第5章有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)(FIR)濾波器的實(shí)現(xiàn)

1、1第第5 5章章 有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)（有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)（FIRFIR）濾）濾波器的設(shè)計(jì)方法波器的設(shè)計(jì)方法5.1 5.1 線(xiàn)性相位線(xiàn)性相位FIRFIR濾波器的特點(diǎn)濾波器的特點(diǎn)5.3 5.3 頻率采樣設(shè)計(jì)法頻率采樣設(shè)計(jì)法5.45.4* * FIR FIR濾波器的最優(yōu)化設(shè)計(jì)法濾波器的最優(yōu)化設(shè)計(jì)法5.5 IIR5.5 IIR與與FIRFIR數(shù)字濾波器的比較數(shù)字濾波器的比較5.2 5.2 窗口設(shè)計(jì)法窗口設(shè)計(jì)法2FIR數(shù)字濾波器的差分方程描述：數(shù)字濾波器的差分方程描述：10)()(Niiinxany所以系統(tǒng)函數(shù)亦可表示為：所以系統(tǒng)函數(shù)亦可表示為：10( )(1)NiiiH za zFIR濾波器為有限長(zhǎng)單

2、位脈沖響應(yīng)濾波器，且：濾波器為有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)濾波器，且：10( )( )(2)NnnHzh n z 比較比較(1)、(2)兩式可知兩式可知 。( )iah n3FIR數(shù)字濾波器的特點(diǎn)數(shù)字濾波器的特點(diǎn)(與與IIR數(shù)字濾波器比較數(shù)字濾波器比較)：優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn): (1)很很容易獲得嚴(yán)格的線(xiàn)性相位容易獲得嚴(yán)格的線(xiàn)性相位，避免被處理的信號(hào)，避免被處理的信號(hào) 產(chǎn)生相位失真，這一特點(diǎn)在寬頻帶信號(hào)處理、陣列信號(hào)處產(chǎn)生相位失真，這一特點(diǎn)在寬頻帶信號(hào)處理、陣列信號(hào)處理、數(shù)據(jù)傳輸?shù)认到y(tǒng)中非常重要；理、數(shù)據(jù)傳輸?shù)认到y(tǒng)中非常重要；(2)可得到可得到多帶幅頻特性多帶幅頻特性；(3)極點(diǎn)全部在原點(diǎn)極點(diǎn)全部在原點(diǎn)(永遠(yuǎn)穩(wěn)定永

3、遠(yuǎn)穩(wěn)定)，無(wú)穩(wěn)定性問(wèn)題；，無(wú)穩(wěn)定性問(wèn)題；(4)任何一個(gè)非因果的有限長(zhǎng)序列，總可以通過(guò)一任何一個(gè)非因果的有限長(zhǎng)序列，總可以通過(guò)一 定的延時(shí)，轉(zhuǎn)變?yōu)橐蚬蛄?，定的延時(shí)，轉(zhuǎn)變?yōu)橐蚬蛄校?所以所以因果性總是滿(mǎn)足因果性總是滿(mǎn)足；(5)無(wú)反饋運(yùn)算，運(yùn)算誤差小。無(wú)反饋運(yùn)算，運(yùn)算誤差小。4缺點(diǎn)：缺點(diǎn)： （1）因?yàn)闊o(wú)極點(diǎn)，要獲得好的過(guò)渡帶特性，需以較高的）因?yàn)闊o(wú)極點(diǎn)，要獲得好的過(guò)渡帶特性，需以較高的階數(shù)為代價(jià)；階數(shù)為代價(jià)； （2）無(wú)法利用模擬濾波器的設(shè)計(jì)結(jié)果，一般無(wú)解析設(shè)計(jì)）無(wú)法利用模擬濾波器的設(shè)計(jì)結(jié)果，一般無(wú)解析設(shè)計(jì) 公式，要借助計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)程序完成。公式，要借助計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)程序完成。55.1 5.1

4、線(xiàn)性相位線(xiàn)性相位FIRFIR數(shù)字濾波器的特性數(shù)字濾波器的特性5.1.1 5.1.1 線(xiàn)性相位的條件線(xiàn)性相位的條件線(xiàn)性相位意味著一個(gè)系統(tǒng)的相頻特性是頻率的線(xiàn)性函數(shù)，即線(xiàn)性相位意味著一個(gè)系統(tǒng)的相頻特性是頻率的線(xiàn)性函數(shù)，即: :( ) 式中式中 為常數(shù)，表示此時(shí)通過(guò)這一系統(tǒng)的各頻率分量的時(shí)為常數(shù)，表示此時(shí)通過(guò)這一系統(tǒng)的各頻率分量的時(shí)延；延；( )gdd 系統(tǒng)的系統(tǒng)的群時(shí)延群時(shí)延為為:6線(xiàn)性相位線(xiàn)性相位FIR濾波器的濾波器的DTFT為為 1()0Njj njjnH eh n eHeHe 式中式中 H()是是正或負(fù)的正或負(fù)的實(shí)函數(shù)實(shí)函數(shù)。等式中間和等式右邊的實(shí)。等式中間和等式右邊的實(shí)部與虛部應(yīng)當(dāng)各自相等

