數。這一類濾波器都是作為特殊形式的濾波器，如濾波器，如 Hilbert變換器、差分器等。變換器、差分器等。第二類第二類 FIR 系統(tǒng)是系統(tǒng)是sin()n0()jH e例：四類FIR濾波器的增益 FIR_Type I , FIR_Type II FIR_Type III ,FIR_Type IVP199, Tab. 7.1.10510-50510nh(n)Impulse Resp

10、onse0510-50510na(n)a(n) coefficents00.511.52-20-1001020Frequency(pi)HrFIR Type I Amplitude-101-1-0.500.51Real PartImaginary Part10( )(1)h nh Nn , N: oddFIR_Type I0510-50510nh(n)Impulse Response0510-50510nb(n)b(n) coefficents00.511.52-40-2002040Frequency(pi)HrFIR Type II Amplitude-101-1-0.500.51Real

11、PartImaginary Part11( )(1)h nh Nn , N: evenFIR_Type II0510-50510nh(n)Impulse Response0510-50510nc(n)c(n) coefficents00.511.52-40-2002040Frequency(pi)HrFIR Type III Amplitude-101-1-0.500.51Real PartImaginary Part10( )(1)h nh Nn , N: oddFIR_Type III( )(1)h nh Nn , N: evenFIR_Type IV0510-50510nh(n)Impu

12、lse Response0510-50510nd(n)d(n) coefficents00.511.52-100102030Frequency(pi)HrFIR Type VI Amplitude-101-1-0.500.51Real PartImaginary Part11線性相位線性相位h(n)=h(N-1-n)N為奇數為奇數(1) 2(1)/20()( )cos()Njj NnH eea nn(1) 20( )(1)2( )( )cos()NgnNHa nn 相位增益 2ggHH()jdHe22cc1( )dh nnnnhcd sin)( )()()(1nnhnhMd deeHnhnjj

13、dd)(21)( |2sin2)(sin|*| )(|21| )(| NeHeHjdj 越小越好越小越好！主瓣寬度主瓣寬度旁瓣最大峰值旁瓣最大峰值 越小越好越小越好窗函數窗函數:|2sin2)(sin|*| )(|21| )(| NeHeHjdj 為了省去每次的移位，事先給一線性相位為了省去每次的移位，事先給一線性相位即即j MjdeHe2()0 0cc0,1,.nMccjMj ncdnMh neednM2sin(2)1( )2(2) 于是：使用窗)()()(nnhnhMd 上述設計上述設計 的思路可推廣到的思路可推廣到高通高通、帶阻帶阻及及帶通帶通濾波器，也可推廣到其它特殊類濾波器，也可推廣

14、到其它特殊類型的濾波器。實際上，給定一個型的濾波器。實際上，給定一個 ，只要能積分得到只要能積分得到 ，即可由截短、移位，即可由截短、移位的方法得到因果的、且具有線性相位的的方法得到因果的、且具有線性相位的FIR濾濾波器波器 。( )H z( )H z)( jdeH)(nhd高通高通：2()0j MjdeHe0ccsin(2) sin(2)( )(2)cdnMnMhnnM令：相當于用一個截止頻率在相當于用一個截止頻率在 處的低通濾波器減去一個截止處的低通濾波器減去一個截止頻率在頻率在 處的低通濾波器。處的低通濾波器。c帶通帶通：2()0j MjdeHelh其它sin(2)sin(2)( )(2

15、)hldnMnMh nnM令：相當于用一個截止頻率在相當于用一個截止頻率在 處的低通濾波器減去一個截止處的低通濾波器減去一個截止頻率在頻率在 處的低通濾波器。處的低通濾波器。1c2c2()0j MjdeHe,lh 其它帶阻帶阻令令： 三、三、 FIR DF 窗函數法設計的步驟：窗函數法設計的步驟： 根據技術要求確定待求濾波器的單位取樣根據技術要求確定待求濾波器的單位取樣響應響應 根據阻帶衰減要求查表，選窗類型根據阻帶衰減要求查表，選窗類型 根據過渡帶計算濾波器階數根據過渡帶計算濾波器階數N 確定窗函數確定窗函數 4. deeHnhnjjdd)(21)( NA/ )(n )()()(nnhnhd

16、 10)()(NnnznhzHFIR DF 階數階數N越大，越大， 阻帶衰減也越大。阻帶衰減也越大。FIR DF 階數階數N越大，越大， 過渡帶越小。過渡帶越小。例：低通：例：低通： FIRLPHam.m 高通：高通： FIRHPHam.m 帶通：帶通：FIRBPHam.mfunction hd=ideal_lp(wc,M)function dB,w=freqz_m(b,a) 上一節(jié)的窗函數法是指定連續(xù)的理想上一節(jié)的窗函數法是指定連續(xù)的理想頻率響應頻率響應 ，然后用積分的方法求出，然后用積分的方法求出理想濾波器的單位抽樣響應理想濾波器的單位抽樣響應 ，再將，再將其移位、截短，得到因果的、具有線

17、性相其移位、截短，得到因果的、具有線性相位的位的 FIR DF 。()jdHe( )dh n( )H z( )dh n( )dHk 對連續(xù)的理想頻率響應對連續(xù)的理想頻率響應 進行采樣，進行采樣，得到離散的頻率響應得到離散的頻率響應 ，再求，再求IDFT得到得到()jdHe一、基本思路一、基本思路: :12/01( )( )Njnk Ndkh nHk eN10( )( )NnnH zh n z濾波器就設計出來濾波器就設計出來()jdHe22cc1頻率頻率采樣采樣1( )0dfor passbandkHkfor stopbandk得：得：如何實現線性相位？)()()( jjgjdeeHeH )1(

18、)(nNhnh 2)1()( N 2/ )1(0)cos()()(NnjgnnaeH 2ggHH 2ggHH偶對稱偶對稱 )21(cos)()(2/0 NnjgnnbeH N: oddN:even0510-50510nh(n)Impulse Response0510-50510na(n)a(n) coefficents00.511.52-20-1001020Frequency(pi)HrFIR Type I Amplitude-101-1-0.500.51Real PartImaginary Part10( )(1)h nh Nn , N: oddFIR_Type I 2ggHH0510-50

19、510nh(n)Impulse Response0510-50510nb(n)b(n) coefficents00.511.52-40-2002040Frequency(pi)HrFIR Type II Amplitude-101-1-0.500.51Real PartImaginary Part11( )(1)h nh Nn , N: evenFIR_Type II 2ggHHkNNkNNk 1221)( )()(kNHkHgg )()(kNHkHgg N: oddN:even二、線性相位對二、線性相位對H(k)H(k)的約束條件的約束條件kNjjgkNjdeeHeHkH 2)(2|)(| )()( kNjggeHkH 2| )()( 12/01( )( )Njnk Ndkh nHk eN10( )( )NnnH zh n z濾波器就設計出來濾波器就設計出來()jdHe22cc1頻率頻率采樣采樣1( )0dfor passbandkHkfor stopbandk得：得：4, 04|, 1)(jdeH用頻率采樣法設計該濾波器，要求具有線性用頻率采樣法設計該濾波器，要求具有線性相位。濾波器系數的