材料力學(xué)第九章應(yīng)力狀態(tài)(1,2)

1、 第九章第九章 應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)與強(qiáng)度理論一一. .研究應(yīng)力狀態(tài)的意義研究應(yīng)力狀態(tài)的意義CL10TU1PP9-1 9-1 應(yīng)力狀態(tài)的概念應(yīng)力狀態(tài)的概念（1 1）同一點(diǎn)各個(gè)方向的應(yīng)力不同；）同一點(diǎn)各個(gè)方向的應(yīng)力不同； (2)(2)相同的受力方式不同的破壞形式，如鑄鐵與相同的受力方式不同的破壞形式，如鑄鐵與低碳鋼的壓縮破壞。低碳鋼的壓縮破壞。低碳鋼、鑄鐵試件受扭時(shí)的破壞現(xiàn)象。低碳鋼、鑄鐵試件受扭時(shí)的破壞現(xiàn)象。CL10TU26鑄鐵鑄鐵低碳鋼低碳鋼CL10TU2mmCL10TU3PABCDEABCDE主平面主平面剪應(yīng)力為零的平面剪應(yīng)力為零的平面主應(yīng)力：主應(yīng)力：主平面上的正應(yīng)力主平面上的正應(yīng)力

2、主方向：主方向：主平面的法線方向主平面的法線方向 可以證明：通過受力構(gòu)件內(nèi)的任一點(diǎn)，一定存在三個(gè)可以證明：通過受力構(gòu)件內(nèi)的任一點(diǎn)，一定存在三個(gè)互相垂直的主平面?；ハ啻怪钡闹髌矫妗?三個(gè)主應(yīng)力用三個(gè)主應(yīng)力用1 1、 2 2 、 3 3 表示，按代數(shù)值大小表示，按代數(shù)值大小順序排列，即順序排列，即 1 1 2 2 3 3 二二. .基本概念基本概念應(yīng)力狀態(tài)的分類：應(yīng)力狀態(tài)的分類：單向應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力中只有一個(gè)不等于零三個(gè)主應(yīng)力中只有一個(gè)不等于零；二向和三向應(yīng)力狀態(tài)統(tǒng)稱為二向和三向應(yīng)力狀態(tài)統(tǒng)稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)二向應(yīng)力狀態(tài)二向應(yīng)力狀態(tài)（平面應(yīng)力狀態(tài)）：兩個(gè)主應(yīng)力不等于零（平面

3、應(yīng)力狀態(tài)）：兩個(gè)主應(yīng)力不等于零；三向應(yīng)力狀態(tài)三向應(yīng)力狀態(tài)（空間應(yīng)力狀態(tài)）：三個(gè)主應(yīng)力皆不等于零（空間應(yīng)力狀態(tài)）：三個(gè)主應(yīng)力皆不等于零9-2 9-2 平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力分析平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力分析CL10TU8xyyyxx一一. .應(yīng)力單元體應(yīng)力單元體xyxyxy二二. . 應(yīng)力分析的解析法應(yīng)力分析的解析法CL10TU9xyxxxxyyyyn1.1.斜面上的應(yīng)力斜面上的應(yīng)力微元體的平衡方程微元體的平衡方程yyxx：拉應(yīng)力為正：拉應(yīng)力為正：順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正：順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正：逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正：逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正CL10TU10nAAsinAcos 平衡對象平衡對象用用 斜截斜截 面截取的微元局部面截取的微

4、元局部 0tFF 平衡方程平衡方程 FF 參加平衡的量參加平衡的量應(yīng)力乘以其作用的面積應(yīng)力乘以其作用的面積 0 nFAAsinAcos y x yxt 0 nF - -cos)cos( Ax- - yA(sin )sin 0A + + A(cos )sinx+ + A(sin )cosy法向的平衡法向的平衡cossin2sincos22xyx-+AAsinAcos y x yx 0tF A- xA(cos )sin- xA(cos )cos 0+ + yA(sin )cos+ + yA(sin )sin切向平衡切向平衡)sin(coscossin)(22-+-xyxAAsinAcost x y

5、xt y+-+xyxyxxyx2222222cossinsincos注：三角公式22cos1cos22cos1sincossin22sin22+-討論：)2( 2sin)2( 2cos)(21)(21) 1+-+-+xyxyx常量+yx22)2+-2sin2cos)(21)(212xyxyx+-+2.2.主應(yīng)力主應(yīng)力dd -+2222xyxsincos若時(shí)，能使00ddxyx-+222000sincos+-+2cos2sin22sin2cos22xyxxyxyx剪應(yīng)力的極值確定正應(yīng)力和的函數(shù)。利用上式便可都是和0 x零該面上恰好切應(yīng)力等于yxx-22tan0maxmin+-+xyxyx2222

