數(shù)學實驗復習題：試題一(非線性擬合_常微分方程_線代方程組)

1、 計算方法（數(shù)學實驗）試題（第1組） 2000.6.22 班級 姓名 學號 說明：（1）1，2題必做，答案直接填在試題紙上； （2）3，4題任選1題，將簡要解題過程和結(jié)果寫在試題紙上； （3）解題程序以網(wǎng)絡(luò)作業(yè)形式提交，文件名用英文字母。1 A工人5天的生產(chǎn)能力數(shù)據(jù)和B工人4天的生產(chǎn)能力數(shù)據(jù)如下：A 87 85 80 86 80；B 87 90 87 84。要檢驗：A的生產(chǎn)能力不低于85，你作的零假設(shè)是 H0:085 ，用的Matlab命令是 ttest(x,85,0.05,-1) ，檢驗結(jié)果是 接受原假設(shè) 。x=87 85 80 86 80;h,sig,ci =ttest(x,85,0.05

2、,-1)h =0要檢驗：A工人和B工人的生產(chǎn)能力相同，你作的零假設(shè)是 H0：1=2 ，用的Matlab命令是 ttest2(x,y) ，檢驗結(jié)果是 接受原假設(shè)。作以上檢驗的前提是 數(shù)據(jù)來自正態(tài)總體，相互獨立 。x=87 85 80 86 80; y=87 90 87 84; h,sig,ci=ttest2(x,y)h = 02用電壓V=14伏的電池給電容器充電，電容器上t時刻的電壓滿足：，其中是電容器的初始電壓，是充電常數(shù)。試用下列數(shù)據(jù)確定和。t（秒）0.30.51.02.04.07.0v(t)5.68736.14347.16338.862611.032812.6962 你用的方法是 最小二乘

3、法 ，結(jié)果是= 4.9711 ，= 3.5869 。%最小二乘擬合基函數(shù)函數(shù)M文件：function y=voltage(x,t,v)y=14-(14-x(1)*exp(-t/x(2) v; %x(1),x(2),分別代表V0,%最小二乘擬合源程序：x0=3,1; %初值t=0.3 0.5 1.0 2.0 4.0 7.0;v=5.6873 6.1434 7.1634 8.8626 11.0328 12.6962;opt1=optimset('Largescale','off','MaxfunEvals',1000); %缺省為LM法x,norm,

4、res,ef,out=lsqnonlin(voltage,x0,opt1,t,v)X= 4.971139136686568 3.5868713206810993. 小型火箭初始質(zhì)量為900千克，其中包括600千克燃料?；鸺Q直向上發(fā)射時燃料以15千克/秒的速率燃燒掉，由此產(chǎn)生30000牛頓的恒定推力。當燃料用盡時引擎關(guān)閉。設(shè)火箭上升的整個過程中，空氣阻力與速度平方成正比，比例系數(shù)為0.4（千克/米）。重力加速度取9.8米/秒2.A. 建立火箭升空過程的數(shù)學模型（微分方程）；B. 求引擎關(guān)閉瞬間火箭的高度、速度、加速度，及火箭到達最高點的時間和高度。解：一定要分段求解常微分方程！根據(jù)題意可知，在

5、此模型中火箭始終沿豎直方向運動，設(shè)重力加速度不隨高度變化而變化，其值恒為g=9.8m/s2。初始狀態(tài)時，h=0，v=0，a=（30000-900×9.8）/900=23.523m/s2，故可應用牛頓第二定律對火箭運行情況進行如下分析（以下各物理量均為SI制）?；鸺|(zhì)量m隨時間t的變化關(guān)系函數(shù)為：火箭在時刻t所受合外力F為：火箭在時刻t的加速度a為：分別用MATLAB計算并作圖，為便于編程，令x（1）=h，x（2）=x(1)=v，x（2）=a,程序如下：分段編程：%火箭運行情況模型常微分方程組函數(shù)M文件源(加速階段)程序：function dx=rocket1(t,x)dx=x(2);

6、(21180+147*t-0.4*(x(2)2)/(900-15*t);%火箭加速度函數(shù)M文件(加速階段)源程序：function y=a1(ts,x)for i=1:length(ts) y(i)=(21180+147*ts(i)-0.4*(x(i)2)./ (900-15*ts(i);end%應用龍格-庫塔方法對火箭運行情況模型的常微分方程組求數(shù)值解(加速階段)：ts=0: 1:40;x0=0,0;t,x=ode45(rocket1,ts,x0); %火箭運行高度與速度情況y= a1(ts', x(:,2)'); %火箭運行加速度情況ts', x(:,1),x(:,

