曲線運動的描述

1、1.2 平面曲線運動的描述平面曲線運動的描述質(zhì)點的運動總是要經(jīng)過一定的軌道質(zhì)點的運動總是要經(jīng)過一定的軌道. . 曲線運動是常見的運動形式曲線運動是常見的運動形式. .本節(jié)只研究本節(jié)只研究平面曲線運動平面曲線運動. .描述質(zhì)點的曲線運動描述質(zhì)點的曲線運動，就是要找出質(zhì)點在曲線運，就是要找出質(zhì)點在曲線運動過程中的位置、速度、加速度及運動方程等的動過程中的位置、速度、加速度及運動方程等的數(shù)學表示形式。數(shù)學表示形式。 在曲線上任意選一個點作為原點，沿著曲線建立在曲線上任意選一個點作為原點，沿著曲線建立一個彎曲的坐標軸，并沿著曲線指定一個正方向一個彎曲的坐標軸，并沿著曲線指定一個正方向( (人為的，隨意

2、的人為的，隨意的),),這樣就建立了這樣就建立了. .1 平面平面自然坐標系自然坐標系OP n沿軌道切線沿軌道切線, ,指向運動的一方指向運動的一方. .指向曲線的凹側(cè)指向曲線的凹側(cè), . , . nn , n不是恒矢量不是恒矢量. . 0,0ddndtdt?2 質(zhì)點的位置質(zhì)點的位置位置是時間的函數(shù)位置是時間的函數(shù): s = s(t)sO POPOPP13 質(zhì)點的速度質(zhì)點的速度P2srv00slimlimttrdsvvttdt =自然坐標系中自然坐標系中, ,速度僅有切向分量速度僅有切向分量dsvdt=-自然坐標系自然坐標系 tt+t222xyzvvvv=-直角坐標系直角坐標系 t0時時rs

3、的方向趨向于的方向趨向于P1點的切線方向點的切線方向rP24 質(zhì)點的加速度質(zhì)點的加速度P11v2vs1v2vt時刻時刻:t+t時刻時刻:ROABCD2v1vvnvv21v = v -vAC上截取上截取AD=AB, 連接連接BD.當當t0時時, 0, 則則ABD90,即即1110,nnnvv nvnvvvvv 1Pnv著 點沿沿的的法法向向當當t0時時,1vv與與 方方向向相相同同vvv t0時時, 是速度增量的是速度增量的切向分量切向分量,由速度大小變化引起。由速度大小變化引起。 是速度增量的是速度增量的法向分量法向分量,由速度方向變化引起。由速度方向變化引起。 nvvn=vv加速度的方向總是

4、指向曲線凹進去的一側(cè)加速度的方向總是指向曲線凹進去的一側(cè).000limlimlimntttvvvattt 00limlimttvnttv dvdnttvdddsvdtdddtdsR222d svndtR22dvd sadtdt2nvaR切向加速度切向加速度tangential acceleration 法向加速度法向加速度normal acceleration 22naaaa自然坐標系自然坐標系( )ss t2vndtRvd直角坐標系直角坐標系( )( )( )r = x t iy t jz t k222xyzvvvv3221,( )yRyy xyOPa-v是速度大小是速度大小nvvn vv

5、對于作曲線運動的物體，以下幾種說法正確的是：對于作曲線運動的物體，以下幾種說法正確的是： （A）切向加速度必不為零；）切向加速度必不為零； （B）法向加速度必不為零（拐點處除外）；）法向加速度必不為零（拐點處除外）； （C）由于速度沿切線方向，法向分速度必為零，因）由于速度沿切線方向，法向分速度必為零，因此法向加速度必為零；此法向加速度必為零； （D）若物體作勻速率運動，其總加速度必為零；）若物體作勻速率運動，其總加速度必為零； （E）若物體的加速度）若物體的加速度 為恒矢量，它一定作勻變速為恒矢量，它一定作勻變速率運動率運動 .a例題例題1 一球以一球以30ms-1的速度水平拋出，試求的速度

6、水平拋出，試求5s鐘后加速度的切向分量和法向分量。鐘后加速度的切向分量和法向分量。 解：解：由題意可知，小球作平拋運動，運動方程為由題意可知，小球作平拋運動，運動方程為 2021 gtytvx 速度在坐標軸上的分量為速度在坐標軸上的分量為 gtgtdtddtdyvvtvdtddtdxvyx )21()(200時刻速度的大小為時刻速度的大小為 22022)(gtvvvvyx t時刻切向加速度的大小為時刻切向加速度的大小為 2202220)()(gtvtggtvdtddtdva 切向加速度與法向加速度滿足關(guān)系切向加速度與法向加速度滿足關(guān)系 aagn 且互相垂直，則法向加速度為：且互相垂直，則法向加

