更高更妙的物理：專題25波動光學與量子理論拾零

1、專題25波動光學與量子理論拾零由敦tt手咨本專題簡略介紹波動光學、量子物理學的若干知識與方法。人們發(fā)現光的干涉、衍射與偏振等現象以及測出水中光速小于空氣中的光速使光的波動說有了重要的實驗論據；麥克斯韋建立的電磁理論，進一步指出光是一種電磁波：實驗測得1的光速與電磁波在真空中的傳播速度的理論值c=.很好地相待;與電磁波一樣，光.；。0是一種橫波，可見光是波長在400760nm、頻率在4.3父10147.5父1014Hz之間的電磁波，各種色光具有一定的頻率。頻率相同、相差恒定的兩列光波相遇會發(fā)生干涉現象，歷史上著名的獲得相干光源的干涉實驗有：楊氏雙縫實驗這是最早以明確形式確立光波疊加原理，用光的波

2、動性解釋干涉現象的一個實驗。楊氏實驗示意圖如圖所示，根據惠更斯原理，認為雙縫S和S2是兩個發(fā)射子波的波源，它們都是從同一個光源S而來并位于同一個子波波面，故它們的相位總是相同而能構成相干光源。如圖所示，若雙縫間距離為d,縫屏到光屏EE'間距為D,光屏上任一點P到雙縫的距離為r1、r2從6和5到達P的光程差為l=r2-r1為dsinH,式中日表示PO對雙縫中點的張角，如圖所示。若光程差等于波長整數倍，即dsin=k九，k=01,2,，P點為亮點。通常能觀察到干涉條紋的情況下e總是很小，則dsin=dtan=dx=必故光屏上各級亮紋高中心O的D距離為x=_Dk,k=0,1,2,d、九若光程

3、差滿足dsin8=(2k-1)一，k=1,2,3,P點為暗點，則各級暗紋離中心。的2距離為Dx=±(2k-1),k=1,2,32d兩相鄰明條紋或暗條紋間距Ax=D九，即能觀察到的干涉條紋是等距離分布的。d菲涅爾雙棱鏡實驗如圖所示，雙棱鏡截面為等腰三角形，由上、下兩頂角A、A'各約10左右、底面1重合的直角三棱鏡構成，從狹縫(垂直于紙面，下同)光源S發(fā)出的光波，經過這個薄薄的雙棱鏡，光束向J相反方向偏折，分成的兩束光波，好像來自虛線光源S和S2,兩虛光源發(fā)出的光在畫有陰影線的部分疊加，使這個區(qū)域成為干涉區(qū)，虛線光源S1和0即為相干光源。若雙棱鏡玻璃折射率為n,狹縫光源S到雙棱鏡

4、距離為b,當從三棱鏡出射光垂直于出射面時，有最小偏向角6min=(n-1)A,這也正是光源S發(fā)出的光束的半張角，光源S發(fā)出的沿對稱軸的光從雙棱A鏡射入時入射角i=A,出射時的折射角為i=(A-)n=(n1)A,這也正是虛光源&和n&發(fā)出的光束的張角，由此，兩相干光源間距離d=2b（n-1）A,若在與光源相距D處置一光屏EE,與楊氏雙縫一樣，屏上會有明暗相間均勻分布的干涉條紋，相鄰明（暗）條紋間的距離O次二D2b(n-1)A菲涅爾雙鏡實驗菲涅爾雙鏡是兩個交角很小的平面鏡，如圖所示，從狹縫S發(fā)出的光波，經平面鏡M1和M2反射后成為兩束相干光波，兩束光好像來自光源S在兩鏡中所成虛像G

5、和S2,S1和S2即為相干光源，兩光束疊加部分如圖中畫部分所示。若兩鏡間很小的夾角為0,圖中SC=SC=S2C=r,§與S關于M1對稱，S，與S關于M2對稱，由幾何關系可知狹縫S的兩虛像Si、S2對兩平面鏡交線C的張角為29,故S1和S2的距離d=2rH；若在與兩相干光源S,和S2距離為D處置光屏，在兩反射光交疊處、如圖中屏上AB間，可觀察到干涉條紋，相鄰兩明（暗）條紋間距離為“22c洛埃鏡實驗洛埃鏡是一種更簡單的觀察干涉現象的裝置，實驗示意如圖所示，S1為狹縫光源，其一部分光直射在光屏EE',另一部分幾乎與鏡面平行地射向鏡面，然后反射光到達屏上，反射光就像來自§的

