電磁學(xué)麥克斯韋方程組1.

1、麥克斯韋（麥克斯韋（James Clerk Maxwell 1831-1879)麥克斯韋是麥克斯韋是19世紀(jì)英國(guó)偉大的世紀(jì)英國(guó)偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家。物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家。麥克斯韋主要從事電磁理論、麥克斯韋主要從事電磁理論、分子物理學(xué)、統(tǒng)計(jì)物理學(xué)、光學(xué)、分子物理學(xué)、統(tǒng)計(jì)物理學(xué)、光學(xué)、力學(xué)、彈性理論方面的研究。力學(xué)、彈性理論方面的研究。尤其是他建立的電磁場(chǎng)理論，尤其是他建立的電磁場(chǎng)理論，將電學(xué)、磁學(xué)、光學(xué)統(tǒng)一起來(lái)，是將電學(xué)、磁學(xué)、光學(xué)統(tǒng)一起來(lái)，是19世紀(jì)物理學(xué)發(fā)展的最世紀(jì)物理學(xué)發(fā)展的最光輝的成果，是科學(xué)史上最偉大的綜合之一。光輝的成果，是科學(xué)史上最偉大的綜合之一。1 麥克斯韋電磁場(chǎng)理論麥克斯韋電磁場(chǎng)

2、理論 麥克斯韋是麥克斯韋是運(yùn)用數(shù)學(xué)工具分析物理問(wèn)題和精確地表述科學(xué)運(yùn)用數(shù)學(xué)工具分析物理問(wèn)題和精確地表述科學(xué)思想的大師，他非常重視實(shí)驗(yàn)思想的大師，他非常重視實(shí)驗(yàn)，由他負(fù)責(zé)建立起來(lái)的卡文迪，由他負(fù)責(zé)建立起來(lái)的卡文迪什實(shí)驗(yàn)室，在他和以后幾位主任的領(lǐng)導(dǎo)下，發(fā)展成為舉世聞什實(shí)驗(yàn)室，在他和以后幾位主任的領(lǐng)導(dǎo)下，發(fā)展成為舉世聞名的學(xué)術(shù)中心之一。他善于從實(shí)驗(yàn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)敏銳的觀察思名的學(xué)術(shù)中心之一。他善于從實(shí)驗(yàn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)敏銳的觀察思考，應(yīng)用嫻熟的數(shù)學(xué)技巧，從縝密的分析和推理，大膽地提考，應(yīng)用嫻熟的數(shù)學(xué)技巧，從縝密的分析和推理，大膽地提出有實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)的假設(shè)，建立新的理論，再使理論及其預(yù)言的出有實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)的假設(shè)，建立新

3、的理論，再使理論及其預(yù)言的結(jié)論接受實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)，逐漸完善，形成系統(tǒng)、完整的理論。結(jié)論接受實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)，逐漸完善，形成系統(tǒng)、完整的理論。 麥克斯韋嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和科學(xué)研究方法是人類極其寶貴麥克斯韋嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和科學(xué)研究方法是人類極其寶貴的精神財(cái)富。的精神財(cái)富。 一、一、位移電流位移電流 模擬實(shí)驗(yàn)?zāi)M實(shí)驗(yàn) 麥克斯韋麥克斯韋 對(duì)電場(chǎng)和磁場(chǎng)的基本規(guī)律著手進(jìn)行了系統(tǒng)的總結(jié)：對(duì)電場(chǎng)和磁場(chǎng)的基本規(guī)律著手進(jìn)行了系統(tǒng)的總結(jié)： 1、 恒定電、磁場(chǎng)的性質(zhì)歸納為四個(gè)基本方程恒定電、磁場(chǎng)的性質(zhì)歸納為四個(gè)基本方程。 0qSdD0 ldE0 SdB 0IldH關(guān)于靜電場(chǎng)和恒定磁場(chǎng)分別具有以下性質(zhì)：關(guān)于靜電場(chǎng)和恒定磁場(chǎng)分別具有以下

