dsp的IIR濾波器設(shè)計(jì)

1、IIR濾波器設(shè)計(jì)IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的設(shè)計(jì)就是確定各系數(shù)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的設(shè)計(jì)就是確定各系數(shù)ak,bk或零極點(diǎn)或零極點(diǎn)ck，dk和和A，以使濾波器滿足給定的性能要求。通常有以下兩種方法：以使濾波器滿足給定的性能要求。通常有以下兩種方法：1）利用模擬濾波器的理論來設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器利用模擬濾波器的理論來設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器先設(shè)計(jì)一個(gè)合適的模擬濾波器；然后變換成滿足預(yù)定指標(biāo)的數(shù)字濾波先設(shè)計(jì)一個(gè)合適的模擬濾波器；然后變換成滿足預(yù)定指標(biāo)的數(shù)字濾波器。這種方法很方便，因?yàn)槟M的網(wǎng)絡(luò)綜合理論已經(jīng)發(fā)展得很成熟，器。這種方法很方便，因?yàn)槟M的網(wǎng)絡(luò)綜合理論已經(jīng)發(fā)展得很成熟，模擬濾波器具有很多簡單而又現(xiàn)成的設(shè)計(jì)公式，并且

2、設(shè)計(jì)參數(shù)已經(jīng)表模擬濾波器具有很多簡單而又現(xiàn)成的設(shè)計(jì)公式，并且設(shè)計(jì)參數(shù)已經(jīng)表格化了，另外，還有一些典型的濾波器類型可供使用，設(shè)計(jì)起來既方格化了，另外，還有一些典型的濾波器類型可供使用，設(shè)計(jì)起來既方便又準(zhǔn)確。便又準(zhǔn)確。2）最優(yōu)化設(shè)計(jì)法）最優(yōu)化設(shè)計(jì)法最優(yōu)化設(shè)計(jì)法一般分兩步來進(jìn)行最優(yōu)化設(shè)計(jì)法一般分兩步來進(jìn)行:第一步要選擇一種最優(yōu)準(zhǔn)則。例如，選擇最小均方誤差準(zhǔn)則，最大誤第一步要選擇一種最優(yōu)準(zhǔn)則。例如，選擇最小均方誤差準(zhǔn)則，最大誤差最小準(zhǔn)則等。差最小準(zhǔn)則等。第二步，求在此最佳準(zhǔn)則下濾波器系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)。第二步，求在此最佳準(zhǔn)則下濾波器系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)。這種設(shè)計(jì)需要進(jìn)行大量的迭代運(yùn)算，故離不開計(jì)算機(jī)。所以最優(yōu)化

3、方這種設(shè)計(jì)需要進(jìn)行大量的迭代運(yùn)算，故離不開計(jì)算機(jī)。所以最優(yōu)化方法又稱為計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)法。法又稱為計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)法。由模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器步驟：由模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器步驟：1、數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器指標(biāo)；、數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器指標(biāo)；2、模擬低通濾波器設(shè)計(jì)；、模擬低通濾波器設(shè)計(jì)；（設(shè)計(jì)出符合要求的模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)（設(shè)計(jì)出符合要求的模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，可以選擇多種類型的濾波器）可以選擇多種類型的濾波器）3、映射實(shí)現(xiàn)：從模擬低通濾波器再轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器、映射實(shí)現(xiàn)：從模擬低通濾波器再轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器G(z) ；（利用一定的映射方法，把模擬濾波

4、器系統(tǒng)函數(shù)數(shù)字化，如雙線性變換法（利用一定的映射方法，把模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)數(shù)字化，如雙線性變換法和脈沖響應(yīng)不變法）和脈沖響應(yīng)不變法）理想低通濾波器理想低通濾波器： cc)( jHrT模擬低通濾波器設(shè)計(jì)模擬低通濾波器設(shè)計(jì)濾波器特性濾波器特性典型的模擬低通濾波器幅度響應(yīng)指標(biāo)濾波器特性：濾波器特性：通帶 0 p 中，ppapforjH,1)(1阻帶 s 中，ssaforjH,)(p: 通帶截止頻率s: 阻帶截止頻率p: 通帶波紋s: 阻帶波紋p: 通帶峰值波紋s:最小阻帶衰減dBpp)1 (log2010dBss10log20模擬低通濾波器的歸一化幅度指標(biāo)c11/Ap c s)( jH211兩個(gè)參數(shù)

