數(shù)字信號(hào)處理第3章 無限長單位脈沖響應(yīng)(IIR)濾波器的設(shè)計(jì)方法)

1、第第3 3章章 無限長單位脈沖無限長單位脈沖響應(yīng)（響應(yīng)（IIR）濾波器設(shè)計(jì)濾波器設(shè)計(jì) 3.1 根據(jù)模擬濾波器設(shè)計(jì)根據(jù)模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR濾波器濾波器3.2 常用模擬低通濾波器特性常用模擬低通濾波器特性3.3 從模擬濾波器低通原型到各種數(shù)字從模擬濾波器低通原型到各種數(shù)字濾波器的頻率變換濾波器的頻率變換3.4 從低通數(shù)字濾波器到各種數(shù)字濾波從低通數(shù)字濾波器到各種數(shù)字濾波器的頻率變換器的頻率變換3.5 IIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法概述概述: 許多信息處理過程，如信號(hào)的過濾，檢測、預(yù)許多信息處理過程，如信號(hào)的過濾，檢測、預(yù)測等都要用到濾波器，數(shù)字濾波器是數(shù)字信號(hào)處理測等都

2、要用到濾波器，數(shù)字濾波器是數(shù)字信號(hào)處理中使用得最廣泛的一種線性系統(tǒng)，是數(shù)字信號(hào)處理中使用得最廣泛的一種線性系統(tǒng)，是數(shù)字信號(hào)處理的重要基礎(chǔ)。的重要基礎(chǔ)。 數(shù)字濾波器的功能（本質(zhì)）是將一組輸入的數(shù)數(shù)字濾波器的功能（本質(zhì)）是將一組輸入的數(shù)字序列通過一定的運(yùn)算后轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪唤M輸出的數(shù)字字序列通過一定的運(yùn)算后轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪唤M輸出的數(shù)字序列。實(shí)現(xiàn)方法主要有兩種：數(shù)字信號(hào)處理硬件和序列。實(shí)現(xiàn)方法主要有兩種：數(shù)字信號(hào)處理硬件和計(jì)算機(jī)軟件。計(jì)算機(jī)軟件。 數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器線性時(shí)不變系統(tǒng)。線性時(shí)不變系統(tǒng)。iiaibicid確定系數(shù)確定系數(shù) 、 或零極點(diǎn)或零極點(diǎn) 、 ，以使濾波器，以使濾波器滿足給定的性能要求滿足給定的

3、性能要求第三章、四章討論第三章、四章討論 3）用一個(gè)有限精度的運(yùn)算去實(shí)現(xiàn)這個(gè)系統(tǒng)函數(shù)。包）用一個(gè)有限精度的運(yùn)算去實(shí)現(xiàn)這個(gè)系統(tǒng)函數(shù)。包括括 選擇運(yùn)算結(jié)構(gòu)：如級(jí)聯(lián)型、并聯(lián)型、卷積型、頻選擇運(yùn)算結(jié)構(gòu)：如級(jí)聯(lián)型、并聯(lián)型、卷積型、頻率采樣型以及快速卷積（率采樣型以及快速卷積（FFT）型等）型等; 選擇合適的字長和有效數(shù)字的處理方法等選擇合適的字長和有效數(shù)字的處理方法等(第五第五章章)。 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟：數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟：1）按照實(shí)際需要確定濾波器的性能要求。）按照實(shí)際需要確定濾波器的性能要求。2）用一個(gè)因果穩(wěn)定系統(tǒng)的）用一個(gè)因果穩(wěn)定系統(tǒng)的 H(z) 或或 h(n) 去逼近這個(gè)去逼近這個(gè)性能要求

4、，即求性能要求，即求 h(n) 的表達(dá)式。的表達(dá)式。數(shù)字濾波器性能指標(biāo)（以低通為例）數(shù)字濾波器性能指標(biāo)（以低通為例）11-12c0r通帶過渡帶阻帶)(Hiwe圖3.1 低通數(shù)字濾波器的幅頻特性1)(H-11jwce時(shí)當(dāng)11minmax1lg2011lg20lg20jjeHeH2)(H0jwre時(shí)當(dāng)22maxlg201lg201lg20jeHAt通帶波動(dòng)通帶波動(dòng)最小阻帶衰耗最小阻帶衰耗之間：過渡帶與：阻帶邊界頻率：通帶邊界頻率rcrcNiNiiiinybinxany01)()()(數(shù)字濾波器的數(shù)學(xué)描述：數(shù)字濾波器的數(shù)學(xué)描述：1)差分方程差分方程N(yùn)MzdzcAzbzaZHNiiMiiNiiiMii

5、i一般111110)1 ()1 (1)(2)系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)分類分類: 遞歸系統(tǒng)遞歸系統(tǒng) IIR 非遞歸系統(tǒng)非遞歸系統(tǒng) FIR 高通高通 低通低通 帶通帶通 帶阻帶阻設(shè)計(jì)方法：設(shè)計(jì)方法： 1）先設(shè)計(jì)一個(gè)合適的模擬濾波器，然后變換成）先設(shè)計(jì)一個(gè)合適的模擬濾波器，然后變換成 滿足預(yù)定指標(biāo)的數(shù)字濾波器。滿足預(yù)定指標(biāo)的數(shù)字濾波器。 由于模擬的網(wǎng)絡(luò)綜合理論已經(jīng)發(fā)展得很成熟由于模擬的網(wǎng)絡(luò)綜合理論已經(jīng)發(fā)展得很成熟 模擬濾波器有簡單而嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式，設(shè)計(jì)起模擬濾波器有簡單而嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式，設(shè)計(jì)起來來 方便、準(zhǔn)確、可將這些理論推廣到數(shù)字域，作方便、準(zhǔn)確、可將這些理論推廣到數(shù)字域，作為為 設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的工具。設(shè)

6、計(jì)數(shù)字濾波器的工具。2）最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法）最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法分兩步：分兩步： a) 確定一種最優(yōu)準(zhǔn)則，如最小均方誤差準(zhǔn)則確定一種最優(yōu)準(zhǔn)則，如最小均方誤差準(zhǔn)則，即使設(shè)計(jì)出的實(shí)際頻率響應(yīng)的幅度特性，即使設(shè)計(jì)出的實(shí)際頻率響應(yīng)的幅度特性 （與所要求的理想頻率響應(yīng)（與所要求的理想頻率響應(yīng) 的均方誤的均方誤差最小，差最小，| )(|jeH| )(|jdeHmin)()(21MijdjiieHeHiaibiaib此外還有其他多種誤差最小準(zhǔn)則，此外還有其他多種誤差最小準(zhǔn)則， b) 在此最佳準(zhǔn)則下，求濾波的系數(shù)在此最佳準(zhǔn)則下，求濾波的系數(shù) 和和 通過不斷地迭代運(yùn)算，改變通過不斷地迭代運(yùn)算，改變 、 ，直到，直到 滿足

