大學(xué)物理下課件——量子原理3

1、 下一次課交作業(yè)下一次課交作業(yè)No.8No.8 半期考試未通過的同學(xué)在本周內(nèi)交半期考試未通過的同學(xué)在本周內(nèi)交訂正后的考卷。訂正后的考卷。 我們曾經(jīng)尋找過堅實的基礎(chǔ)，但一無所獲。我們洞察得越深，就發(fā)現(xiàn)宇宙越是動蕩不息；所有的事物都在奔騰跳躍，跳著狂野的舞蹈。 玻恩玻恩科學(xué)家用氣泡室圖像科學(xué)家用氣泡室圖像來解析中微子反應(yīng)來解析中微子反應(yīng)?同學(xué)們好同學(xué)們好上節(jié)：上節(jié)：波函數(shù)，薛定諤方程波函數(shù)，薛定諤方程量子力學(xué)用量子力學(xué)用波函數(shù)波函數(shù)描述微觀粒子的運動狀態(tài)，描述微觀粒子的運動狀態(tài)，波函數(shù)所遵從的方程波函數(shù)所遵從的方程薛定諤方程薛定諤方程是量子力學(xué)的是量子力學(xué)的基本方程?；痉匠?。波函數(shù)和薛定諤方程是

2、量子力學(xué)的基本假設(shè)之一。波函數(shù)和薛定諤方程是量子力學(xué)的基本假設(shè)之一。1) 1) 物質(zhì)波的波函數(shù)不描述介質(zhì)中運動狀態(tài)（相位）物質(zhì)波的波函數(shù)不描述介質(zhì)中運動狀態(tài)（相位） 傳播的過程，傳播的過程，2) 2) ，本本身身，而而是是有有意意義義的的不不是是2|:| ),(|2tr概率密度，描述粒子在空間的統(tǒng)計分布概率密度，描述粒子在空間的統(tǒng)計分布:概率幅概率幅.描描述述同同一一概概率率波波和和c3)3) 波函數(shù)遵從歸一化條件和標(biāo)準條件波函數(shù)遵從歸一化條件和標(biāo)準條件粒子在整個空間出現(xiàn)的概率為粒子在整個空間出現(xiàn)的概率為1 11d|2 VV歸一化條件：歸一化條件：.是是單單值值、有有限限、連連續(xù)續(xù)的的標(biāo)準條件

3、：標(biāo)準條件：2*2| )(|)()()()(| ),(|xxxexextxtEitEi tEiextx )(),( 4)4)定態(tài)問題的薛定諤方程定態(tài)問題的薛定諤方程( (振幅方程）振幅方程）本課程只要求定態(tài)問題，其薛定諤方程本課程只要求定態(tài)問題，其薛定諤方程( (振幅方程）振幅方程）三維：三維：0)(2dd222 UEmx0)(222 UEm一維：一維：求解問題的思路：求解問題的思路：2. 2. 用分離變量法求解用分離變量法求解3. 3. 用歸一化條件和標(biāo)準條件確定積分常數(shù)用歸一化條件和標(biāo)準條件確定積分常數(shù)4. 4. 討論解的物理意義，討論解的物理意義，即求即求| | |2 2，得出粒子在空間

4、的概率分布。得出粒子在空間的概率分布。1. 1. 寫出具體問題中勢函數(shù)寫出具體問題中勢函數(shù)U(r)的形式代入方程的形式代入方程17.4 17.4 薛定諤方程應(yīng)用舉例薛定諤方程應(yīng)用舉例 ( (一維問題一維問題) )一、一、 一維無限深勢阱一維無限深勢阱模型的建立：模型的建立：是微觀粒子被局限于某區(qū)域中，并在該是微觀粒子被局限于某區(qū)域中，并在該區(qū)域內(nèi)可以自由運動的問題區(qū)域內(nèi)可以自由運動的問題的簡化模型。的簡化模型。簡簡化化U例如：例如： 金屬中自由電子金屬中自由電子受規(guī)則排列的晶格點陣作用受規(guī)則排列的晶格點陣作用相互碰撞相互碰撞 ( (簡化：交換動量簡化：交換動量) )只考慮邊界上突然升高的勢只考

