有限元分析平面問題有限單元法

1、有限元分析有限元分析內(nèi)容內(nèi)容 平面問題的有限元法平面問題的有限元法 1 1 連續(xù)體的離散化連續(xù)體的離散化 2 常應(yīng)變?nèi)切螁卧?yīng)變?nèi)切螁卧?3 形函數(shù)的性質(zhì)形函數(shù)的性質(zhì) 4 剛度矩陣剛度矩陣要求要求 理解理解：連續(xù)體：連續(xù)體有限元分片插值的含義有限元分片插值的含義 有限元分析中的幾個(gè)常用概念，包括：有限元分析中的幾個(gè)常用概念，包括： 形函數(shù)，應(yīng)變矩陣，應(yīng)力矩陣，剛度形函數(shù)，應(yīng)變矩陣，應(yīng)力矩陣，剛度矩陣矩陣等等 掌握掌握：常應(yīng)變?nèi)切螁卧治龀?yīng)變?nèi)切螁卧治隽鞒塘鞒陶n后作業(yè)課后作業(yè) 推導(dǎo)常應(yīng)變?nèi)切螁卧骶仃囃茖?dǎo)常應(yīng)變?nèi)切螁卧骶仃嚮仡櫥仡櫿w離散單元組裝 QKPP1432123456

2、eijTjmjqjTimiqiOeijjfjifiyxOij eeepK材料力學(xué)材料力學(xué)PP14321234564123456eij其中其中：e = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; i ,j = 1, 2, 3, 4回顧回顧天然劃分出各天然劃分出各梁?jiǎn)卧簡(jiǎn)卧猠ijTjmjqjTimiqiOeijjfjifiyxOij eeepK回顧回顧PP1432123456 KQ回顧回顧最終數(shù)學(xué)模型：回顧回顧總體剛度矩陣，載荷向量，剛度方程總體剛度矩陣，載荷向量，剛度方程新問題：連續(xù)體的有限元分析 一、連續(xù)體的離散化（化無限為有限）人工節(jié)點(diǎn)人工節(jié)點(diǎn)逼近性離散逼近性離散節(jié)點(diǎn)位置，單元形狀、大小節(jié)點(diǎn)位置

3、，單元形狀、大小都會(huì)影響對(duì)原始結(jié)構(gòu)的逼近描述都會(huì)影響對(duì)原始結(jié)構(gòu)的逼近描述平面問題: 三角形、矩形、任意四邊形空間問題: 四面體、正方體、任意六面體Ansys中的中的Meshing功能功能單元分析的理論基礎(chǔ)：建立三角形單元節(jié)點(diǎn)力與單元節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系單元分析的目的：彈性力學(xué)基本理論vmumvjviuii (xi , yi)j (xj , yj)m (xm , ym)eujyxoFymFxmFyjFyiFxii (xi , yi)j (xj , yj)m (xm , ym)eFxjyxo單元節(jié)點(diǎn)位移單元等效節(jié)點(diǎn)力(基本變量，基本方程，邊界條件)？平面問題彈性力學(xué)基本理論回顧：基本基本變量變量幾何

4、幾何方程方程平衡平衡方程方程 D物理物理方程方程平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題單元分析的流程單元分析的流程單元變形單元變形分析分析單元變形分析（位移）單元變形分析（位移）問題問題：平面三角形問題中仍包：平面三角形問題中仍包含無窮多內(nèi)部連續(xù)點(diǎn)，如何用含無窮多內(nèi)部連續(xù)點(diǎn)，如何用節(jié)點(diǎn)位移表征內(nèi)部連續(xù)位移？節(jié)點(diǎn)位移表征內(nèi)部連續(xù)位移？解決思路解決思路：插值，即用節(jié)點(diǎn)位：插值，即用節(jié)點(diǎn)位移插值近似其它點(diǎn)的位移。移插值近似其它點(diǎn)的位移。vmumvjviuii (xi , yi)j (xj , yj)m (xm , ym)eujyxo如何插值？如何插值？22123456.uaa xa ya

5、xa xya y22123456.vbb xb yb xb xyb y多項(xiàng)式中包含的項(xiàng)數(shù)越多，就越接近實(shí)際的位移分布，越精確。但選取多少項(xiàng)數(shù)，要受單元型式的限制。單元變形分析（位移）單元變形分析（位移）vmumvjviuii (xi , yi)j (xj , yj)m (xm , ym)eujyxo22123456.uaa xa ya xa xya y22123456.vbb xb yb xb xyb y插值系數(shù)的確定：插值系數(shù)的確定：待定系數(shù)法待定系數(shù)法123123123iiijjjmmmuaa xa yuaa xa yuaa xa y123123123iiijjjmmmvbb xb yvb

6、b xb yvbb xb y6個(gè)方程個(gè)方程6個(gè)系數(shù)個(gè)系數(shù)矩陣表達(dá)和運(yùn)算123123123iiijjjmmmuaa xa yuaa xa yuaa xa y321111aaayxyxyxuuummjjiimji T111mmjjiiyxyxyx令令 mjiuuuaaa1321T*1TTTT2AA為三角形單元的面積 T*為T的伴隨矩陣： T*Tijjiijjimiimmiimjmmjjmmjxxyyyxyxxxyyyxyxxxyyyxyx矩陣表達(dá)和運(yùn)算（續(xù)）令令mjimjimjimmmjjjiiicccbbbaaacbacbacbaT*TmjimjimjimjiuuucccbbbaaaAaaa21