7、要求為止。滿足要求為止。 以上兩種設(shè)計(jì)方法中，以上兩種設(shè)計(jì)方法中，著重講第一種，著重講第一種，因?yàn)閿?shù)字濾波器在很多場合所要完成的任務(wù)因?yàn)閿?shù)字濾波器在很多場合所要完成的任務(wù)與模擬濾波器相同，如作低通、高通、帶通與模擬濾波器相同，如作低通、高通、帶通及帶阻網(wǎng)絡(luò)等，這時(shí)數(shù)字濾波也可看作是及帶阻網(wǎng)絡(luò)等，這時(shí)數(shù)字濾波也可看作是“模仿模仿”模擬濾波器。在模擬濾波器。在IIR濾波器設(shè)計(jì)中，濾波器設(shè)計(jì)中，采用這種設(shè)計(jì)方法目前最普遍。由于計(jì)算機(jī)采用這種設(shè)計(jì)方法目前最普遍。由于計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的使用也逐漸技術(shù)的發(fā)展，最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的使用也逐漸增多。增多。 3.1 3.1 根據(jù)模擬濾波器設(shè)計(jì)根據(jù)模擬

8、濾波器設(shè)計(jì)IIRIIR濾波器濾波器從從已知的模擬濾波器傳遞函數(shù)已知的模擬濾波器傳遞函數(shù)Ha(s)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器傳遞函數(shù)器傳遞函數(shù)H(z)，這歸根到底是一個(gè)由這歸根到底是一個(gè)由S平面到平面到Z平平面的變換，這種映射變換應(yīng)遵循兩個(gè)基本原則：面的變換，這種映射變換應(yīng)遵循兩個(gè)基本原則：1）H（z）的）的頻響頻響要能模仿要能模仿Ha(s)的頻響，的頻響， S平面的虛軸平面的虛軸 Z平面的單位圓平面的單位圓 上。上。 2）Ha(s) 的的因果穩(wěn)定性因果穩(wěn)定性映射成映射成 H（z）后）后保持不變保持不變 S平面的左半平面平面的左半平面 ReS0 Z平面的單位平面的單位 圓以內(nèi)圓以內(nèi)|Z|1。je

9、3.1.1 脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法是脈沖響應(yīng)不變法是從濾波器的脈沖響應(yīng)出發(fā)從濾波器的脈沖響應(yīng)出發(fā)，模擬濾波器的沖激響應(yīng)模擬濾波器的沖激響應(yīng)h ha a(t)(t) 數(shù)字濾波器的數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列單位脈沖響應(yīng)序列h(n)h(n)即即 h(n)=ha(nT), T為采樣周期。為采樣周期。 如以如以 Ha(s) 及及 H（z）分別表示分別表示 ha(t) 的拉氏變換及的拉氏變換及 h(n) 的的 Z 變換，即變換，即 模擬：模擬：H Ha a(s)=Lh(s)=Lha a(t) , (t) , 數(shù)字：數(shù)字：H(z)=Zh(n)H(z)=Zh(n) 采樣計(jì)算計(jì)算 H(Z)

10、 :脈沖響應(yīng)不變法特別適用于用部分分式表達(dá)系統(tǒng)函數(shù)，模擬脈沖響應(yīng)不變法特別適用于用部分分式表達(dá)系統(tǒng)函數(shù)，模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)若只有單階極點(diǎn)，且分母的階數(shù)高于分子階濾波器的系統(tǒng)函數(shù)若只有單階極點(diǎn)，且分母的階數(shù)高于分子階數(shù)數(shù) NM，則可表達(dá)為部分分式形式；，則可表達(dá)為部分分式形式； 其拉氏反變換為：其拉氏反變換為： 單位階躍單位階躍 對對ha(t)采樣得到數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列采樣得到數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列 NiiiassAsH1)(NitsiatutueAthi1)(),()(NiNinTsinTsianueAnueAnThnhii11)()()()()(再對h(n)取Z變換，得到數(shù)

11、字濾波器的傳遞函數(shù)： 第二個(gè)求和為等比級(jí)數(shù)之和，要收斂的話， 必有 所以有01011)()(nNinnTsNiinnTsizeAzeAzHiikTskTszezeii111)(1, 0)(1kkTszeiNiTsizeAzHi111)(NiTsizeAzHi111)(NiiiassAsH1)(結(jié)論：結(jié)論：所以由模擬濾波器：可得到數(shù)字濾波器：此時(shí)，數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列此時(shí)，數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列h(n)h(n)為為模擬濾波器的沖激響應(yīng)模擬濾波器的沖激響應(yīng)h ha a(t)(t)的采樣。的采樣。 理想采樣理想采樣 的拉氏變換的拉氏變換 與采樣序列與采樣序列 的的 Z 變換變換 之間存

12、在的之間存在的 S 平面與平面與 Z 平面的平面的 映射關(guān)系。映射關(guān)系。根據(jù)理想采樣序列拉氏變換與模擬信號(hào)拉氏變換的關(guān)系根據(jù)理想采樣序列拉氏變換與模擬信號(hào)拉氏變換的關(guān)系maamTjsHTsH21)()(tha)(sHa)(tha)(tha)(sHa)(sHa)(nh)(zH 理想采樣理想采樣 的拉氏變換的拉氏變換 與模擬信號(hào)與模擬信號(hào) 的拉氏變換的拉氏變換 之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。 nnsTnststnenThdtenTtthdtenTtthsH)()()( )()()(aaaannsTenh)(nnznhzH)()(sTez s平面與z平面的映射關(guān)系 以上表明，采用脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器

13、變換以上表明，采用脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器變換為數(shù)字濾波器時(shí)，映射關(guān)系：為數(shù)字濾波器時(shí)，映射關(guān)系： 首先對首先對H Ha a(s)(s)作周期延拓，然后再經(jīng)過作周期延拓，然后再經(jīng)過 的映射關(guān)系映射到的映射關(guān)系映射到 Z Z 平面上。平面上。Tsez 映射關(guān)系映射關(guān)系 ： sTez jsrezj,令TjTTjjeeere則TerT,則穩(wěn)定性分析：穩(wěn)定性分析： 如果模擬濾波器是穩(wěn)定的，則所有極點(diǎn)如果模擬濾波器是穩(wěn)定的，則所有極點(diǎn) Si 都都在在S左半平左半平 面，即面，即 0 , 數(shù)字濾波器是否穩(wěn)定？數(shù)字濾波器是否穩(wěn)定？分析： 變換后H(z)的極點(diǎn)為 所以極點(diǎn)都在單位圓以內(nèi)，因此數(shù)字濾波器保數(shù)字

14、濾波器保持穩(wěn)定。持穩(wěn)定。Tsiiez 1|TTsieezijsrezj,令TreeeezjwTjTsT,則jsrezj,令TreeeezjwTjTsT,則頻響：頻響： S平面的虛軸 是否是否 ？ Z平面的單位圓 上 分析：分析： S平平 面的虛軸，即面的虛軸，即 =0 , 映射到Z平面成立 jejwsTeez S平面上每一條寬為平面上每一條寬為 的橫帶部分，都將的橫帶部分，都將重疊地映射到重疊地映射到Z平面的整個(gè)平面上。平面的整個(gè)平面上。 T2jsrezj,令TerT,則,平面對應(yīng)平面ZTTS結(jié)論：結(jié)論： 每一橫帶的左半部分映射到每一橫帶的左半部分映射到Z平面單位圓以平面單位圓以內(nèi)，每一橫帶的