5、，同樣實(shí)部與虛部的比值應(yīng)當(dāng)相等部與虛部應(yīng)當(dāng)各自相等，同樣實(shí)部與虛部的比值應(yīng)當(dāng)相等: NnNnnnhnnhcossincossin 將上式兩邊交叉相乘，再將等式右邊各項(xiàng)移到左邊，應(yīng)將上式兩邊交叉相乘，再將等式右邊各項(xiàng)移到左邊，應(yīng)用三角函數(shù)的恒等關(guān)系得：用三角函數(shù)的恒等關(guān)系得： Nnnnhsin7滿(mǎn)足上式的條件是：滿(mǎn)足上式的條件是： 121,01Nh nh NnnN 另外一種情況另外一種情況是，除了上述的線(xiàn)性相位外，還有一附是，除了上述的線(xiàn)性相位外，還有一附加的相位，即：加的相位，即： ( ) 利用類(lèi)似的關(guān)系，可以得出：利用類(lèi)似的關(guān)系，可以得出： 1221Nh nh Nn ()gdd 系統(tǒng)的系統(tǒng)的

6、群時(shí)延群時(shí)延為為:8 20) 1( N 20) 5 . 0( N2 偶對(duì)稱(chēng)偶對(duì)稱(chēng))(nh 奇對(duì)稱(chēng)奇對(duì)稱(chēng))(nh圖圖5.1.1 線(xiàn)性相位特性線(xiàn)性相位特性95.1.2 線(xiàn)性相位線(xiàn)性相位FIR濾波器的幅度特性濾波器的幅度特性對(duì)于線(xiàn)性相位對(duì)于線(xiàn)性相位FIR濾波器濾波器h(n)有奇對(duì)有奇對(duì)稱(chēng)和偶對(duì)稱(chēng)兩種情稱(chēng)和偶對(duì)稱(chēng)兩種情況，且每種情況包況，且每種情況包含了含了N為奇數(shù)和偶為奇數(shù)和偶數(shù)數(shù)，所以共分所以共分四種四種情況情況:n0123 456h(n)(a)012345nh(n)(b)123456nh(n)(c)012345nh(n)(d)圖圖5.1.2 線(xiàn)性相位線(xiàn)性相位FIR濾波器濾波器h(n)的四種對(duì)稱(chēng)形

7、式的四種對(duì)稱(chēng)形式 101 1h(n) 偶對(duì)稱(chēng)，偶對(duì)稱(chēng)，h(n)=h(N-1-n)，N為奇數(shù)為奇數(shù) 。 1031122102312120( )1212jjNj nnNNNjj nj nNnnNNjjNnj nnH eHeh n eNh n eheh n eNh neehe n0123 456h(n)11 2121cos221)()(23021212302121NhNnnheNheenheeHNnNjNnjNnNnjNjj(3)/2011( )2 ( )cos22NnNNHhh nn1( )2N 12令令 ， 則則21Nnm2/ ) 1(1cos)21(221)(NmmmNhNhH21, 2 ,

8、1,212)(,21)0(NnnNhnaNha令：令： (1)/20( )cosNnHa nn則：則： 由于由于 偶對(duì)稱(chēng)，因此偶對(duì)稱(chēng)，因此 對(duì)這些頻對(duì)這些頻率也呈偶對(duì)稱(chēng)，有率也呈偶對(duì)稱(chēng)，有 。 Hcos0n關(guān)于， ，2( )(2)HH132 2h(n)偶對(duì)稱(chēng)，偶對(duì)稱(chēng)，h(n)=h(N-1-n)， N為偶數(shù)。為偶數(shù)。 120211201120112021cos21NnNjNnnNjnjNnnNjNnnjjNnnheeenhenNhenheH由于由于 ，所以：，所以：11( )cos (22NNh nn與都關(guān)于對(duì)稱(chēng) 1212 ( )cos2Nn NNHh nn012345nh(n)14/ 211(

9、 )cos2( )212NnHb nnNb nhn或?qū)憺椋夯驅(qū)憺椋?2/121cos122NmmmNhH令令 ，則，則12Nmn 由于由于 奇對(duì)稱(chēng)，所以奇對(duì)稱(chēng)，所以 關(guān)于關(guān)于 也為奇對(duì)稱(chēng)，有也為奇對(duì)稱(chēng)，有 。另由于。另由于 時(shí)，時(shí)， 因此，因此，處必有一零點(diǎn)，因此這種情況處必有一零點(diǎn)，因此這種情況不能用于設(shè)計(jì)不能用于設(shè)計(jì) 時(shí)時(shí) 的濾波器，如的濾波器，如高通、帶阻濾波器高通、帶阻濾波器。對(duì)2/1cosn1)(, 0)(zzHH在故 0H, 02/1cosnH（ ）( )(2)HH 153. 3. h(n)奇對(duì)稱(chēng)，奇對(duì)稱(chēng)，h(n)=-h(N-1-n)， N為奇數(shù)為奇數(shù) 23022123011212

10、3021sin2NnNjNnnNjnjNNnnjNnnjjNnnheeenhenhenheH0123456nh(n)16)21(sin)(2)(230NnNnnhH令令 n=m+(N-1)/2，得：，得： 2/ )1(1sin212NmmmNhH mmNhHNm211sin21217 由于由于 時(shí)，時(shí)， 相當(dāng)相當(dāng)于于H(z)在在 處有兩個(gè)零點(diǎn)，不能用于處有兩個(gè)零點(diǎn)，不能用于 的濾波器設(shè)計(jì)，故的濾波器設(shè)計(jì)，故不能用作低通、高通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)。不能用作低通、高通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)。1z2 , 0 , 0, 0sinHn 00)0(HH和121( )sin1( )22NnHc nnNc nhn所