7、2),y'a=(-2940-0.4*x(2)2)/300輸出結(jié)果：0.040000000000000 8.322961712149750 0.258982232154038 0.000770937904683引擎關(guān)閉瞬間火箭的高度8323米，速度259米/秒，加速度0.7709米/秒2， 96.9943米/秒2；標準答案：引擎關(guān)閉瞬間火箭的高度8323米，速度259米/秒，加速度0.7709米/秒2（關(guān)閉前）引擎關(guān)閉瞬間加速度需列式求解：v=258.982232154038;a=(-2940-0.4*v2)/300輸出結(jié)果：a =-99.229062095317403加速度99.229

8、1米/秒2（關(guān)閉后）標準答案：加速度99.2291米/秒2（關(guān)閉后）；%火箭運行情況模型常微分方程組函數(shù)M文件源(減速階段)程序：function dx=rocket2(t,x)dx=x(2);(-2940-0.4*x(2)2)/300;%火箭加速度函數(shù)M文件(減速階段)源程序：function y=a2(ts,x)for i=1:length(ts) y(i)=( -2940-0.4*x(i)2)/300;end%應用龍格-庫塔方法對火箭運行情況模型的常微分方程組求數(shù)值解(減速階段)：ts=0: 1:20;x0=8323,259;t,x=ode45(rocket2,ts,x0); %火箭運行

9、高度與速度情況y= a2(ts', x(:,2)'); %火箭運行加速度情況ts', x(:,1),x(:,2),y'輸出結(jié)果：0.011000000000000 9.191957319558366 -0.000478059137027 -0.009800304720718最高點時間：11+40=51s；最高點高度：9192m標準答案：到達最高點的時間51秒，高度9192米。結(jié)果：！若將分段函數(shù)和并求解則結(jié)果誤差較大，下面是和并求解的結(jié)果：引擎關(guān)閉瞬間火箭的高度8322米，速度260米/秒，加速度0.1898米/秒2， 96.9943米/秒2；到達最高點的時間5

10、1秒，高度9211米。4. 種群的數(shù)量（為方便起見以下指雌性）因繁殖而增加，因自然死亡和人工捕獲而減少。記xk(t)為第t年初k歲（指滿k-1歲，未滿k歲，下同）的種群數(shù)量，bk為k歲種群的繁殖率（1年內(nèi)每個個體繁殖的數(shù)量），dk為k歲種群的死亡率（1年內(nèi)死亡數(shù)量占總量的比例），hk為k歲種群的捕獲量（1年內(nèi)的捕獲量）。今設(shè)某種群最高年齡為5歲（不妨認為在年初將5歲個體全部捕獲），b1=b2=b5=0，b3=2，b4=4，d1=d2=0.3，d3=d4=0.2，h1=400，h2=200，h3=150，h4=100。A. 建立xk(t+1)與xk(t)的關(guān)系（k=1,2,¼5, t=

11、0,1,¼），如。為簡單起見，繁殖量都按年初的種群數(shù)量xk(t)計算，不考慮死亡率。B. 用向量表示t年初的種群數(shù)量，用bk和dk定義適當?shù)木仃嘗，用hk定義適當?shù)南蛄縣，將上述關(guān)系表成的形式。C. 設(shè)t=0種群各年齡的數(shù)量均為1000，求t=1種群各年齡的數(shù)量。又問設(shè)定的捕獲量能持續(xù)幾年。D. 種群各年齡的數(shù)量等于多少，種群數(shù)量x(t)才能不隨時間t改變。E. 記D的結(jié)果為向量x*, 給x* 以小的擾動作為x(0)，觀察隨著t的增加x(t)是否趨于x*, 分析這個現(xiàn)象的原因。解：A：B：，C：x0= 1000,1000,1000,1000,1000'x=zeros(5,10

12、);h=0,400,200,150,100'L=0,0,2,4,0;0.7,0,0,0,0;0,0.7,0,0,0;0,0,0.8,0,0;0,0,0,0.8,0;for i=1:10x(:,1)=x0;x(:,i+1)=L*x(:,i)-h;endx輸出結(jié)果：x(1)= (6000, 300, 500, 650，700)Tx(2)= (3600, 3800, 10, 250, 420)T x(3)=(1020, 2120, 2460, -142, 100)T第三年時年齡為四歲的中區(qū)出現(xiàn)負值，故只可以持續(xù)兩年D：穩(wěn)定時要求xk(t+1)=xk(t)，據(jù)此使得種群數(shù)量x(t)才能不隨時間

