高考物理專題輔導-第十五講相對論基礎

1、1第十五講 相對論基礎2（一）狹義相對論的時空觀1。兩條基本理論。（1）狹義相對論基礎 一切物理規(guī)律在任何慣性系中具有相同的形式。（2）光速不變原理 真空中的光速對任何觀察者來說都是相同的。2。時間膨脹和長度收縮（1）同時性的相對性AB甲乙3 當A坐在高速轎車中越過站在地面上的B時，離B等距離的甲、乙兩處各發(fā)生一個閃電。兩處閃電的光同時到達B處，B感覺到甲、乙兩處同時閃電。由于A向甲高速行駛，因此A線看到甲處的光，后看到乙處的光，他感覺到甲、乙兩處不是同時閃電。如果車以光速c行駛，則A永遠不會感到乙處閃電。這就是同時性的相對性。dPPAdPPAA（2）時間膨脹4t2d/c 22222ut2d1

2、tt2 d() /c2c1 uc1 uc 如果觀察者A不動，光線從P點發(fā)出，經過一塊相距d的平面鏡反射回到P點，耗時如果觀察者以速度u向右運動，光線從P點發(fā)出，返回到P點，耗時。發(fā)生在同一地點的兩件事情之間的時間間隔稱為本征時間，用t0表示。由上式可知 220tt / 1 uc 。（2）長度收縮X1llAB522tt/ 1 uc 如果有一把長l的尺AB以速度u向右運動，t = 0時B端在x1點。在地面系的人看來，經過t時間后A端越過x1點，尺長l = ut，其中t為地面上同一地點測得的兩個時刻之間的間隔，為本征時間。在尺參照系中的人看來，B點過x1點和A點過x1點發(fā)生在不同的地點，其時間間隔t

3、/應該比t膨脹 他們看到尺長 22lutut/ 1 uc 220ll1 uc 在相對尺靜止的參照系中的長度叫本征長度，用l0表示（即l0=l1），那么有6 1。一艘飛船以0.8C的速度于中午飛經地球，此時飛船上的人和地球上的人都將時鐘撥到12：00。（1）飛船上的鐘12：30時，飛船飛經一個宇航站，該站相對地球固定且站上的鐘顯示的是地球時間。試問：飛船到達宇航站時，站上的時鐘是幾點？（2）飛船到達宇航站時向地球發(fā)一電磁信號，地球上的人何時（地球鐘）接到信號？（3）地球上的人立即回信號，飛船上的人何時（飛船時間）收到信號？ 7222305010.81ttvc 解：(1)飛船上的鐘顯示原時（因始終

4、和觀察者保持靜止），最短。（分鐘）則地上的鐘顯示12:50(2) 地球上的人認為宇航站和地球之間相距s=0.8c5060 m，電磁信號回到地球需要的時間為s/c=40min ?？偣残枰獣r間（50+40）min，地球時間為下午1：30 。80.5 0.80.4cc0.80.2ccc0.40.22cc 小時(3)飛船系中光追地球，距離為光與地球速度差單程用時光線被返回時的情況是一樣的，也用時2小時，故飛船系最終示時4:30。9 2。在互相重合的x-y系和x-y系中，有一根長L0的棒AB，一端在原點，棒和x軸成0角 ?，F在讓棒和x-y系一起以速度v沿x軸正方向運動，求棒在固定的x-y系中的長度和方向

5、。xyyx0l0v102200021cos1xxvLLLc000sinyyLLL2220021cosxyvLLLLc解：x方向長度要收縮，y方向不收縮。022tantan1yxLLvc11 3 。宇宙射線與大氣相互作用能產生介子， 介子會發(fā)生衰變而放出子，這些子的速度為0.998c。已知靜止子的平均壽命t0為2.2*10-6s，試問當介子在8km高空發(fā)生衰變時，沿豎直方向放出的子能否到達地面？12解解: :如果沒有時間膨脹，子在平均壽命內行進的距離l0=t0v=2.210-60.9983.0108=658.7m8km，顯然到不了地面但由于時間膨脹效應，在地面參照系看來，其平均壽命2201cvt

