高數(shù)上冊第3章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、第3章中值定理中值定理應(yīng)用應(yīng)用研究函數(shù)性質(zhì)及曲線性態(tài)利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式泰勒公式 (第三節(jié))推廣推廣微分中值定理 與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 一、羅爾一、羅爾( Rolle )中值定理中值定理二、拉格朗日二、拉格朗日( Lagrange )中值定理中值定理 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理 3.1 微分中值定理微分中值定理 第3章 費馬費馬(Fermat)引引理理一、羅爾一、羅爾( Rolle )定理定理,)(0有定義在xU且 )(0 xf 存在, )()(0 xfxf)(或0)(0 xf證證: 設(shè), )()(, )(0000 xfxxfxUx

2、x則)(0 xf xxfxxfx)()(lim000)0(x)(0 xf)0(x)(0 xf000)(0 xf)(xfy 費馬 證畢證畢xyO0 x羅爾（羅爾（ Rolle ）中值定理）中值定理)(xfy 滿足:(1) 在區(qū)間 a , b 上連續(xù)(2) 在區(qū)間 (a , b) 內(nèi)可導(dǎo)(3) f ( a ) = f ( b ),使. 0)(f證證:，上連續(xù)在因,)(baxf故在 a , b 上取得最大值 M 和最小值 m .若 M = m , 則, ,)(baxMxf因此.0)(, ),(fba在( a , b ) 內(nèi)至少存在一點xyab)(xfy O若 M m , 則 M 和 m 中至少有一個

3、與端點值不等,不妨設(shè) , )(afM 則至少存在一點, ),(ba使,)(Mf. 0)(f注意注意:(1) 定理條件條件不全具備, 結(jié)論不一定成立. 1,010,)(xxxxf則由費馬引理得 1 , 1)(xxxf 1 ,0)(xxxfx1yOx1y1Ox1yOxyab)(xfy O不連續(xù)在 1 , 0不可導(dǎo)在) 1 , 0() 1 ()0(ff例如,使得(2) 定理條件只是充分的而非必要的.例如例如xxxxxf43,43430,sin)(在 上三個條件均不滿足，卻存在), 0(2. 0)(f, 0使(3) 羅爾定理可推廣為)(xfy 在 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo), 且)(limxfax)(

4、limxfbx在( a , b ) 內(nèi)至少存在一點,. 0)(f證明提示證明提示: 設(shè)證 F(x) 在 a , b 上滿足羅爾定理 . )(xFaxaf, )(bxaxf, )(bxbf, )()3,3(03,3驗證結(jié)論：因此，羅爾定理對函數(shù)得，令0)(fxxfcosln)(內(nèi)可導(dǎo)，在)3,3().3()3(ffxxfcosln)(上連續(xù)，在3,3cosln)(xxf解：解：例例1. 驗證羅爾定理對函數(shù) 在區(qū)間.3,3上是正確的在 上的正確性.例例2. 證明方程0155 xx, 15)(5xxxf. 3) 1 (, 1)0(ff, 0)(0 xf, ) 1,0(011xxx) 1(5)(4xx

5、f),1,0(, 0 x在開區(qū)間(0,1)內(nèi)有且僅有一個實根 .證證: (1) 存在性 .則)(xf在 0 , 1 連續(xù) , 且由介值定理知存在, ) 1 ,0(0 x使即方程有一個實根).1 , 0(0 x(2) 唯一性 .假設(shè)另有, 0)(1xf使在以)(xf10, xx為端點的區(qū)間滿足羅爾定理條件 ,之間在10, xx至少存在一點,. 0)(f使但矛盾, 故假設(shè)不真!設(shè)二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 )( (1) 在區(qū)間 a , b 上連續(xù))(xfy 滿足:(2) 在區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo)至少存在一點, ),(ba使.)()()(abafbff思路思路: 利用逆向思維