6、虛像S2,G與S2構成一對相干光源，直射光束與反射光束重疊區(qū)域即可觀察到干涉條紋。在洛埃鏡實驗中，平面鏡處在兩相干光源的對稱軸上，圖中P點到兩波源光程差為零，但此處為一暗條紋，這是因為光從光疏介質射向光密介質界面而發(fā)生反射時，有半波損失。屏上各級亮條紋出現在兩光源光程差為半波長奇數倍的那些位置，各級暗條紋則出現在兩光源光程差為波長整數倍的那些位置，干涉條紋間距的計算與楊氏實驗相同。上面介紹的各種干涉，都屬于同一類干涉，即把同一光源發(fā)出的同一波面設法分開造成光程差從而引起干涉；另一類干涉是利用同一入射光波的振幅（能量）通過兩個表面的先后反射加以分解，例如薄膜干涉?！纠?】如圖所示，在玻璃基底上涂

7、兩層薄膜，它們的厚度分別用t1和t2表示?？諝猓瑑蓪幽ひ约安ＡУ恼凵渎室来螢閚o,ni,n2,n3,且滿足n0<小<n2>n3o波長為九的單色光垂直入射，已知在三個界面處反射后所得三束光振幅相等。為了使反射光的總強度為零，必須適當選擇所涂薄膜的厚度ti和t2。試求ti的最小值，以及ti取上述最小值時t2的最小值。【分析與解】設入射光相位為零，在空氣與n界面上的反射光稱反射光i,n1與國界面上的反射光稱反射光2,電與玻璃界面上的反射光稱反射光3,因為三束反射光總光強為零，振幅相同，2故二束反射光兩兩之相差必為一冗,注意到光從光疏介質射向與3光密介質的界面時反射光的半波損失，各光

8、矢量關系如圖所示。當ti取最小值時，反射光2與反射光I光程差為2tini,由圖知反射光2與反射光I相位差為2.2二2.一.一冗，則2t1n1=n,故t1=；反射光3與反射光1的光程差為211n+212n2，3365242二47二而相位差由圖可知為一元，即（2t1n1+2t2n2-一）=n,211nl+2t2n2=，代入3236715,tl=可得t2=()=6nl632n212n2【例2】利用空氣劈尖的等厚干涉條紋可測量精密加工工件表面極小的紋路的深度。在工件表面上放一平板玻璃，使其形成空氣楔，如圖甲所示，以單色光垂直照射玻璃表面，在顯微鏡中觀察干涉條紋。由于工件表面不平，觀察到的條紋如圖乙所示

9、，試根據紋路彎曲的方向，說明工件表面上紋路是凹還是凸？并證明紋路深度可用下式表示aH=。b2【分析與解】本題是光的薄膜干涉應用于精密加工檢驗的一個實例。先討論一下楔形空氣薄膜的干涉原理；如圖所示，兩塊大的平板玻璃一端密合，另一端嵌一極薄墊層（圖中已特別予以放大），兩板間即形成頂角為a的楔形空氣薄膜，膜的上、下兩個表面即玻璃板內表面。用單色光垂直照射玻璃板，就可觀察到明暗相間、間隔等距的干涉條紋，其發(fā)生原因是由于單色光在楔形空氣薄膜上、卜兩個表面的反射光有相差。在某些點P,入射光在空氣膜上表面反射的反射光相位無變化，在下表面反射得到的反射光有半波損失，再加上在這空氣層一個往返的光程2y,兩反射光

10、在P點疊加時若有2y+±=kK,k=1,2,3，此處兩反射光疊加加強，出現亮紋，2而在另一些點Qi,兩反射光在Qi點疊加時若有2y+t=（2k+1）匕，k=01,2,，此處22兩反射光疊加減弱，出現暗紋，由于各處厚度均勻增大，即有y=xtana,相鄰兩明（暗）x1條紋間距離為l=。由上討論可知，楔形空氣薄膜干涉中，各級鳧、暗條紋cos:2sin:分別出現在膜的厚度y為土奇數倍與整數倍的那些位置，每一條紋都與一定的k值相當,42故這樣的干涉條紋稱為等厚條紋。用來測量精密加工工件表面極小紋路深度的空氣楔是在被測工件表面上放一平板玻璃（稱平面驗規(guī)）而形成,若工件表面不平，觀察到的干涉條紋會