5、：兩個(gè)參數(shù)：過渡比或選擇性參數(shù)分辨參數(shù)spk121Akl 模擬濾波器類型模擬濾波器類型l 巴特沃茲（Butterworth filter） l 切比雪夫（Chebyshev filter）l 橢圓（Elliptic filter）l 貝塞爾（Bessel filter）巴特沃斯濾波器巴特沃斯濾波器 ccssH1/12cajHn階巴特沃斯濾波器階巴特沃斯濾波器1/12ncajHNNnnNaasasasassH122111)(歸一化形式（c=1）1階巴特沃斯濾波器階巴特沃斯濾波器.)1(,)()(2/)12(211NNljccNlNllNaejppscsH巴特沃斯巴特沃斯濾波器的濾波器的特性：特性

6、：1、 =0處的最大平坦幅度特性（前最大平坦幅度特性（前2N-1階導(dǎo)數(shù)為階導(dǎo)數(shù)為0）2、-3dB截止頻率（參數(shù)截止頻率（參數(shù)c ）截止頻率dBdBjHGcac3: 3)2/1 (log10)(log10)( c102103、滾降的陡峭度（參數(shù)、滾降的陡峭度（參數(shù)N） 6)(log10)( 1212102c112NdBGGN時(shí)，012300.81MagnitudeButterworth FilterN = 2N = 4N = 10幅度響應(yīng)與相位響應(yīng)幅度響應(yīng)與相位響應(yīng)巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器可以由參數(shù)巴特沃斯濾波器可以由參數(shù) c和和N完全確定?？梢酝?/p>

7、過指定通帶完全確定?？梢酝ㄟ^指定通帶截止頻率、最小通帶幅度、阻帶截止頻率和最大阻帶波紋來確定截止頻率、最小通帶幅度、阻帶截止頻率和最大阻帶波紋來確定這兩個(gè)參數(shù)。這兩個(gè)參數(shù)。2212211()(1) , (1)1 (/)1apNpcHj 2222211(), (2)1 (/) .asNscpsHjA 其中，：通帶截止頻率； ： 阻帶截止頻率。22101011010log (1)/log (1/). (3)2 log (/)log (1/ ) N(1)(2)spcAkNk 可由和或確定。1 ( )1 1 5 40.apsHsfkHzdBfkHzdB例 ：確定低通濾波器的最低階數(shù)，使其滿足下列指標(biāo)：

8、在通帶內(nèi)具有最大平坦特性，在時(shí)，衰減為；在時(shí)衰減不小于22221(1) ,1 10log1,1 0.25895.1 10log40, 10,000 1/196.513341/5000/100AAAkk 確定和由此可得：因此。1011005log (1/) 3log (1/ )kNk4,2811. 3)/1 (log)/1 (log10110NkkN取的最小衰減有dB4051334.1961121Ak51pskN=4N=10N=21 scp221112 )( AjHButterworth 濾波器設(shè)計(jì)舉例濾波器設(shè)計(jì)舉例(II)切比雪夫?yàn)V波器切比雪夫?yàn)V波器切比雪夫?yàn)V波器1型濾波器：)/(11)(22

9、2pNaTjH.)(1)( ,2),()(2)( : .1),coshcosh(, 1),coscos()(102111TTrTTTNNTr-r-rN，且迭代關(guān)系切比雪夫多項(xiàng)式：幅度響應(yīng)幅度響應(yīng)特點(diǎn)：特點(diǎn)：1、通帶內(nèi)具有等波紋；、通帶內(nèi)具有等波紋；2、阻帶內(nèi)單調(diào)下降、阻帶內(nèi)單調(diào)下降012300.81MagnitudeType 1 Chebyshev FilterN = 2N = 3N = 8.)(,sin,sin., 2 , 1,)()(: )(/ 11121212) 12(2) 12(1222NNlplNlpllllNllNcaNljppssH系統(tǒng)函數(shù)：系統(tǒng)函數(shù)：與巴特沃斯

10、濾波器的主要區(qū)別：與巴特沃斯濾波器的主要區(qū)別：1. Butterworth濾波器頻率特性，無論在通帶與阻帶都隨頻率而濾波器頻率特性，無論在通帶與阻帶都隨頻率而單調(diào)變化單調(diào)變化，因此如果在通帶邊緣滿足指標(biāo)，則在通帶內(nèi)肯定會(huì)有富裕量，也就是會(huì)超因此如果在通帶邊緣滿足指標(biāo)，則在通帶內(nèi)肯定會(huì)有富裕量，也就是會(huì)超過指標(biāo)的要求，因而并不經(jīng)濟(jì)。過指標(biāo)的要求，因而并不經(jīng)濟(jì)。2. 更有效的方法是將指標(biāo)的精度要求均勻地分布在通帶內(nèi)，或均勻分布在更有效的方法是將指標(biāo)的精度要求均勻地分布在通帶內(nèi)，或均勻分布在阻帶內(nèi)，或同時(shí)均勻在通帶與阻帶內(nèi)，這時(shí)就可設(shè)計(jì)出階數(shù)較低的濾波器。阻帶內(nèi)，或同時(shí)均勻在通帶與阻帶內(nèi)，這時(shí)就可設(shè)

