第八章相量法

1、第第八八章章 相量法相量法 8 - 2 正弦量正弦量 8 - 3 正弦量的相量表示正弦量的相量表示 8 - 1 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) 8 - 4 電路定律的相量形式電路定律的相量形式 8 - 1 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)一一. 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)F表示形式：表示形式：) 1(j為為虛虛數(shù)數(shù)單單位位 F=a+jb1、代數(shù)形式：、代數(shù)形式：ReF=a取復(fù)數(shù)取復(fù)數(shù)F的實(shí)部和虛部用符號(hào)表示為：的實(shí)部和虛部用符號(hào)表示為：取復(fù)數(shù)取復(fù)數(shù)F的實(shí)部的實(shí)部ImF=b取復(fù)數(shù)取復(fù)數(shù)F的虛部的虛部j 1 Fab 2、三角形式：、三角形式：F=a+jb=|F|（cos + jsin ）|F| 為復(fù)數(shù)的模，為復(fù)數(shù)的模， 為復(fù)數(shù)的幅角。為復(fù)數(shù)的幅角。|F|a=|

2、F|cos b=|F|sin 或：或： ab baFarctan| 22 3、指數(shù)形式：、指數(shù)形式：歐拉公式歐拉公式 sinjcosj e=|F| 指數(shù)形式指數(shù)形式F=|F|（cos + jsin ） jeF 4、極坐標(biāo)形式：、極坐標(biāo)形式： jeFF 二二 復(fù)數(shù)運(yùn)算復(fù)數(shù)運(yùn)算則則 F1F2= (a1a2) +j (b1b2)(1)加減運(yùn)算加減運(yùn)算代數(shù)形式代數(shù)形式F1F2+1+jOF1=a1+jb1F2=a2+jb2若若+1+jOF1F2- - F2F= F1 - - F2F= F1 +F1(2) 乘除運(yùn)算乘除運(yùn)算指數(shù)形式或極坐標(biāo)形式指數(shù)形式或極坐標(biāo)形式F1 F21j1 eF 2j2 eF)( j

3、2121 eFF所以：所以：2121FFFF )()arg(2121 FF乘法：模相乘，角相加；乘法：模相乘，角相加；若若 F1=|F1| 1 ，若若F2=|F2| 2F1 F2 =| F1 | | F2| 1 2則則21FF21j2j1 eFeF )( j2121 eFF所以：所以：2121FFFF )()arg(2121 FF除法：模相除，角相減。除法：模相除，角相減。21FF2121 jjeFeF2121|FF 2211 | |FF (3) 旋轉(zhuǎn)因子：旋轉(zhuǎn)因子：A ej aeAA j 任意復(fù)數(shù)任意復(fù)數(shù)相當(dāng)于相當(dāng)于A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度 ，而模不變。故把而模不變。故把 ej

4、 稱為旋轉(zhuǎn)因子。稱為旋轉(zhuǎn)因子。+1+jOej aA A ej 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) ej =cos +jsin =1 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)ej =1 是一個(gè)模為是一個(gè)模為1，輻角為，輻角為 的復(fù)數(shù)。的復(fù)數(shù)。一一. 正弦量的三要素正弦量的三要素在選定的參考方向下，可以用在選定的參考方向下，可以用數(shù)學(xué)式表達(dá)數(shù)學(xué)式表達(dá)瞬時(shí)值瞬時(shí)值電流電流 i(t)：i(t)=Imcos(w w t + i )i+_uw w T = 2 2 w w = 2 2 / / T = 2 2 f 8 - 2 正弦量正弦量Im,w, w, i 這這3個(gè)量一確定，正弦量就完全確定了。個(gè)量一確定，正弦量就完全確定了。所以，稱這所以，稱這3個(gè)量為正弦量的三