11、有彎曲。本題中我們看到，條紋是向楔頂方向彎凸的，說明凸處空氣膜的厚度已達到離楔頂稍遠處某一條紋所對應的膜厚，故此處被驗表面一定有凹陷，如圖所示。根據上面的討論，等厚條紋間距x=±coto（=b，若以H2表示凹陷最大深度，無凹陷時，該處膜的厚度比距它a的那一級條紋所對應的膜厚小H,a則H=ataw=。2b2b光的直進現象是在衍射不明顯時的近似，而衍射才是光波的本性特征之一，能觀察到明顯光衍射的條件是孔、縫、障礙物尺寸與光波波長可比。因可見光波長的數量級在幾百納米，故一般情況下，不易觀察到明顯的光衍射現象，但在障礙物大小與光波波長差不多時，光偏離直線路徑的現象會很明顯。大氣中天然出現的衍

12、射現象一月暈和日暈，是懸浮在高空的微粒所導致的：如果高空的水氣達到飽和，月光在霧滴上彎折了路徑，使得地面上觀察者看到月邊上有彩色光環(huán)，這就是月暈；著名的日暈發(fā)生在喀拉卡火山爆發(fā)后，火山爆發(fā)后的灰土被風卷揚至高空，日光經塵埃微粒而彎曲，使人們看到太陽外周出現赤色的光環(huán)。一些助視光學儀器的分辨本領與光的衍射有關，在上一個專題里，我們討論光學儀器的成像與放大本領時，是基于幾何光學的直線傳播規(guī)律，在那里，似乎只要適當選擇透鏡的焦距，得到所需要的放大率，就可以將任何微小物體放大到清晰可見的程度。但實際上，各種光學儀器由于衍射現象所限制，即使所成的像很大（即對人眼的張角足夠大），但明晰程度卻并不增加。這是

13、因為物點發(fā)出的光通過物鏡時，由于衍射，并不能聚焦為幾何像點，而是成一衍射圖樣，衍射圖樣中央亮區(qū)是有一定大小的亮魔，極小的物體兩端點相隔極近，其光通過物鏡，將是兩個大部分相重疊的亮魔，則我們仍然不能分辨這兩點。恰能分辨兩物點，至少應使兩物點的衍射圖樣中心間的距離等于中央亮魔的半徑，這個條件被稱為瑞利準則。此時，兩物點在物鏡處的張角稱為最小分辨角，用 以下式確定為6邛表示，如圖。根據數學分析得出最小分辨角大小6中=1.22彳,即最小分辨角的大小與儀器孔徑d及光波波長有關。最小分辨角的倒數被稱為儀器的試求能夠被它分辨的550nm。若人眼瞳 其分辨率是人眼的分辨率?！纠?】一天文望遠鏡的物鏡直徑為2.

14、5m,雙星對它張開的最小夾角，設入射光的波長為孔的直徑為2.5mm,求該望遠鏡與人眼相比，多少倍？【分析與解】望遠鏡的最小分辨角6隼=1.22上=-550"0rad=2.68父10rad。d2.5人眼的最小分辨角則為6m=1.22=1.22父550°rad=2.68父10“rad,望遠鏡與人d2.510%眼相比，其分辨率是人眼分辨率的倍數為N='=1000倍。人們從光的偏振現象認識到光是橫波。我們知道，光是電磁波的特例，電磁波被表征為互相垂直的電場強度矢量與磁場強度矢量的振動（周期性變化），光振動指的是電場強度矢量一光矢量的振動。普通光源發(fā)出的光稱為自然光，這是因為

15、大量原于發(fā)光時，各原子所發(fā)光的光矢量取所有可能的方向，沒有哪個方向較其他方向更占優(yōu)勢，平均采看，光矢量的振動對于光傳播方向是對稱而又均勻分布的；激光器所發(fā)出的光是偏振光，即光矢量在一個固定平面內只沿一個固定方向做振動。光矢量振動方向與光傳播方向所成平面稱為振動面。圖甲表示沿z軸傳播的自然光，對自然光中任何取向的光矢量都分解為相互垂直的兩個方向上的分量，就可以用振動方向互相垂直的兩個偏振光來表示自然光，如圖乙所示。圖中用黑點表示垂直于紙面的光振動，雙箭頭短線表示在紙面內的光振動，點、線畫成均勻分布，表示代表自然光的這兩個方向的偏振光強度是一樣的。圖則表示各種偏振光。部分偏振光究史偏攝光自然光在兩