4、性質(zhì)：靜電場(chǎng)的性質(zhì)：靜電場(chǎng)的性質(zhì)：說(shuō)明靜電場(chǎng)是有源場(chǎng)說(shuō)明靜電場(chǎng)是有源場(chǎng)說(shuō)明靜電場(chǎng)是保守力場(chǎng)說(shuō)明靜電場(chǎng)是保守力場(chǎng)恒定磁場(chǎng)的性質(zhì)：恒定磁場(chǎng)的性質(zhì)：說(shuō)明恒定磁場(chǎng)是非保守力場(chǎng)說(shuō)明恒定磁場(chǎng)是非保守力場(chǎng)說(shuō)明恒定磁場(chǎng)是無(wú)源場(chǎng)說(shuō)明恒定磁場(chǎng)是無(wú)源場(chǎng)2、變化的電磁場(chǎng)變化的電磁場(chǎng) 對(duì)于對(duì)于變化的磁場(chǎng)變化的磁場(chǎng)，麥克斯韋提出了，麥克斯韋提出了“有旋電場(chǎng)有旋電場(chǎng)”假假說(shuō)，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可以得到普遍情況下電場(chǎng)說(shuō)，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可以得到普遍情況下電場(chǎng)的環(huán)路定理的環(huán)路定理 另外，當(dāng)時(shí)的理論和實(shí)驗(yàn)都表明另外，當(dāng)時(shí)的理論和實(shí)驗(yàn)都表明電場(chǎng)的高斯定理和磁電場(chǎng)的高斯定理和磁場(chǎng)的高斯定理在變化的電、磁場(chǎng)中依然成立場(chǎng)的高斯

5、定理在變化的電、磁場(chǎng)中依然成立。因此，問(wèn)題。因此，問(wèn)題的焦點(diǎn)就集中在磁場(chǎng)的安培環(huán)路定理在變化的電、磁場(chǎng)中的焦點(diǎn)就集中在磁場(chǎng)的安培環(huán)路定理在變化的電、磁場(chǎng)中是否還適用？如不適用應(yīng)如何修正。是否還適用？如不適用應(yīng)如何修正。 SLSdtBl dE渦渦恒定磁場(chǎng)中，安培環(huán)路定理可以寫成恒定磁場(chǎng)中，安培環(huán)路定理可以寫成 。 式中式中 是是穿過(guò)穿過(guò)閉合環(huán)路閉合環(huán)路L（穿過(guò)以回路為邊界的任意曲面）（穿過(guò)以回路為邊界的任意曲面）的（傳導(dǎo)）電流。的（傳導(dǎo)）電流。問(wèn)題問(wèn)題在電流非穩(wěn)恒狀態(tài)下（非恒定場(chǎng)的情形時(shí)）在電流非穩(wěn)恒狀態(tài)下（非恒定場(chǎng)的情形時(shí)）, 安培環(huán)路定理是否正確安培環(huán)路定理是否正確 ? LLIl dH0包含

6、電阻、電感線圈包含電阻、電感線圈的電路的電路,電流是連續(xù)的電流是連續(xù)的.RLII電流的連續(xù)性問(wèn)題電流的連續(xù)性問(wèn)題:包含有電容的電包含有電容的電流是否連續(xù)？流是否連續(xù)？II+?S2IIS1+L對(duì)對(duì)L所圍攻成的所圍攻成的S1面面矛盾矛盾顯然，顯然，H 的環(huán)流不再是唯一確定的了。的環(huán)流不再是唯一確定的了。這說(shuō)明安培環(huán)路定律在非恒定場(chǎng)中須加以修正。這說(shuō)明安培環(huán)路定律在非恒定場(chǎng)中須加以修正。 iSdjldHSL1I對(duì)對(duì)L所圍攻成的所圍攻成的S2面面02SLSdjl dH+D0q0q實(shí)驗(yàn)分析實(shí)驗(yàn)分析 電容器充放電時(shí)傳導(dǎo)電流和極板上電荷、極板間電場(chǎng)存電容器充放電時(shí)傳導(dǎo)電流和極板上電荷、極板間電場(chǎng)存 在什么樣

7、的關(guān)系呢？在什么樣的關(guān)系呢？ 如充電時(shí)如充電時(shí)qDD同向同向I同向同向tD tD +D0q0q如放電時(shí)如放電時(shí)qDtDD反向反向I同向同向tD通過(guò)演示現(xiàn)象觀察可知：回路中的傳導(dǎo)電流和極板間的電通過(guò)演示現(xiàn)象觀察可知：回路中的傳導(dǎo)電流和極板間的電位移對(duì)時(shí)間的變化率有密切的關(guān)系！位移對(duì)時(shí)間的變化率有密切的關(guān)系！ 放電時(shí)，極板間變化電場(chǎng)放電時(shí)，極板間變化電場(chǎng) 的方向仍和傳導(dǎo)電流同向。的方向仍和傳導(dǎo)電流同向。tD +D0q0q充電時(shí)，極板間變化電場(chǎng)充電時(shí)，極板間變化電場(chǎng) 的方向和傳導(dǎo)電流同向。的方向和傳導(dǎo)電流同向。 tD 結(jié)論：結(jié)論：由高斯定理由高斯定理:21SSSSdDSdDSdDq0即即eSSdDq