6、是最小正應(yīng)力作用面。正應(yīng)力作用面，另一個(gè)其中一個(gè)是最大確定了兩個(gè)正交平面，、00090+用完全相似的方法可確定剪應(yīng)力的極值dd-()cossinxyx222若時(shí)，能使10dd()cossinxyx-222011+-+2cos2sin22sin2cos22xyxxyxyx由由tan221-xyx1190、它們確定兩個(gè)互相垂直的平面，分別作用著最大和最小剪應(yīng)力+,maxmin -+xyx22212tan2tan01-229010+即1045+即：最大和最小剪應(yīng)力所在平面與主平面的夾角為45tan220 -xxytan221-xyx由：三三. . 應(yīng)力分析的圖解法應(yīng)力分析的圖解法應(yīng)力圓應(yīng)力圓-+-x

7、yxyx22221cossin( )-+xyx2222sincos( )( )( ) ,1222+得-+-+xyxyx222222()()xxyyR-+-020221.莫爾莫爾(Mohr)圓（應(yīng)力圓）圓（應(yīng)力圓）+02，圓心坐標(biāo)為yx-+-+xyxyx222222222xyx+-半徑為在在 - 坐標(biāo)系中，標(biāo)定與微元垂直的坐標(biāo)系中，標(biāo)定與微元垂直的x、y面面上上 應(yīng)力對應(yīng)的點(diǎn)應(yīng)力對應(yīng)的點(diǎn)D1和和D2 連連D1D2交交 軸于軸于c點(diǎn)，點(diǎn)，c即為圓心，即為圓心，R應(yīng)力應(yīng)力圓半徑。圓半徑。 D1( x , x)D2( y , y)cR xy+ +22.2.應(yīng)力圓的畫法應(yīng)力圓的畫法 yyxx1 1）應(yīng)力

8、圖的畫法）應(yīng)力圖的畫法xxD,1yyD,2已知已知 x、 y、 x、 y，如右圖，假定如右圖，假定 x y。 在在 、 坐標(biāo)系內(nèi)按比例尺確定兩點(diǎn)：坐標(biāo)系內(nèi)按比例尺確定兩點(diǎn)：xxD,1yyD,2dabcefxyxxnxxyyyy 以以C為圓心，線段為圓心，線段CD1或或CD2為半徑作圓，即為應(yīng)為半徑作圓，即為應(yīng) 力圓。力圓。 連接連接D1、D2兩點(diǎn)，線段兩點(diǎn)，線段D1D2與與 軸交于軸交于C點(diǎn)。點(diǎn)。xxD,1yyD,2CxxD,1yyD,2C2 2）證明）證明對下圖所示應(yīng)力圓可見對下圖所示應(yīng)力圓可見C點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：橫坐標(biāo)為： 從從D1點(diǎn)按斜截面角點(diǎn)按斜截面角 的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)2 得到得到

9、E點(diǎn)，該點(diǎn)的坐標(biāo)值點(diǎn)，該點(diǎn)的坐標(biāo)值即為斜截面上的應(yīng)力分量值。即為斜截面上的應(yīng)力分量值。xxD,1yyD,2C2EOC2FA1B1B2A2D1D2Exyyx1202CBOBOC22+由于由于CBDCBD1122可得：可得：CBCB12222/212yxyxyBBOBOC+-+因此，因此，C點(diǎn)坐標(biāo)為應(yīng)力圓圓心坐標(biāo)，并且點(diǎn)坐標(biāo)為應(yīng)力圓圓心坐標(biāo)，并且22211221122xyxDBBBCD+-+ 該線段長度等于應(yīng)力圓半徑。該線段長度等于應(yīng)力圓半徑。從而證明上述圓從而證明上述圓確為應(yīng)力圓。確為應(yīng)力圓。則：則：E點(diǎn)橫座標(biāo)點(diǎn)橫座標(biāo) - - -+ + + - -+ + - -+ + + + + + + 2si

10、n2cos22 2sin2sin2cos2cos 2sin2sin2cos2cos 22cos0101000 xyxyxCDCDOCCECEOCCEOCCFOCOFE點(diǎn)縱座標(biāo)點(diǎn)縱座標(biāo) - -+ + + + + + 2sin22cos 2sin2cos2cos2sin 22sin01010yxxCDCDCEEF3.3.應(yīng)力圓的幾種對應(yīng)關(guān)系應(yīng)力圓的幾種對應(yīng)關(guān)系(3)(3)轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)半徑旋轉(zhuǎn)方向與方向面法線旋轉(zhuǎn)半徑旋轉(zhuǎn)方向與方向面法線旋轉(zhuǎn)方向一致；方向一致；(4)(4)二倍角對應(yīng)二倍角對應(yīng)半徑轉(zhuǎn)過的角度是方向面旋轉(zhuǎn)角度的半徑轉(zhuǎn)過的角度是方向面旋轉(zhuǎn)角度的兩倍。兩倍。(1)(1)單元體與應(yīng)力圓對應(yīng)