5、要素。個(gè)量為正弦量的三要素。二二. 相位差相位差 ：u(t)=Umcos(w w t+ u)兩個(gè)同頻率正弦量相位角之差。兩個(gè)同頻率正弦量相位角之差。i(t)=Imcos(w w t+ i)設(shè)設(shè)j j= (w w t+ u)- - (w w t+ i) u- - i同頻率正弦量的相位差等于它們的初相之差。同頻率正弦量的相位差等于它們的初相之差。則則 相位差相位差 : j j不同頻率的兩個(gè)正弦量之間的相位差不再是一個(gè)常數(shù)，而是不同頻率的兩個(gè)正弦量之間的相位差不再是一個(gè)常數(shù)，而是隨時(shí)間變動(dòng)。隨時(shí)間變動(dòng)。三三.周期性電流、電壓的有效值周期性電流、電壓的有效值 周期性電流、電壓的瞬時(shí)值隨時(shí)間而變，為了確

6、切的衡量周期性電流、電壓的瞬時(shí)值隨時(shí)間而變，為了確切的衡量其大小，工程上采用有效值。其大小，工程上采用有效值。電流有效值電流有效值I 定義為：定義為：瞬時(shí)值的平方在一個(gè)周期內(nèi)積分的平均值再取平方根。瞬時(shí)值的平方在一個(gè)周期內(nèi)積分的平均值再取平方根。有效值也稱均方根值有效值也稱均方根值(簡記為簡記為 rms。)1. 有效值定義有效值定義 TttiTI02defd)(1同樣，可定義同樣，可定義電壓有效值電壓有效值U： TttuTU02defd)(12. 正弦電流、電壓的有效值正弦電流、電壓的有效值設(shè)設(shè) i(t)=Imcos(w w t + i )ttITITid m w w 022)(cos1mmm

7、 IITITI707. 02212 II2 m最大值與有效值之間有固定的最大值與有效值之間有固定的 。21. 正弦量的相量表示正弦量的相量表示復(fù)函數(shù)復(fù)函數(shù))j(e2)( w w tItA沒有物理意義沒有物理意義對(duì)于任意一個(gè)正弦時(shí)間函數(shù)都可以找到唯一的與其對(duì)應(yīng)對(duì)于任意一個(gè)正弦時(shí)間函數(shù)都可以找到唯一的與其對(duì)應(yīng)的復(fù)指數(shù)函數(shù)：的復(fù)指數(shù)函數(shù)： 若對(duì)若對(duì)A(t)取實(shí)部：取實(shí)部：) cos(2)(RetItA 是一個(gè)正弦量，有物理意義。是一個(gè)正弦量，有物理意義。 ) (citosIi w w 2)2Re() ( jitIe w w)2Re( j jteIeiw w 復(fù)常數(shù)復(fù)常數(shù)ieII jiIe j稱稱為正

8、弦量為正弦量 i(t) 對(duì)應(yīng)的相量。對(duì)應(yīng)的相量。 I) sin(2j) cos(2tItI w w w w iI 8 8 - 3 正弦量的相量表示正弦量的相量表示 ) cos(2)(itIti w w )tcos(U)t (u w w 2 iII 稱稱 為正弦量為正弦量 i(t) 對(duì)應(yīng)的相量。對(duì)應(yīng)的相量。 iII UU i 相量圖相量圖(相量和復(fù)數(shù)一樣可以在平面上用向量表示相量和復(fù)數(shù)一樣可以在平面上用向量表示)：) (cos2)(itIti )()(tUtu w w cos2 不同頻率的相量不能畫在一張向量圖上。不同頻率的相量不能畫在一張向量圖上。 U I iII UU將正弦量與相量建立起對(duì)應(yīng)