6、逆向思維找出一個滿足羅爾定理條件的函數(shù)作輔助函數(shù)顯然 ,)(x在a, b 上連續(xù), 在(a, b)內(nèi)可導(dǎo), 且證證: 問題轉(zhuǎn)化為證)(x)(xfxabafbf)()()(a由羅爾定理知至少存在一點, ),(ba,0)(使即定理結(jié)論成立 ., )(babbfaafb)()(拉氏 0)()()(abafbff證畢xyab)(xfy O),(,)()()(baabafbff拉格朗日中值定理的有限增量形式有限增量形式:推論推論1: 若函數(shù)在區(qū)間 I 上滿足,0)( xf則)(xf在 I 上必為常數(shù).)(xf證證: 在 I 上任取兩點, )(,2121xxxx上用拉在,21xx格朗日中值公式 , 得0)

7、()(12xfxf)(12xxf)(21xx)()(12xfxf由 的任意性知, 21,xx)(xf在 I 上為常數(shù) .) 10()(0 xxxfy,00 xxbxa令則設(shè)函數(shù) 在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)處處相等，.)()(Cxgxf.2, 1)(2理上滿足拉格朗日中值定在驗證函數(shù)xxf則在 I 上，驗證結(jié)論：所以，知，由) 1(2) 1()2()(fff)(),(xgxf內(nèi)可導(dǎo)，在)2 , 1(.2)(xxf且).2 , 1(21上連續(xù)，在2 , 1)(2xxf解：解：推論推論2 2：例例1. .2, 1)(2理上滿足拉格朗日中值定在函數(shù)xxf例例2. 證明不等式證證: 設(shè), )1ln()(ttf上滿

8、足拉格朗日在則,0)(xtf中值定理條件,即因為故. )0()1ln(1xxxxx)0()(fxf)1ln(xxx0,11x xx1x)0()1ln(1xxxxxxxf0, )0)(因此應(yīng)有例例3. 證明等式. 1, 1,2arccosarcsinxxx證證: 設(shè),arccosarcsin)(xxxf上則在) 1, 1()(xf由推論可知Cxxxfarccosarcsin)( (常數(shù)) 令 x = 0 , 得.2C又,2) 1(f故所證等式在定義域 上成立. 1, 1自證自證:),(x,2cotarcarctanxx211x211x0經(jīng)驗經(jīng)驗: 欲證Ix時,)(0Cxf只需證在 I 上, 0)

9、( xf,0Ix 且.)(00Cxf使三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理0)()()()()()(fgagbgafbf)(分析分析:)(xf及(1) 在閉區(qū)間 a , b 上連續(xù)(2) 在開區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo)(3)在開區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)至少存在一點, ),(ba使.)()()()()()(gfagbgafbf滿足 :)(xg0)( xg)()(agbg)(abgba0問題轉(zhuǎn)化為證)()()()()()()(xfxgagbgafbfx柯西 構(gòu)造輔助函數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù)證證: 作輔助函數(shù))()()()()()()(xfxgagbgafbfx)()()()()()(

10、)()(bagbgbgafagbfa,),(,)(內(nèi)可導(dǎo)在上連續(xù)在則babax且, ),(ba使, 0)(即由羅爾定理知, 至少存在一點.)()()()()()(gfagbgafbf思考思考: 柯西定理的下述證法對嗎 ?),(, )()()(baabfafbf),(, )()()(baabgagbg兩個 不一定相同錯錯! !上面兩式相比即得結(jié)論. 柯西定理的幾何意義柯西定理的幾何意義:)()()()()()(gfagbgafbf)(g)(ag)()(tfytgx)(af)(bg)(bf)()(ddtgtfxy注意:弦的斜率切線斜率xyO)0() 1 (ff)0() 1 (gg例例1. 設(shè)).0

11、() 1 (2)(fff2)(01)0() 1 (fffxxxf)()(2,)(2xxg,) 1 ,0(, 1 ,0)(內(nèi)可導(dǎo)在上連續(xù)在xf至少存在一點),1,0(使證證: 問題轉(zhuǎn)化為證設(shè)則)(, )(xgxf在 0, 1 上滿足柯西中值定理條件, 因此在 ( 0 , 1 ) 內(nèi)至少存在一點 , 使)(f )(g012即)0() 1 (2)(fff證明三、其他未定式三、其他未定式 二、二、 型未定式型未定式一、一、 型未定式型未定式00 3.2 洛必達(dá)洛必達(dá)( (LHospital) )法則法則 第3章 一、一、)()(lim)()(limxgxfxgxf)()(limxgxf )()(lim