16、種介質的界面上反射與折射時，反射光與折射光都將成為偏振光， 在特定條件下，反射光有可能成為完 全偏振光。如圖所示，SO為自然光入射線，在兩種介質的界面MM '上。點反射與折射，反射線為OA ,折射線為OB ,反射光與折射光均為部分偏振光，反射光中垂直于入 射面的振動多于平行于入射面的振動，而折射光情況相反。 當我們改變入射角i ,反射光的偏振化程度也隨之改變，當反射光與折射光互相垂直時，在反射光中只有垂直于入射面的振動，而平行于入射面的振動變?yōu)榱?，即反射光成為完全偏振?這時的入射角叫全偏振角,若以認示之，由i0 + r =900以及折射定律sini0='，得sinrn1反射光

17、成為全偏振光的布儒這個規(guī)律被稱為布儒斯特定律,tanio=,ni全偏振角亦稱布儒斯特角。斯特角與兩種介質的相對折射率有關?！纠?】如圖所示，一塊折射率為n3=1.50的平行玻璃板浸在水中，一束自然光入射到水面上時，反射光是完全偏振光?，F要使玻璃表面的反射光也是完全偏振光，試問玻璃表面與水平面的夾角6應為多大？水的折射率n2=1.33。【分析與解】由題給條件知，自然光對水面的入射角i為全偏振角,即tani=n2,且io+r=90°,自然光經水面折射后折射角r由折射定律型二色，可得n1sinr仙sin(90-r)=n2=r=arccot1.33=36056'進入水中的折射光到達玻

18、璃板表面，對玻sinrn1璃板而盲，為一部分偏振的入射光，要使其經玻璃表面反射后成完全偏振光，其對玻璃的入射角i'需滿足tani*=3,可得n21.500.1 =arctan=4838。1.33由幾何關系易得，玻璃表面與水平面的夾角8=i'r=48038'36056,=11042'。量子理論創(chuàng)生于上世紀初，是對輻射與實物的行為、特別是微觀層次上的行為最精確與完備的描述，它的實際影響廣及每一種基于微觀世界的細節(jié)的器件或觀念：諸如晶體管、硅片和集成電路一因而全部信息和通信技術如計算機、電視機、大部分現代化學與生物學、激光器、對從超導到中于星的不同實物的理解、原于核物

19、理學、核能和核武器整個高技術領域的中心就是一個高度量子化的粒子：電子。量子理論是科學家用來研究微觀世界的一套想法，量子物理學認為自然界的變化是以不連續(xù)的方式發(fā)生的，自然界在微觀層次上由隨機性支配著，自然界一電子、質子和波同它們的環(huán)境是深深地連通著而不可分離的。量子理論起始于對黑體輻射中“紫外災難”問題的解釋。在專題15中我們曾介紹過，黑體能在任何溫度下吸收所有的電磁波輻射，處于熱平衡的黑體有最大的吸收與輻射電磁波的本領。黑體單位表面積的輻射功率J與其絕對溫度的四次方成正比，即：J=仃丁4,式中斯忒藩常數仃=5.76M10“W/m2K4。經典理論還指出，當溫度升高時，黑體最大發(fā)射本領向短波方向移

20、動，例如，熾熱物體在溫度不很高時，輻射能量集中在長波區(qū)，發(fā)出的是紅外線或紅赭色光；溫度較高時，輻射能量主要在短波區(qū)，因而發(fā)出白光或紫外線。由這一理論，隨著波長的減小，發(fā)射本領無限增大，這與實驗結果不符。事實是，隨著波長的減小，輻射功率趨向于零！經典理論在短波端遭遇的這個失敗被稱作“紫外災難”。普朗克提出的量子假說，得出了與實驗完全相符的結論，他假設輻射黑體是由帶電的諧振子(如分子、原于)所組成，由它們的振動而輻射電磁波，每個振子的能量只可能處于某些不連續(xù)狀態(tài)，它們是一個最小能量的整數倍，這個最小能量就叫量子。如果諧振子的頻率為V,則最小能量E=hv,h為普朗克恒量，其值h=6.63x100J-

21、So諧振子能量只可能是hv,2hv,3hv,一，nhv,n為正整數，稱為量子數。這樣，被老師忠告以“年輕人，物理學已經不會有什么發(fā)展了，這是一條死胡同”的普朗克以全新的理念將物理學帶進了后牛頓時代。愛因斯坦推廣了普朗克關于輻射的量子概念，在對光電效應現象的研究中，指出：光在傳播過程中，具有波動的特性，然而在光的發(fā)射和吸收中卻有類似粒子的性質，光本身只能一份份地發(fā)射，一份份地吸收，這一份能量被稱為光子。光于的能量£=hv；按照相對論質能關系，光子的質量m=h；光子的動量p=h=O。cc光于假說不再認為光能均勻地分布在波面上，而是集中在光于上，從能量守恒出發(fā)建立光電1效應方程hv=mv+