15、右半部分映射到內(nèi)，每一橫帶的右半部分映射到Z平面單位圓以平面單位圓以外，虛軸映射到單位圓上，虛軸上每一段外，虛軸映射到單位圓上，虛軸上每一段 ,都對應(yīng)于繞單位圓一周。都對應(yīng)于繞單位圓一周。T2j0TT3T3T)Im( zj)Re( z0S 平面Z 平面: 混迭：混迭： 數(shù)字濾波器的頻響并不是簡單的重現(xiàn)模擬濾波器的數(shù)字濾波器的頻響并不是簡單的重現(xiàn)模擬濾波器的頻響，而是模擬濾波器頻響的周期延拓：頻響，而是模擬濾波器頻響的周期延拓：TmjjHTeHamj21 mezmTjsHTsHzHST21)(aa 正如第一章的采樣定律中所討論的，如果正如第一章的采樣定律中所討論的，如果模擬濾波器的頻響帶限于折疊

16、頻率模擬濾波器的頻響帶限于折疊頻率S/2 以內(nèi)，以內(nèi)，即即 20)(sajH 這時(shí)數(shù)字濾波器的頻響才能不失真地重現(xiàn)模這時(shí)數(shù)字濾波器的頻響才能不失真地重現(xiàn)模擬濾波器的頻響（存在于折疊頻率擬濾波器的頻響（存在于折疊頻率S/2以內(nèi)）以內(nèi)）結(jié)論：結(jié)論： 由于混疊效應(yīng)，脈沖響應(yīng)不變法只適用于帶限由于混疊效應(yīng)，脈沖響應(yīng)不變法只適用于帶限的模擬濾波器，即的模擬濾波器，即低通和帶通濾波器低通和帶通濾波器，而高通和，而高通和帶阻濾波器不宜使用脈沖響應(yīng)不變法。帶阻濾波器不宜使用脈沖響應(yīng)不變法。 但任何一個(gè)實(shí)際的模擬濾波器，其頻響都不可能但任何一個(gè)實(shí)際的模擬濾波器，其頻響都不可能是真正帶限的，因此不可避免地存在頻譜

17、的交疊，是真正帶限的，因此不可避免地存在頻譜的交疊，即混淆，如圖，這時(shí)，數(shù)字濾波器的頻響將不同于即混淆，如圖，這時(shí)，數(shù)字濾波器的頻響將不同于原模擬濾波器的頻響而帶有一定的失真。模擬濾波原模擬濾波器的頻響而帶有一定的失真。模擬濾波器頻響在折疊頻率以上衰減越大，失真則越小，這器頻響在折疊頻率以上衰減越大，失真則越小，這時(shí)，采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器才能得時(shí)，采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。到良好的效果。 )(jeH)(TjHa00脈沖響應(yīng)不變法中的頻響混淆例例1 將一個(gè)具有如下系統(tǒng)函數(shù)將一個(gè)具有如下系統(tǒng)函數(shù) 的模擬濾波器數(shù)字化。的模擬濾波器數(shù)字化。 解：解： 3111

18、) 3)(1(2)(sssssHTTezezzH3111111)(243131)(1)(zeeezeezTTTTT3111) 3)(1(2)(sssssHTTezezzH3111111)(243131)(1)(zeeezeezTTTTT tueethtta3 nTtathnhnTueenTnT3 nuenuenTnT3模擬濾波器的頻率響應(yīng)為模擬濾波器的頻率響應(yīng)為:4)3(2) 3)(1(2)()(2jjjsHjHjsa數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)為數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)為: 顯然顯然 與采樣間隔與采樣間隔T有關(guān)有關(guān),如圖如圖b,T越小越小,衰減越大衰減越大,混疊越小混疊越小,當(dāng)當(dāng) fs=24Hz ,混疊

19、可忽略不計(jì)混疊可忽略不計(jì),為什為什么混迭呢么混迭呢? 2433)(1)()()(jTjTTjTTezjeeeeeeeezHeHj)(jeH小結(jié)小結(jié) 1) )脈沖響應(yīng)不變法的一個(gè)重要特點(diǎn)是脈沖響應(yīng)不變法的一個(gè)重要特點(diǎn)是頻率坐標(biāo)的變換是線性頻率坐標(biāo)的變換是線性的的，與與是線性關(guān)系。是線性關(guān)系。 因此如果模擬濾波器的頻響帶限于折疊頻率以內(nèi)的話，通過變因此如果模擬濾波器的頻響帶限于折疊頻率以內(nèi)的話，通過變換后數(shù)字濾波器的頻響可不失真地反映原響應(yīng)與頻率的關(guān)系。換后數(shù)字濾波器的頻響可不失真地反映原響應(yīng)與頻率的關(guān)系。 例如線性相位的貝塞爾低通濾波器，通過脈沖響應(yīng)不變法例如線性相位的貝塞爾低通濾波器，通過脈沖

20、響應(yīng)不變法得到的仍是線性相位的低通數(shù)字濾波器。得到的仍是線性相位的低通數(shù)字濾波器。 2)在某些場合，要求數(shù)字濾波器在時(shí)域上能在某些場合，要求數(shù)字濾波器在時(shí)域上能模仿模擬濾波模仿模擬濾波器的功能時(shí)，如要實(shí)現(xiàn)時(shí)域沖激響應(yīng)的模仿，一般使用脈沖響器的功能時(shí)，如要實(shí)現(xiàn)時(shí)域沖激響應(yīng)的模仿，一般使用脈沖響應(yīng)不變法。應(yīng)不變法。 TjHeHaj/)()( 3)如果如果Ha(s)是穩(wěn)定的，即其極點(diǎn)在是穩(wěn)定的，即其極點(diǎn)在S左半平面，映射后得到左半平面，映射后得到的的H(Z)也是穩(wěn)定的。也是穩(wěn)定的。 4)4)脈沖響應(yīng)不變法的脈沖響應(yīng)不變法的最大缺點(diǎn)最大缺點(diǎn)：有頻譜周期延拓效應(yīng)有頻譜周期延拓效應(yīng)，因，因此此只能用于帶限

21、的頻響特性，如衰減特性很好的低通或帶通只能用于帶限的頻響特性，如衰減特性很好的低通或帶通，而高頻衰減越大，頻響的混淆效應(yīng)越小，至于高通和帶阻濾波而高頻衰減越大，頻響的混淆效應(yīng)越小，至于高通和帶阻濾波器器, ,由于它們在高頻部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應(yīng)中由于它們在高頻部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應(yīng)中，此時(shí)可增加一保護(hù)濾波器，濾掉高于，此時(shí)可增加一保護(hù)濾波器，濾掉高于 的頻帶，再用脈的頻帶，再用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器，這會(huì)增加設(shè)計(jì)的復(fù)雜性和濾沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器，這會(huì)增加設(shè)計(jì)的復(fù)雜性和濾波器階數(shù)，只有在一定要滿足頻率線性關(guān)系或保持網(wǎng)絡(luò)瞬態(tài)響波器階數(shù)，只有在一定要滿足頻