7、速度為： 220022)(gtvgvagan 代入數(shù)據(jù)，得代入數(shù)據(jù)，得 2222sm36. 8)58 . 9(3058 . 9 a222sm12. 5)58 . 9(30308 . 9 nanagaOyx例題例題2 質(zhì)點在質(zhì)點在oxy平面內(nèi)運動平面內(nèi)運動,其運動方程為其運動方程為 求求:(1) 質(zhì)點的軌跡方程質(zhì)點的軌跡方程; (2) 在在t1=1.00s到到t2=2.00s時間內(nèi)的平均速時間內(nèi)的平均速; (3) t1=1.00s時的速度及切向和法向加速度時的速度及切向和法向加速度.22192mrtitj消去消去t得質(zhì)點的軌跡方程得質(zhì)點的軌跡方程: :2190.5yx(2)在在t1=1s到到t2

8、=2s時間內(nèi)的平均速度時間內(nèi)的平均速度212126rrrvijttt(1)(1)由參數(shù)方程由參數(shù)方程2xt2192yt解：解：(3)質(zhì)點在任意時刻的速度和加速度分別為：質(zhì)點在任意時刻的速度和加速度分別為：24drvitjdt4dvajdt 則則t1=1s時的速度為時的速度為:24vij切向和法向加速度切向和法向加速度分別為分別為:2222()( 4(4 ) )3.58m stxydvddavvtdtdtdt2221.79m sntaaa1.3 圓周運動及其描述圓周運動及其描述 運動的運動的線量描述線量描述：位置：位置 位移位移 速度速度 加速度加速度（直角坐標系，自然坐標系）（直角坐標系，自然

9、坐標系）運動的運動的角量描述角量描述：角位置：角位置 角位移角位移 角速度角速度 角加速度角加速度( (用極坐標系描述圓周運動）用極坐標系描述圓周運動）一一 圓周運動的線量描述圓周運動的線量描述 位置位置 s = s(t)速度速度dsvdt加速度加速度22dvd sadtdt2nvanR22naaaaOr極軸極軸r二二 圓周運動的角量描述圓周運動的角量描述 (d0limtdtdt limt0dtdt 22ddt三三 圓周運動中線量與角量的關(guān)系圓周運動中線量與角量的關(guān)系vrar rvvr ar2nar四四 勻變速圓周運動與勻變速直線運動的比較勻變速圓周運動與勻變速直線運動的比較 0t20012t

10、t22002 0vvat20012xxv tat22002 ()vva xx求求: (1) t 時刻其速度為多少？時刻其速度為多少？ (2) 其切向加速度的大小為多少？其切向加速度的大小為多少？ (3) 該質(zhì)點運動的軌跡是什么？該質(zhì)點運動的軌跡是什么？10cos510sin5(SI)rtit j50( sin5cos5)drvtit jdt0,50)5cos50()5sin50(2222dtdvattvvvyxtytx5sin10,5cos1022210 yx例題例題3 在在xy平面內(nèi)有一運動質(zhì)點，其運動學方程為：平面內(nèi)有一運動質(zhì)點，其運動學方程為：解：（解：（1）（2）（3）兩式平方后相加，

11、兩式平方后相加，軌跡為一半徑為軌跡為一半徑為10m的圓的圓. 解：例題例題4 一質(zhì)點作圓周運動一質(zhì)點作圓周運動,半徑為半徑為R,其路程與時間的關(guān)其路程與時間的關(guān)系為系為 , v0和和 b 都是常量。都是常量。求求: (1) 質(zhì)點在質(zhì)點在 t 時刻的速度時刻的速度; (2) t為何值時，質(zhì)點的切向加速度和法向加速度為何值時，質(zhì)點的切向加速度和法向加速度 的大小相等。的大小相等。20/ 2sv tbtdsvdt0vbttdvadtb 2nvaR20()vbtR當當tnaa時時20()vbtRb0vRbtbavnata324 (SI).t324 .t212 .dtdt2222222.30 10 m

12、s4.80m sn tst tsardardt22212/tntaaaa223ntaa224863 241210.66s12rtrtt3243.15radttnaa 221224rtrt0.55st222vktRt2120.5rad st242rad sdtdt21m staR2RRtnaaan2222()()1.01m saRR2223000225.33rad3dtt dtt例題例題7 一質(zhì)點一質(zhì)點P沿半徑沿半徑R=3.00m的圓周作勻速率運動的圓周作勻速率運動,運運動一周所需時間為動一周所需時間為20.0s,設(shè)設(shè)t=0時時,質(zhì)點位于質(zhì)點位于o點點,按圖中所按圖中所示示oxy坐標系坐標系,求求:(1) 質(zhì)點質(zhì)點P在任意時刻的位矢在任意時刻的位矢; (2) 5s時的速度和加速度時的速度和加速度.如圖所示如圖所示,在在 坐標系中坐標系中,因因 ,則則質(zhì)點質(zhì)點P的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為yxotT2oyyxxoRtTRRx2sin)90cos(0tTRRy2cos)90sin(0坐標變換后坐標變換后,在在oxy坐標系中有坐標系中有:t