12、xgxf ; 0)(lim)(lim) 1 (00 xgxfxxxxAxgxfxx)()(lim)3(0存在 (或為 ).)()(lim)()(lim00 xgxfxgxfxxxx,)(),(),(, 0)2(00時可導(dǎo)使得存在xgxfxxU; 0)( xg且定理定理 1.型未定式型未定式00(洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則) 注：注：例例1. 求極限2031coslimxxxxxx6sinlim0.61.sinarctanlim12xxx解解: 原式 xlim型00221lim1cos1limxxxxx. 1211x)1)(1(cos2xx.sinlim30 xxxx洛洛例例2. 求極限型00解：解：

13、原式 =洛例例3. 求極限xxxxxxx2sin)sin()1ln()(tanlim0 xxxxxxx2)sin()(tanlim0 xxxxxsintanlim210 xxxcos11seclim2120. 12lim21220 xxxxxxcos1tanlim2120.2sin)sin()1ln()(tanlim0 xxxexxxxx型00解：解：原式 =二、二、型未定式型未定式;)(lim,)(lim) 1 (00 xgxfxxxxAxgxfxx)()(lim)3(0(或為)()(lim0 xgxfxx定理定理 2.)()(lim0 xgxfxx(洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則)可導(dǎo)，時，使得存在

14、)(),(),(0)2(0 xgxfxUx; 0)( xg且例例4. 求. )0(lnlimnxxnx解解:原式11limnxxxnnxxn1lim0例例4. 求求解解: 原式 0 xnxxnelim1xnxxnne) 1(lim22. )0(elim, 0nxxnx型型xnxne!lim洛洛洛洛例4. )0(0elim, 0nxxnx. )0(0lnlimnxxnx例4. 說明說明:(1) 例4 , 例4 表明x時,lnx后者比前者趨于更快 .例如,xxx21lim21limxxxxxx21lim事實上xxx21lim11lim2xx1)0(ex, )0( nxn用洛必達(dá)法則(2) 在滿足定

15、理條件的某些情況下洛必達(dá)法則不能解決 計算問題 . (3) 若,)()()(lim時不存在xgxf.)()(lim)()(limxgxfxgxf例如例如,xxxxsinlim1cos1limxx)sin1 (limxxx1極限不存在不能用洛必達(dá)法則 ! 即 三、其他未定式三、其他未定式:,0 ,00,1型0解決方法解決方法:通分轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化000取倒數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化0010取對數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化例例5. 求).0(lnlim0nxxnx型0解解: 原式nxxxlnlim0110limnxxxn0)(lim0nxnx洛洛型. )sincos1(lim20 xxxxx解解: 原式xxxxxxsincossinlim

16、20203)sin(coscoslimxxxxxx203sinlimxxxx.31例例6. 求通分轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化000取倒數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化0010取對數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化例例7. 求.lim0 xxx型00解解: xxx0limxxxln0elim0e1例5 通分轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化000取倒數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化0010取對數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式 一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的應(yīng)用三、泰勒公式的應(yīng)用 應(yīng)用目的目的用多項式近似表示函用多項式近似表示函數(shù)數(shù).理論分析近似計算3.3 泰勒泰勒( (Taylor) )公式公式 第3章 有限增量公式：有限增量公式：)(),)()(

17、)(000之間與介于xxxxfxfxf)(0 xxo舍去了一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立)(xf)()(000 xxxfxf微分近似公式微分近似公式 :需要解決的問題精確度不高誤差不能估計高次多項式去近似高次多項式去近似心中不安心中不安1. 求求 n 次近似多項式次近似多項式要求要求:, )(xpn)(0!212xpan , )(0 xf ,)(0)(!1xpannnn)(0)(xfn故)(xpn)(0 xf)(00 xxxf!21!1nnnxxxf)(00)(!1n200)(xxxf !21令令)(xpn則)(xpn )(xpnnan!)()(xpnn)(00 xpan, )(0 xf