22、率線性關(guān)系或保持網(wǎng)絡(luò)瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)才采用應(yīng)時(shí)才采用。 2s3.1.2 雙線性變換法雙線性變換法 脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)是頻譜交疊產(chǎn)生的混淆，脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)是頻譜交疊產(chǎn)生的混淆，這是從這是從S平面到平面到Z平面的標(biāo)準(zhǔn)變換平面的標(biāo)準(zhǔn)變換zesT的多值對應(yīng)關(guān)系的多值對應(yīng)關(guān)系導(dǎo)致的導(dǎo)致的,為了克服這一缺點(diǎn)，設(shè)想變換分為兩步：為了克服這一缺點(diǎn)，設(shè)想變換分為兩步： 第一步：將整個(gè)第一步：將整個(gè)S平面壓縮到平面壓縮到S1平面的一條橫帶里；平面的一條橫帶里； 第二步：通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系將此橫帶變換到整個(gè)第二步：通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系將此橫帶變換到整個(gè)Z平平 面上去。面上去。 由此建立由此建立S平面與平面與Z平

23、面一一對應(yīng)的單值關(guān)系，消除多平面一一對應(yīng)的單值關(guān)系，消除多值性，也就消除了混淆現(xiàn)象。值性，也就消除了混淆現(xiàn)象。s平面平面s1平面平面z平面平面雙線性變換法的映射關(guān)系雙線性變換法的映射關(guān)系第一步：將整個(gè)第一步：將整個(gè)S平面壓縮到平面壓縮到S1平面的一平面的一條橫帶里條橫帶里 S平面的平面的j軸軸 S1平面平面j1軸上的軸上的-/T到到/T 一段上，一段上， 壓縮到)2tan(1Tc可通過以下的正切變換實(shí)現(xiàn)：可通過以下的正切變換實(shí)現(xiàn)： 經(jīng)過這樣的頻率變換，經(jīng)過這樣的頻率變換， 當(dāng)當(dāng)由由 時(shí)時(shí), 1由由-/T經(jīng)過變化到經(jīng)過變化到/T ，即，即S平面的整個(gè)平面的整個(gè)j軸被壓縮軸被壓縮到到S1平面的平面

24、的2/T 一段一段。0通常取通常取C=2/T,TsTseecTscs1111)2(th1zzTsTsez1再將再將 S1 平面通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到平面通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到Z平面，即令平面，即令將這一關(guān)系解析擴(kuò)展至整個(gè)將這一關(guān)系解析擴(kuò)展至整個(gè)S平面，則得到平面，則得到S平面到平面到S1平面的映射關(guān)系：平面的映射關(guān)系：第二步：將整個(gè)第二步：將整個(gè)S平面壓縮到平面壓縮到S1平面的一條橫帶里平面的一條橫帶里)2tan(2TzzTs考慮考慮z = ej, jjTjTeeTsjj)2tan(22cos)2/sin(2112最后得最后得S平面與平面與Z平面的單值映射關(guān)系：平面的單值映射關(guān)系： 雙線性換法

25、的主要優(yōu)點(diǎn)是雙線性換法的主要優(yōu)點(diǎn)是S平面與平面與Z平面一一單值對應(yīng)，平面一一單值對應(yīng)，S平面的虛軸平面的虛軸(整個(gè)整個(gè)j)對應(yīng)于對應(yīng)于Z平面平面 單位圓的一周，單位圓的一周，S平面的平面的=0處對應(yīng)于處對應(yīng)于Z平面的平面的=0處，對應(yīng)即數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)處，對應(yīng)即數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)終終 止于折疊頻率處，所以雙線性變換不存在混迭效應(yīng)止于折疊頻率處，所以雙線性變換不存在混迭效應(yīng)。zzTssTsTz2121 現(xiàn)在我們看看，這一變換是否符合我們一開始提現(xiàn)在我們看看，這一變換是否符合我們一開始提出的由模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時(shí)，從出的由模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時(shí)，從 S平面到平面到Z平面映射變換的基

26、本要求：平面映射變換的基本要求： 2222221221|,221221 TTTTzTjTTjTz1| ,0z時(shí)1| ,0z時(shí)1| ,0z時(shí) 即即s s左半平面映射在單位圓內(nèi)，左半平面映射在單位圓內(nèi)，s s右半平面映射在單位圓外，右半平面映射在單位圓外，因此穩(wěn)定的模擬濾波器通過雙線性變換后，所得到的數(shù)字濾波因此穩(wěn)定的模擬濾波器通過雙線性變換后，所得到的數(shù)字濾波器也是穩(wěn)定的。如圖器也是穩(wěn)定的。如圖 圖圖 雙線性變換的頻率非線性關(guān)系雙線性變換的頻率非線性關(guān)系 小結(jié)小結(jié) 1) 與脈沖響應(yīng)不變法相比，雙線性變換的主要優(yōu)點(diǎn)：與脈沖響應(yīng)不變法相比，雙線性變換的主要優(yōu)點(diǎn)：S平平 面與面與Z平面是單值的一一對應(yīng)

27、關(guān)系（靠頻率的嚴(yán)重非線性關(guān)系平面是單值的一一對應(yīng)關(guān)系（靠頻率的嚴(yán)重非線性關(guān)系得到的），即整個(gè)得到的），即整個(gè)j軸單值的對應(yīng)于單位圓一周，關(guān)系式為：軸單值的對應(yīng)于單位圓一周，關(guān)系式為： 可見，可見，和和為非線性關(guān)系，如圖為非線性關(guān)系，如圖2。22tgT 圖圖 雙線性變換的頻率非線性關(guān)系雙線性變換的頻率非線性關(guān)系 由圖中看到，在零頻率附近，由圖中看到，在零頻率附近，接近于線性關(guān)系，接近于線性關(guān)系，進(jìn)進(jìn)一步增加時(shí)，一步增加時(shí)，增長變得緩慢，增長變得緩慢， (終止于折疊終止于折疊頻率處頻率處)，所以雙線性變換不會(huì)出現(xiàn)由于高頻部，所以雙線性變換不會(huì)出現(xiàn)由于高頻部 分超過折疊頻率分超過折疊頻率而混淆到低頻

28、部分去的現(xiàn)象。而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象。,時(shí) 2)雙線性變換缺點(diǎn)雙線性變換缺點(diǎn)： 與與成非線性關(guān)系，導(dǎo)致：成非線性關(guān)系，導(dǎo)致： a. 數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)相對于模擬濾波器的數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)相對于模擬濾波器的幅幅頻響應(yīng)有畸變頻響應(yīng)有畸變，(使數(shù)字濾波器與模擬濾波器在響使數(shù)字濾波器與模擬濾波器在響應(yīng)與頻率的對應(yīng)關(guān)系上發(fā)生畸變應(yīng)與頻率的對應(yīng)關(guān)系上發(fā)生畸變)。 例如，一個(gè)模擬微分器，它的幅度與頻率是直例如，一個(gè)模擬微分器，它的幅度與頻率是直線關(guān)系，但通過雙線性變換后，就不可能得到數(shù)線關(guān)系，但通過雙線性變換后，就不可能得到數(shù)字微分器字微分器bkjHeHbkjHj2tan)()()(2tanb. 線性