8、2+D0q0qS1S2S做一高斯面則則dtdSdtDSdDdtddtdqIeSSS221式中式中:I傳導(dǎo)電流傳導(dǎo)電流 若把最右端若把最右端電通量的時(shí)間變化率電通量的時(shí)間變化率看作為一種電流，那看作為一種電流，那么電路就連續(xù)了。麥克斯韋把這種電流稱為么電路就連續(xù)了。麥克斯韋把這種電流稱為位移電流位移電流。eSSdDq2通過(guò)對(duì)傳導(dǎo)電流和極板間位移電流之間關(guān)系的推導(dǎo)。通過(guò)對(duì)傳導(dǎo)電流和極板間位移電流之間關(guān)系的推導(dǎo)?？梢缘贸鲆粋€(gè)重要的結(jié)論：可以得出一個(gè)重要的結(jié)論：在非恒定的情況下，在非恒定的情況下， 的地位與電流密度的地位與電流密度j 相當(dāng)。相當(dāng)。 tD 定義定義SdSedSdJSdtDdtdItDJd

9、（位移電流密度）（位移電流密度） 通過(guò)電場(chǎng)中某截面的位移電流強(qiáng)度通過(guò)電場(chǎng)中某截面的位移電流強(qiáng)度 dI截面的電位移通量對(duì)時(shí)間的變化率。截面的電位移通量對(duì)時(shí)間的變化率。等于通過(guò)該等于通過(guò)該電場(chǎng)中某點(diǎn)位移電流密度矢量電場(chǎng)中某點(diǎn)位移電流密度矢量dJ矢量對(duì)時(shí)間的變化率。矢量對(duì)時(shí)間的變化率。等于該點(diǎn)電位移等于該點(diǎn)電位移麥克斯韋假設(shè)麥克斯韋假設(shè) : 變化的電場(chǎng)象傳導(dǎo)電流一樣能產(chǎn)生變化的電場(chǎng)象傳導(dǎo)電流一樣能產(chǎn)生磁場(chǎng)磁場(chǎng),從產(chǎn)生磁場(chǎng)的角度看從產(chǎn)生磁場(chǎng)的角度看 , 變化的電場(chǎng)可以等效為變化的電場(chǎng)可以等效為一種電流一種電流. 全電流和全電流定律全電流和全電流定律在一般情況下在一般情況下,傳導(dǎo)電流、運(yùn)流電流和位移電流

10、可傳導(dǎo)電流、運(yùn)流電流和位移電流可能同時(shí)通過(guò)某一截面能同時(shí)通過(guò)某一截面,因此因此,麥克斯韋引入麥克斯韋引入全電流全電流.全電流全電流通過(guò)某一截面的全電流是通過(guò)這一截面的通過(guò)某一截面的全電流是通過(guò)這一截面的傳導(dǎo)電流傳導(dǎo)電流、運(yùn)流電流運(yùn)流電流和和位移電流位移電流的的代數(shù)和代數(shù)和.在任一時(shí)刻在任一時(shí)刻,電路中的全電流總是連續(xù)的電路中的全電流總是連續(xù)的.而且而且,在在非穩(wěn)恒的電路中非穩(wěn)恒的電路中,安培環(huán)路定律仍然成立安培環(huán)路定律仍然成立. SsdlSdtDSdjIIl dH全電流定律全電流定律利用斯托克斯定理，有利用斯托克斯定理，有 ssSdtDjSdH)(因因S是任意的，則：是任意的，則：tDjH 位

11、移電流的實(shí)質(zhì)位移電流的實(shí)質(zhì) 從安培環(huán)路定理的普遍形式從安培環(huán)路定理的普遍形式 可知，麥克斯韋可知，麥克斯韋位移電流假說(shuō)的實(shí)質(zhì)在于位移電流假說(shuō)的實(shí)質(zhì)在于， 它指出不僅傳導(dǎo)電流可以在空間激發(fā)磁場(chǎng)，它指出不僅傳導(dǎo)電流可以在空間激發(fā)磁場(chǎng)， 位移電流同樣可以在空間激發(fā)磁場(chǎng)。位移電流同樣可以在空間激發(fā)磁場(chǎng)。 SsdlSdtDSdjIIl dH此式不僅更清楚地揭示此式不僅更清楚地揭示 位移電流假說(shuō)的核心：位移電流假說(shuō)的核心： 變化的電場(chǎng)可以激發(fā)磁場(chǎng)變化的電場(chǎng)可以激發(fā)磁場(chǎng)。而且，給出了而且，給出了變化的電場(chǎng)和它激發(fā)變化的電場(chǎng)和它激發(fā)的磁場(chǎng)在方向上的右手螺旋關(guān)系的磁場(chǎng)在方向上的右手螺旋關(guān)系。 在在真空中真空中安