18、, )()(00 xfxpn)(01xpan, )(0 xf 1a)(202xxa10)(nnxxan2!2 a20)() 1(nnxxann, )()(00 xfxpn)()(,0)(0)(xfxpnnn0annxxaxxaxxa)()()(020201)0(之間與在nx )( )(10nnxxxR )(2) 1( )(0)(xnRnnnn2. 余項估計余項估計)()()(xpxfxRnn令(稱為余項) ,)(0 xRn)(0 xRn0)(0)(xRnn10)()(nnxxxRnnxnR)(1()(011 )(1( )(011nnxnR1022)() 1()( nnxnnR! ) 1()()

19、1(nRnn則有)(0 xRn0)(0 xRn0)(0)(xRnn0 x)01(之間與在xx)102(之間與在x)()()(xpxfxRnn10)()(nnxxxR! ) 1()()1(nRnn)0(之間與在xx,0)()1(xpnn10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR)()()1()1(xfxRnnn時的某鄰域內(nèi)當(dāng)在Mxfxn)() 1(0)0(之間與在xx10! ) 1()(nnxxnMxR)()()(00 xxxxoxRnn公式 稱為 的 n 階泰勒公式階泰勒公式 .)(xf公式 稱為n 階泰勒公式的拉格朗日余項拉格朗日余項 .泰勒泰勒(Taylor)中值定理中值定理 :

20、內(nèi)具有的某開區(qū)間在包含若),()(0baxxf1n直到階的導(dǎo)數(shù) ,),(bax時, 有)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR則當(dāng))0(之間與在xx泰勒 公式 稱為n 階泰勒公式的佩亞諾佩亞諾(Peano) 余項余項 .在不需要余項的精確表達(dá)式時 , 泰勒公式可寫為)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo)()(0nnxxoxR注意到* 可以證明: 階的導(dǎo)數(shù)有直到在點nxxf0)( 式成立特例特例:(

21、1) 當(dāng) n = 0 時, 泰勒公式變?yōu)?(xf)(0 xf)(0 xxf(2) 當(dāng) n = 1 時, 泰勒公式變?yōu)?(xf)(0 xf)(00 xxxf20)(!2)(xxf 可見)(xf)(0 xf)(00 xxxf201)(!2)()(xxfxR 誤差)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(fd)0(之間與在xx)0(之間與在xx)0(之間與在xx)0(之間與在xx拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式稱為麥克勞林麥克勞林( Maclaurin )公式公式 ., 00 x則有)(xf)0(fxf

22、)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()(在泰勒公式中若取)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之間與在xx)(xf)0(fxf)0( ,)()1(Mxfn則有誤差估計式1! ) 1()(nnxnMxR2!2)0(xf nnxnf!)0()(若在公式成立的區(qū)間上麥克勞林 由此得近似公式, ) 10(x記二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式xxfe)() 1 (,e)()(xkxf),2, 1(1)0()(kfkxe1x!

23、33x!nxn)(xRn!22x其中)(xRn!) 1( n) 10(1nxxe)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()(麥克勞林公式麥克勞林公式 ) 10()sin(212mx)cos() 1(xm)sin( xxxfsin)()2()()(xfkxsinx!33x!55x! ) 12(12mxm)(2xRm其中)(2xRm2k2sin)0()(kfkmk2,012 mk,) 1(1m),2, 1(m1) 1(m) 10(12mx!) 12(m)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf n

24、nxnf!)0()() 10(麥克勞林公式麥克勞林公式 麥克勞林公式麥克勞林公式 ! )2(2mxmxxfcos)()3(類似可得xcos1!22x!44x)(12xRm其中)(12xRm! )22(m)cos() 1(1xm) 10(m) 1(22mx)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()() 10() 1(,)1 ()()4(xxxf)()(xfk)1 (x1x2xnx)(xRn其中)(xRn11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnn) 10(kxk)1)(1() 1() 1() 1()0()(kfk),2, 1(k!