11、以所以 由于由于 點(diǎn)呈奇對(duì)稱(chēng)，所以點(diǎn)呈奇對(duì)稱(chēng)，所以 對(duì)這些點(diǎn)也奇對(duì)稱(chēng)，有對(duì)這些點(diǎn)也奇對(duì)稱(chēng)，有 。2 , 0sin對(duì)n H (2)HH 184. 4. h(n)奇對(duì)稱(chēng)，奇對(duì)稱(chēng)，h(n)=-h(N-1-n)，N為偶數(shù)為偶數(shù) 12022121sin2NnNjjNnnheeH12Nnm令令)21(sin)12(2)(21NmmmNhH則：則：/ 211( )sin2NnHd nn( )212Nd nhn 即：即：012345nh(n)19四種線(xiàn)性相位四種線(xiàn)性相位FIR DF特性圖特性圖5.1.3，（參考，（參考 P193 表表5.1）第一種情況：偶、奇，四種濾波器都可設(shè)計(jì)。第一種情況：偶、奇，四種濾波

12、器都可設(shè)計(jì)。第三種情況：奇、奇，只能設(shè)計(jì)帶通濾波器，其它濾波器第三種情況：奇、奇，只能設(shè)計(jì)帶通濾波器，其它濾波器 都不能設(shè)計(jì)。都不能設(shè)計(jì)。第四種情況，奇、偶，可設(shè)計(jì)高通、帶通濾波器，不能設(shè)第四種情況，奇、偶，可設(shè)計(jì)高通、帶通濾波器，不能設(shè) 計(jì)低通和帶阻。計(jì)低通和帶阻。第二種情況：偶、偶，可設(shè)計(jì)低、帶通濾波器，不能設(shè)計(jì)高第二種情況：偶、偶，可設(shè)計(jì)低、帶通濾波器，不能設(shè)計(jì)高 通和帶阻。通和帶阻。 由于由于 在在=0,2處為零，所以處為零，所以H()在在=0, 2處為零，即處為零，即H(z)在在z=1上有零點(diǎn)，上有零點(diǎn)，不能用于不能用于 的濾波器的濾波器的設(shè)計(jì)，如的設(shè)計(jì)，如低通、帶阻低通、帶阻；又由

13、于；又由于H()關(guān)于關(guān)于=0,2呈奇對(duì)稱(chēng)，呈奇對(duì)稱(chēng)，關(guān)于關(guān)于=偶對(duì)稱(chēng)偶對(duì)稱(chēng)，所以有，所以有 。)21(sinn( )(2)HH0)0(H20圖圖5.1.3 5.1.3 四種線(xiàn)性相位四種線(xiàn)性相位FIRFIR濾波器濾波器21例例5.1 N=5, h (0) = h (1) = h (3) = h (4) = -1/2, h (2) = 2，求幅度函數(shù)求幅度函數(shù)H ()。所以：所以：a (0) = h (2) = 2， a (1) = 2h (3) = -1， a (2) = 2h (4) = -1則：則： H () = 2 - cos- cos2 = 2-(cos+cos2) 解解：已知條件：已知

14、條件：為奇數(shù)并為奇數(shù)并且且h(n)h(n)滿(mǎn)足偶對(duì)稱(chēng)，滿(mǎn)足偶對(duì)稱(chēng)，所以有所以有)21(2),21()cos()(02/ )1(0nNhaNhanaHnNnn22小結(jié)：小結(jié)：四種四種FIR數(shù)字濾波器的相位特性只取決于數(shù)字濾波器的相位特性只取決于h(n)的對(duì)稱(chēng)性，而與的對(duì)稱(chēng)性，而與h(n)的值無(wú)關(guān)。的值無(wú)關(guān)。幅度特性取決于幅度特性取決于h(n)。設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器時(shí)，在保證數(shù)字濾波器時(shí)，在保證h(n)對(duì)稱(chēng)的條對(duì)稱(chēng)的條件下，只要完成幅度特性的逼近即可。件下，只要完成幅度特性的逼近即可。注意：若注意：若h(n)為奇對(duì)稱(chēng)時(shí)，其相頻特性中還應(yīng)為奇對(duì)稱(chēng)時(shí)，其相頻特性中還應(yīng)加一個(gè)固定相移加一個(gè)固定相移/

15、2。235.1.3 線(xiàn)性相位線(xiàn)性相位FIR濾波器的零點(diǎn)特性濾波器的零點(diǎn)特性)1()(nNhnh由于線(xiàn)性相位由于線(xiàn)性相位FIRFIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)具有對(duì)稱(chēng)性，即：濾波器的單位脈沖響應(yīng)具有對(duì)稱(chēng)性，即： 101101)(NmmNNmmNzmhzzmhzH 11NH zzH z 101NnnznNh 10NnnznhzH則：則：24由該式可看出，若由該式可看出，若z=zi是是H(z)的零點(diǎn)，則的零點(diǎn)，則z=z-1i也一定是也一定是H(z)的零點(diǎn)。由于的零點(diǎn)。由于h(n)是實(shí)數(shù)，是實(shí)數(shù)，H(z)的零點(diǎn)還必須共軛的零點(diǎn)還必須共軛成成對(duì)，所以對(duì)，所以z=z*i 及及 z=1/z*i 也必是零點(diǎn)。也必是

16、零點(diǎn)。 所以所以線(xiàn)性相位濾波器的零點(diǎn)必須是互為倒數(shù)的共軛對(duì)，即線(xiàn)性相位濾波器的零點(diǎn)必須是互為倒數(shù)的共軛對(duì)，即成四出現(xiàn)成四出現(xiàn)，這種共軛對(duì)共有四種，這種共軛對(duì)共有四種可能的情況：可能的情況：既不在單位園上，也不在實(shí)軸上，有四個(gè)互為倒數(shù)的兩既不在單位園上，也不在實(shí)軸上，有四個(gè)互為倒數(shù)的兩組共軛對(duì)，組共軛對(duì)， zi，z*i，1/zi，1/z*i ； 圖圖5.1.4(a)， 在單位圓上，但不在實(shí)軸上，因倒數(shù)就是自己的共軛，在單位圓上，但不在實(shí)軸上，因倒數(shù)就是自己的共軛，所以有一對(duì)共軛零點(diǎn)，所以有一對(duì)共軛零點(diǎn)， zi , z*i 圖圖5.1.4(b)，不在單位圓上，但在實(shí)軸上，是實(shí)數(shù)不在單位圓上，但在實(shí)