12、培環(huán)路定理表示成更為簡(jiǎn)潔的形式安培環(huán)路定理表示成更為簡(jiǎn)潔的形式 SlSdtDl dHtD H SsdlSdtDSdjIIl dH麥克斯韋的麥克斯韋的有旋電場(chǎng)假說(shuō)有旋電場(chǎng)假說(shuō)和和位移電流假說(shuō)位移電流假說(shuō)為建立統(tǒng)一的電磁場(chǎng)理論奠定了理論基礎(chǔ)。為建立統(tǒng)一的電磁場(chǎng)理論奠定了理論基礎(chǔ)。位移電流與傳導(dǎo)電流的比較位移電流與傳導(dǎo)電流的比較: 傳導(dǎo)電流傳導(dǎo)電流位移電流位移電流自由電荷的定向移動(dòng)自由電荷的定向移動(dòng)電場(chǎng)的變化電場(chǎng)的變化通過(guò)導(dǎo)體產(chǎn)生焦耳熱通過(guò)導(dǎo)體產(chǎn)生焦耳熱真空中無(wú)熱效應(yīng)真空中無(wú)熱效應(yīng)可以存在于真空、可以存在于真空、導(dǎo)體、電介質(zhì)中導(dǎo)體、電介質(zhì)中只能存在于導(dǎo)體中只能存在于導(dǎo)體中傳導(dǎo)電流和位移電流位移方向相

13、同，傳導(dǎo)電流和位移電流位移方向相同，在激發(fā)磁場(chǎng)上是等效（在激發(fā)磁場(chǎng)上是等效（導(dǎo)體內(nèi)的位移電流可以忽略導(dǎo)體內(nèi)的位移電流可以忽略非極高頻率時(shí)非極高頻率時(shí)）(Hd為為Id產(chǎn)生的渦旋磁場(chǎng)產(chǎn)生的渦旋磁場(chǎng))SliSdtBl dEiEtB左旋左旋SLdSdtDl dHdHtD右旋右旋對(duì)稱美對(duì)稱美例例:半徑為半徑為R,相距相距l(xiāng)(lR)的圓形空氣平板電的圓形空氣平板電容器容器,兩端加上交變電壓兩端加上交變電壓U=U0sin t,求電容求電容器極板間的器極板間的:(1)位移電流位移電流;(2)位移電流密度位移電流密度Jd的大小的大小;(3)位移電流激發(fā)的磁場(chǎng)分布位移電流激發(fā)的磁場(chǎng)分布B(r),r為圓板為圓板的中

14、心距離的中心距離.OOPlROOPlR解解 (1)由于由于lR,故平板故平板間可作勻強(qiáng)電場(chǎng)處理間可作勻強(qiáng)電場(chǎng)處理,lUE 根據(jù)位移電流的定義根據(jù)位移電流的定義tUlRRdtdEdtDSddtdIedcos02020另解另解dtdUCdtCUddtdQId平性板電容器的電容平性板電容器的電容lRC20代入上式代入上式,可得同樣結(jié)果可得同樣結(jié)果.(2)由位移電流密度的定義由位移電流密度的定義tlUtUltEtDJdcos0000或者或者2RIJdd(3)因?yàn)殡娙萜鲀?nèi)因?yàn)殡娙萜鲀?nèi) I=0,且磁場(chǎng)分布應(yīng)具有軸對(duì)且磁場(chǎng)分布應(yīng)具有軸對(duì)稱性稱性,由全電流定律得由全電流定律得Rr 211rJSdJl dHdS

15、dLtrlUrHcos22001rtlUHcos2001rtlcUrtlUHBcos2cos220000101OOPlRRr 222RJIl dHddLrtlURrIHd1cos220202rtlcURrtlURHB1cos21cos22020200202OOPlRSLSdtDJl dHVSdVSdD0Ll dE0SSdB靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)穩(wěn)恒磁場(chǎng)穩(wěn)恒磁場(chǎng)SLSdtBl dESLSdJl dHdI渦E變變 D0 B0 EJH 二、二、麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組 麥克斯韋麥克斯韋 在系統(tǒng)地總結(jié)了前人電磁學(xué)理論的基在系統(tǒng)地總結(jié)了前人電磁學(xué)理論的基礎(chǔ)上，提出了礎(chǔ)上，提出了渦旋電場(chǎng)渦旋電場(chǎng)和和位移電流位移