5、慮邊界上突然升高的勢能墻的阻礙能墻的阻礙 勢阱勢阱認為金屬中自由電子不能逸出表面認為金屬中自由電子不能逸出表面無限深勢阱無限深勢阱oaoaU可解釋金屬導(dǎo)熱、導(dǎo)電、順磁性可解釋金屬導(dǎo)熱、導(dǎo)電、順磁性.例如：例如： 兩柵極間的電子兩柵極間的電子G C 電子在兩柵極間可自由運動電子在兩柵極間可自由運動0 GGUU CGGCUUCGGCUU 使電子返回柵極間區(qū)域使電子返回柵極間區(qū)域電子只能在兩柵極間自由運動電子只能在兩柵極間自由運動求解問題的步驟：求解問題的步驟：U(x) =0 (0 x a) axx , 0勢函數(shù)勢函數(shù)代入一維定態(tài)薛定諤方程的一般形式代入一維定態(tài)薛定諤方程的一般形式0)(2dd222

6、 UEmx1. 1. 寫出具體問題中勢函數(shù)寫出具體問題中勢函數(shù)U(r)的形式，代入一維定態(tài)的形式，代入一維定態(tài)薛定諤方程的一般形式，得本問題中的薛定諤方程。薛定諤方程的一般形式，得本問題中的薛定諤方程。o oa U設(shè)粒子在一維無限深勢阱運動設(shè)粒子在一維無限深勢阱運動x得本問題中的薛定諤方程得本問題中的薛定諤方程: : 0 x a02dd222 Emx0 （粒子不能逸出勢阱）（粒子不能逸出勢阱）axx ,0 02dd222 Emxoa Ux2. 2. 求解波函數(shù)求解波函數(shù)kxBkxAxcossin)( 通解通解: : axmEx 002dd222 令令222mEk 得得0dd222 kx由由積分

7、常數(shù)積分常數(shù)00 ）（由由 得得 B = 0kxAxsin)( 0)( a 由由得得0sin kaAank )3 , 2 , 1( n3. 3. 用歸一化條件和標(biāo)準條件確定積分常數(shù)用歸一化條件和標(biāo)準條件確定積分常數(shù)kxBkxAxcossin)( 通解通解: :思考：思考：n為什么不取零和負數(shù)？為什么不取零和負數(shù)？由波函數(shù)標(biāo)準條件（單值、有限、連續(xù)）得邊界條件：由波函數(shù)標(biāo)準條件（單值、有限、連續(xù)）得邊界條件：0)()0( a oa UxEtieaxnatx sin2),()3 , 2 , 1( n注意：注意： 解為駐波形式解為駐波形式由歸一化條件由歸一化條件1d|2 x1dsind202* xa

8、xnAxa 于是：于是：axnax sin2)( ,.)3 , 2 , 1( naA2 xanAx sin)( ,.)3 , 2 , 1( n4.4.討論討論解的物理意義解的物理意義無限深勢阱中粒子的能量量子化無限深勢阱中粒子的能量量子化式中式中22212maE 12EnE只能取一系列分離值只能取一系列分離值222mEk ank 由由得能量本征值得能量本征值,.)3 , 2 , 1( n1222222222EnmanmkE Eoan = 1n = 2n = 3n = 4x1 1）無限深勢阱中粒子能量的本征值）無限深勢阱中粒子能量的本征值“任何一種新理論，不論它的特性或細任何一種新理論，不論它的

9、特性或細節(jié)如何，當(dāng)把它應(yīng)用于普遍性較小的節(jié)如何，當(dāng)把它應(yīng)用于普遍性較小的理論所適用的情況時，這種新理論必理論所適用的情況時，這種新理論必定可化為與它相對應(yīng)的已牢固確定的定可化為與它相對應(yīng)的已牢固確定的經(jīng)典理論經(jīng)典理論”，是否滿足對應(yīng)原理？是否滿足對應(yīng)原理？,1即即零零點點能能最最小小能能量量 E與不確定關(guān)系相洽與不確定關(guān)系相洽粒子不可能靜止不動，粒子不可能靜止不動，Eoan = 1n = 2n = 3n = 4x由由,.)3 ,2 , 1( n1222222222EnmanmkE 022 Ema回到經(jīng)典情況，能量連續(xù)?；氐浇?jīng)典情況，能量連續(xù)。請舉實例！請舉實例！Eoan = 1n = 2n =