29、相位模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后，得到的線性相位模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后，得到的數(shù)字濾波器為非線性相位。數(shù)字濾波器為非線性相位。c.要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)必須是要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)必須是分段恒定的分段恒定的，故雙線性變換只能用于設(shè)計(jì)低通、高通、帶通、帶故雙線性變換只能用于設(shè)計(jì)低通、高通、帶通、帶阻等選頻濾波器。阻等選頻濾波器。 雖然雙線性變換有這樣的缺點(diǎn)，但它雖然雙線性變換有這樣的缺點(diǎn)，但它目前仍是使用得最普遍、最有成效的一種目前仍是使用得最普遍、最有成效的一種設(shè)計(jì)工具。這是因?yàn)榇蠖鄶?shù)濾波器都具有設(shè)計(jì)工具。這是因?yàn)榇蠖鄶?shù)濾波器都具有分段常數(shù)的頻響特性，如低通、高通、帶分段常數(shù)的頻響特性，如低

30、通、高通、帶通和帶阻等，它們在通帶內(nèi)要求逼近一個(gè)通和帶阻等，它們在通帶內(nèi)要求逼近一個(gè)衰減為零的常數(shù)特性，在阻帶部分要求逼衰減為零的常數(shù)特性，在阻帶部分要求逼近一個(gè)衰減為近一個(gè)衰減為的常數(shù)特性，這種特性的的常數(shù)特性，這種特性的濾波器通過雙線性變換后，雖然頻率發(fā)生濾波器通過雙線性變換后，雖然頻率發(fā)生了非線性變化，但其幅頻特性仍保持分段了非線性變化，但其幅頻特性仍保持分段常數(shù)的特性。常數(shù)的特性。 例如，一個(gè)考爾型的模擬濾波器例如，一個(gè)考爾型的模擬濾波器Ha(s)Ha(s)，雙線性變換后，得到的雙線性變換后，得到的H(z)H(z)在通帶與阻帶內(nèi)都在通帶與阻帶內(nèi)都仍保持與原模擬濾波器相同的等起伏特性，只

31、仍保持與原模擬濾波器相同的等起伏特性，只是通帶截止頻率、過渡帶的邊緣頻率，以及起是通帶截止頻率、過渡帶的邊緣頻率，以及起伏的峰點(diǎn)、谷點(diǎn)頻率等臨界頻率點(diǎn)發(fā)生了非線伏的峰點(diǎn)、谷點(diǎn)頻率等臨界頻率點(diǎn)發(fā)生了非線性變化，即畸變。這種頻率點(diǎn)的畸變可以通過性變化，即畸變。這種頻率點(diǎn)的畸變可以通過預(yù)畸來加以校正。預(yù)畸來加以校正。預(yù)畸變：預(yù)畸變： 即將模擬濾波器的臨界頻率事先加以畸變，然后即將模擬濾波器的臨界頻率事先加以畸變，然后通過雙線性變換后正好映射到所需要的頻率上。通過雙線性變換后正好映射到所需要的頻率上。 利用關(guān)系式：利用關(guān)系式： 將所要設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器臨界頻率點(diǎn)將所要設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器臨界頻率點(diǎn) ，變換成

32、對應(yīng)，變換成對應(yīng)的模擬域頻率的模擬域頻率 ，利用此，利用此 設(shè)計(jì)模擬濾波器，再通過設(shè)計(jì)模擬濾波器，再通過雙線性變換，即可得到所需的數(shù)字濾波器，其臨界頻雙線性變換，即可得到所需的數(shù)字濾波器，其臨界頻率正是率正是 。如圖所示。如圖所示。22iitgTiiii雙線性變換時(shí)頻率的預(yù)畸雙線性變換時(shí)頻率的預(yù)畸 )計(jì)算計(jì)算H(z) 雙線性變換比脈沖響應(yīng)法的設(shè)計(jì)計(jì)算更直接和簡雙線性變換比脈沖響應(yīng)法的設(shè)計(jì)計(jì)算更直接和簡單。由于單。由于s與與z之間的簡單代數(shù)關(guān)系，所以從模擬傳遞之間的簡單代數(shù)關(guān)系，所以從模擬傳遞函數(shù)可直接通過代數(shù)置換得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)。函數(shù)可直接通過代數(shù)置換得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)。 置換過

33、程置換過程: 頻響：頻響：11112112)()(11zzTHsHzHazzTsa22)()(22tgTjHjHeHatgTaj 這些都比脈沖響應(yīng)不變法的部分分式分這些都比脈沖響應(yīng)不變法的部分分式分解便捷得多，一般，當(dāng)著眼于濾波器的解便捷得多，一般，當(dāng)著眼于濾波器的時(shí)域瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)，采用脈沖響應(yīng)不變法時(shí)域瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)，采用脈沖響應(yīng)不變法較好，而其他情況下，對于較好，而其他情況下，對于IIRIIR的設(shè)計(jì)，的設(shè)計(jì)，大多采用雙線性變換。大多采用雙線性變換。0)()(dtethjHtjaa0sincos)()(dttjtthjHaa)()(jHjHaa 模擬濾波器的設(shè)計(jì)就是根據(jù)一組設(shè)計(jì)規(guī)范模擬濾波器的設(shè)計(jì)

34、就是根據(jù)一組設(shè)計(jì)規(guī)范設(shè)計(jì)模設(shè)計(jì)模擬系統(tǒng)函數(shù)擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，使其逼近某個(gè)理想濾波器特性。，使其逼近某個(gè)理想濾波器特性。 因果系統(tǒng)中因果系統(tǒng)中式中式中ha(t)為系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，是實(shí)函數(shù)。為系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，是實(shí)函數(shù)。 不難看出不難看出3.2 常用模擬低通濾波器特性常用模擬低通濾波器特性定義振幅平方函數(shù)定義振幅平方函數(shù) 式中式中 Ha(s)模擬濾波器模擬濾波器 系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù) Ha(j)濾波器的頻率響應(yīng)濾波器的頻率響應(yīng) |Ha(j)|濾波器的幅頻響應(yīng)濾波器的幅頻響應(yīng)又又 S=j，2=-S2 A(2)=A(-S2)|S=j) 1 ()()()()()()()()()(222jsaaaaaaas

35、HsHjHjHAjHjHjHA問題：由已知的問題：由已知的A(-S2)Ha(S)？方法：方法：（1）對于給定的對于給定的A(-S2)，先在，先在S復(fù)平面上標(biāo)出復(fù)平面上標(biāo)出A(-S2) 的極點(diǎn)和零點(diǎn)的極點(diǎn)和零點(diǎn)，由，由(1)式知，式知，A(-S2)的極點(diǎn)和零點(diǎn)的極點(diǎn)和零點(diǎn)總是總是“成對出現(xiàn)成對出現(xiàn)”，且對稱于，且對稱于S平面的實(shí)軸和虛平面的實(shí)軸和虛軸，選用軸，選用A(-S2)的對稱極、零點(diǎn)的任一半作為的對稱極、零點(diǎn)的任一半作為Ha(s)的極、零點(diǎn)，則可得到的極、零點(diǎn)，則可得到Ha(s)。（2）為了保證）為了保證Ha(s)的穩(wěn)定性，的穩(wěn)定性，應(yīng)選用應(yīng)選用A(-S2)在在S左左半平面的極點(diǎn)作為半平面