17、軸上，是實(shí)數(shù),共軛就是自己，所共軛就是自己，所以有一對(duì)互為倒數(shù)的零點(diǎn)以有一對(duì)互為倒數(shù)的零點(diǎn), zi，1/zi； 圖圖5.1.4(c)，既在單位圓上，又在實(shí)軸上，共軛和倒數(shù)都合為一點(diǎn)，既在單位圓上，又在實(shí)軸上，共軛和倒數(shù)都合為一點(diǎn)，所以成單出現(xiàn)，只有兩種可能，所以成單出現(xiàn)，只有兩種可能，zi=1或或zi=-1圖圖5.1.4(d)。 25圖圖5.1.4 線(xiàn)性相位線(xiàn)性相位FIR濾波器的四種不同零點(diǎn)結(jié)構(gòu)濾波器的四種不同零點(diǎn)結(jié)構(gòu)26 我們從幅度響應(yīng)的討論中已經(jīng)知道我們從幅度響應(yīng)的討論中已經(jīng)知道: 對(duì)于第二種對(duì)于第二種FIR濾波器（濾波器（h(n)偶對(duì)稱(chēng)，偶對(duì)稱(chēng)，N為偶數(shù)），為偶數(shù)），H()=0 ，即，即

18、z=ej=- -1是是H()的零點(diǎn)，既在單位圓，又在實(shí)軸的零點(diǎn)，既在單位圓，又在實(shí)軸，所以，所以， 必有單根必有單根z=- -1 ； 同樣道理，對(duì)于第三種同樣道理，對(duì)于第三種FIR濾波器，濾波器，h(n)奇對(duì)稱(chēng)，奇對(duì)稱(chēng)，N為奇為奇數(shù)，因數(shù)，因H(0)=0, H()=0 ，所以，所以z=1，z=- -1都是都是H(z)的單根；的單根； 對(duì)于第四種濾波器，對(duì)于第四種濾波器，h(n)奇對(duì)稱(chēng)，奇對(duì)稱(chēng)，N為偶數(shù)，為偶數(shù)，H(0)=0，所以所以z=1是是H(z)的單根。的單根。 所以，所以，h(n)奇對(duì)稱(chēng)奇對(duì)稱(chēng)H(0)=0。 線(xiàn)性相位濾波器線(xiàn)性相位濾波器是是FIR濾波器中最重要的一種，應(yīng)用最濾波器中最重要

19、的一種，應(yīng)用最廣。實(shí)際使用時(shí)應(yīng)根據(jù)需用選擇其合適類(lèi)型，并在設(shè)計(jì)時(shí)遵廣。實(shí)際使用時(shí)應(yīng)根據(jù)需用選擇其合適類(lèi)型，并在設(shè)計(jì)時(shí)遵循其約束條件。循其約束條件。275.2 窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域） 如果希望得到的濾波器的理想頻率響應(yīng)為如果希望得到的濾波器的理想頻率響應(yīng)為 ，那么，那么 FIR濾波器的設(shè)計(jì)就在于尋找一個(gè)傳遞函數(shù)濾波器的設(shè)計(jì)就在于尋找一個(gè)傳遞函數(shù) 去逼近去逼近 。)(jdeH10)(NnjnjenheH)(jdeH窗口設(shè)計(jì)法窗口設(shè)計(jì)法(又稱(chēng)為時(shí)域逼近法）又稱(chēng)為時(shí)域逼近法）是從單位脈沖響應(yīng)序列著手，是從單位脈沖響應(yīng)序列著手，使使h(n)逼近理想的單位脈沖響應(yīng)序列逼近理想的單位脈沖響應(yīng)序

20、列hd(n)。我們知道。我們知道hd(n)可以可以從理想頻響通過(guò)傅氏反變換獲得：從理想頻響通過(guò)傅氏反變換獲得：1( )2jj nddh nHeed窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域逼近）窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域逼近）頻率采樣法（頻域逼近）頻率采樣法（頻域逼近）最優(yōu)化設(shè)計(jì)（等波紋逼近）最優(yōu)化設(shè)計(jì)（等波紋逼近）逼近方法有三種：逼近方法有三種：28 但一般來(lái)說(shuō)，理想頻響但一般來(lái)說(shuō)，理想頻響 是分段恒定，在邊界頻是分段恒定，在邊界頻率處有突變點(diǎn)，所以，這樣得到的理想單位脈沖響應(yīng)率處有突變點(diǎn)，所以，這樣得到的理想單位脈沖響應(yīng)hd(n)往往往都是無(wú)限長(zhǎng)序列，而且是非因果的。但往都是無(wú)限長(zhǎng)序列，而且是非因果的。但FIR的的h(n)是