6、t故其平均行進距離)( 8)(4 .10)(1004. 1)998. 0(1102 . 2100 . 3998. 0142618220kmkmmcccvvtvtl故可以到達地面。 4。子在相對自身靜止的參考系中的平均壽命0=2.0*10-6s。宇宙射線與大氣在高空某處發(fā)生核反應產生一批子，以v=0.99c的速度向下運動并衰變。根據放射性衰變定律，相對給定慣性參照系，若t=0時刻的粒子數為N(0)，t時刻剩余的粒子數為N(t)，則有 ，式中為相對該慣性系粒子的平均壽命。若能到達地面的粒子數為原來的5%，試估算子產生處相對地面的高度h。（不考慮重力和地磁場對子運動的影響）tN(t)N(0)e14根

7、據時間膨脹效應，在地球上觀測到的m子平均壽命為t，s100 . 260201cv解：因m子在相對自身靜止的慣性系中的平均壽命 代入數據得 t = 1.4105s相對地面，若m子到達地面所需時間為t，則在t時刻剩余的m子數為 tNtNe0 %5e0tNtN1005lnt根據題意有對上式等號兩邊取e為底的對數得15代入數據得s1019. 45tthvm1024. 14h根據題意，可以把m子的運動看作勻速直線運動，有 代入數據得 16 5 。用洛侖茲變換說明同時性的相對性17解解:設有兩事件在S系中的時空坐標為(x1，t1)和(x2，t2)，由洛侖茲變換，在s系中的時間為11222121222122

8、1222222(),111uuutxtxttxxcccttttuuuccc如果t2 = t1，但x2 x1，就有t2 t1.可見，在S系中同時在不同地點發(fā)生的兩事件，在s系中不再是同時發(fā)生的同理有2212212121)(cuxxcutttt18如果t2= t1，但x2 x1，則t2 t1，即在s系中同時在不同地點發(fā)生的兩事件，在S系中不再是同時發(fā)生的。19 6 。設有一個飛行器以 u = 0.6c 的速度在地面上空飛行。如果這時從飛行器上沿其飛行方向發(fā)射一個物體，其相對飛行器的速度為 0.8c ，問從地面上觀察，該物體的速度多大？ 20解解:以v= 0.8c，u = 06c 代入公式，得ccc

9、ccvcuuvv946. 06 . 08 . 016 . 08 . 01222此即物體相對地面的速度21 7。試驗證真空中的光速在任何慣性系中保持不變22解解:以 v = c 代人公式，得ccuucccuucv112得證.若光速與 u 反向，結果不變(只需以 u=-c 代人公式即可) 23 8。天津和北京相距120km，北京某日上午9時有一個老人去世，同日天津于北京時間上午9時0分0，0003 秒有一個嬰兒誕生。試問：在以0.8c的速率沿北京到天津的方向上飛行的飛行器中觀察，這兩個事件的時間間隔是多少？何者發(fā)生在前？24解解:設地面為S系，飛行器為S系，在S系中，北京坐標為x1，天津坐標為x2

10、，老者去世時間為t1,嬰兒誕生時間為t2，由題意，u = 0.8c，x2-x1=120km，t2-t1= 0.0003s，由洛侖茲變換有)(1033. 3)(101318 . 01102 . 18 . 00003. 01)(54252221221212sscccuxxcutttt可見在S系中看來，嬰兒誕生在前，比老者去世早3.3310-5秒，先后次序顛倒了25222vV1 v c（1）0m(V)VM(v)v(m(V)mM(v)(動量守恒）質量守恒）設在S系中有一對全同粒子A、B沿x/軸相向運動，速度均為v，正碰后成為一個復合粒子，且靜止不動。設S/系以速度v沿同一直線相對S系運動，粒子B靜止不