36、的極點(diǎn)作為Ha(s)的極點(diǎn)的極點(diǎn)，零點(diǎn)可選用任一，零點(diǎn)可選用任一半。半。例例2 設(shè)已知設(shè)已知 ，求對應(yīng)的，求對應(yīng)的42212A sHa解：解：42221222ssAsAs sHsHaa sjIm sReO2221j21j21j21j 21212jsjsssH1222sss特點(diǎn)：具有通帶內(nèi)最大平坦的振幅特性，特點(diǎn)：具有通帶內(nèi)最大平坦的振幅特性， 且隨且隨f ，幅頻特性，幅頻特性 單調(diào)單調(diào) 。NcajjjHA22211)()()(2AN為濾波器階數(shù)為濾波器階數(shù)其幅度平方函數(shù)（低通）：其幅度平方函數(shù)（低通）：三種模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)：三種模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)：3.2.1 巴特沃思巴特沃思(Butte

37、rworth)濾波器濾波器 (巴特沃茲逼近巴特沃茲逼近) 巴特沃思濾波器巴特沃思濾波器 振幅平方函數(shù)振幅平方函數(shù)圖中，圖中，N增加，通帶和阻帶的增加，通帶和阻帶的近似性越好，過渡帶越陡。近似性越好，過渡帶越陡。n/c1時(shí)時(shí), (/c)2N 1時(shí)時(shí), (/c)2N 1, 增加增加A(2)快速減小?？焖贉p小。n=c, ， , ,幅度衰減幅度衰減 ， 為為3dB衰減點(diǎn)衰減點(diǎn)。 21jH21)(2ANcajjjHA22211)()(幅度平方函數(shù)（低通）：幅度平方函數(shù)（低通）：2振幅振幅平方函數(shù)的極點(diǎn)：平方函數(shù)的極點(diǎn)：NcaajSSHSH2)(11)()()() 1(21cNPjSNkeeeScNkjc

38、jNkjP21)()(221222112 令分母為零，得令分母為零，得Butterworth濾波器濾波器 的振幅平方函數(shù)有的振幅平方函數(shù)有2N個(gè)極點(diǎn)，它們均勻?qū)ΨQ地分布在個(gè)極點(diǎn)，它們均勻?qū)ΨQ地分布在|S|=c的圓的圓周上。周上。三階三階A(-S2)的極點(diǎn)分布的極點(diǎn)分布 N=3時(shí)，時(shí)，考慮到系統(tǒng)的穩(wěn)定性，知考慮到系統(tǒng)的穩(wěn)定性，知AF的系統(tǒng)函數(shù)是由的系統(tǒng)函數(shù)是由S平面左半部分的極點(diǎn)（平面左半部分的極點(diǎn)（SP1，SP2，SP3）組成的，它們分別）組成的，它們分別為：為：3232321,jcpcpjcpeSSeS)()()(3213pppcaSSSSSSsH1221)(23SSSsHa1)/(2)/(

39、2)/(1)(23cccassssH系統(tǒng)函數(shù)為：系統(tǒng)函數(shù)為：1c令令 ，得歸一化的三階，得歸一化的三階BF：如果要還原的話，則有如果要還原的話，則有補(bǔ)充：確定除數(shù)補(bǔ)充：確定除數(shù)N及及c c1. 確定確定N(已知通帶邊頻已知通帶邊頻1、通帶波動(dòng)、通帶波動(dòng)、阻帶邊頻阻帶邊頻r、阻帶最小衰耗、阻帶最小衰耗At)NcjH21211lg101lg10NcrrjHAt221lg101lg10NcjHA221lg101lg101 . 021101NcAtNcr1 . 021011101 . 021Nc1101 . 02AtNcr1101101 . 01 . 021AtNr110110lglg21 . 01

40、. 01AtrN11 . 01 . 0lg110110lg21rAtN2. 確定確定c1101 . 021Nc1101 . 02AtNcrNc211 . 01110NAtrc211 . 0110若已知衰減為若已知衰減為3dB的頻率點(diǎn)，此頻率點(diǎn)即為的頻率點(diǎn)，此頻率點(diǎn)即為c3.2.2 切比雪夫（切比雪夫（chebyshev）濾波器）濾波器 (切比雪夫多項(xiàng)切比雪夫多項(xiàng)式逼近式逼近) 特點(diǎn)：誤差值在規(guī)定的頻段上等幅變化特點(diǎn)：誤差值在規(guī)定的頻段上等幅變化。 巴特沃茲巴特沃茲濾波器濾波器在通帶內(nèi)幅度特性是單調(diào)下降的在通帶內(nèi)幅度特性是單調(diào)下降的，如果階次一定，則在靠近截止，如果階次一定，則在靠近截止頻率頻率

41、 處，幅度下處，幅度下降很多，或者說，為了使通常內(nèi)的衰減足夠小，需要降很多，或者說，為了使通常內(nèi)的衰減足夠小，需要的階次（的階次（N）很高，為了克服這一缺點(diǎn)，采用切比雪）很高，為了克服這一缺點(diǎn)，采用切比雪夫多項(xiàng)式逼近所希望的夫多項(xiàng)式逼近所希望的 。 切比雪夫切比雪夫?yàn)V波器濾波器的的 在通帶范圍內(nèi)是等幅在通帶范圍內(nèi)是等幅起伏的，所以同樣的通帶衰減，其階數(shù)較巴特沃茲起伏的，所以同樣的通帶衰減，其階數(shù)較巴特沃茲濾濾波器波器要小?？筛鶕?jù)需要對通帶內(nèi)允許的衰減量（波動(dòng)要小。可根據(jù)需要對通帶內(nèi)允許的衰減量（波動(dòng)范圍）提出要求，如要求波動(dòng)范圍小于范圍）提出要求，如要求波動(dòng)范圍小于1db。 c2)( jH2)

42、( jH振幅平方函數(shù)為振幅平方函數(shù)為)(11)()(2222cNaVjHAc1)coshcosh(1)coscos()(11xxNxxNxVN)(, 11)(,1xVxxxVxNN時(shí)有效通帶截止頻率有效通帶截止頻率與通帶波紋有關(guān)的參量，與通帶波紋有關(guān)的參量， 大大 ，波紋大。，波紋大。 0 1 VN（x）N階切比雪夫多項(xiàng)式，定義為階切比雪夫多項(xiàng)式，定義為 如圖如圖1,通帶內(nèi)通帶內(nèi) 變化范圍變化范圍1 c，隨，隨/c ， 0 (迅速趨于零迅速趨于零)當(dāng)當(dāng) =0時(shí)，時(shí)， N為偶數(shù)，為偶數(shù)， ，min ， N為奇數(shù)，為奇數(shù)， ， max，)2(cos11)0arccos(cos11)(22220NN

43、jHa22011)(jHa1)(02jHa1)2(cos2N0)2(cos2N2111c2a)( jH2a)( jH 切比雪夫?yàn)V波器的振幅平方特性切比雪夫?yàn)V波器的振幅平方特性 2min111lg20)(1lg20jHa)1lg(1021101 . 02)(dB221)(,AjHar時(shí) 給定通帶波紋值分貝數(shù)給定通帶波紋值分貝數(shù) 后，可求后，可求 。有關(guān)參數(shù)的確定有關(guān)參數(shù)的確定: a、通帶截止頻率、通帶截止頻率c ，預(yù)先給定，預(yù)先給定 b、通帶波動(dòng)為、通帶波動(dòng)為 c、階數(shù)N由阻帶的邊界條件確定。（ 、A事先給定） 222111AVcrNr221)(,AjHar時(shí)crNarAarNxNarxVx/c