21、有限長(zhǎng)是有限長(zhǎng)的，問(wèn)題是的，問(wèn)題是怎樣用一個(gè)有限長(zhǎng)的序列去近似無(wú)限長(zhǎng)的怎樣用一個(gè)有限長(zhǎng)的序列去近似無(wú)限長(zhǎng)的hd(n)。最簡(jiǎn)單的辦法是最簡(jiǎn)單的辦法是直接截取一段直接截取一段 hd(n) 代替代替 h(n) 。這種截取可。這種截取可以形象地想像為以形象地想像為h(n)是通過(guò)一個(gè)是通過(guò)一個(gè)“窗口窗口”所看到的一段所看到的一段hd(n)，因此，因此 ，h(n)也可表達(dá)為也可表達(dá)為hd(n)和一個(gè)和一個(gè)“窗函數(shù)窗函數(shù)”的乘積，即的乘積，即 在這里窗口函數(shù)就是矩形脈沖函數(shù)在這里窗口函數(shù)就是矩形脈沖函數(shù)RN(n)，當(dāng)然以后我們，當(dāng)然以后我們還可看到，為了改善設(shè)計(jì)濾波器的特性，窗函數(shù)還可以有其還可看到，為了改

22、善設(shè)計(jì)濾波器的特性，窗函數(shù)還可以有其它的形式，相當(dāng)于在矩形窗內(nèi)對(duì)它的形式，相當(dāng)于在矩形窗內(nèi)對(duì)hd(n)作一定的加權(quán)處理。作一定的加權(quán)處理。)(jdeH( )( )( )dh nw n h n29設(shè)計(jì)步驟：設(shè)計(jì)步驟：()( )jddHeh n設(shè)10)(NnjnjenheH1）由定義的求解方法：)(jeH2）卷積)()(21jjdeWeH)()(nheHdjd)()(nwnhd)(nh)(eHj設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是選設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是選擇何種形狀的窗擇何種形狀的窗以及窗的長(zhǎng)度以及窗的長(zhǎng)度N N。305.2.1 窗口函數(shù)對(duì)幅頻特性的影響窗口函數(shù)對(duì)幅頻特性的影響 以一個(gè)截止頻率為以一個(gè)截止頻率為c的線(xiàn)性相位理想低通

23、濾波器為例的線(xiàn)性相位理想低通濾波器為例,討討論論FIR的設(shè)計(jì)問(wèn)題。的設(shè)計(jì)問(wèn)題。a. 對(duì)于給定的理想低通濾波器對(duì)于給定的理想低通濾波器 ，計(jì)算，計(jì)算ha(n)(jdeHccjjdeeH01)(：低通濾波器的：低通濾波器的群群延時(shí)延時(shí)則則)()(sin(2121)(nndeedeeHnhcnjjnjjddcc31理想特性的理想特性的hd(n)和和Hd()(a)(b)圖5.2.1 理想特性的hd(n) 和Hd()32 這是一個(gè)以這是一個(gè)以 為中心的偶對(duì)稱(chēng)的無(wú)限長(zhǎng)非因果序列，如為中心的偶對(duì)稱(chēng)的無(wú)限長(zhǎng)非因果序列，如果截取一段果截取一段n=0N-1的的hd(n)作為作為h(n)，則為保證所得到的是，則為保

24、證所得到的是線(xiàn)性相位線(xiàn)性相位FIR濾波器，延時(shí)濾波器，延時(shí) 應(yīng)為應(yīng)為h(n)的中心點(diǎn)的中心點(diǎn),即即:2/ ) 1( N為其它值nNnonhnwnhnhdRd01)()()()(其中其中)()(nRnwNRb.計(jì)算計(jì)算( )h n33c.c.計(jì)算計(jì)算 : :)(jeH1()()*()2jjjdRH eHeW e設(shè)設(shè) 為窗口函數(shù)的頻譜為窗口函數(shù)的頻譜:)(jeWjjNNnnjnnjRjeeeenweW11)()(10)2/sin()2/sin(21NeNj用用幅度函數(shù)幅度函數(shù)和和相位函數(shù)相位函數(shù)來(lái)表示，則有來(lái)表示，則有jRjeWeW)()(其線(xiàn)性相位部分其線(xiàn)性相位部分 則是表示延時(shí)一半長(zhǎng)度則是表示

25、延時(shí)一半長(zhǎng)度je2/ ) 1( N34圖圖5.2.2 矩形窗序列矩形窗序列(n)=RN(n)及及WR()35理想頻響也可以寫(xiě)成幅度函數(shù)和相位函數(shù)的表示形式理想頻響也可以寫(xiě)成幅度函數(shù)和相位函數(shù)的表示形式其中幅度函數(shù)為其中幅度函數(shù)為|0|1)(ccdH()11()()*()()22jjjjjdRdRH eH eW eH eW ed deWeHjRjd)()()(21dWHeRdj)()(21對(duì)頻響起作用的是它的對(duì)頻響起作用的是它的幅度函數(shù)幅度函數(shù): 2/sin2/sinNWR( )( )( )dRh nh n wn()( )jjddHeHe36如果也以幅度函數(shù)如果也以幅度函數(shù) 和相位函數(shù)來(lái)表示和相

26、位函數(shù)來(lái)表示 H(ej),則：則：jjeHeH)()()(H則則設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)的FIR濾波器的濾波器的頻響的頻響的幅度函數(shù)幅度函數(shù)H()為為:dWHHRd)()(21)( 正好是理想濾波器正好是理想濾波器頻響的頻響的幅度函數(shù)與窗函數(shù)幅度函數(shù)與窗函數(shù)譜的譜的幅度函幅度函數(shù)的卷積。數(shù)的卷積。下面我們可以通過(guò)圖下面我們可以通過(guò)圖.3來(lái)看矩形窗卷積的過(guò)程來(lái)看矩形窗卷積的過(guò)程: :37圖圖5.2.3 5.2.3 矩形窗的卷積過(guò)程矩形窗的卷積過(guò)程384 4個(gè)特殊頻率點(diǎn)看卷積結(jié)果：個(gè)特殊頻率點(diǎn)看卷積結(jié)果：(a)=0時(shí)時(shí),H(0)等于等于在在-c, c內(nèi)的積分面積內(nèi)的積分面積)(RW 因一般因一般