22、W逸,不但對光電效應有了一個成功的斛釋,2不僅具有波動性，而且具有粒子性。自然界的波粒二象性露出端倪。X射線經物質散射實驗進一步證實了光于說?？灯疹D在研究X射線通過碳、石蠟等物質散射時，發(fā)現散射波中除與原入射線相同波長的射線外，也有波長大于原射線的，波長的改變量與散射方向有關。這種波長改變的散射稱為康普頓效應。從波動觀點采看，光的散射是由于電磁波通過物體時引起物體內帶電粒子的受迫振動，從而產生散射光，故此，散射光的頻率、波長應與入射光相同。波長變化的康普頓效應，純波動說難以解釋，而要應用光于理論。,-h前是靜止的，光于與電于做彈性碰撞，入射光子的動量p=c同時也使人們認識到光設自由電子在受光于

23、作用h,散射光子動量p =c被碰后電子獲得動量pe=mv,光于散射角為e,由如圖所示動量守恒關系,、2,卜、2.卜、22h2.1(mv)=()+()-wcosH；ccc2 .2靜止電子能量E=m0c,碰撞后電子能量E=mc,由能量守恒條件有hv+m0c2=hv'+mc2,即h(v-v)+m0c2=mc2；根據狹義相對論，電子質量與速度關系為h由以上二式可信?=?一？=(1-cos9)o此式給出了波長改變與散射角的關系，當m°ch0散射角為900時，入=0.024265A,與實驗觀察值符合。m°c【例5】頻率為v的光，射到一平面鏡上，設單位時間內到達鏡面單位面積上的入

24、射光光子數目為n,平面鏡的反射率為r,光對平面鏡的入射角為6。試求：光對平面鏡的壓力；光作用在平面鏡上的切向力。hh【分析與解】光于說認為光于具有動量p=一的觀點，除解釋康普頓效應外，還可以c,說明光壓的作用，即當光子流遇到障礙物時，會對障礙物施加壓力的作用，如同氣體分子在容器壁上碰撞形成氣體對器壁的壓強一樣, 量的一個例證。光壓就是光于流產生的壓強。本題是光子存在動設及時間打在平面鏡單位面積上的光子數為nt ,動量的法向分量為hPi =n&cosQ ,反射的光子數為rnAt ,動量的法向分量為 c與Pi相反。由動量定理，光對平面鏡單位面積的正壓力即光壓h、一p2=nrAt cosQ

25、,萬向ch . hp=n cos nr cosicc光作用在平面鏡上的切向力由所吸收光于的切向沖量引起，由動量定理hT = n(1 -r)sin6 。c對輻射顯示出波粒二象性作一對稱思考，法國物理學家德布羅意提出了一個更大膽的假說，即將波粒二象性推廣到實物粒子一如果用能量和動量來表征實物粒子的粒子性,和波長來表征實物粒子的波動性，那么，與實物粒子聯系著的波，其波長用頻率-,這種波mv就是通常所稱的物質波。德布羅意在他提交的博士學位論文中寫進了這極具對稱與奇異之美的想法，使博士學位評委會為之噤然，只得將論文寄給愛因斯坦， 被青年學者的創(chuàng)見深深打動的愛因斯坦評論道：“它是照在這個最難解的物理之謎上

26、的第一縷微弱之光” 從電子干涉或衍射圖樣中可以認識實物粒子的波動性。今天，我們【例6】電子顯微鏡的電子波長為0.0164nm,試估算所需電子動能的最小值及加速電壓。【分析與解】由德布羅意波波長與動量的關系，電子的動量h 6.63 1034幺一=苗 kg m / s 電 4M 10 kg m / s;0.0164 10而電子的動能Ek2p2m(4 i5500eV;2 9.11 101.6 10則加速電壓應為5500V。玻爾在1913年分三次發(fā)表的被譽為“偉大的三部曲”的長篇論著論原子構造和分子 構造成功地把量子觀念引入到原于理論中去，制定了量子化的原子模型，成功解釋了原子穩(wěn)定性問題及發(fā)光行為。