16、電流假說(shuō)，這是他對(duì)假說(shuō)，這是他對(duì)電磁理論最偉大的貢獻(xiàn)。電磁理論最偉大的貢獻(xiàn)。 從而在人類科學(xué)史上第一次揭示了電場(chǎng)和磁場(chǎng)從而在人類科學(xué)史上第一次揭示了電場(chǎng)和磁場(chǎng)的內(nèi)在聯(lián)系，建立了完整的電磁場(chǎng)理論體系，而這的內(nèi)在聯(lián)系，建立了完整的電磁場(chǎng)理論體系，而這個(gè)理論體系的核心就是麥克斯韋方程組。個(gè)理論體系的核心就是麥克斯韋方程組。這兩個(gè)假說(shuō)的核心思想是：這兩個(gè)假說(shuō)的核心思想是： 變化的磁場(chǎng)可以激發(fā)渦旋電場(chǎng)；變化的磁場(chǎng)可以激發(fā)渦旋電場(chǎng)； 變化的電場(chǎng)可以激發(fā)渦旋磁場(chǎng)。變化的電場(chǎng)可以激發(fā)渦旋磁場(chǎng)。麥克斯韋認(rèn)為靜電場(chǎng)的高斯定理和磁場(chǎng)的高斯定麥克斯韋認(rèn)為靜電場(chǎng)的高斯定理和磁場(chǎng)的高斯定理也適用于一般電磁場(chǎng)理也適用于一般

17、電磁場(chǎng).所以所以,可以將電磁場(chǎng)的基本可以將電磁場(chǎng)的基本規(guī)律寫成規(guī)律寫成麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組SLSdtDJl dHVSdVSdD0SSdBSLSdtBldE D0 BtBE tDJH 麥克斯韋方程組的積分形式反映了空間某區(qū)域的麥克斯韋方程組的積分形式反映了空間某區(qū)域的、 、 間的關(guān)系。間的關(guān)系。 由麥克斯韋方程組的微分形式可以證明電磁波的存在。由麥克斯韋方程組的微分形式可以證明電磁波的存在。 方程組的微分形式反映了空間某點(diǎn)方程組的微分形式反映了空間某點(diǎn) 、J、 間的關(guān)系。間的關(guān)系。 對(duì)于各向同性介質(zhì)，有對(duì)于各向同性介質(zhì)，有EDr 0 HBr 0 根據(jù)麥克斯韋理論，在自由空間內(nèi)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)

18、滿足根據(jù)麥克斯韋理論，在自由空間內(nèi)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)滿足 即變化的電場(chǎng)可以激發(fā)變化的磁場(chǎng)，即變化的電場(chǎng)可以激發(fā)變化的磁場(chǎng)， 變化的磁場(chǎng)又可以激發(fā)變化的電場(chǎng)變化的磁場(chǎng)又可以激發(fā)變化的電場(chǎng)，這樣電場(chǎng)和磁場(chǎng)可以相互激發(fā)并以波的形式這樣電場(chǎng)和磁場(chǎng)可以相互激發(fā)并以波的形式由近及由近及遠(yuǎn)遠(yuǎn),以有限的速度在空間以有限的速度在空間傳播開(kāi)去，就形成了傳播開(kāi)去，就形成了電磁波電磁波。電磁波電磁波:2 電磁波的波動(dòng)方程電磁波的波動(dòng)方程0 D0 BtBE tDH 一、電磁波的波動(dòng)方程一、電磁波的波動(dòng)方程無(wú)限大均勻介質(zhì)或真空中，空間內(nèi)無(wú)自由電荷，無(wú)限大均勻介質(zhì)或真空中，空間內(nèi)無(wú)自由電荷，也無(wú)傳導(dǎo)電流。則也無(wú)傳導(dǎo)電流。則麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組介質(zhì)性質(zhì)方程：介質(zhì)性質(zhì)方程：ED HB 由麥克斯韋方程組的微分形式可以由麥克斯韋方程組的微分形式可以證明電磁波的存在。證明電磁波的存在。 0 D0 BtBE tDH tBE )()(Bt 22tE EEEE22)()( 又又E2 022 tE 所以