13、t改變的種群數(shù)量初始值x*為如下方程的解：整理為形式：h=0,400,200,150,100'L=-1,0,2,4,0;0.7,-1,0,0,0;0,0.7,-1,0,0;0,0,0.8,-1,0;0,0,0,0.8,-1;x=Lhx = 1.0e+003 * 2.000000000000000 1.000000000000000 0.500000000000000 0.250000000000000 0.100000000000000最終結(jié)果為：x*=(2000, 1000, 500, 250, 100)TE：加以微小擾動dx=10x0= 2010, 1010, 510, 260,

14、110'x=zeros(5,10);h=0,400,200,150,100'L=0,0,2,4,0;0.7,0,0,0,0;0,0.7,0,0,0;0,0,0.8,0,0;0,0,0,0.8,0;for i=1:10x(:,1)=x0;x(:,i+1)=L*x(:,i)-h;endx輸出結(jié)果：x = 1.0e+003 *2.010000000000000 2.060000000000000 2.046000000000000 2.032200000000000 1.010000000000000 1.007000000000000 1.042000000000000 1.032

15、200000000000 0.510000000000000 0.507000000000000 0.504900000000000 0.529400000000000 0.260000000000000 0.258000000000000 0.255600000000000 0.253920000000000 0.110000000000000 0.108000000000000 0.106400000000000 0.104480000000000 可以發(fā)現(xiàn)x(t)逐漸偏離x*。原因：求迭代方程中矩陣L的特征根：L=-1,0,2,4,0;0.7,-1,0,0,0;0,0.7,-1,0,0;

16、0,0,0.8,-1,0;0,0,0,0.8,-1;eig(L)輸出結(jié)果：ans = -1.000000000000000 0.298189908789247 -1.195293934027596 + 1.136951613957869i -1.195293934027596 - 1.136951613957869i -1.907602040734057 由于其譜半徑(L)=max()>1,所以此迭代方程不收斂。計算方法（數(shù)學實驗）試題（第1組） 2000.6.22答案1.A工人5天的生產(chǎn)能力數(shù)據(jù)和B工人4天的生產(chǎn)能力數(shù)據(jù)如下：A 87 85 80 86 80 (84 85 80 82

17、80)；B 87 90 87 84 (85 90 82 84)。要檢驗：A的生產(chǎn)能力不低于85，你作的零假設(shè)是H0:085，用的Matlab命令是ttest(x,85,0.05，-1)，檢驗結(jié)果是接受（拒絕）H0 。要檢驗：A工人和B工人的生產(chǎn)能力相同，你作的零假設(shè)是H0：1=2，用的Matlab命令是ttest2(x,y)，檢驗結(jié)果是接受H0。作以上檢驗的前提是數(shù)據(jù)來自正態(tài)總體，相互獨立。2用電壓V=14伏的電池給電容器充電，電容器上t時刻的電壓滿足：，其中是電容器的初始電壓，是充電常數(shù)。試用下列數(shù)據(jù)確定和。t（秒）0.30.51.02.04.07.0v(t)5.68736.14347.16

18、338.862611.032812.6962 你用的方法是線性最小二乘法，結(jié)果是=5.0001，= 3.6165。t（秒）0.21.02.54.57.08.09.5v(t)2.57994.05705.90997.19218.20359.32039.6971 V=10 伏 結(jié)果是=0.8550，= 3.1944。 ，答案：，535元 ，答案：， 530元3. 小型火箭初始質(zhì)量為900（1200）千克，其中包括600（900）千克燃料。 模型分兩段：1） m=900-15t （m=1200-15t）, t1 =600/15=40秒 (t1=900/15=60秒)為引擎關(guān)閉時刻。 2） ，m=300引擎關(guān)閉瞬間火箭的高度8323米（13687.9米），速度259米/秒（271.34米/秒），加速度0.7709米/秒2（0.8254米/秒2 關(guān)閉前）， 99.2291米/秒2（132.5079米/秒2 關(guān)閉后）；到達最高點的時間51秒（69.89秒），高度9192米（14469.8米）。4A. B. 記，則 b1=b2=b5=0，b3=2，b4=4，d1=d2=