27、在玻爾的原于模型中， 核外電子的軌道不是任意的，而只能是一些量子化的軌道，在這些軌道上，電子繞核運動的角動量是芒的整數倍，即h 一 一mvr=n,n為重子數，取1、2、32 二對氫原子(原子序數 Z =1)和類氫原子，考慮電子繞核運動的動力學方程k冬rn2m,rn則可能軌道半徑2rn 二 nh2一 2-71'4 me Zk軌道速度一 2一2二 e ZkVn =。nhEnkZe2 kZe22rnrnkZe22 me4Z2k2二一2二2二-2rnn h電子在可能軌道上的運動是一種駐波形式的振動，這時的原于是穩(wěn)定的，稱為定態(tài)。處于定態(tài)的原子能量是電子動能與原子系統(tǒng)勢能的總和可見，原子的能量狀

28、態(tài)也是量子化的，原子處于可能的能量狀態(tài)稱為能級。當原于從一個較高能級En躍遷到一個較低能級Ek時，原于才會輻射單色光，反之，原子吸收光子時，會從較低能級躍遷到一個較高能級，輻射或吸收光子的頻率由能量守恒關系決定：Mk=En-Ek?！纠?1討論一個由子和氨核組成的類氫離子，N一子的質量為電子質量的207倍，其他性質與電子相同，對此種離子，玻爾的軌道量子化理論同樣適用。若已知氫原子的玻爾半徑0為ri=0.53A,基態(tài)能量為Ei=-13.6eV，試求這種類氫離子的玻爾半徑ri和基態(tài)能量E；。（略去氨核的運動）【分析與解】根據玻爾理論，氫原子的玻爾半徑（量子數為1)rih2, 22,4二 mee k0

29、= 0.53A,類氫離子中一子繞氨核運動的可能軌道半徑2rn 二 nh2/_2)4 me Zk取n=1,Z=2,則2ri = nh2ri4二 2(207me)e2 2k 4140= 0.0013A；類氫離子的最低能級（基態(tài)）的能量 E；=222k 2e2 k 2e2k 2e2ri2iFri2i414而氫原子基態(tài)能量E1 =k e22ri,故類氫離子基態(tài)能量3E1J828E1 =-1.13X10 eV o玻爾的原子模型是對經典理論的一次量子化改良，有其不足與局限，但正是有此基礎，才有后來的量子力學，更完整準確地描述微觀粒子的波粒二象性行為。量子理論的中心思想是，一切都是由不可預言的粒子構成的，但

30、這些粒子的統(tǒng)計行為則遵循一種可以預言的波動圖樣，微觀世界具有一種內稟的、可以量化的不確定性。德國物理學家海森伯發(fā)現了這種不確定關系。不確定關系，也稱測不準關系，是量子力學中的一個極其重要而又極其基本的關系。在經典力學中，運動物體具有確定的軌道，任一時刻物體的運動狀態(tài)可用在該軌道上確定的位置和動量來描述，我們可以通過實驗手段作出精確測定。然而對微觀客體，由于具有波粒二象性，微觀粒子有別于宏觀物體一在某一時刻對應一確定位置，形成一條運動軌道，由運動軌道可求出每個瞬時的動量。微觀粒子在各個時刻出現在什么位置是不確定的，是隨機的，我們只能用幾率形式來表示微觀粒子的狀態(tài)，我們可以描述的只是粒子在空間各點

31、出現的幾率，及其動量在某一范圍內的幾率。即，對于微觀粒子而言，確定其位置所達到的精確度Ax和同時測量其動量所達到的精確度Apx是受到限制的，這個限制是x，Apx之h。這就是海森伯“不確定關系”的數學表達式（更精確的不確定關系表達式為xdp*>）,其意義是：用經典力學的物理量來描述微觀粒子，只能在這樣的近似程度4二內一粒子在某一方向上位置的不準量和在這方向上動量的不準量的乘積將大于或等于h。不確定原理告訴我們，任何粒子都保持它們的位置與動量的總的可能性疆域，一種不確定性的減小必使另一不確定性增大同樣的程度。下面我們對這一關系作出論證。為使所涉知識易于讀者接受，某些細節(jié)會采取模糊處理。首先，

