泛函與變分簡介

1、u 前言前言 如果某個定解問題不能嚴格解出，但另一個與它差如果某個定解問題不能嚴格解出，但另一個與它差別甚微的定解問題能嚴格解出，那么就可以運用別甚微的定解問題能嚴格解出，那么就可以運用近似法近似法求近似解求近似解近似解法涉及：變分法，有限差分法和模擬法等近似解法涉及：變分法，有限差分法和模擬法等 變分法變分法是研究求解泛函極值（極大或極?。┑姆椒?，是研究求解泛函極值（極大或極?。┑姆椒?，變分問題即是變分問題即是求泛函的極值問題求泛函的極值問題把定解問題轉(zhuǎn)化為把定解問題轉(zhuǎn)化為變分問題變分問題，再求變分問題的解，再求變分問題的解變分法的優(yōu)點變分法的優(yōu)點: (2) 變分法易于變分法易于實現(xiàn)數(shù)學的統(tǒng)

2、一化實現(xiàn)數(shù)學的統(tǒng)一化因為一般而言，因為一般而言，數(shù)學物理方程的定解問題都可以轉(zhuǎn)化為變分問題尤數(shù)學物理方程的定解問題都可以轉(zhuǎn)化為變分問題尤其是前面介紹的斯特姆劉維爾本征值問題可轉(zhuǎn)化為其是前面介紹的斯特姆劉維爾本征值問題可轉(zhuǎn)化為變分問題，變分法提供了施劉型本征值問題的本征變分問題，變分法提供了施劉型本征值問題的本征函數(shù)系的完備性等結(jié)論的證明；函數(shù)系的完備性等結(jié)論的證明；(1) 變分法在物理上可以變分法在物理上可以歸納定律歸納定律因為幾乎所有的因為幾乎所有的自然定律都能用變分原理的形式予以表達；自然定律都能用變分原理的形式予以表達；(3) 變分法變分法是解數(shù)學物理定解問題常用的近似方法，是解數(shù)學物理

3、定解問題常用的近似方法，其其基本思想基本思想是是把數(shù)學物理定解問題轉(zhuǎn)化為變分問題把數(shù)學物理定解問題轉(zhuǎn)化為變分問題由直接解變分問題發(fā)展了一些近似解法，其中最有用由直接解變分問題發(fā)展了一些近似解法，其中最有用的是的是里茨里茨 （Ritz）法）法 由于里茨法中的試探函數(shù)的由于里茨法中的試探函數(shù)的選取較為麻煩，計算系數(shù)矩陣也十分困難，隨著計算選取較為麻煩，計算系數(shù)矩陣也十分困難，隨著計算機的展，又迅速發(fā)展了一種有限元法；機的展，又迅速發(fā)展了一種有限元法； (4) 變分法的應用變分法的應用不僅在經(jīng)典物理和工程技術域，不僅在經(jīng)典物理和工程技術域，而且在現(xiàn)代量子場論，現(xiàn)代控制理論和現(xiàn)代信息理論而且在現(xiàn)代量子

4、場論，現(xiàn)代控制理論和現(xiàn)代信息理論等高技術領域都有十分廣泛的應用等高技術領域都有十分廣泛的應用有限差分法有限差分法：有限差分法把定解問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，：有限差分法把定解問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程， 然后通過電子計算機求定解問題的數(shù)值解然后通過電子計算機求定解問題的數(shù)值解模擬法模擬法：即用一定的物理模型來模擬所研究的定解問題，：即用一定的物理模型來模擬所研究的定解問題， 而在模型上實測解的數(shù)值而在模型上實測解的數(shù)值 變分法變分法是這些方法中最為重要和切實有效的方法，是這些方法中最為重要和切實有效的方法，已經(jīng)廣泛應用于科學研究和工程計算之中已經(jīng)廣泛應用于科學研究和工程計算之中 泛函泛函 變分法研究的對象是

