第三節(jié)向量值函數(shù)在定向曲線上的積分

1、第三節(jié)第三節(jié) 向量值函數(shù)在定向曲線上的積分向量值函數(shù)在定向曲線上的積分( (第二類曲線積分第二類曲線積分) )二、問題的提出二、問題的提出四、第二類曲線積分的計算四、第二類曲線積分的計算三、第二類曲線積分的概念三、第二類曲線積分的概念一、定向曲線及其切向量一、定向曲線及其切向量一、定向曲線及其切向量一、定向曲線及其切向量1、 帶有確定走向的曲線稱為帶有確定走向的曲線稱為定向曲線定向曲線AB 用用 表示起點為表示起點為 A , 終點為終點為 B 的定向的定向曲線曲線(弧弧).的反向曲線記為的反向曲線記為定向曲線定向曲線 .代表兩條不同的曲線代表兩條不同的曲線與與曲線曲線 的的參參數(shù)數(shù)方方程程寫寫

2、作作：定定向向曲曲線線AB ,:, )(, )(, )(battzztyytxx .,btBatA 對對應應終終點點對對應應其其中中起起點點表表示示：的的參參數(shù)數(shù)方方程程也也可可用用向向量量定定向向曲曲線線AB ,:,)()()()(batktzjtyitxtrr .)(的的點點的的向向徑徑上上對對應應參參數(shù)數(shù)表表示示其其中中ttr 2、定向光滑曲線上各點處的切向量的方向總是、定向光滑曲線上各點處的切向量的方向總是與曲線的走向相一致與曲線的走向相一致 .切向量為：切向量為：在其上任一點處的在其上任一點處的曲線曲線由參數(shù)方程給出的定向由參數(shù)方程給出的定向 )(, )(, )(tztytx .,取

3、取負負號號時時當當取取正正號號時時其其中中當當 babaoxyABL二、問題的提出二、問題的提出1 nMiM1 iM2M1Mix iy 實例實例: : 變力變力 F 沿曲線沿曲線 L 所作的功所作的功,:BAL平面光滑曲線弧平面光滑曲線弧 jyxQiyxPyxF),(),(),(力力常力所作的功常力所作的功分割分割.),(,),(,1111110BMyxMyxMMAnnnn .)()(1 jyixMMiiii . ABFW,),(),(),( jQiPFiiiiii 取取,),(1 iiiiiMMFW ,),(),(iiiiiiseFW 即即oxyABL1 nMiM1 iM2M1M),(iiF

4、 ix iy ,d),(),( LsyxeyxF ,coscos),( jiyxe 若記若記,dcos),(cos),( LsyxQyxPW 則則,),(),(1 niiiiiiseFW ,),(),(lim10 niiiiiiseFW 三、第二類曲線積分的概念三、第二類曲線積分的概念,),(dcos),(cos),(,dcos),(dcos),(,),(coscos),(,),(),(),(,上的積分上的積分在定向曲線弧在定向曲線弧為向量值函數(shù)為向量值函數(shù)則稱積分則稱積分同時存在同時存在與與若積分若積分處的單位切向量處的單位切向量上點上點是定向弧是定向弧有界有界上上在在向量值函數(shù)向量值函數(shù)線

5、弧線弧面上一條光滑的定向曲面上一條光滑的定向曲為為設設LyxFsyxQyxPsyxQsyxPyxLjiyxeLjyxQiyxPyxFxoyLLLL 1.定義定義記為：記為： LryxFd),(即：即： LsyxeyxFd),(),( LsyxQyxPdcos),(cos),( LryxFd),( , )d( , )cosd ,( , )d( , )cosd ,LLLLP x yxP x ysQ x yyQ x ys若記則：則： LryxFd),( LyyxQxyxPd),(d),( LryxFd),( LyyxQxyxPd),(d),(rdsyxed),( )dcos,d(cosss )d,d

6、(yx ,d稱為定向弧元素稱為定向弧元素ryx d,d.,的投影元素的投影元素稱為定向弧稱為定向弧的坐標的坐標為為Lrd.d),(d),(分分也稱為對坐標的曲線積也稱為對坐標的曲線積 LyyxQxyxP,稱為定向積分曲線稱為定向積分曲線L.d),(d),(稱為積分表達式稱為積分表達式y(tǒng)yxQxyxP 2. 第二類曲線積分存在的充分條件：第二類曲線積分存在的充分條件：3.3.第二類曲線第二類曲線積分的性質積分的性質1) 第二類曲線積分具有線性性質第二類曲線積分具有線性性質.d),(,)(),(必存在必存在第二類曲線積分第二類曲線積分連續(xù)時連續(xù)時上上的曲線弧的曲線弧或分段光滑或分段光滑在光滑在光滑