25、2 ) 1(! n) 1() 1(n)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()() 10(麥克勞林公式麥克勞林公式 ) 1()1ln()()5(xxxf已知)1ln(xx22x33xnxn)(xRn其中)(xRn11)1 (1) 1(nnnxxn) 10(1) 1(n因此可得)()(xfkkkxk)1 (! ) 1() 1(1),2, 1(k)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()() 10(麥克勞林公式麥克勞林公式 三、泰勒公式的應(yīng)用三、泰勒公式的應(yīng)用1. 在近似計算

26、中的應(yīng)用在近似計算中的應(yīng)用 誤差1! ) 1()(nnxnMxRM 為)() 1(xfn在包含 0 , x 的某區(qū)間上的上界.需解問題的類型:1) 已知 x 和誤差限 , 要求確定項數(shù) n ;2) 已知項數(shù) n 和 x , 計算近似值并估計誤差;3) 已知項數(shù) n 和誤差限 , 確定公式中 x 的適用范圍.)(xf)0(fxf)0( 2!2)0(xf nnxnf!)0()(例例1. 計算無理數(shù) e 的近似值 , 使誤差不超過.106解解: 已知xe! ) 1( nxe1nx令 x = 1 , 得e) 10(!) 1(e!1!2111nn) 10(由于,3ee0欲使) 1 (nR! ) 1(3n

27、610由計算可知當(dāng) n = 9 時上式成立 ,因此e!91!21112.718282xe1x!33x!nxn!22x的麥克勞林公式為例例2. 用近似公式!21cos2xx計算 cos x 的近似值,使其精確到 0.005 , 試確定 x 的適用范圍.解解: 近似公式的誤差)cos(!4)(43xxxR244x令005. 0244x解得588. 0 x即當(dāng)588. 0 x時, 由給定的近似公式計算的結(jié)果能準(zhǔn)確到 0.005 .2. 利用泰勒公式求極限利用泰勒公式求極限例例3. 求.43443lim20 xxxx解解:由于x431243 x21)1 (243x 2)(14321x!21) 1(21

28、21243)( x)(2xo用洛必達(dá)法則不方便 !2x用泰勒公式將分子展到項,11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(x3421)1 (243x220 limxx 原式)(2216921xox 329x43)(2216941xox 2x43)(2216941xox 11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(3. 利用泰勒公式證明不等式利用泰勒公式證明不等式例例4. 證明).0(82112xxxx證證:21)1 (1xx21x2) 121(21

29、!21x325)1)(221)(121(21!31xx) 10(3225)1 (161821xxxx)0(82112xxxx+1. 2. 3. 4 1(5,7,11,13,16)1 . 396習(xí)題P 3作業(yè)：作業(yè)：2 . 3102習(xí)題P3 . 3109習(xí)題P一、函數(shù)的單調(diào)性一、函數(shù)的單調(diào)性二、函數(shù)的極值二、函數(shù)的極值 3.4 函數(shù)性態(tài)的研究函數(shù)性態(tài)的研究 第3章 三、函數(shù)的最值三、函數(shù)的最值四、曲線的凹凸性及拐點四、曲線的凹凸性及拐點一、一、 函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性若定理定理 1. 設(shè)函數(shù))(xf0)( xf則 在 I 內(nèi)單調(diào)遞增)(xf, )0)( xf(遞減) .證證: 不妨設(shè),0)(I

30、xxf任取)(,2121xxIxx由拉格朗日中值定理得)()()(1212xxfxfxf),(21xxI0故. )()(21xfxf這說明 在 I 內(nèi)單調(diào)遞增.)(xf在開區(qū)間 I 內(nèi)可導(dǎo),證畢例例1. 確定函數(shù)33)(xxxf的單調(diào)區(qū)間.解解:)1)(1 (333)(2xxxxf).,(函數(shù)的定義域為令,0)( xf得, 1, 121xxx)(xf )(xf) 1,(1001) 1,1(), 1 (故)(xf的單調(diào)增單調(diào)增區(qū)間為 1 , 1) 1,()(xf的單調(diào)減單調(diào)減區(qū)間為).,1 (函數(shù)沒有不可導(dǎo)點.和yxO說明說明: (1)單調(diào)區(qū)間的分界點除駐點外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點. 例如,),