27、 故故H(0)近似為近似為 在在-, 內(nèi)的積內(nèi)的積分面積。分面積。 Nc2)(RW(b)=c時(shí)，一半重疊，時(shí)，一半重疊， H(c)=0.5 H(0);(c) =c-2/N時(shí)，第一旁瓣時(shí)，第一旁瓣(負(fù)數(shù)負(fù)數(shù))在通帶外，出現(xiàn)正肩峰；在通帶外，出現(xiàn)正肩峰；(d) =c+2/N 時(shí)，第一旁瓣時(shí)，第一旁瓣(負(fù)數(shù)負(fù)數(shù))在通帶內(nèi)，出現(xiàn)負(fù)肩峰。在通帶內(nèi)，出現(xiàn)負(fù)肩峰。39窗口函數(shù)對(duì)理想特性的影響：窗口函數(shù)對(duì)理想特性的影響：改變了理想頻響的邊沿特性，形成改變了理想頻響的邊沿特性，形成過(guò)渡帶過(guò)渡帶，寬為，寬為 ，等于等于WR()的的主瓣寬度主瓣寬度 (決定于窗決定于窗的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度N和形狀和形狀) 。過(guò)渡帶兩旁產(chǎn)生過(guò)

28、渡帶兩旁產(chǎn)生肩峰和余振肩峰和余振(帶內(nèi)、帶外起伏帶內(nèi)、帶外起伏)，取決于，取決于WR()的的旁瓣旁瓣，旁瓣多，余振多；旁瓣相對(duì)值大，肩峰值亦大，旁瓣多，余振多；旁瓣相對(duì)值大，肩峰值亦大，與與 N無(wú)關(guān)無(wú)關(guān) (決定于窗口形狀決定于窗口形狀) 。N增加增加,過(guò)渡帶寬過(guò)渡帶寬度度減小減小,肩峰值不變。肩峰值不變。N4因主瓣附近因主瓣附近 其中其中x=N/2,所以所以N的改變不能改變主瓣與旁瓣的比例關(guān)的改變不能改變主瓣與旁瓣的比例關(guān)系，只能改變系，只能改變WR()的絕對(duì)值大小和起伏的密度的絕對(duì)值大小和起伏的密度，當(dāng)，當(dāng)N增加時(shí)，增加時(shí)， WR()幅值變大，寬度幅值變大，寬度( )減小，面積不變，起伏震蕩

29、變減小，面積不變，起伏震蕩變密，且最大肩峰永遠(yuǎn)為密，且最大肩峰永遠(yuǎn)為8.95%，這種現(xiàn)象稱(chēng)為吉布斯（，這種現(xiàn)象稱(chēng)為吉布斯（Gibbs）效應(yīng)。效應(yīng)。xxNNNNNWRsin2/)2/sin()2/sin()2/sin()(2/ N40051-40-30-21-100N=15N=31用矩形窗設(shè)計(jì)的用矩形窗設(shè)計(jì)的 c= /2 FIR濾波器的幅度響應(yīng)濾波器的幅度響應(yīng)圖圖5.2.4 矩形窗設(shè)計(jì)的矩形窗設(shè)計(jì)的FIR濾波器濾波器41 肩峰值的大小決定了濾波器通帶內(nèi)的平穩(wěn)程度和阻帶內(nèi)肩峰值的大小決定了濾波器通帶內(nèi)的平穩(wěn)程度和阻帶內(nèi)的衰減，所以對(duì)濾波器的性能有很大的影響。的衰減，所以對(duì)濾波器

30、的性能有很大的影響。 改變窗函數(shù)改變窗函數(shù)的形狀，可改善濾波器的特性，窗函數(shù)有許的形狀，可改善濾波器的特性，窗函數(shù)有許多種，但多種，但要滿(mǎn)足以下兩點(diǎn)要求要滿(mǎn)足以下兩點(diǎn)要求：窗譜主瓣寬度要窄，以獲得較陡的過(guò)渡帶；窗譜主瓣寬度要窄，以獲得較陡的過(guò)渡帶； 相對(duì)于主瓣幅度，旁瓣要盡可能小，使能量盡量集中相對(duì)于主瓣幅度，旁瓣要盡可能小，使能量盡量集中在主瓣中，這樣就可以減小肩峰和余振，以提高阻帶衰減和在主瓣中，這樣就可以減小肩峰和余振，以提高阻帶衰減和通帶平穩(wěn)性。通帶平穩(wěn)性。 但實(shí)際上這兩點(diǎn)不能兼得，一般總是通過(guò)增加主瓣寬度但實(shí)際上這兩點(diǎn)不能兼得，一般總是通過(guò)增加主瓣寬度來(lái)?yè)Q取對(duì)旁瓣的抑制。來(lái)?yè)Q取對(duì)旁瓣

31、的抑制。42幾種常用的窗函數(shù)：幾種常用的窗函數(shù)：1. 矩形窗，上面已講過(guò)，不再細(xì)述矩形窗，上面已講過(guò)，不再細(xì)述2. 漢寧窗（升余弦窗）漢寧窗（升余弦窗）)(12cos1 21)(nRNnnwN)(25.0)(5.01212nReenRNNnjNnjN 利用傅氏變換的移位特性，漢寧窗頻譜的幅度函數(shù)利用傅氏變換的移位特性，漢寧窗頻譜的幅度函數(shù)W()可用矩形窗的幅度函數(shù)表示為：可用矩形窗的幅度函數(shù)表示為： 211221122121121225. 05 . 011225. 05 . 0NjRRRNNjRNNjRNjRjeNWNWWeNWeNWeWeW43)12()12(25. 0)(5 . 0)(NW