10、 3n = 4 En Eax 2221212manEEEnn 兩相鄰能級的能量差：兩相鄰能級的能量差：實例實例原子中的電子原子中的電子比較比較教室中的人教室中的人kg)(m)m(a J222maE 501031101 . 9 1310 1110 -7010能量能量連續(xù)連續(xù)能量不能量不連續(xù)連續(xù)2） 粒子在勢阱中的概率分布粒子在勢阱中的概率分布經(jīng)典：經(jīng)典： 勢阱中勢阱中U = 0，粒子勻速直線運動粒子勻速直線運動粒子在勢阱內(nèi)各處出現(xiàn)的概率相等粒子在勢阱內(nèi)各處出現(xiàn)的概率相等量子：量子：振幅函數(shù)振幅函數(shù)axnax sin2)( 波函數(shù)波函數(shù)Etieaxnatx sin2),(概率密度概率密度axnax

11、tx 222sin2|)(|),(| ,.)3 , 2 , 1( n波函數(shù)為駐波形式，勢阱中不同位置強度不等，粒波函數(shù)為駐波形式，勢阱中不同位置強度不等，粒子出現(xiàn)的概率不相同子出現(xiàn)的概率不相同Etieaxnatx sin2),(axnaxtx 222sin2| )(| ),(| oan = 1n = 2n = 3n = 4oan = 1n = 2n = 3n = 4x1E124EE 139EE 1416 EE tx, 2x x,.3 , 2 , 1,2 nnan 粒子不能逸出勢阱粒子不能逸出勢阱，兩端為波節(jié)，兩端為波節(jié)，0|2 歸一化條件，曲線下面積相等歸一化條件，曲線下面積相等阱內(nèi)各位置粒子

12、出現(xiàn)概率不同，阱內(nèi)各位置粒子出現(xiàn)概率不同，2| 峰值處較大峰值處較大能級越高，駐波波長越短，峰值數(shù)增多能級越高，駐波波長越短，峰值數(shù)增多經(jīng)典經(jīng)典相同，量子相同，量子 2| oan = 1n = 2n = 3n = 4oan = 1n = 2n = 3n = 4x1E124 EE 139 EE 1416 EE tx, 2x x問題討論問題討論一維無限深勢阱中粒子波函數(shù)駐波波長與該粒子一維無限深勢阱中粒子波函數(shù)駐波波長與該粒子物質(zhì)波波長是否一致？物質(zhì)波波長是否一致？oan = 1n = 2n = 3n = 4oan = 1n = 2n = 3n = 4x1E124 EE 139 EE 1416 E

13、E tx, 2x x,.3 , 2 , 1,2 nnan 駐波波長：駐波波長：由由,.)3 , 2 , 1( n1222222222EnmanmkE Eoan = 1n = 2n = 3n = 4xanhanmEpmpE2222 ,.)3 , 2 , 1(2 nnaph 二者是一致的。二者是一致的。練習(xí)練習(xí)： 粒子在寬度為粒子在寬度為a的一維無限深勢阱中運動，處于的一維無限深勢阱中運動，處于n=1狀態(tài)，狀態(tài)，。區(qū)區(qū)間間發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)該該粒粒子子的的概概率率求求在在40a解：解：)d(sin2240axaxaaa 2401008. 9)2sin412(2 aaxax xpad|402 xaxaadsi

14、n2240 axa 22sin2| oan = 1 2x xa/4練習(xí)練習(xí)：設(shè)粒子沿設(shè)粒子沿 x 方向運動，其波函數(shù)為方向運動，其波函數(shù)為 ixAx 1 1.將此波函數(shù)歸一化；將此波函數(shù)歸一化；2.求出粒子按坐標(biāo)的概率分布函數(shù)；求出粒子按坐標(biāo)的概率分布函數(shù)；3.在何處找到粒子的概率最大？在何處找到粒子的概率最大？解：解：1. 1. 由歸一化條件由歸一化條件1arctgd1d122222 AxAxxAxixA得：得： 1 A ixx 11 2. 2. 概率密度為：概率密度為： 2221111xixx 3. 3. 令：令： 0dd2 xx 得：得：0 x即在即在 x = 0 處粒子的概率密度最大。

15、處粒子的概率密度最大。 二二. 勢壘勢壘 隧道效應(yīng)隧道效應(yīng)勢函數(shù)勢函數(shù)： )(xU0 x a0Uax 0代入代入0)(2dd222 UEmx得得02dd222 mEx( x a)0(ax 0)(2dd0222 UEmx模型：模型：金屬表面的勢能墻不是金屬表面的勢能墻不是 無限高，而是有限值無限高，而是有限值oaU0 xU通解通解)0(11111 xeBeAxikxik )0(22222axeBeAxikxik )(11333axeBeAxikxik 令令2212mEk )(20222UEmk 0dd2122 kx0dd2222 kx( x a)0(ax Etie 乘乘第一項：第一項： 向向x方