7、當當 LryxFLyxF LLLyQxPyQxPyQxPyQxPdddd)dd()dd(22112211 2) 對于定向積分曲線弧的可加性對于定向積分曲線弧的可加性.d),(d),(d),(d),(d),(d),(,2121 LLLyyxQxyxPyyxQxyxPyyxQxyxPLLL則則則則有向曲線弧有向曲線弧方向相反的方向相反的是與是與是有向曲線弧是有向曲線弧設設,)3LLL 即對坐標的曲線積分與曲線的方向有關即對坐標的曲線積分與曲線的方向有關. LLyyxQxyxPyyxQxyxPd),(d),(d),(d),(四、第二類曲線積分的計算四、第二類曲線積分的計算,d),(d),(,0)()

8、(,)(),(,),(, ),(:, )(, )(22存在存在則第二類曲線積分則第二類曲線積分且且一階連續(xù)導數(shù)一階連續(xù)導數(shù)為端點的閉區(qū)間上具有為端點的閉區(qū)間上具有及及以以在在上有定義且連續(xù)上有定義且連續(xù)在在的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為平面光滑定向曲線弧平面光滑定向曲線弧 LyyxQxyxPtytxbatytxLyxQyxPbattyytxxL定理定理ttytytxQtxtytxPyyxQxyxPbaLd)()(),()()(),(d),(d),( 且且說明：說明：2) 第二類曲線積分也是化為定積分進行計算，第二類曲線積分也是化為定積分進行計算，但此時定積分的上、下限要根據(jù)題目中給定但此時定積分的上

9、、下限要根據(jù)題目中給定的定向曲線弧的起點和終點來選定，的定向曲線弧的起點和終點來選定，下限不下限不一定小于上限一定小于上限 .3) 計算第二類曲線積分時，由于涉及到積分計算第二類曲線積分時，由于涉及到積分曲線的定向問題，曲線的定向問題，要慎用對稱性要慎用對稱性. 一般地，一般地，在曲線積分化為定積分后在曲線積分化為定積分后再對定積分考慮能再對定積分考慮能否用對稱性簡化計算否用對稱性簡化計算 .,),(, ),()1方程代入方程代入要用曲線要用曲線上上定義在定義在yxLyxQyxP特殊情形特殊情形.:)(:)1(baxxyyL .d)()(,)(,ddxxyxyxQxyxPyQxPbaL 則則.

10、:)(:)2(dcyyxxL .d),()(),(ddyyyxQyxyyxPyQxPdcL 則則例例1.)1 , 1()1, 1(,d2的一段弧的一段弧到到上從上從為拋物線為拋物線其中其中計算計算BAxyLxxyL 解解)1 , 1(B)1,1( Aoyx1,的定積分的定積分化為對化為對 y,2yx ABLxxyxxydd 1122d)(yyyy. 11到到從從 y 114d2yy.54 例例1.)1 , 1()1, 1(,d2的一段弧的一段弧到到上從上從為拋物線為拋物線其中其中計算計算BAxyLxxyL 解解)1 , 1(B)1,1( Aoyx1,的定積分的定積分化為對化為對 xxy xy

11、OBAOL 01:,: xxyAO10:,: xxyOB OBAOLxyxxyxxyxddd xxxd)(0154d21023 xxxxxd10 例例2).1 , 1(),0 , 1()0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(.,2222依次是點依次是點，這里，這里為有向折線為有向折線的一段弧的一段弧到到上從上從為拋物線為拋物線的一段弧的一段弧到到上從上從為拋物線為拋物線求場力所做的功求場力所做的功運動運動場力作用沿曲線場力作用沿曲線一質點在一質點在設有一平面力場設有一平面力場BAOOABLBOyxLBOxyLLjxixyF )0 , 1(A

12、)1 , 1(B解解,10:,2 xxy 1022d)22(xxxxxW 103d4xx. 1 yxo2xy (1) L的方程為的方程為,dd22 LyxxxyW功功,10:,2 yyx 104d5yy. 1 )0 , 1(A)1 , 1(B2yx yxo(2) L的方程為的方程為 1042d)22(yyyyyWyxo)0 , 1(A)1 , 1(B(3) L = OA+ AB OA 的方程為的方程為 ,10:,0 xyAB 的方程為的方程為 ,10:,1 yx W yxxyxOAdd22 102d)002(xxx.1 yxxyxABdd22 10d)102(yy被積函數(shù)相同，起點和終點也相同

13、，但路徑不被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，但路徑不同而積分結果相同同而積分結果相同.)0 ,()0 ,()2(;)1(,d2的直線段的直線段軸到點軸到點沿沿從點從點的上半圓周的上半圓周針方向繞行針方向繞行、圓心為原點、按逆時、圓心為原點、按逆時半徑為半徑為為為其中其中計算計算aBxaAaLxyL 例例3yBAoaa x解解: : (1) L的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為,0:,sin,cos ttaytaxxyLd2 ttadsin22033 32a 0ttad)sin( 132 334a 則則ta22sinyBAoaa x(2) L 的方程為的方程為,:, 0aaxy xyLd2 aaxd0.0