32、NWWWRRR 三部分矩形窗頻譜相加，使旁瓣互相抵消三部分矩形窗頻譜相加，使旁瓣互相抵消，能量集中，能量集中在主瓣，旁瓣大大減小，在主瓣，旁瓣大大減小，主瓣寬度增加主瓣寬度增加1倍，為倍，為 ，見(jiàn)，見(jiàn)圖圖5.2.5。8N當(dāng)N1時(shí)，N-1N,因此幅度函數(shù)近似為：)2()2(25. 0)(5 . 0)(NWNWWWRRR44圖圖 5.2.5 漢寧窗頻譜漢寧窗頻譜453. 漢明窗（改進(jìn)的升余弦窗）漢明窗（改進(jìn)的升余弦窗）)(12cos46.054.0)(nRNnnwN 它是對(duì)漢寧窗的改進(jìn)，在主瓣寬度它是對(duì)漢寧窗的改進(jìn)，在主瓣寬度( (對(duì)應(yīng)第一零點(diǎn)的寬度對(duì)應(yīng)第一零點(diǎn)的寬度) )相同相同( )( )的情

33、況下，旁瓣進(jìn)一步減小，可使的情況下，旁瓣進(jìn)一步減小，可使99.96%99.96%的能量集的能量集中在窗譜的主瓣內(nèi)；旁瓣峰值近小于主瓣的中在窗譜的主瓣內(nèi)；旁瓣峰值近小于主瓣的1%1%。8N4. 布萊克曼窗（三階升余弦窗）布萊克曼窗（三階升余弦窗）)(14cos08.012cos5.042.0)(nRNnNnnwN 增加一個(gè)二次諧波余弦分量，可進(jìn)一步降低旁瓣，但主增加一個(gè)二次諧波余弦分量，可進(jìn)一步降低旁瓣，但主瓣寬度進(jìn)一步增加，為瓣寬度進(jìn)一步增加，為 。增加。增加N可減少過(guò)渡帶?？蓽p少過(guò)渡帶。頻譜的幅度函數(shù)為：頻譜的幅度函數(shù)為：)12()12(25. 0)(42. 0)(NWNWWWRRR)14(

34、)14(04. 0NWNWRR12N46 圖圖5.2.6 四種常用的窗函數(shù)四種常用的窗函數(shù)矩形窗矩形窗 漢寧窗漢寧窗 漢明窗漢明窗 布萊克曼窗布萊克曼窗47圖圖5.2.7 四種常用的窗函數(shù)的頻譜（四種常用的窗函數(shù)的頻譜（N=51） A=20lg|W()/W(0)|485 . 051cN圖圖5.2.8 5.2.8 四種窗口在同一指標(biāo)下設(shè)計(jì)的濾波起的頻率特性四種窗口在同一指標(biāo)下設(shè)計(jì)的濾波起的頻率特性49表表5.2 四種不同窗函數(shù)的性能比較四種不同窗函數(shù)的性能比較505.凱塞窗凱塞窗 以上四種窗函數(shù)，都是以增加主瓣寬度為代價(jià)來(lái)降低以上四種窗函數(shù)，都是以增加主瓣寬度為代價(jià)來(lái)降低旁瓣。旁瓣。凱塞窗則可自

35、由選擇主瓣寬度和旁瓣衰減凱塞窗則可自由選擇主瓣寬度和旁瓣衰減。 101/211)(2NnINnInwooI0(x)是零階修正貝塞爾函數(shù)，參數(shù)是零階修正貝塞爾函數(shù)，參數(shù)可自由選擇，可自由選擇，決定主瓣決定主瓣寬度與寬度與 旁瓣衰減旁瓣衰減。越大，越大，w(n)窗越窄，窗越窄，旁瓣變小，旁瓣變小，但其頻但其頻譜的主瓣變寬。一般取譜的主瓣變寬。一般取 4N時(shí)，時(shí)， hM(n)hd(n)54286. 2821,05021),21(07886. 0)21(5842. 050),7 . 8(1102. 04 . 0AtNdBAtdBAtdBAtAtdBAtAt 當(dāng)給定當(dāng)給定（過(guò)渡帶寬）和過(guò)渡帶寬）和AtA

36、t（阻帶最小衰減）時(shí)，參數(shù)（阻帶最小衰減）時(shí)，參數(shù)和濾波器的長(zhǎng)度和濾波器的長(zhǎng)度N N可用以下經(jīng)驗(yàn)公式?？捎靡韵陆?jīng)驗(yàn)公式。零階貝塞爾函數(shù)零階貝塞爾函數(shù)210!)2/(1)(kkkxxI55解解：首先求解：首先求解hd(n) ，根據(jù)指標(biāo)要求其截止頻率應(yīng)為，根據(jù)指標(biāo)要求其截止頻率應(yīng)為1()2sin(),()/ccjjndcchneednnnn ,2 . 0cr302 . 0285. 2850N55. 4)7 . 850(1102. 0,21N 例例2：用凱塞窗設(shè)計(jì)一：用凱塞窗設(shè)計(jì)一FIR低通濾波器，低通邊界頻率低通濾波器，低通邊界頻率為為 ,阻帶邊界頻率為阻帶邊界頻率為r=0.5，阻帶衰減，阻帶衰減