7、321同理，由同理，由123123123iiijjjmmmvbb xb yvbb xb yvbb xb y12312ijmiijmjijmmbaaavbbbbvAbcccv1,()()()2iiiijjjjmmmmu x yab xc y uab xc y uab xc y uA1,()()()2iiiijjjjmmmmv x yab xc y vab xc y vab xc y vA回代，得回代，得二、平面問題三角形單元分析三角形單元形函數(shù)1,()()()2iiiijjjjmmmmu x yab xc y uab xc y uab xc y uA1,()()()2iiiijjjjmmmmv

8、x yab xc y vab xc y vab xc y vA1,()2iiiiNx yab xc yA令令1,()2jjjjNx yab xc yA1,()2mmmmNx yab xc yA000000iiijmjijmjmmuvNNNuuNNNvvuv 得得 ufv 單元內(nèi)各點(diǎn)位移：?jiǎn)卧獌?nèi)各點(diǎn)位移： iiiejjjmmmuvuvuv單元節(jié)點(diǎn)位移：?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)位移： eNf形函數(shù)形函數(shù) 例題：圖示等腰三角形單元，求其形函數(shù)矩陣?yán)}：圖示等腰三角形單元，求其形函數(shù)矩陣NN。0ijmmjax yx yijmbyya0ijmcx x 0jm iimax yxy0jmibyy jmicx x a 2mi

9、jjiax yx yamijbyyamijcx xa ijm 由三角形的面積由三角形的面積22aA 211()(00)2iiiixNabxc yaxAaa211()(00)2jjjjyNab xc yayAaa2211()() 12mmmmxyNab x c yaax ayAaaa 00 10 0001xyxyaaaaNxyxyaaaa形函數(shù)有哪形函數(shù)有哪些的性質(zhì)？些的性質(zhì)？二、平面問題三角形單元分析單元變形分析（應(yīng)變）單元變形分析（應(yīng)變）位移位移應(yīng)變應(yīng)變 eNf 00 xuvyyx 代入代入 00010002iiijmjijmjiijjmmmmuvbbbucccvAcbcbcbuveB記為記

10、為B矩陣稱為應(yīng)變矩陣。 ijmBBBB0102iiiiibBcAcb常常數(shù)數(shù)二、平面問題三角形單元分析單元應(yīng)力分析單元應(yīng)力分析應(yīng)變應(yīng)變應(yīng)力應(yīng)力 eB D代入代入 eDB eS記為記為S矩陣稱為應(yīng)力矩陣。 SD BD為彈性矩陣為彈性矩陣單元平衡分析二、平面問題三角形單元分析FymFxmFyjFyiFxii (xi , yi)j (xj , yj)m (xm , ym)eFxjyxo問題問題：假設(shè)隔離出的各單元，僅在節(jié)點(diǎn)：假設(shè)隔離出的各單元，僅在節(jié)點(diǎn)上有內(nèi)力的作用（上有內(nèi)力的作用（若單元邊界上和體內(nèi)若單元邊界上和體內(nèi)有力的作用，可事先等效到節(jié)點(diǎn)上，有力的作用，可事先等效到節(jié)點(diǎn)上，如如何等效？何等效

11、？），則單元節(jié)點(diǎn)內(nèi)力與變形產(chǎn)），則單元節(jié)點(diǎn)內(nèi)力與變形產(chǎn)生的應(yīng)力構(gòu)成平衡力系。生的應(yīng)力構(gòu)成平衡力系。單元滿足平衡條件單元滿足平衡條件平平衡衡方方程程用虛功方程代替。單元平衡分析二、平面問題三角形單元分析平面問題虛功原理平面問題虛功原理dddeeepxxyyxyxyxyxySbubvpupvS euNv eB eS代入代入得得 ddddeeeeTxxyyxyxyTeTeTeTeBDBBDB 內(nèi)力虛功內(nèi)力虛功二、平面問題三角形單元分析單元平衡分析 dd,eepxyxySiiTjeeeeeeeexiyixjyjxjyjjmmbubvpupvSuvuFFFFFFFvuv 外力虛功外力虛功載荷等效載荷等效公式公式二、平面問題三角形單元分析單元平衡分析外力虛功外力虛功內(nèi)力虛功內(nèi)力虛功 deTTeTeeeBDBF d0eTTeeeBDBF deeTKBDB令令Ke單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?0TeeeeKF 單元?jiǎng)偠确匠虇卧獎(jiǎng)偠确匠屉x散化離散化：?jiǎn)卧治鰡卧治觯喝斯卧⒐?jié)點(diǎn)人工單元、節(jié)點(diǎn)euNveBeS 0TeeeeKF 下次課內(nèi)容：?jiǎn)卧M裝和單元等效節(jié)點(diǎn)外載下次課內(nèi)容：?jiǎn)卧M裝和單元等效節(jié)點(diǎn)外載如圖（如圖（a）所示一高深懸臂