11、計(jì)出階數(shù)較低的濾波器。這種精度均勻分布的辦法可通過選擇具有這種精度均勻分布的辦法可通過選擇具有等波紋特性等波紋特性的逼近函數(shù)來完成。的逼近函數(shù)來完成。012300.81MagnitudeType 1 Chebyshev FilterN = 2N = 3N = 8012300.81MagnitudeButterworth FilterN = 2N = 4N = 10切比雪夫?yàn)V波器切比雪夫?yàn)V波器2型濾波器型濾波器：222)/()/(11)(sNpsNaTTjH.) 1(,sin,sin,., 2 , 1,)()()(: )(/ 1221212) 12(2) 12

12、(110222222NNlplNlpllllllNllNllaAANljppszsCsHlllsllls系統(tǒng)函數(shù)：幅度響應(yīng)幅度響應(yīng)特點(diǎn)：特點(diǎn)：1、通帶內(nèi)單調(diào)下降；、通帶內(nèi)單調(diào)下降；2、阻帶內(nèi)具有等波紋、阻帶內(nèi)具有等波紋012300.81MagnitudeType 2 Chebyshev FilterN = 3N = 5N = 7階數(shù)估計(jì)：2122221)/(coshcosh11)/(11)(ANTjHpspsNsa)/1 (cosh)/1 (cosh)/(cosh)/1(cosh111121kkANps ( )1 1 5 40.apsHsfkHzdBfkHzdB例：設(shè)計(jì)切比雪

13、夫低通濾波器的最低階數(shù)，使其滿足下列指標(biāo)：時(shí)，衰減為；在時(shí)衰減不小于222(1) ,1 10log1,1 0.25895. 1 10logAA, A 確定和由此可得：同樣由下式可求得2111140, 10,000 1196.513341/5000/10005cosh (1/) 2.605913cosh (1/ )A/kkkNk 因此，。，橢圓濾波器橢圓濾波器）（pNaRjH/11)(222其中RN（x）是雅可比(Jacobi) 橢圓函數(shù)，為與通帶衰減有關(guān)的參數(shù)。 特點(diǎn)：1、橢圓低通濾波器是一種零、極點(diǎn)型濾波器，它在有限頻 率范圍內(nèi)存在傳輸零點(diǎn)和極點(diǎn)。2、橢圓低通濾波器的通帶和阻帶都具有等波紋特

14、性，因此通帶，阻帶逼近特性良好。 3、對(duì)于同樣的性能要求，它比前兩種濾波器所需用的階數(shù)都低，而且它的過渡帶比較窄。橢圓濾波器的幅度響應(yīng)橢圓濾波器的幅度響應(yīng)：)( jH階數(shù)估計(jì)：階數(shù)估計(jì)：)/1 (log)/4(log210110kN 201121kkkk13090500)(150)(15)(2 ( )1 1 5 40.apsHsfkHzdBfkHzdB例：確定橢圓低通濾波器的最低階數(shù)，使其滿足下列指標(biāo)：時(shí)，衰減為；在時(shí)衰減不小于222 ,1 10log1,1 0.25895. 1 10logAA, A 確定和由此可得：同樣由下式可求得21040, 10,000 1196.513340.2 0.

15、9797960.002551350.0025513525 2.A/kkkN 因此，。，23308N = 3幾種濾波器比較幾種濾波器比較：響應(yīng)時(shí)，幾種濾波器的幅頻阻帶衰減為通帶波紋為當(dāng)濾波器指標(biāo)為：)(60;5 . 0;/600;/500jHdBdBsradsradsp 四種濾波器的比較：四種濾波器的比較：巴特沃斯：通帶和阻帶均具有平滑幅度巴特沃斯：通帶和阻帶均具有平滑幅度切比雪夫切比雪夫I型：通帶內(nèi)等波紋，阻帶平滑型：通帶內(nèi)等波紋，阻帶平滑切比雪夫切比雪夫II型：阻帶內(nèi)等波紋，通帶平滑型：阻帶內(nèi)等波紋，通帶平滑橢圓：通帶、阻帶內(nèi)具有等波紋特性橢圓：通帶、阻帶內(nèi)具有等波紋特性 在相同條件下（階數(shù)

16、、波紋等），過渡帶寬度：在相同條件下（階數(shù)、波紋等），過渡帶寬度： 巴特沃斯巴特沃斯切比雪夫切比雪夫橢圓橢圓 相位：巴特沃斯、切比雪夫在通帶相位：巴特沃斯、切比雪夫在通帶3/4內(nèi)近似線性內(nèi)近似線性相位，橢圓在通帶相位，橢圓在通帶1/2內(nèi)近似線性相位內(nèi)近似線性相位P162 圖圖4.27線性相位濾波器線性相位濾波器實(shí)現(xiàn)模擬濾波器的線性相位的方法：l 串聯(lián)全通濾波器l 貝塞爾濾波器（Bessel lowpass filter）：在通帶內(nèi)逼近線性相位特性NNNNssdsdddsBdsH111000)()(1)(1 ssB33)(22sssB)()() 12()(221sBssBNsBNNN1, 1 ,