32、我們研究較為熟悉的波的單縫衍射。如圖所示為單縫衍射實驗裝置示意圖，K為單縫，縫寬D,設平行光（平面波）垂直于單縫入射，根據惠更斯原理，在單縫所在處的波面AB上的各點波源向各個方向發(fā)射新的子波，這些波經傳播而在空間疊加，并可產生干D涉現象。若將波面AB分割成兩個面積相同、寬度為D的.,一K<2-1口/波帶AA1、AB,兩波帶上，任何兩個對應點，如圖中AA一J帶上的G點和AB帶上的G1點所發(fā)出的光線的光程差二li-I2=sin中，式中角中是子波波線與入射平行光所2nD成的角度，n是介質折射率。當2sin=±（2k_1）_（k=1,2,3）時，兩波到達屏上2n2時反相疊加而完全抵消，

33、屏上依次出現第一級暗紋、第二級暗紋；當-Dsin邛=k，u2n（k=0,1,2,3）時，兩波到達屏上時同相疊加而加強，屏上依次出現中央明紋及其他各級明紋。由上可知，中央明紋在兩個一級暗紋之間的區(qū)域，即邛適合再來看看微觀粒子一例如電子的單縫衍射。如圖所示，設有一束電子以速度v沿OY方向射向狹縫AB,在屏上可以觀察到與倫琴射線衍射圖樣并無二致的電子衍射圖樣，這正是電子波動性的表現，所謂“明紋”是電子到達幾率大的區(qū)域，而“暗紋”則是電子到達幾率小的區(qū)域。根據上面推得結論，考慮零級最大與第一級最小之間滿足的條件是sin中=。這里的九應是物質h波波長，即九=一。P現在我們想對電子的行為作經典的描述，試圖

34、同時確定位置x和動量p在電子通過狹縫的瞬時，電子在OX方向上的位置由于縫的限制而被局限于狹縫之間，它的位置的x坐標不可能超出縫寬D,或者說位置測量的不確定性不可能超出D,用Ax表示決定電子在OX方向上的位置的不確定量，那么x=D。此時，由于衍射，電子速度的方向有了變化，動量p的OX方向分量px介于0與psin中之間，即0WpxWpsin邛，所以電子在OX方向上的動量測量的不確定性不會超過psin平，用Apx表示電子OX方向動量的不確定量，有px=psin中。h/口hh上式中sin邛=一，九=一，得Apx=p=-,于是有xpx=h如果把所有次級即電子所有可能到達幾率考慮在內，則有xApx之h。對

35、上述關系推廣到適合于所有坐標即有xdpx之h,Aydpy-h,Az'&pz-h。不確定關系告訴我們，動量和位置的不確定度的乘積在數值上近似等于普朗克恒量，這與經典理論很不同。不可能同時確定微觀粒子的位置與動量，也就是說，不可能在粒子位置確定（Ax=0）的情況下賦予粒子確定的動量（Ap=0）,假如有一個波，它的波長或動量確定（Ap=0）,則它的位置是完全不確定的（Ax=6）。因為粒子位于空間不同點的幾率均等，如果粒子位置局域化（Ax=0）,那么各粒子對應的是一切可能的波長或動量（甌=O0）。下面我們運用不確定關系解決兩個具體問題?！纠?】電子槍發(fā)射的電子束，打到熒光屏上形成一個亮

36、點，亮點的大小和限制電子束的小孔直徑有關。小孔較大，亮點自然也大，小孔很小，又會出現電子衍射現象，亮點也會變大?，F設電子束的能量為150eV,屏與孔相距1m。試近似求出使屏上光點最小的孔的直徑?？烧J為【分析與解】從小孔中射出的電子束，當孔的直徑比電子的德布羅意波長大的多時,電子束是直線前行的，這時，屏上的亮斑與小孔直徑一樣大。散）當小孔的直徑小到與電子的波長可比擬時，通過小孔的電子將發(fā)生衍射.與孔平面垂直,在屏離孔很遠的情況下， 可認為電子入射速度 如圖所示。根據不確定關系：ydpy=h具體到本問題,y=a, sin e , 8為電子衍射角。則Lh R a hL LLD =a 2 aL-，一一

37、R =,由圖可得,a鳧點的直徑可表不為（不考慮電子間斥力造成的離一 L則當a =2 aDmax=2V2Ko對于題給Ek =150eV的能量，不考慮相對論效應，可得電子波長.3則Dmax =2_342 6.63 10mm,2 9.1 I。,1 150 1.6 10,928 Nm。【例8】放射性同位素108A的衰變時間為2.4min，試求它的能量的不確定性?！痉治雠c解】海森伯的不確定關系不僅將具有波粒二象性的量子系統(tǒng)的位置與動量聯系起來，而且也把系統(tǒng)的其他運動參量加以聯系，其中最有用的是能量的不確定性AE與時間的不確定性$之間的聯系，能量與時間的不確定關系是那么系統(tǒng)的能量就可以高精 由它的能量就成