11、單元體與應(yīng)力圓對應(yīng) 單元體的應(yīng)力分量已知一單元體的應(yīng)力分量已知一般來說對應(yīng)著唯一的應(yīng)力圓；般來說對應(yīng)著唯一的應(yīng)力圓；(2)(2)點(diǎn)面對應(yīng)點(diǎn)面對應(yīng)應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)值對應(yīng)著應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)值對應(yīng)著微元某一方向上的正應(yīng)力和切應(yīng)力；微元某一方向上的正應(yīng)力和切應(yīng)力；4. 4. 主應(yīng)力與主平面主應(yīng)力與主平面可見，圓周上可見，圓周上A1和和A2兩點(diǎn)的兩點(diǎn)的橫座標(biāo)分別代表該單元體的橫座標(biāo)分別代表該單元體的垂直于垂直于xy平面的那組截面上平面的那組截面上正應(yīng)力中的最大值和最小值，正應(yīng)力中的最大值和最小值，它們的作用面相互垂直它們的作用面相互垂直( (由由A1和和A2兩點(diǎn)所夾圓心角為兩點(diǎn)所夾圓心角為180

12、可知可知) )，且這兩個(gè)截面，且這兩個(gè)截面上均無切應(yīng)力。上均無切應(yīng)力。(b)一點(diǎn)處切應(yīng)力等于零的截面一點(diǎn)處切應(yīng)力等于零的截面稱為主平面稱為主平面( (principal plane) )，主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力力( (principal stress) )。據(jù)此可。據(jù)此可知，應(yīng)力圓圓周上點(diǎn)知，應(yīng)力圓圓周上點(diǎn)A1和和A2所代表的就是主應(yīng)力；所代表的就是主應(yīng)力；(b)受力物體內(nèi)一點(diǎn)處無論是受力物體內(nèi)一點(diǎn)處無論是什么應(yīng)力狀態(tài)必定存在三什么應(yīng)力狀態(tài)必定存在三個(gè)相互垂直的主平面和相個(gè)相互垂直的主平面和相應(yīng)的三個(gè)主應(yīng)力。對于一應(yīng)的三個(gè)主應(yīng)力。對于一點(diǎn)處三個(gè)相互垂直的主應(yīng)點(diǎn)處三個(gè)

13、相互垂直的主應(yīng)力，根據(jù)慣例按它們的代力，根據(jù)慣例按它們的代數(shù)值由大到小的次序記作數(shù)值由大到小的次序記作 1、 2、 3。圖。圖b所示應(yīng)力所示應(yīng)力圓中標(biāo)出了圓中標(biāo)出了 1和和 2，而，而 3=0。(b)12111ACCOACCOAO- - + + 22222142124212xyxyxxyxyx + +- - -+ + + +- -+ + + 其中，其中， 為應(yīng)力圓圓心的橫座標(biāo)，為應(yīng)力圓圓心的橫座標(biāo)， 為應(yīng)力圓的半徑。故得為應(yīng)力圓的半徑。故得OC11CDCA yxxBCDB - - - -212tan1110 - - - yxx 2arctan2 0或即或即圖圖c示出了主應(yīng)力和主平面的方位。示出

14、了主應(yīng)力和主平面的方位。 由于主應(yīng)力是按其代數(shù)值排序記作由于主應(yīng)力是按其代數(shù)值排序記作 1、 2、 3的，故在一般情況下由上列解析式求得的兩個(gè)的，故在一般情況下由上列解析式求得的兩個(gè)不等于零的主應(yīng)力不一定就是不等于零的主應(yīng)力不一定就是 1、 2，所以應(yīng)該，所以應(yīng)該把式中的把式中的 1、 2看作只是表示主應(yīng)力而已?？醋髦皇潜硎局鲬?yīng)力而已。 例例9-19-1分別用解析法和圖解法求圖示單元分別用解析法和圖解法求圖示單元體的體的(1)指定斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力指定斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力;(2)主應(yīng)力值及主方向，并畫在單元體上；主應(yīng)力值及主方向，并畫在單元體上；(3)最大剪應(yīng)力值。最大剪應(yīng)力值。xy

15、xxyxyxxyx - -+-+8040602222102222220MPa, MPa MPa, =30MPaMPacossinsincos.解：解：()使用解析法求解使用解析法求解MPa1022sin2cos22-+xyxyxMPa0 .222cos2sin2+-xyxmaxmintan.+- +-xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa, , MPa123或min65105MPa,1,02 -65MPa3maxmintan.+-+- - -xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa, , MPa123或max