9、關(guān)系這實(shí)際上是一種變將正弦量與相量建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系這實(shí)際上是一種變換思想，由時(shí)域變換到頻域：換思想，由時(shí)域變換到頻域：時(shí)域：在變量是時(shí)間函數(shù)條件下研究網(wǎng)絡(luò)，以時(shí)間為時(shí)域：在變量是時(shí)間函數(shù)條件下研究網(wǎng)絡(luò)，以時(shí)間為自變量分析電路。自變量分析電路。頻域：在變量經(jīng)過適當(dāng)變換的條件下研究網(wǎng)絡(luò)，以頻頻域：在變量經(jīng)過適當(dāng)變換的條件下研究網(wǎng)絡(luò)，以頻率為自變量分析電路。率為自變量分析電路。相量法相量法：將正弦時(shí)間函數(shù)：將正弦時(shí)間函數(shù) “變換變換” 為相量后再進(jìn)行分析為相量后再進(jìn)行分析, 屬于頻域分析。屬于頻域分析。一、一、 基爾霍夫定律的相量形式基爾霍夫定律的相量形式0)( tu同頻率的正弦量加減可以用對(duì)應(yīng)的相量

10、形式來進(jìn)行同頻率的正弦量加減可以用對(duì)應(yīng)的相量形式來進(jìn)行計(jì)算。因此，在正弦電流電路中，計(jì)算。因此，在正弦電流電路中，KCL和和KVL可用相應(yīng)可用相應(yīng)的相量形式表示：的相量形式表示：上式表明：流入某一結(jié)點(diǎn)的所有電流用相量表示時(shí)上式表明：流入某一結(jié)點(diǎn)的所有電流用相量表示時(shí)仍滿足仍滿足KCL；而任一回路所有支路電壓用用相量表示時(shí)；而任一回路所有支路電壓用用相量表示時(shí)仍滿足仍滿足KVL。 0)(ti 0I 0U8 8 - 4 電路定律的相量形式電路定律的相量形式一一. 電阻電阻時(shí)域形式：時(shí)域形式：相應(yīng)的相量形式：相應(yīng)的相量形式：相量模型相量模型)cos(2)(iRRtIti w w )()(tRituR

11、R 若：若：)(tiR)(tuRRRRI RU iRRI 有：有：uRURRRIU iu 有效值關(guān)系有效值關(guān)系相位關(guān)系相位關(guān)系 RRIRU 電阻電感電容元件的電阻電感電容元件的VCR相量式：相量式： ( uR , iR同相同相 )RU RI u i= RRIRU 或：或： RRUGI 二二 . 電感電感時(shí)域形式：時(shí)域形式：)cos(2)(iLLtIti w w LiLuL)90cos(2)sin(2d)(d)(iLiLLLtLItLIttiLtuwwww若：若：相應(yīng)的相量形式：相應(yīng)的相量形式：2 iu有效值關(guān)系有效值關(guān)系相位關(guān)系相位關(guān)系LLILU w wj 或：或：uLU2 iLLILLLIU

12、 LI LU Ljw w ( uL 超前超前 iL90)LU LI i相量模型相量模型LLULI w wj1LLUB jLLIX jBL=- -1/w w L ， 感納，單位為感納，單位為 S (同電導(dǎo)同電導(dǎo))XL=w w L，稱為感抗，單位為，稱為感抗，單位為 (歐姆歐姆)時(shí)域形式：時(shí)域形式：相量形式：相量形式：)cos(2)(uCCtUtu w w 相量模型相量模型若：若：ttuCtiCCdd)()( CCuCiCI CU Cjw w1uCCUU iCCII CCUCI w wjiCI2 uCCU 或：或：CCCIICUc1jj1ww三、三、 電容電容CCIX jCU CI uiCI2 uCCUCCCUI CCICU1 或：或：2 ui ( iC 超前超前 uL90)有效值關(guān)系：有效值關(guān)系：相位關(guān)系：相位關(guān)系：B B C = w w C， 稱為容納，單位為稱為容納，單位為 S 頻率和容抗成反比頻率和容抗成反比, w w 0， |XC| 直流開路直流開路(隔直隔直)w w|XC|令