14、則則被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，但路徑不被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，但路徑不同積分結果不同同積分結果不同.)0 ,()0 ,()2(的直線段的直線段軸到點軸到點沿沿從點從點aBxaA 解解概念與性質可以推廣到空間曲線概念與性質可以推廣到空間曲線, 空間有向曲線弧空間有向曲線弧 kzyxRjzyxQizyxPzyxF),(),(),(),(,),(),(處的單位切向量處的單位切向量上點上點是是zyxzyxe rzyxFd),( szyxezyxFd),(),(.d),(d),(d),( zzyxRyzyxQxzyxP sRQPd)coscoscos(,),( 處的切向量的方向角為處的切向

15、量的方向角為上點上點zyx:計算方法計算方法 zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(.:,)()()(:battzztyytxx ttztztytxRtytztytxQtxtztytxPbad)()(),(),()()(),(),()()(),(),( 例例422223()d2dd ,:, :01.yzxyz yxzxt ytzt t計算其中為的一段弧解解 ttttttttd322)(10223264 原式原式tttd)23(1046 .3515273 例例5)(.)0(:,ddd222222222取逆時針方向取逆時針方向的交線的交線與與為為其中其中計算計算axyxzazyxz

16、xyzxy 解解: : 曲線曲線 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為,sin2,cos22taytaax , )20:(2sin ttaztttattatad2cos)cos1(8cos)cos1(4sin82023333 原式原式tttttad2cos4cos2cos2sin8205233 .43a 例例6., 2, 1:,d)(d)(d)(22為順時針方向為順時針方向軸正向看軸正向看從從其中其中計算計算CzzyxyxCzyxyzxxyzC ozyxC解解: : 曲線曲線 C 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為,sin,costytx )02:(sincos2 tttz 02 原式原式tttcos)sincos

17、22( tttttd )sin)(cossin(cos )sin)(cos2(tt .2 20d)12cos2cos2sin2(tttt五、五、兩類曲線積分之間的聯(lián)系：兩類曲線積分之間的聯(lián)系：,)()( tytxL ：設有向平面曲線弧為設有向平面曲線弧為,),( 的的方方向向角角為為處處的的切切向向量量上上點點yxL LLsQPyQxPd)coscos(dd 則則其中其中,)()()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt （可以推廣到空間曲線上（可以推廣到空間曲線上 ）例例.)1 , 1()0 , 0(,d),(d),(2的一段弧的一段弧到到從從為沿拋物線為沿拋物線其中其中積分積分

18、化為對弧長的曲線化為對弧長的曲線把把yxLyyxQxyxPL 解解,10:,2 yyx L的方程為的方程為,412cos2yy ,411cos2y 原式原式 LsyyxQyyxyP.d41),(41),(222六、小結六、小結1、第二類曲線積分的概念、第二類曲線積分的概念2、第二類曲線積分的計算、第二類曲線積分的計算3、兩類曲線積分之間的聯(lián)系、兩類曲線積分之間的聯(lián)系思考題思考題 當曲線當曲線L的參數(shù)方程與參數(shù)的變化范圍給定的參數(shù)方程與參數(shù)的變化范圍給定之后之后（例如（例如L：taxcos ，taysin ，2 , 0 t，a是正常數(shù)），試問如何表示是正常數(shù)），試問如何表示L的方的方向向（如（如

19、L表示為順時針方向、逆時針方向）？表示為順時針方向、逆時針方向）？思考題解答思考題解答曲線方向由參數(shù)的變化方向而定曲線方向由參數(shù)的變化方向而定.例如例如L：taxcos ，taysin ，2 , 0 t中中當當t從從 0 變變到到 2時時，L取取逆逆時時針針方方向向;反反之之當當t從從 2變變到到 0 時時，L取取順順時時針針方方向向.一、一、 填空題填空題: :1 1、 對對_的曲線積分與曲線的方向有關；的曲線積分與曲線的方向有關；2 2、 設設0),(),( dyyxQdxyxPL, ,則則 LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(_；3 3、 在公式在公式 d

20、yyxQdxyxPL),(),( dttttQtttP)()(,)()()(,)(中中, ,下下 限限對應于對應于L的的_點點, ,上限上限 對應于對應于L的的_點；點；4 4、兩類曲線積分的聯(lián)系是、兩類曲線積分的聯(lián)系是_ _. .練練 習習 題題二、二、 計算下列對坐標的曲線積分計算下列對坐標的曲線積分: : 1 1、 Lxydx, ,L其中其中為圓周為圓周)0()(222 aayax及及 x軸所圍成的在第一象限內的區(qū)域的整個邊界軸所圍成的在第一象限內的區(qū)域的整個邊界( (按按 逆時針方向繞行逆時針方向繞行) )； 2 2、 Lyxdyyxdxyx22)()(, ,L其中其中為圓周為圓周 222ayx ( (按逆時針方向饒行按逆時針方向饒行) )； 3 3、 ydzdydx, ,其中為有向閉折線其中為有向閉折線ABCD, ,這里這里 的的CBA,依次為點依次為點(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)； 4 4、 ABCDAyxdydx, ,其中其