38、為不確定的了。EA=h。這個關系描述了當系統(tǒng)在很長時間間隔內處于一種確定的狀態(tài),確度地確定；假如系統(tǒng)只有很短的時間間隔內處于確定狀態(tài)，考察微觀粒子從一個狀態(tài)躍遷到另一個狀態(tài)時，通常使用這個關系式。本題中的108A粒子發(fā)生衰變，半衰期即狀態(tài)變化的時間為2.4min,那么確定這個粒子能量的最大精確度為h6.6310.E=J=4.610J。2.460點2C初1、為了減少玻璃表面反射光的成分，在玻璃表面上涂一層薄膜，薄膜的折射率小于玻璃的折射率。當入射光包含波長丁=700nm和%=420nm情況下，為使這兩種波長的反射光4波最大限度地減弱，在玻璃表面涂有折射率為n=-的薄膜。試求這種薄膜的最小厚度。3

39、2、一束白光以i=300角射在肥皂膜上，反射光中波長為筋=500nm的綠光顯得特別明亮,問肥皂膜的最小厚度為多少？從垂直方向觀察，薄膜呈什么顏色？肥皂薄膜液體的折射率n=1.33。3、在楊氏干涉實驗中，波長為600nm的單色光垂直射到兩個非常靠近的狹縫。光屏離雙縫的距離為1.00m,在光屏上中心峰值與第10條亮線的距離是300mm。試求狹縫的寬度；將一厚度為0.02mm的透明薄膜放到其中一個狹縫上時，光屏上的中心峰值移動了30mm。試求薄膜的折射率。4、如圖所示，一個會聚透鏡的直徑D=5cm,焦距f=50cm。沿其直徑分成兩半，再分開相距d=5mm,點光源S到透鏡距離u=1m。作圖并計算離透鏡

40、多遠處可以觀察到干涉條紋？（透鏡兩半之間空隙被遮蓋）fill.Mi3-»KI4La虹r5、如圖所示是雙鏡干涉實驗的裝置。設雙鏡的夾角a=104rad,單色光源S與兩鏡相交處C的距離為r=0.50m,單色光波長5=500nm,從兩鏡相交處到屏幕EE'距離L=1.50m。求屏幕上兩相鄰條紋之間的距離；在屏幕上最多可看到多少條明條紋？6、為了測量金屬絲的直徑，把金屬絲夾在兩塊平玻璃板之間，使空氣層形成劈尖，如圖所示。如用單色光垂直照射，就得到等厚干涉條紋。測出干涉條紋間的距離，就可以算出金屬0絲的直徑。某次的測量結果為：單色光波長九=5893A,金屬絲與劈尖頂點間的距離L=28.8

41、80mm,30條明條紋間的距離為4.295mm,求金屬絲的直徑D。7、如圖所示，在一塊平玻璃片B上，放一曲率半徑為R的平凸透鏡A,在A、B之間形成空氣薄層，當平行光垂直射向平凸透鏡時，可以觀察到透鏡表面出現以接觸點O為中心的許多同心環(huán)，稱為牛頓環(huán)。確定形成牛頓環(huán)的明、暗環(huán)處空氣層厚度e適合的條件，入射光波長為九；確定明、暗環(huán)的半徑r;在接觸處是明紋還是暗紋？8、如圖所示，薄膜的兩個界面OM和ON構成尖劈，尖劈的夾角e較小，光源S離劈較近。證明光源S發(fā)出的光經界面OM和ON反射后產生的干涉條紋是以。為圓心、以r為半徑的圓。p()N9、在迎面駛來的汽車上，兩盞前燈相距120cm,試問汽車離人多遠的地方，眼睛才可以分辨這兩盞前燈？假設夜間人眼瞳孔直徑為5.0mm,入射光波長兒=550nm,并假設這個距離只取決于眼睛的圓形瞳孔處的衍射效應。10、如圖所示是可把入射的自然光分成兩束傳播方向互相垂直的偏振光的偏振分束器結構，兩個等邊直角玻璃棱鏡斜面對斜面，之間夾一多層膜，多層膜是由高折射率的材料硫化鋅與低折射率材料冰晶石交替鍍制而成，設高折射率為nH，低折射率為nL,自然光以450角入射到多層膜上。 的偏振度最大, 折射率依次為為使反射光為完全偏振光，玻璃