11、動，粒子A以速度V運動，其中V可由速度變換求得：（二）。質速關系 碰后，復合粒子以速度v運動。我們現在在S系中列出此過程的動量和質量關系。相對論中認為動量和質量仍應守恒?？梢栽O想質量為速率的函數，于是有260m(V)vmVv由（1）式，可以將上式得右邊畫為V的顯函數22222V2cvV2v0vvc0cV即2222222cccVv()c11VVVc由此解得：222cVv1- 1Vc當vc時，顯然應該有V=2v，可見上式根號前應取負號，由以上兩式消去M，化簡得27于是 22222222222222cVcVVVvV1111VcvcccVV111vcc 代入（2）式，可得22222220222cV11

12、Vcm(V)v1mVvVcVV1111cVcc所以 022mm(V)V1c28022mm(v)v1c這就是相對論的質速關系，它與實驗結果完全符合。由于V的任意性，有（三）。相對論中的動量和能量022m vpm(v) v1 v c22k0Emcm c式中的mc2是物體的總動能，m0c2叫做物體的靜能。由于數學工具的限制，我們對這個式子不作推導。2。能量：在相對論中，物體的動能1。動量：在相對論中，動量仍然表示為 p = mv，只是要注意m是v的函數，即2922221vvc1+,2c1-v c當時，因此2222220k000222mv1Ecm cm c1m cmv2c21 vc這表明相對論中的動能

13、表達式在vc時，回到牛頓力學中的動能表達式，或者說牛頓力學是相對論力學的一種特殊情況。因為E=mc2，所以有E=mc2。則說明當粒子的質量發(fā)生變化時，必然伴隨著總能量的變化。3。相對論中動量和能量的關系由質能關系 22022mEmcc1 v c2222242240022vE vE1m c Em ccc可得 即30,222222222Emc E vcm v cp c因為上式化為222242222400Ep cm cEp cm c或/phc可見光子的能量和動量均為頻率的函數。對于靜質量 m0=0的粒子，上式變?yōu)镋=pc。光子就是靜質量為零的粒子。對光子有E=h，故光子的動量31 9。在北京的正負電

14、子對撞機中，電子可以被加速到動能Ek = 2.8*103MeV。這種電子的速率比光速差多少？這樣的電子的動量多大？已知電子的靜能為E0 = 0.511MeV。32k022022EEE1mEmccvc解：電子總能量由質能關系222000222022220021(1)11(1)1111kkEEEmcm cm cvcm cvEcEm cvc電子動能3322202222203301(1)()()2 ()122(1)2.8 105.48 100.511kkkEvcEvcv cvc cvcvccccEcvcEEE由此解得而而于是由題意，34323283223619k818(1 5.48 10 )(5.48

15、 10 )2213.0 10(5.48 10 )24.995(/ )5(/ )Emc2.8 10101.6 10pmvmccc3 101.49 10(/ )cccvm sm skg m s 代入上式，得電子動量35 10。一個靜質量為m0的粒子以0.8c的速率同另一個處于靜止狀態(tài)的相同粒子撞擊而形成一個復合粒子。試問復合粒子的靜質量和速率各是多少？36解解: :碰撞過程中能量和動量守恒由能量守恒，有) 1 (112220202220ccuMcmccvm式中M0是復合粒子的靜質量，u是它的速率，v=4c/5是原出射粒子的速率由動量守恒，有)2(11220220ucuMvcvm3722222220

16、20000222111vu40.8uc0.5511 (0.8)11(2)11 0.5 0.842.310.531 0.81vcvcvucvcumvccMmmmucvc兩式相除即得解出 并以代 得代入得38 11 。在相對于實驗室靜止的平面直角坐標系S中，有一個光子沿x軸正方向射向一個靜止于坐標原點O的電子。在y軸方向探測到一個散射光子。已知電子的靜止質量為 m0，光速為 c，入射光子和散射光子的能量之差等于電子靜止能量的 1/10。 （1）試求電子運動速度的大小v，電子運動的方向與x軸的夾角，電子運動到離原點距離為L0的A點所經歷的時間t。 （2）在電子以（1）中的速度開始運動時，一個觀察者S