31、(,32xxy332xy 0 xy32xy (2) 如果函數(shù)在某駐點兩邊導(dǎo)數(shù)同號, 則不改變函數(shù)的單調(diào)性 .例如,),(,3xxy23xy 00 xyyOx3xy 定義定義:,),()(00內(nèi)有定義的某鄰域在點設(shè)函數(shù)xUxxf),(0 xUo若對于去心鄰域內(nèi)的任一x，有, )()(0 xfxf(1) 則稱 為 的極大值點極大值點 ,0 x)(xf稱 為函數(shù)的極大值極大值 ;)(0 xf, )()(0 xfxf(2) 則稱 為 的極小值點極小值點 ,0 x)(xf稱 為函數(shù)的極小值極小值 .)(0 xf極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點極值點 .二、函數(shù)的極值二、函數(shù)的極值注意注意:3x1x4x2x

32、5xOxaby41,xx為極大值點52,xx為極小值點3x不是極值點(2) 費馬引理, 極值點可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為 0 的點或(1) 函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).31292)(23xxxxf例如例如 ,1x為極大值點, 2) 1 (f是極大值 1)2(f是極小值 2x為極小值點, 函數(shù)12xOy12導(dǎo)數(shù)不存在的點.定理定理 3 (極值第一判別法極值第一判別法),)(0的某鄰域內(nèi)連續(xù)在設(shè)函數(shù)xxf且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù),0時由小到大通過當(dāng)xx(1) )(xf “左左正正右右負(fù)負(fù)” ,;)(0取極小值在則xxf(2) )(xf “左左負(fù)負(fù)右右正正” ,.)(0取極大值在則xxf極值的第一充分條件極值的第

33、一充分條件利用一階導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)極值的方法步驟：利用一階導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)極值的方法步驟：33)(xxxf例例1. 求函數(shù)(1) 確定函數(shù)的定義域)1)(1 ( 3)(xxxf), 1 ( 0)( xf(2) 由(3) 由)(xf 不存在得不可導(dǎo)點(這些點處函數(shù)要連續(xù))1若干子區(qū)間，每個子區(qū)間上判斷.)(的符號 xf(4) 把駐點、不可導(dǎo)點從小到大排序，將定義域分成) 1 , 1(極小值x)(xf )(xf001所以函數(shù)的極小值是, 2) 1(f極大值是) 1,(. 2) 1 (f解出全部駐點(5) 列表求出極值.極值.極大值32) 1()(xxxf例例2. 求函數(shù)0132-1)(3xxf由),273

34、5()(xf 2735x2735).,()2735, 1 (極小值x)(xf )(xf01所以函數(shù)的極大值是, 1) 1 (f極小值是) 1 ,(.2723)2735(f的極值.極大值解：解：函數(shù)的定義域為解得駐點不存在的點 x=1,列表求極值,不存在不存在定理定理4 (極值第二判別法極值第二判別法)二階導(dǎo)數(shù) , 且處具有在點設(shè)函數(shù)0)(xxf,0)(0 xf0)(0 xf,0)() 1 (0 xf若則 在點 取極大值 ;)(xf0 x,0)()2(0 xf若則 在點 取極小值 .)(xf0 x證證: (1)(0 xf 00)()(lim0 xxxfxfxx0)(lim0 xxxfxx,0)(

35、0知由 xf存在,0,00時當(dāng)xx0)(0 xxxf時，故當(dāng)00 xxx;0)( xf時，當(dāng)00 xxx,0)( xf0 x0 x0 x由第一判別法知.)(0取極大值在xxf(2) 類似可證 .例例1. 求函數(shù)12) 1( f因. 012)3( f因593)(23xxxxf的極值 . 解解: 函數(shù)的定義域為(, ).),3)(1(3963)(2xxxxxf).1(666)( xxxf求駐點： ,0)(xf由得. 3, 121xx. 0,10) 1(f.22) 3(f故函數(shù)的極大值是極小值是求導(dǎo)：判別：(判別法的推廣判別法的推廣)階導(dǎo)點有直到在若函數(shù)nxxf0)(,0)()()(0) 1(00