44、osh/1cosh)coshcosh()(,12得時(shí)22maxlg101lg10AjHAtaAtA1 . 0210crAtararNcosh110110cosh1 . 01 . 0 3、橢圓濾波器（考爾濾波器） 特點(diǎn)：幅值響應(yīng)在通帶和阻帶內(nèi)都是等波紋的，對于給定的階數(shù)和給定的波紋要求，橢圓濾波器能獲得較其它濾波器更窄的過渡帶寬，就這點(diǎn)而言，橢圓濾波器是最優(yōu)的。 其振幅平方函數(shù)為RN（，L）雅可比橢圓函數(shù)L表示波紋性質(zhì)的參量),(11)()(2222LRjHANa N=5， 的特性曲線 可見，在歸一化通帶內(nèi)（-11）， 在（0，1）間振蕩，而超過L后， 在 間振蕩。這一特點(diǎn)使濾波器同時(shí)在通帶和阻

45、帶具有任意衰減量。 ),(25LR2L),(25LR),(25LR 下圖為典型的橢園濾波器振幅平方函數(shù) 橢圓濾波器的振幅平方函數(shù) 圖中和A的定義 同切比雪夫?yàn)V波器rr當(dāng)c、r、和A確定后，階次N的確定方法為：)1()()1()(1/212121kKkKkKkKNAkkrc確定參量確定參數(shù)2/1222/1210)1 ()1 ()(tktdtkK式中 為第一類完全橢圓積分 上面討論了三種最常用的模擬低通濾波器的特性和設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)時(shí)按照指標(biāo)要求，合理選用。 一般，相同指標(biāo)下，橢圓濾波器階次最低，切比雪夫次之，巴特沃茲最高，參數(shù)的靈敏度則恰恰相反。 以上討論了由A（2 ）Ha (s),下面討論由Ha

46、(s)H(Z)的變換設(shè)計(jì)法。3.3 從模擬濾波器低通原型到各種從模擬濾波器低通原型到各種數(shù)字濾波器的頻率變換（原型變換）數(shù)字濾波器的頻率變換（原型變換）模擬原型模擬低通、高通帶通、帶阻數(shù)字低通、高通帶通、帶阻原型變換映射變換原型變換3.3.1 低通變換低通變換 通過模擬原型設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的四個(gè)步驟：通過模擬原型設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的四個(gè)步驟：1）確定數(shù)字濾波器的性能要求，確定各臨界頻率）確定數(shù)字濾波器的性能要求，確定各臨界頻率 k。2）由變換關(guān)系將）由變換關(guān)系將k映射到模擬域，得出模擬濾波映射到模擬域，得出模擬濾波 器的臨界頻率值器的臨界頻率值k。3）根據(jù)）根據(jù)k設(shè)計(jì)模擬濾波器的設(shè)計(jì)模擬濾波器的Ha

47、(s)4） 把把Ha(s) 變換成變換成H(z)（數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)）（數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)）3212211)(ssssHa解：解：例例3 設(shè)采樣周期設(shè)采樣周期 ，用脈沖響應(yīng)不變，用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)一個(gè)三階巴特沃茲低通濾波器法設(shè)計(jì)一個(gè)三階巴特沃茲低通濾波器,其其3dB邊界頻邊界頻率率 。)4(250khzfsTskHzfc1Tfcc2610250100025 . 02000Tcc數(shù)字濾波器的邊界頻率為：數(shù)字濾波器的邊界頻率為：模擬濾波器的邊界頻率為：模擬濾波器的邊界頻率為：歸一化模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：歸一化模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：(1)脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法32)/()/( 2)/(

48、211)(cccassssH得模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：得模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：2313231366jsejsescjccjccc得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為： 1231612316113131zeezeezezHjjcjjccccc 1231612316113131zeeTzeeTzeTzHjjcjjccccc12316123161131311zeezeezeTjjcjjccccc21212123cos21623cos26cos2311zezezezeTcccccccc21112079. 01905. 015541. 05708. 12079. 015708. 11zz

49、zzT 可見，可見，H(z)與采樣周期與采樣周期T有關(guān)，有關(guān)，T越小，越小， H(z)的相對增益越大。為此，實(shí)際應(yīng)用脈沖的相對增益越大。為此，實(shí)際應(yīng)用脈沖 響應(yīng)不變法時(shí)稍作一點(diǎn)修改，即響應(yīng)不變法時(shí)稍作一點(diǎn)修改，即求出求出H(z)后后 再乘以因子再乘以因子T,使使H(z)只與只與 有關(guān)，即只與有關(guān)，即只與 fc和和fs的相對值的相對值 有關(guān)，而與采樣頻率有關(guān)，而與采樣頻率fs無直無直 接關(guān)系。接關(guān)系。 例如，例如， 與與 的數(shù)字濾波器具有相同的傳遞函數(shù)，這一結(jié)的數(shù)字濾波器具有相同的傳遞函數(shù)，這一結(jié) 論適合于所有的數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)。論適合于所有的數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)。 最后得：最后得：scff /2111

50、2079. 01905. 015541. 0571. 12079. 01571. 1)(zzzzZHCKHzfKHzfcs10,40KHzfKHzfcs1,43212211)(ssssHa解：解：例例4 設(shè)采樣周期設(shè)采樣周期 ，用雙線性變換法，用雙線性變換法設(shè)計(jì)一個(gè)三階巴特沃茲低通濾波器設(shè)計(jì)一個(gè)三階巴特沃茲低通濾波器,其其3dB邊界頻邊界頻率率 。)4(250khzfsTskHzfc1Tfcc2610250100025 . 0TTcc22tan2數(shù)字濾波器的邊界頻率為：數(shù)字濾波器的邊界頻率為：模擬濾波器的邊界頻率為：模擬濾波器的邊界頻率為：歸一化模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：歸一化模擬濾波器的系統(tǒng)函

51、數(shù)為：(2)雙線性變換法雙線性變換法32)2/()2/( 2)2/( 211)(TsTsTssHa得模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：得模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為： 11112zzTsasHzH311211111111211211zzzzzz2313121zz 圖1 三階Butterworth 數(shù)字濾波器的頻響脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法fs/2我們也可以用我們也可以用MATLAB完成設(shè)計(jì)，在完成設(shè)計(jì)，在MATLAB中相關(guān)中相關(guān)的語句有的語句有butter（巴特沃茲濾波器）、（巴特沃茲濾波器）、impinvar（脈沖響（脈沖響應(yīng)不變法）、應(yīng)不變法）、bili