17、 0,)!( !2)!2(NllnllNdlNl圖4.22，通帶近似線性相位，但是幅度響應(yīng)最差。使用使用MATLAB進(jìn)行模擬濾波器設(shè)計(jì)進(jìn)行模擬濾波器設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器巴特沃斯濾波器z,p,k=buttap(N)num,den=butter(N,Wn,s)num,den=butter(N,Wn,type,s)N,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,s,)切比雪夫切比雪夫I型濾波器型濾波器z,p,k=cheb1ap(N,Rp)num,den=cheby1(N,Rp,Wn,s)num,den=cheby1(N,Rp,Wn,type,s)N,Wn=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,s

18、,)切比雪夫切比雪夫II型濾波器型濾波器z,p,k=cheb2ap(N,Rp)num,den=cheby2(N,Rp,Wn,s)num,den=cheby2(N,Rp,Wn,type,s)N,Wn=cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs,s,)橢圓濾波器橢圓濾波器z,p,k=ellipap(N,Rp,Rs)num,den=ellip(N,Rp,Rs,Wn,s)num,den=ellip(N,Rp,Rs,Wn,type,s)N,Wn=ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs,s,)貝塞爾濾波器濾波器貝塞爾濾波器濾波器z,p,k=besselap(N)num,den=besself(N,Wn)n

19、um,den=besself(N,Wn,type)l 將模擬原型傳輸函數(shù)將模擬原型傳輸函數(shù)Ha(s)變換成所需的數(shù)字變換成所需的數(shù)字IIR傳輸函數(shù)傳輸函數(shù)G(z)的基本思的基本思路就是要把路就是要把s域映射到域映射到z域，從而使數(shù)字濾波器能保持模擬濾波器的基本頻域，從而使數(shù)字濾波器能保持模擬濾波器的基本頻率響應(yīng)特性，因此，這種映射函數(shù)必須滿足以下要求率響應(yīng)特性，因此，這種映射函數(shù)必須滿足以下要求：l s平面的虛軸（平面的虛軸（j）必須映射到）必須映射到z平面的單位圓上。平面的單位圓上。 l 穩(wěn)定的模擬傳輸函數(shù)能變換為穩(wěn)定的數(shù)字傳輸函數(shù)。穩(wěn)定的模擬傳輸函數(shù)能變換為穩(wěn)定的數(shù)字傳輸函數(shù)。IIR濾波器

20、設(shè)計(jì)的雙線性變換法濾波器設(shè)計(jì)的雙線性變換法 l 有很多種變換方法可以將一個(gè)模擬傳輸函數(shù)有很多種變換方法可以將一個(gè)模擬傳輸函數(shù)Ha(s)變換成一個(gè)數(shù)字傳輸變換成一個(gè)數(shù)字傳輸函數(shù)函數(shù)G(z)，從而使，從而使z域的數(shù)字傳輸函數(shù)保留域的數(shù)字傳輸函數(shù)保留s域的模擬傳輸函數(shù)的基本性質(zhì)域的模擬傳輸函數(shù)的基本性質(zhì) .l 在這些變換中，更多地使用雙線性變換法來設(shè)計(jì)基于模擬原型濾波器在這些變換中，更多地使用雙線性變換法來設(shè)計(jì)基于模擬原型濾波器變換的變換的IIR數(shù)字濾波器。數(shù)字濾波器。 雙線性變換法雙線性變換法(Bilinear transformation )：是從：是從頻域頻域出發(fā)，使出發(fā)，使數(shù)字濾波器數(shù)字濾波

21、器的頻率響應(yīng)與的頻率響應(yīng)與模擬濾波器模擬濾波器的頻率響應(yīng)相似的一種的頻率響應(yīng)相似的一種變換法。變換法。)11(211zzTs雙線性變換定義：雙線性變換定義：2121TsTszl以上變換是一個(gè)一一映射，它將s平面上的一點(diǎn)映射為z平面上的一點(diǎn)，或?qū)平面上的一點(diǎn)映射為s平面上的一點(diǎn)。數(shù)字傳輸函數(shù)G(z)和原型模擬傳輸函數(shù) Ha(s)之間的關(guān)系為 :)11(211)()(zzTsasHzGl雙線性變換是通過應(yīng)用梯形數(shù)值積分方法來從Ha(s)的微分方程得到G(z)的差分方程的一種變換。參數(shù)T表示數(shù)值積分的步長 雙線性變換的推導(dǎo)（梯形積分）雙線性變換的推導(dǎo)（梯形積分）tdxty0)()(12 1nxnx