5、變分法研究的對象是泛函泛函，泛函是函數(shù)概念的推廣，泛函是函數(shù)概念的推廣為了說明泛函概念先看為了說明泛函概念先看2個例題：個例題： 泛函通常以泛函通常以積分形式積分形式出現(xiàn)，比如上面描述的最速降線出現(xiàn)，比如上面描述的最速降線落徑問題的公式更為一般而又典型的泛函定義為落徑問題的公式更為一般而又典型的泛函定義為 ( )( , ,)dbaJ y xF x y yx其中其中 ( , ,)F x y y稱為稱為泛函的核泛函的核 泛函的極值泛函的極值變分法變分法對于不同的自變量函數(shù)對于不同的自變量函數(shù) ( )y x，與此相應的泛函，與此相應的泛函 ( )J y x也有不同的數(shù)值找出一個確定的自變量函數(shù)也有不

6、同的數(shù)值找出一個確定的自變量函數(shù) ( )y x，使泛函，使泛函 ( )J y x 具有極值（極小或極大），這種泛函的極小值與極大具有極值（極小或極大），這種泛函的極小值與極大值統(tǒng)稱為值統(tǒng)稱為泛函的極值泛函的極值引入泛函的概念后，對于上述的最速降線問題變?yōu)榉汉敕汉母拍詈螅瑢τ谏鲜龅淖钏俳稻€問題變?yōu)榉汉?( )J y x的極小值問題物理學中常見的有光學的極小值問題物理學中常見的有光學中的中的費馬費馬(Fermat)原理原理，分析力學中的，分析力學中的哈密頓哈密頓(Hamiton)原理原理等，都是泛函的極值問題等，都是泛函的極值問題 變分法變分法：所謂的變分法：所謂的變分法就是求泛函極值的方法

7、就是求泛函極值的方法()dbaFFJyyxyy 泛函表示為一個自變量，一個函數(shù)及其一階導數(shù)泛函表示為一個自變量，一個函數(shù)及其一階導數(shù)的積分形式的積分形式泛函表示為一個自變量，一個函數(shù)及其一階導數(shù)的積分形式，泛函表示為一個自變量，一個函數(shù)及其一階導數(shù)的積分形式， 即（即（17.1.2） ( )( , ,)baJ y xF x y y dx若考慮兩端固定邊界的泛函問題若考慮兩端固定邊界的泛函問題：積分是在區(qū)域內(nèi)通過兩點積分是在區(qū)域內(nèi)通過兩點 1122(,),(,)x yxy的任意曲線進行的，其中的任意曲線進行的，其中 12,xa xb泛函中泛函中 y為為( , )( )( )y xy xx由于由于

8、兩端固定兩端固定，所以要求，所以要求 ( )0, ( )0ab，即，即 |0,|0 x ax byy由由(17.1.8)，有，有 0 ( )( )|d ( )d( )d d dbabaJ y xxJFFxxxyyFFyyxyy（17.2.3） 式式(17.2.3)的積分號下既有的積分號下既有 y，又有，又有 y，對第二項，對第二項應用分部積分法可使積分號下出現(xiàn)應用分部積分法可使積分號下出現(xiàn)yd|()ddbbaaFFFJyy xyyxy(17.2.4)根據(jù)（根據(jù)（17.2.2）,所以所以 0|0JJd ,再根據(jù)再根據(jù)（17.2.4）故有故有d|()d0dbbaaFFFJyy xyyxy（17.2.5） 因為因為 |0,|0 x ax byy并且并且 y是任意的，所以是任意的，所以 d()0dFFyxy (17.2.6) 上式上式(17.2.6)稱為稱為歐拉（歐拉（Euler）拉格朗日（）拉格朗日（Lagrange）方程，簡稱為方程，簡稱為E-L方程方程 21+ddd22BAtBBtAAysTtxgygy即為即為21+ ( )d2BAyT y xxgy212yFgy212yFgy不顯含不顯含 x，故其故其E-L方程為（方程為（17.2.7）式）式0221122yyFFyygycyygy令令 02cgc，故有，故有 221(1)yyc令令 121cc