17、相對于坐標系S也以速度v沿S中電子運動的方向運動，試求S測出的OA的長度。39解：（1）由能量與速度關系及題給條件可知運動電子的能量為 2200221.101 (/)m cm cvc（1）由此可解得0.210.4170.421.10vcc（2） hpchpc入射光子和散射光子的動量分別為和方向如圖所示。電子的動量為mv,m為運動電子的相對論質量。由動量守恒定律可得，022cos1 (/)m vhcvc （3）022sin1 (/)m vhcvc（4） 40200.10hhm c200.37/m ch已知由（2）、（3）、（4）、（5）式可解得 （5）200.27/m ch127tanarcta

18、n()36.137002.4/LtLcv 電子從O點運動到A所需時間為2201 (/)LLvc00.91LL（2）當觀察者相對于S沿OA方向以速度v運動時，由狹義相對論的長度收縮效應得 41 12。設地球是一個半徑為6370km的球體。在赤道上空離地面一千多公里處和赤道共面的圓與赤道形成的環(huán)形區(qū)域內，地磁場可以看作是均勻的，其磁感強度為B = 3.2*10-6T。某種帶電宇宙射線粒子，其靜止質量為m0= 6.68*10-27kg，其電荷量為q = 3.2*10-19C，在地球赤道上空的均勻地磁場中圍繞地心作半徑為R = 7370km的圓周運動。已知在相對論中只要作用與粒子的力F的方向始終與粒子

19、運動的速度v的方向垂直，則運動粒子的質量m和加速度a的關系仍為f = ma，但式中的m為粒子的相對論質量。問：（1）該粒子的動能多大？（2）該粒子在圓形軌道上運動時與一個不帶電的、靜止質量為m2 = 4m0的靜止粒子發(fā)生碰撞，并形成一個復合粒子，求復合粒子的靜質量 m1 42解：1設帶電宇宙射線粒子速度為v，在地磁場的洛倫茲力作用下做圓周運動，其運動方程為可求得由式該粒子的動能，與靜止質量關系為為運動自立相對論質量式中) 1 () 3()2(/1m) 1 (2022202cmmcEcvmmRvmqvBk222220(4)qBRcvq B Rm c4381202292.90 10(5)1(2).

20、(3)(1)(6)1/,(5),1.74 10(7)Kkvm sEm cvcEJ代入數據得由式得 代入數據 注意到式得 200222211121 11 1112222112pE,(8)(9)1/1/,(10)(11)1/1/m vm cpEvcvcvpEmvmcpEvcvc用 和 分別表示宇宙射線粒子的動量和能量有設符合粒子的速度為動量和能量分別為 和有442112201228112201221222271(12)(13)4,(14)1 4 1/(5)(14),1.43 10(15)(9) (11)(13)1/1/1/(5) (15)46.4 10ppEEm cmmvvvcvm smvcmmvcvcmkg粒子符合過程動量、能量守恒，有,由以上各式及已知條件得把式代入式得由、和得由、和有關數據得45 13。前燈效應。（1）在S中，一光束一與x軸成0角的方向射出，求在S系中光束與x軸的夾角，設S系以速率 u 沿 x 軸相對S系運動。（2）一個點光源在相對其靜止的坐標系中向各個方向均勻地發(fā)光，當它以接近于光速的速率 u 在某一坐標系中運動時，他在前進的方向上強烈地輻射，這種現象叫做前燈效應。這種現象在同步加速器中非常顯著，但電子以相對論的速率運動時，在前進方向上一窄束圓錐中發(fā)射光線。若發(fā)射出的輻射有一半在10-3弧度的圓錐張角中，光的速率是多少？46(