36、xfxfxfn,0)(0)(xfn則:數(shù) , 且1) 當(dāng) 為偶數(shù)時,n,0)(0)(時xfn0 x是極小點 ;,0)(0)(時xfn0 x是極大點 .2) 當(dāng) 為奇數(shù)時,n0 x為極值點 , 且0 x不是極值點 .)()()(000 xxxfxfxfnnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo)()(0 xfxf)(0nxxonnxxnxf)(!)(00)(當(dāng) 充分接近 時, 上式左端正負(fù)號由右端第一項確定 ,0 xx故結(jié)論正確 .證證: 利用 在 點的泰勒公式 ,)(xf0 x可得三、函數(shù)的最大三、函數(shù)的最大(小小)值值,)(上連續(xù)在閉區(qū)間若函數(shù)baxf則其最值只能在極值點極值點或端點端點

37、處達(dá)到 .求函數(shù)最值的方法求函數(shù)最值的方法: :(1) 求 在 內(nèi)的極值可疑點)(xf),(bamxxx,21(2) 最大值 maxM, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf最小值 minm, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf特別特別: 當(dāng) 在 內(nèi)只有一個極值可疑點時,)(xf,ba 當(dāng) 在 上單調(diào)單調(diào)時,)(xf,ba最值必在端點處達(dá)到.若在此點取極大 值 , 則也是最大 值 . (小) 對應(yīng)用問題 , 有時可根據(jù)實際意義判別求出的可疑點是否為最大 值點或最小值點 .(小)例如，詳見教材例如，詳見教材P114應(yīng)用題應(yīng)用題.( k 為某常數(shù)

38、)例例1. 鐵路上 AB 段的距離為100 km , 工廠C 距 A 處20AC AB , 要在 AB 線上選定一點 D 向工廠修一條 已知鐵路與公路每公里貨運為使貨物從B 運到工 20AB100C解解: 設(shè),(km)xAD x則,2022xCD)100(320522xkxky)1000( x, ) 34005(2xxky23)400(40052xky 令,0 y得 ,15x又,015 xy所以 為唯一的15x極小值點 ,故 AD =15 km 時運費最省 .總運費廠C 的運費最省,從而為最小值點 ,問D點應(yīng)如何取?Dkm ,公路, 價之比為3:5 ,例例2. 把一根直徑為 d 的圓木鋸成矩形

39、梁 ,問矩形截面的高 h 和 b 應(yīng)如何選擇才能使梁的抗彎截面模量最大? 解解: 由力學(xué)分析知矩形梁的抗彎截面模量為hbd261hbw, )(2261bdb),0(db令)3(2261bdw0得db31從而有1:2:3:bhd22bdhd32即由實際意義可知 , 所求最值存在 , 駐點只一個,故所求結(jié)果就是最好的選擇 .存在一個取得最大利潤的生產(chǎn)水平? 如果存在, 找出它來.售出該產(chǎn)品 x 千件的收入是例例3. 設(shè)某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品 x 千件的成本是解解: 售出 x 千件產(chǎn)品的利潤為)()()(xCxRxp6123)(2xxxp得令,0)( xp586. 0221x問是否3)(xxC,1562x

40、x ,9)(xxRxxx6623,126)( xxp又,0)(1 xp0)(2 xp故在 x2 = 3.414千件處達(dá)到最大利潤, 而在 x1= 0.586千件處發(fā)生局部最大虧損. y)(xp22Ox22)24(32xx414. 3222x說明說明：在經(jīng)濟學(xué)中)(xC稱為邊際成本)(xR稱為邊際收入)(xp稱為邊際利潤由此例分析過程可見, 在給出最大利潤的生產(chǎn)水平上, 0)( xp即邊際收入邊際成本（見右圖）22yOx22xxxxC156)(23成本函數(shù)xxR9)(收入函數(shù))()(xCxR即收益最大虧損最大AB定義定義 . 設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間 I 上連續(xù) ,21Ixx(1) 若恒有,2)()

41、()2(2121xfxfxxf則稱的)(xf圖形是(向上)凹凹的;(2) 若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf則稱的)(xf圖形是(向上)凸凸的 .四、曲線的凹凸性及拐點四、曲線的凹凸性及拐點yOx2x1x221xx yOx2x1x221xx 連續(xù)曲線上的凹凸分界點稱為連續(xù)曲線上的凹凸分界點稱為拐點拐點 .yOx拐點定理定理5.(凹凸判定法)(xf(1) 在 I 內(nèi),0)( xf則 f (x) 在 I 內(nèi)圖形是凹的 ;(2) 在 I 內(nèi),0)( xf則 f (x) 在 I 內(nèi)圖形是凸的 .證證:,21Ixx利用一階泰勒公式可得)()(1fxf)()(2fxf兩式相加22!21)(12