22、TnynynTTnTnnTdxdxdxnTy)1()1(00)()()()(2) 1()()()()()1(00TnxnTxTdxdxnTyTnnT)11(21)(11zzTzHssH1)(l 雙線性變換主要用在雙線性變換主要用在:l 用反雙線性變換來將數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬原型濾波用反雙線性變換來將數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬原型濾波器的性能指標(biāo)器的性能指標(biāo)l 用用雙雙線性變換來從模擬傳輸函數(shù)得到所希望的數(shù)字濾波器的傳輸線性變換來從模擬傳輸函數(shù)得到所希望的數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)函數(shù)G(z)l 參數(shù)參數(shù)T對(duì)對(duì) G(z)的表達(dá)式?jīng)]有影響的表達(dá)式?jīng)]有影響, 可以選擇可以選擇T=2來簡化設(shè)計(jì)

23、的過程來簡化設(shè)計(jì)的過程sszzzs11111100011jjzjs20202020000000)1 ()1 (11zjjzjs（單位圓）虛軸1)(00z100z100z0jIm(z)Re(z)-110s域到域到z域的映射關(guān)系：域的映射關(guān)系：令：jezjs,)2tan()2tan(11jeejjj雙線性變換扭曲了數(shù)字頻率雙線性變換扭曲了數(shù)字頻率和模擬頻率的關(guān)系。和模擬頻率的關(guān)系。)2tan(2T)( jHa)(jeHl穩(wěn)定性不變，但形狀發(fā)生變穩(wěn)定性不變，但形狀發(fā)生變換（頻率軸有畸變）；換（頻率軸有畸變）；l映射高度非線性，由此引起映射高度非線性，由此引起的頻率軸失真稱為頻率彎折的頻率軸失真稱為頻

24、率彎折例例: 模擬濾波器傳輸函數(shù)為模擬濾波器傳輸函數(shù)為 11ppssH-3dB頻率為頻率為2000弧度弧度/秒秒(318.31Hz)，求對(duì)應(yīng)的數(shù)字濾波器傳求對(duì)應(yīng)的數(shù)字濾波器傳輸函數(shù)，采樣率為輸函數(shù)，采樣率為1500Hz 20002000ssH 12000/12H 112 . 0114 . 020001130002000zzzzzHjjjeeH2 . 0114 . 0頻率響應(yīng)之間的差異見上圖，數(shù)字濾波器的滾降比模擬濾波器頻率響應(yīng)之間的差異見上圖，數(shù)字濾波器的滾降比模擬濾波器要陡，且?guī)捯膊煌?，這種誤差是由于雙線性變換的扭曲造成要陡，且?guī)捯膊煌?，這種誤差是由于雙線性變換的扭曲造成的。扭曲誤差可以

25、通過對(duì)的。扭曲誤差可以通過對(duì)-3dB頻率的預(yù)扭曲來克服。頻率的預(yù)扭曲來克服。例：例： 模擬傳輸函數(shù)為模擬傳輸函數(shù)為 11ppssH求數(shù)字濾波器，求數(shù)字濾波器，-3dB頻率為頻率為318.3Hz，采樣率為采樣率為1500Hz秒弧度/4424. 015003 .31821p秒弧度預(yù)扭曲模擬頻率：/4 .23602tan211ppT 4 .23604 .236011sssHpp 111193. 0114403. 0zzzHjjjeeeH1193. 0114403. 012tan21211111pTpffpppsppf預(yù)扭曲模擬頻率：l二階模擬陷波器的傳輸函數(shù)為202202)(BssssHa22202

26、2220)()(BjH1 ()1 (2)1 ()1 ()1 (2)1 ()()(11zBzBzzsHzGzzsaIIR陷波器的設(shè)計(jì)陷波器的設(shè)計(jì)2121)1 (1)1 ()1 (2)1 (21)(zzzzzG202020201111BB令：l陷波頻率0 和3-dB陷波帶寬 Bw 與常數(shù) 和 相關(guān))2/tan(1)2/tan(1wwBB0cos/l設(shè)計(jì)一個(gè)低通IIR數(shù)字濾波器G(z)，性能指標(biāo)如下:1)(0jeG25. 0p55. 0sdBeGpj5 . 0)(log2010dBeGsj015)(log2010低通低通IIR濾波器設(shè)計(jì)濾波器設(shè)計(jì)l 將數(shù)字截止