16、向傳播的波方向傳播的波例例)(11tExkieA 第二項：第二項： 向向-x方向傳播的波方向傳播的波 例例)(11tExkieB )cos(:11)(11xktEAeAtExki 取取實實部部同理，第二項同理，第二項 ： 向向-x方向傳播的波方向傳播的波)(11tExkieB 歐拉公式：歐拉公式： sincosiei 第一項：第一項：)(11tExkieA Etie 乘乘)0(11111 xeBeAxikxik 向向x方向傳播的波方向傳播的波類類比比：與與)(cosuxtA 由波函數(shù)的由波函數(shù)的標(biāo)準條件得標(biāo)準條件得)(dd)(dd)()()0(dd)0(dd)0()0(32322121axax

17、aaxx 可解得可解得2132,BBAA令令 11 A（以入射波強度為標(biāo)準）（以入射波強度為標(biāo)準）03 B由由 ax 處無反射波：處無反射波：oaU0 xU通解通解xikxikeBeA11111 xikxikeBeA22222 xikxikeBeA11333 oaU0 x入射波入射波+ +反射波反射波透射波透射波U越過勢壘，只透越過勢壘，只透射，不反射射，不反射不能越過勢壘，不能越過勢壘，只反射，不透射只反射，不透射)0(1 B既透射，也反射既透射，也反射既透射，也反射既透射，也反射)0(3 A0UE 0UE 經(jīng)典經(jīng)典量子量子隧道效應(yīng)：隧道效應(yīng)： 總能量總能量E小于勢壘高度小于勢壘高度U0的粒

18、子也的粒子也有可能貫穿勢壘，到達另側(cè)有可能貫穿勢壘，到達另側(cè)貫穿系數(shù)：貫穿系數(shù)：)(22201230|EUmaxaxeT TUa0oaU0 x入射波入射波+反射波反射波透射波透射波U應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例E1. 1. 解釋放射性解釋放射性衰變衰變壘壘。粒粒子子和和子子核核間間的的庫庫侖侖勢勢粒粒子子穿穿過過衰衰變變：粒粒子子結(jié)結(jié)合合成成小小單單位位兩兩個個質(zhì)質(zhì)子子和和兩兩個個中中子子的的結(jié)結(jié)合合能能比比較較大大，核核內(nèi)內(nèi) .He4He4解釋放射性解釋放射性衰變衰變微觀世界的微觀世界的“勞山道士勞山道士”應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例2.2.解釋黑洞的解釋黑洞的“霍金蒸發(fā)霍金蒸發(fā)”也可以用也可以用“真空極化真空極化

19、”來解釋來解釋黑洞不是絕對黑的，黑洞不是絕對黑的，其內(nèi)部的物質(zhì)可以其內(nèi)部的物質(zhì)可以通過量子力學(xué)隧道通過量子力學(xué)隧道效應(yīng)逸出。效應(yīng)逸出。19591959年：年： 費曼演講費曼演講 在底部還有很大的空間在底部還有很大的空間 從石器時代開始，人類所有的技術(shù)革新都與把物質(zhì)制成有用的形態(tài)有關(guān)，從物理學(xué)的規(guī)律來看，不能排除從單個分子甚至原子出發(fā)組裝制造物品的可能性如果有一天可以按人的意志安排一個個原子，將會產(chǎn)生怎樣的奇跡？3. 3. 掃描隧穿顯微鏡（掃描隧穿顯微鏡（STM)STM) ( (獲獲19861986年諾貝爾物理獎）年諾貝爾物理獎）掃描隧穿顯微鏡（掃描隧穿顯微鏡（STM)STM)讓我們能夠?qū)崿F(xiàn)這個奇跡。讓我們能夠?qū)崿F(xiàn)這個奇跡。錄象（錄象（VCD）：掃描探針顯微鏡）：掃描探針顯微鏡思考題思考題：1991年，年，IBM公司的公司的.Crpmmie等人用掃描隧穿顯微鏡等人用掃描隧穿顯微鏡（STM）的針尖