52、near（雙線性變換），具體的程序如下：（雙線性變換），具體的程序如下：B,A=butter(3,2*pi*1000,s);%巴特沃斯巴特沃斯3階階AF num1,den1=impinvar(B,A,4000);%Impulse invariance h1,w=freqz(num1,den1); B,A=butter(3,2/0.00025,s); num2,den2=bilinear(B,A,4000);%雙線性變換法雙線性變換法 h2,w=freqz(num2,den2); f=w/pi*2000; plot(f,abs(h1),-.,f,abs(h2),-); grid; xlabel(

53、頻率頻率/Hz ) ylabel(幅值幅值)020040060080010001200140016001800200000.10.20.30.40.50.60.70.80.91頻 率 / Hz幅值頻率/Hz三階巴特沃茲濾波器的頻率響應(yīng)幅度/dBB,A=butter(N,Wn)設(shè)計(jì)一個(gè)設(shè)計(jì)一個(gè)N階低通巴特沃斯數(shù)字濾波器階低通巴特沃斯數(shù)字濾波器(雙線性變換法雙線性變換法)，Wn截止頻率，截止頻率，0Wn HP 。b. 高通變換高通變換jjjeee1,00LP-HP變換把變換把在上述在上述LP-LP 變換中，將變換中，將 Z代以代以Z , 得得 LP - HP變換關(guān)系：變換關(guān)系：1111111zzz

54、zu 原型低通的截止頻率原型低通的截止頻率 對應(yīng)于高通的邊界頻對應(yīng)于高通的邊界頻率率 ，欲將，欲將 變換到變換到 ：cccccccjjjeee12cos2coscccc:確定ccccjjjeee1ccLP Hp變換00 LP - HP變換變換例例8 低通數(shù)字濾波器的通帶邊界頻率低通數(shù)字濾波器的通帶邊界頻率 的的切比雪夫?yàn)V波器切比雪夫?yàn)V波器求邊界頻率求邊界頻率 的數(shù)字高通濾波器。的數(shù)字高通濾波器。2 . 0c6 . 0c)8482. 04996. 11)(6493. 05548. 11 ()1 (001836. 0)(2121411uuuuuuHp38197. 02/ )2 . 06 . 0co

55、s(2/ )2 . 06 . 0cos(11138197. 0138197. 0zzu)7647. 0556. 01)(4019. 00416. 11 ()1 (02426. 0)()(11114138197. 0138197. 01111zzzzzuHzHzzup3.4.3 數(shù)字低通數(shù)字低通-數(shù)字帶通數(shù)字帶通0000000 2,0N即全通函數(shù)的階數(shù)為時(shí)， 所以全通函數(shù)取負(fù)號(hào)。，時(shí), 1)1 (,0g帶通的中心頻率應(yīng)對應(yīng)于低通原型的通帶中心，帶通的中心頻率應(yīng)對應(yīng)于低通原型的通帶中心，即即11zGu1*1*111zzzz由以上分析得變換關(guān)系：由以上分析得變換關(guān)系：1)(1122211211zrz

56、rrzrzzgu1122212jjjjjererreree或：或：LP-BP變換變換102cc00LP-BP頻率關(guān)系頻率關(guān)系 3.4.4 數(shù)字低通數(shù)字低通-數(shù)字帶阻數(shù)字帶阻0000002N 0故，又又 g(1)=1, 所以，全通函數(shù)取正號(hào)。所以，全通函數(shù)取正號(hào)。帶阻的中心頻率帶阻的中心頻率由以上分析得變換關(guān)系：由以上分析得變換關(guān)系： 或或 1)(1122211211zrzrrzrzzgu1122212jjjjjererrereeLP-BS變換變換201cc)(jeH00LP-BS頻率變換關(guān)系頻率變換關(guān)系3.5 IIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法3.5.1 帕德（帕德（P

57、ade）逼近法）逼近法Hd(n)是一個(gè)理想濾波器的單位脈沖響應(yīng)。是一個(gè)理想濾波器的單位脈沖響應(yīng)。用一個(gè)因果濾波器逼近該理想濾波器，其單位脈沖用一個(gè)因果濾波器逼近該理想濾波器，其單位脈沖響應(yīng)為響應(yīng)為h(n)，則系統(tǒng)函數(shù)為：，則系統(tǒng)函數(shù)為：0101)()(nNiiiMiiinzbzaznhzH求得求得H(z)的的N+M+1個(gè)待定的系數(shù)，使得個(gè)待定的系數(shù)，使得h(n)=hd(n),n=0,1,N+M。首先將首先將 寫成以下形式寫成以下形式)(/ )()(zBzAzH)()()(zAzHzB在時(shí)域，等式左邊相當(dāng)于一個(gè)卷積在時(shí)域，等式左邊相當(dāng)于一個(gè)卷積)()()()()(*)(1nainhibnhnhn

58、bNiNM1,Mn , 0M0,1,n ),()()()(1nainhibnhNidd令令h(n)=hd(n),n=0,N+M，就可以得到，就可以得到N+M-1個(gè)線性方程，求解個(gè)線性方程，求解N+M-1個(gè)未知數(shù)個(gè)未知數(shù)分兩步求解方程，第一步是由最后分兩步求解方程，第一步是由最后N個(gè)方程求個(gè)方程求系數(shù)系數(shù)b(i)，可以寫成如下的矩陣形式：，可以寫成如下的矩陣形式：)() 2() 1()() 2 () 1 ()() 2() 1() 2()() 1() 1() 1()(NMhMhMhMbbbMhNMhNMhNMhMhMhNMhMhMhdddddddddddd第二步由前第二步由前M+1個(gè)方程求系數(shù)個(gè)方

59、程求系數(shù)a(i)M0,1,n , )()()()(1Niddinhibnhna雖然帕德逼近法可以使雖然帕德逼近法可以使h(n)在在n0,1, ,M+N 范圍內(nèi)很好地逼近范圍內(nèi)很好地逼近hd(n)，但在，但在nM+N時(shí)，對時(shí)，對h(n)沒有約束，沒有約束，h(n)不能很好地逼近不能很好地逼近hd(n)。3.5.2 普羅尼（普羅尼（Prony）算法）算法用最小二乘法設(shè)計(jì)濾波器，問題就在于求使用最小二乘法設(shè)計(jì)濾波器，問題就在于求使最小的系數(shù)最小的系數(shù)a(i)和和b(i).由于由于 是系數(shù)是系數(shù)a(i)和和b(i)的非線性函數(shù)，一的非線性函數(shù)，一般來說求解這個(gè)最小化問題非常困難。般來說求解這個(gè)最小化問

60、題非常困難。Undnhnh02)()(Prony法用如下兩步過程求一個(gè)近似的最小法用如下兩步過程求一個(gè)近似的最小二乘解：二乘解：第一步是求系數(shù)第一步是求系數(shù)b(i) ，使下式最?。?，使下式最小：其中其中使使 最小的系數(shù)最小的系數(shù)b(i)可以通過令可以通過令 對對b(i)的偏的偏導(dǎo)等于零求得，即導(dǎo)等于零求得，即12)(MnneNiddinhibnhne1)()()()(0)(ib求未知系數(shù)求未知系數(shù)b(i)，也就是求解以下線性方程組：，也就是求解以下線性方程組：其中其中一旦確定了一旦確定了b(i)，就可以用帕德法來求系數(shù)，就可以用帕德法來求系數(shù)a(i)。)0 ,()0 , 2()0 , 1 ()