27、頻率預(yù)彎折為模擬截止頻率4142136. 0)225. 0tan()2tan(pp1708496. 1)255. 0tan()2tan(aa1220185. 01015 . 011log2005. 02210622777.3110151log205 . 1210AA8266809. 21psk841979.151121Ak6586997. 2)1(log)1(log10110kkN588148. 011)(1122cNcpl三階歸一化低通Butterworth傳輸函數(shù):) 1)(1(1)(2ssssHan)345918. 0588148. 0)(588148. 0(203451. 0)()(2

28、ssssHsHcana)3917468. 06762858. 01)(2593284. 01 ()1 (0662272. 0)()(211311111zzzzsHzGzzsa00.80.81/Magnitude00.81-40-30-20-100/Gain, dBl第一種方法分為以下幾個(gè)步驟：第一種方法分為以下幾個(gè)步驟： )2tan(高通、帶通和帶阻高通、帶通和帶阻IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)Step 1：用式 預(yù)畸所求數(shù)字濾波器GD(z)的數(shù)字頻率指標(biāo)，從而得到一個(gè)等價(jià)的模擬濾波器HD(s) 的頻率指標(biāo)。Step 2：選取一種合

29、適的頻率變換，將HD(s)的頻率指標(biāo)轉(zhuǎn)換成原型低通濾波器HLP(s)的頻率指標(biāo)。Step3:設(shè)計(jì)模擬低通濾波器HLP(s).Step4: 用步驟2中頻率變換的逆變換將傳輸函數(shù)HLP(s)轉(zhuǎn)換為HD(s) .Step5:對(duì)傳輸函數(shù)HD(s)進(jìn)行如式(9.14)所示的雙線性變換，從而得到所求的數(shù)字IIR傳輸函數(shù)GD(z) l第二種方法分為以下幾個(gè)步驟：第二種方法分為以下幾個(gè)步驟： )2tan(步驟步驟1：用式 預(yù)畸所求數(shù)字濾波器GD(z)的數(shù)字頻率指標(biāo)，從而得到一個(gè)等價(jià)的模擬濾波器HD(s)的頻率指標(biāo)。 步驟步驟2：選取一種合適的頻率變換，將HD(s)的頻率指標(biāo)轉(zhuǎn)換成原型低通濾波器HLP(s)的頻

30、率指標(biāo)。步驟步驟3：設(shè)計(jì)模擬低通濾波器HLP(s)。步驟步驟4：對(duì)傳輸函數(shù)HLP(s)進(jìn)行雙線性變換，將其轉(zhuǎn)換為IIR數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)GLP(z)。步驟步驟5：選取一種合適的譜變換譜變換將GLP(z)轉(zhuǎn)換成所求的數(shù)字傳輸函數(shù)GD(z)。GD(z)的數(shù)字頻率指標(biāo))2tan(與HD(s)相同類型的模擬濾波器頻率指標(biāo)原型低通濾波器HLP(s) 的頻率指標(biāo)Designing of HLP(s)(DLPF )(1LPDsFsHD(s)GD(z)ssz11GLP(z)ssz11GD(z)(1LPDzFzl 譜變換可以用來將給定的低通數(shù)字譜變換可以用來將給定的低通數(shù)字IIR傳輸函數(shù)傳輸函數(shù)GL(z)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)

31、換成另一個(gè)低通、高通、帶通或帶阻濾波器的數(shù)字傳輸函換成另一個(gè)低通、高通、帶通或帶阻濾波器的數(shù)字傳輸函數(shù)數(shù)jez jez )(zGL) (zGD) (zFz )(1zFzIIR濾波器的譜變換濾波器的譜變換) (zGDl 為了把一個(gè)有理的為了把一個(gè)有理的GL(z)變換成一個(gè)有理的變換成一個(gè)有理的 ， 必須為必須為 的一個(gè)有理函數(shù)的一個(gè)有理函數(shù) l 另外，為了保證另外，為了保證 的穩(wěn)定性，應(yīng)該將的穩(wěn)定性，應(yīng)該將z平面單位圓的內(nèi)部映射到平面單位圓的內(nèi)部映射到平面的單位圓的內(nèi)部平面的單位圓的內(nèi)部 . l 為了保證將低通幅度響應(yīng)映射成四種基本類型的幅度響應(yīng)之一，為了保證將低通幅度響應(yīng)映射成四種基本類型的幅

32、度響應(yīng)之一，z平平面單位圓上的點(diǎn)必須映射成面單位圓上的點(diǎn)必須映射成 平面單位圓上的點(diǎn)平面單位圓上的點(diǎn) .) (zGDz ) (zF) (zGDz z 111111) (zifzifzifzF111111) (1) (1zifzifzifzFzF) (1zF為為穩(wěn)定的全通函數(shù)穩(wěn)定的全通函數(shù)MlllMlllMMMMzzzzzzDzDzzF11111)1()11() ()() (LiiMzzD11)1 ()(l實(shí)數(shù)或是以復(fù)共軛對(duì)的形式出現(xiàn) ，并且 以保持傳輸函數(shù)的穩(wěn)定 1ll 要把一個(gè)截止頻率為要把一個(gè)截止頻率為c的原型低通濾波器的原型低通濾波器GL(z)變換成另一個(gè)截止頻變換成另一個(gè)截止頻率為率為