42、xx )()(21ff ,0)(時當(dāng) xf說明 (1) 成立; (2) 設(shè)函數(shù)在區(qū)間I 上有二階導(dǎo)數(shù)證畢,221xx 記)(f )(1x)(f )(2x!2)(2f 22)(x!2)(1f 21)(x)(2)()(21fxfxf),(2)()(21fxfxfxxy24362 )(3632xx對應(yīng)271121,1yy例例1. 求曲線14334xxy的凹凸區(qū)間及拐點.解解: (1) 求y ,121223xxy(2) 求拐點可疑點坐標(biāo)令0 y得,03221xx(3) 列表判別)0,(),0(32),(32y xy0320012711故該曲線在)0,(),(32及上向上凹,向上凸 , 點 ( 0 ,

43、1 ) 及),(271132均為拐點.上在),0(32凹凹凸32) 1 , 0(),(271132xyO例例2. 求曲線3xy 的拐點. 解解:,3231xy3592 xyxy y0)0,(),0(不存在0因此點 ( 0 , 0 ) 為曲線3xy 的拐點 .Oxy凹凸一、一、 曲線的漸近線曲線的漸近線二、二、 函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪3.5 函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪 第3章 一、曲線的漸近線一、曲線的漸近線若,)(limbxfx則曲線)(xfy 有水平漸近線水平漸近線.by )(x或若,)(lim0 xfxx則曲線)(xfy 有豎直漸近線豎直漸近線.0 xx )(0 xx或例如，例如，

44、求曲線211xy的漸近線 .析析:2)211(limxx2 y為水平漸近線;,)211(lim1xx1 x為豎直漸近線.yxO21斜漸近線：斜漸近線：有則曲線)(xfy 斜漸近線.bxky)(x或若,0)(limxfx)(bxk 0)(limxbkxxfxx0)(limxfx)(bxk 0)(limxbkxxfx)(limxbxxfkxxxfkx)(lim)(limxkxfbx)(x或)(x或二、函數(shù)圖形的描繪二、函數(shù)圖形的描繪步驟步驟 :1. 確定函數(shù))(xfy 的定義域 ,期性 ;2. 求, )(, )(xfxf 并求出)(xf 及)(xf 3. 列表判別增減及凹凸區(qū)間 , 求出極值和拐點

45、 ;4. 求漸近線 ;5. 確定某些特殊點 , 描繪函數(shù)圖形 .為 0 和不存在的點 ;并考察其對稱性及周例例1. 描繪函數(shù)21y22ex的圖形. 解解: (1) 定義域為, ),(圖形對稱于 y 軸.(2) 求關(guān)鍵點 y21,e22xx y2122ex)1 (2x得令0 y;0 x得令0 y1x2100e21xyy y10) 1,0(), 1 (3) 判別曲線形態(tài)(極大極大)(拐點拐點)0limyx0y為水平漸近線5) 作圖4) 求漸近線(極大極大)(拐點拐點)2100e21xyy y10) 1,0(), 1 (22e21xyxyOA210yB1曲線的彎曲程度與切線的轉(zhuǎn)角有關(guān)與曲線的弧長有關(guān)主要內(nèi)容主要內(nèi)容:一、一、 弧微分弧微分 二、二、 曲率及其計算公式曲率及其計算公式 三、三、 曲率圓與曲率半徑曲率圓與曲率半徑 MMM 3.6 平面曲線的曲率平面曲線的曲率 第3章 一、一、 弧微分弧微分)(xfy 設(shè)在(a , b)內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù), 其圖形為 AB,弧長)(xsAMsxsMMMMxMMMMMMxyx22)()(MMMM2)(1xyxsxsx0lim)(2)(1yxAB)(xfy abxoyxMxxMy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則弧長微分公式為22d( )( ) dsxxt)(xs2)(1yxysd)