16、1050225.maxmin -+ xyx28522MPa1tan-xxy2-20()使用圖解法求解使用圖解法求解10222105max65 -min 85max5220.作應(yīng)力圓，從應(yīng)力圓上可量出：作應(yīng)力圓，從應(yīng)力圓上可量出： 例例9-39-3一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)如圖所示，試用一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)如圖所示，試用應(yīng)力圓求主應(yīng)力。應(yīng)力圓求主應(yīng)力。CL10TU70CL10TU71 例例9-39-3一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如圖所示（應(yīng)力單位一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如圖所示（應(yīng)力單位 MPaMPa），試作應(yīng)力圓求主應(yīng)力及其作用平面。），試作應(yīng)力圓求主應(yīng)力及其作用平面。327，-273127，-73低碳鋼低碳鋼鑄鐵鑄鐵 例例9-4

17、 討論圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)，并分討論圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)，并分析低碳鋼、鑄鐵試件受扭時(shí)的破壞現(xiàn)象。析低碳鋼、鑄鐵試件受扭時(shí)的破壞現(xiàn)象。maxmin0123max, - -,450maxmin( , )0( ,)0 -圓筒形薄壁壓力容器，內(nèi)徑為圓筒形薄壁壓力容器，內(nèi)徑為 D、壁厚為、壁厚為t，承，承受內(nèi)力受內(nèi)力p作用作用pDt2pDt4123240pDtpDtCL10TU4pp tD m ltt 2 t t m m m t 承受內(nèi)壓承受內(nèi)壓p作用薄壁圓筒的應(yīng)力計(jì)算作用薄壁圓筒的應(yīng)力計(jì)算 tD m m m 0 X 42DpDtm tpDm4 0 Y lDpltt 2 tpDt2 ltt 2 t t

18、 兩端簡支的焊接工字鋼梁如圖所示。試?yán)脩?yīng)兩端簡支的焊接工字鋼梁如圖所示。試?yán)脩?yīng)力圓求危險(xiǎn)橫截面上力圓求危險(xiǎn)橫截面上a、b (圖圖c)兩點(diǎn)處的主應(yīng)力。兩點(diǎn)處的主應(yīng)力。例題例題 7-1 1. 梁的剪力圖和彎矩圖如圖梁的剪力圖和彎矩圖如圖d和和e所示。危險(xiǎn)截面所示。危險(xiǎn)截面為為C偏左的橫截面。偏左的橫截面。mkN80kN200S CCMF例題例題 7-1解解:2. 計(jì)算截面的幾何性質(zhì)計(jì)算截面的幾何性質(zhì) 46333333m108812m10270m1011112m10300m10120- - - - - - - - zI 363333*m10256m105 . 7m10135m1015m10120

19、- - - - - - + + zaS例題例題 7-13. 求求C偏左橫截面上偏左橫截面上a、b兩點(diǎn)處的應(yīng)力兩點(diǎn)處的應(yīng)力MPa7 .122Pa107 .122m135. 0m1088mN10806463 - -azCayIM MPa6 .64Pa106 .64m109m1088m10256N102006346363*S - - - -dISFzzaCa 例題例題 7-1MPa4 .136Pa104 .136m15. 0m1088mN10806463 - -bzCbyIM 0 b 例題例題 7-1 分別圍繞分別圍繞a、b兩點(diǎn)用相鄰的兩個(gè)橫截面和兩個(gè)兩點(diǎn)用相鄰的兩個(gè)橫截面和兩個(gè)水平縱截面在梁中截取

20、兩個(gè)單元體，如圖水平縱截面在梁中截取兩個(gè)單元體，如圖f、g所所示。示。yxMPa6 .64 x MPa7 .122 x xxyy(f)ab(g)例題例題 7-1(h) 1求求a點(diǎn)處的主應(yīng)力值和主平面方位。點(diǎn)處的主應(yīng)力值和主平面方位。 在在 坐標(biāo)系中，按坐標(biāo)系中，按選定的比例尺，由圖選定的比例尺，由圖f所示所示單元體上單元體上x和和y向的應(yīng)力確向的應(yīng)力確定定D1和和D2點(diǎn)，以點(diǎn)，以 為直為直徑畫出應(yīng)力圓如圖徑畫出應(yīng)力圓如圖h所示。所示。用比例尺在應(yīng)力圓上量得用比例尺在應(yīng)力圓上量得21DDMPa270,MPa150321- - 量得量得2 046.4o， 023.2o主平面的方位如圖主平面的方位如圖i所示。所示。130yxxxxxyy(i)例題例題 7-1b(g)由由b點(diǎn)的單元體點(diǎn)的單元體(圖圖g)可見，可見，單元體的單元體的x和和y面上的切面上的切應(yīng)力均等于零，即應(yīng)力均等于零，即x和和y面均為主平面，面均為主平面， x為