33、 的低通濾波器的低通濾波器 ，我們會(huì)用到變換，我們會(huì)用到變換 ) (zGDczzzFz1) (11為實(shí)數(shù)1jjjeee)2tan(11)2tan(=-0.6=0=+0.6低通濾波器到低通濾波器的變換低通濾波器到低通濾波器的變換)2tan(11)2tan(cc)2sin()2sin()2tan()2tan()2tan()2tan(ccccccccl利用低通濾波器到低通濾波器的變換同樣可以把截止頻率為利用低通濾波器到低通濾波器的變換同樣可以把截止頻率為c的高通濾的高通濾波器變換成截止頻率為波器變換成截止頻率為 的另一個(gè)高通濾波器，把中心頻率為的另一個(gè)高通濾波器，把中心頻率為c的的帶通濾波器變換成另

34、一個(gè)中心頻率為帶通濾波器變換成另一個(gè)中心頻率為 的帶通濾波器，以及把中心的帶通濾波器，以及把中心頻率為頻率為c的帶阻濾波器變換成中心頻率為的帶阻濾波器變換成中心頻率為 的另一個(gè)帶阻濾波器的另一個(gè)帶阻濾波器 .c00 Example - Consider the lowpass digital filterwhich has a passband from dc to with a 0.5 dB ripple Redesign the above filter to move the passband edge to)3917. 06763. 01)(2593. 01 ()1 (0662. 0)

35、(21131zzzzzGL25. 035. 0 Here Hence, the desired lowpass transfer function is1934. 0)3 . 0sin()05. 0sin(1111934. 011934. 0)() (zzzLDzGzG00.81-40-30-20-100/Gain, dBGL(z)GD(z)變變 換換 表表 濾波器類型 變換 設(shè)計(jì)參數(shù)低通濾波器高通濾波器帶通濾波器帶阻濾波器1111zzz1111zzz11211111212121zzzzz11211111212121zzzzz2sin2sinccccwwww2cos2cosc

36、cccwwww)2tan()2cot()2cos()2cos(121212cccccccwwwwwww)2tan()2tan()2cos()2cos(121212cccccccwwwwwww率為預(yù)期高、低端截止頻、12ccww率為預(yù)期高、低端截止頻、12ccww其他變換其他變換 Example - Transform the lowpass filter with a passband edge at to a highpass filter with a passband edge at Here The desired transformation is)3917. 06763. 01)(

37、2593. 01 ()1 (0662. 0)(21131zzzzzGL25. 055. 03468. 0)15. 0cos(/ )4 . 0cos(1113468. 013468. 0zzz1113468. 013468. 0)() (zzzDzGzG 0 0.2 0.4 0.6 0.8 806040200Normalized frequencyGain, dBl 當(dāng)?shù)屯ㄔ蜑V波器的帶寬與變換后帶通濾波器帶寬相同，即 將這個(gè)限制條件加到表7.1中的頻譜變換，可以得到修正的頻譜變換為11111zzzz12ccc1jjjjeeee0率）（帶通濾波器的中心頻00cos可簡化的特殊情況：l 模擬高通、

38、帶通、帶阻濾波器可以通過簡單的頻譜由低模擬高通、帶通、帶阻濾波器可以通過簡單的頻譜由低通原型濾波器得到。通原型濾波器得到。l 設(shè)計(jì)步驟：設(shè)計(jì)步驟：1.利用頻譜變換，由所需的模擬濾波器性能指標(biāo)得到利用頻譜變換，由所需的模擬濾波器性能指標(biāo)得到模模擬低通濾波器擬低通濾波器的性能指標(biāo)的性能指標(biāo)2.低通原型濾波器設(shè)計(jì)低通原型濾波器設(shè)計(jì)3.用相反的用相反的頻譜變換頻譜變換將原型低通轉(zhuǎn)換為所需的模擬濾波將原型低通轉(zhuǎn)換為所需的模擬濾波器器模擬高通、帶通、帶阻濾波器濾波器設(shè)計(jì)模擬高通、帶通、帶阻濾波器濾波器設(shè)計(jì)) () ()(sFsDLPsHsH)(1)() (sFsLPDsHsH) (sFs)(sHLP) (

39、sHD)(1sFs平面平面變換s s: ulsspLBSulsspLBPpsLHppLulluluulppHsHHsHHsHssH，別為低端和高端截止頻率分，別為低端和高端截止頻率分得高通濾波器截止頻率為22, , 低通低通高通、帶通、帶阻的變換公式高通、帶通、帶阻的變換公式模擬高通濾波器設(shè)計(jì)模擬高通濾波器設(shè)計(jì)ppppsspp0pp pp pp ,sssHsHpplphp（1）選擇原型低通濾波器歸一化通帶截止頻率為例例 設(shè)計(jì)模擬高通巴特沃茲濾波器：通帶截止頻率設(shè)計(jì)模擬高通巴特沃茲濾波器：通帶截止頻率4kHz，阻帶截止頻阻帶截止頻率率1kHz，通帶波紋通帶波紋0.1dB，最小阻帶衰減最小阻帶衰減

40、40dB.1p41000240002s（2）用MATLAB設(shè)計(jì)原型低通濾波器N,Wn=buttord(1,4,0.1,40,s);B,A=butter(N,Wn,s);num,den=lp2hp(B,A,2*pi*4000);低通原型的指標(biāo)如下：通帶截止頻率1弧度/秒，阻帶截止頻率4弧度/秒，通帶波紋0.1dB，最小阻帶衰減40dB.或：N,Wn=buttord(8000*pi,2000*pi,0.1,40,s);num,den=butter(N,Wn,high,s);結(jié)果如圖5.26模擬帶通濾波器設(shè)計(jì)模擬帶通濾波器設(shè)計(jì)pp021210,pppp202121sspp pp p2p112pp00

41、 12202ppplpbpssssHsH(Passband center frequency)1222012202ppppppsss，如果2121sspp例如，2121sspp則則 可以減少到可以減少到 或或 可以增加到可以增加到 ， 以以滿足條件滿足條件 。在前面一種情況中，新的通帶會(huì)大。在前面一種情況中，新的通帶會(huì)大于希望的通帶；后一種情況的左邊過渡帶會(huì)小于原來設(shè)計(jì)值。于希望的通帶；后一種情況的左邊過渡帶會(huì)小于原來設(shè)計(jì)值。1p221/pss1s221/spp202121sspp例例 設(shè)計(jì)模擬橢圓帶通濾波器：通帶截止頻率設(shè)計(jì)模擬橢圓帶通濾波器：通帶截止頻率4kHz和和7kHz，阻阻帶截止頻率

42、帶截止頻率3kHz和和8kHz，通帶波紋通帶波紋1dB，最小阻帶衰減最小阻帶衰減22dB.4 . 137/25924s低通原型的指標(biāo)如下：通帶截止頻率1弧度/秒，阻帶截止頻率1.4弧度/秒，通帶波紋1dB，最小阻帶衰減22dB.，62162110241028sspp（1） 減少前面的通帶截止頻率4k到24/7=3.429kHz。則通帶中心頻率為4.899kHz，通帶帶寬由3k變?yōu)?5/7=3.571kHz，選擇原型模擬低通濾波器通帶截止頻率為1，低通濾波器阻帶截止頻率為：（2）用MATLAB設(shè)計(jì)原型低通濾波器N,Wn=ellipord(1,1.4,1,22,s);B,A=ellip(N,1,2

43、2,Wn,s);num,den=lp2bp(B,A,2*pi*4.899,2*pi*25/7); 或： Wp=3.429 7*2*pi;Ws=3 8*2*pi;N,Wn=ellipord(Wp,Ws,1,22,s);num,den=ellip(N,1,22,Wn,s);模擬帶阻濾波器設(shè)計(jì)模擬帶阻濾波器設(shè)計(jì)2201220212sssssssss202121ssppss021210, 0ssss ss1s2s1s2s 20212ssssHsHssslpbs2/, 02/, 1)(TTajH實(shí)際的抗混疊濾波器需滿足：實(shí)際的抗混疊濾波器需滿足：2/Tsp抗混疊濾波器設(shè)計(jì)抗混疊濾波器設(shè)計(jì)在抽樣前，通過抗混疊濾波器來保證滿足采樣定理：在抽樣前，通過抗混疊濾波器來保證滿足采樣定理：一般，需要小混疊的應(yīng)用中，采樣率通常為反混疊濾一般，需要小混疊的應(yīng)用中，采樣率通常為反混疊濾波器的通帶截止頻率的波器的通帶截止頻率的34倍；對(duì)反混疊要求不高的倍；對(duì)反混疊要求不高的應(yīng)用中，采樣率為通帶截止頻率的應(yīng)用中，采樣率為通帶截止頻率的2被就可以了。被就可以了。例如脈沖編碼調(diào)制（例如脈沖編碼調(diào)制（PCM）電話系統(tǒng)，）電話系統(tǒng)，聲音信號(hào)先通過一個(gè)截止頻率為聲音信號(hào)