37、At不小于不小于50dB。0.3c22crc 56圖圖5.2.11 5.2.11 凱塞窗設(shè)計(jì)舉例凱塞窗設(shè)計(jì)舉例圖圖(a)為為N=30直接截取的頻率特性，直接截取的頻率特性， 圖圖(b)為凱塞窗設(shè)計(jì)的頻率特為凱塞窗設(shè)計(jì)的頻率特性。性。57補(bǔ)例：補(bǔ)例：323 10/prad s 321.5 10/rrad s 15sFkHz用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)具有線(xiàn)性相位的用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)具有線(xiàn)性相位的FIR高通濾波器，通帶高通濾波器，通帶截止頻率截止頻率，阻阻帶截止頻率帶截止頻率，阻帶衰減不小于，阻帶衰減不小于50dB，（1）請(qǐng)選擇合適的窗函數(shù)，并確定窗函數(shù)的長(zhǎng)度；請(qǐng)選擇合適的窗函數(shù)，并確定窗函數(shù)的長(zhǎng)

38、度；( )dh n（2）理想濾波器的單位脈沖響應(yīng)）理想濾波器的單位脈沖響應(yīng) （3）該）該FIR數(shù)字濾波的相位延遲是多少？數(shù)字濾波的相位延遲是多少？ 采樣頻率采樣頻率解解（1）50,AtdB 選擇漢明窗,()0.2ppsrrsprprsTTTrad 對(duì)于漢明窗對(duì)于漢明窗6.66.6,33,=3334NNN取或580.20.4(2)0.322prc 2()011( )()22sin()()()( 1)ccjj njj ncnddjcch nHeedeedenSa nn 情況情況1 1：情況情況2 2：N21Na)(nhda為奇數(shù)，為奇數(shù)，為整數(shù)，為整數(shù)，關(guān)于關(guān)于偶對(duì)稱(chēng)。偶對(duì)稱(chēng)。為第一種類(lèi)型線(xiàn)性相位

39、濾波器。為第一種類(lèi)型線(xiàn)性相位濾波器。N21Na)(nhda為偶數(shù)，為偶數(shù)，不是整數(shù)，不是整數(shù)，關(guān)于關(guān)于奇對(duì)稱(chēng)，奇對(duì)稱(chēng)，為第四種類(lèi)型線(xiàn)性相位濾波器。為第四種類(lèi)型線(xiàn)性相位濾波器。591(3)2Nmin( ) 01( )( )( )0ddhangh nnNh nh nRnn取其它60MATLAB程序：小結(jié)：小結(jié)： 窗口設(shè)計(jì)法的優(yōu)點(diǎn)：設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，可以設(shè)計(jì)任意頻率特窗口設(shè)計(jì)法的優(yōu)點(diǎn)：設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，可以設(shè)計(jì)任意頻率特性的濾波器，因而很實(shí)用。性的濾波器，因而很實(shí)用。 缺點(diǎn)：通帶和阻帶的邊界頻率不易控制，長(zhǎng)度缺點(diǎn)：通帶和阻帶的邊界頻率不易控制，長(zhǎng)度N不易不易一次決定，需反復(fù)幾次才能求得滿(mǎn)意結(jié)果。一次決定，需反復(fù)幾次

40、才能求得滿(mǎn)意結(jié)果。615.3 頻率采樣法頻率采樣法 一個(gè)有限長(zhǎng)序列，可以通過(guò)其頻譜的相同長(zhǎng)度的等間一個(gè)有限長(zhǎng)序列，可以通過(guò)其頻譜的相同長(zhǎng)度的等間隔采樣值準(zhǔn)確地恢復(fù)原有的序列。頻率采樣法便是從頻域隔采樣值準(zhǔn)確地恢復(fù)原有的序列。頻率采樣法便是從頻域出發(fā)，對(duì)理想的頻率響應(yīng)加以等間隔采樣，并以此作為實(shí)出發(fā)，對(duì)理想的頻率響應(yīng)加以等間隔采樣，并以此作為實(shí)際際FIR濾波器的頻響特性的離散樣本值。濾波器的頻響特性的離散樣本值。一、基本思想一、基本思想 使所設(shè)計(jì)的使所設(shè)計(jì)的FIR數(shù)字濾波器的頻率特性在某些離散頻數(shù)字濾波器的頻率特性在某些離散頻率點(diǎn)上的值準(zhǔn)確地等于理想濾波器在這些頻率點(diǎn)處的值，率點(diǎn)上的值準(zhǔn)確地等于

41、理想濾波器在這些頻率點(diǎn)處的值，在其它頻率處的特性則有較好的逼近。在其它頻率處的特性則有較好的逼近。jnhNIDFTNNkjdjdeHnhkHeHeHd )(2)()(不同于點(diǎn)點(diǎn)頻率取樣確定內(nèi)插公式內(nèi)插公式62二二.設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)方法1）確定kkH、,)()(2kjkNkjdeHkHeH1, 1 , 0Nk2）計(jì)算)(nh,)(1)(10/2NkNnkjekHNnh1, 1 , 0Nn3）計(jì)算)( ZH112/10011( )( )( )1NNNnjk NnkzH zh n zH kNez63三、逼近誤差三、逼近誤差 由由 或或 H(z)。 由上述設(shè)計(jì)過(guò)程得到的由上述設(shè)計(jì)過(guò)程得到的 與與 的逼近程

42、度，的逼近程度，以及以及 與與H(k)的關(guān)系？的關(guān)系？jkkeHkHH)(,jeHjdeHjeH由由1, 1 , 0,)(1)(10/2NnekHNnhNkNnkj1010/210)(1)()(NnnNkNnkjNnnzekHNznhzH得得641/21011)(1zezkHNNkjNNk令令 ，則，則1011)(1)(NkkNzWkHNzzHNjeW/210/210)(1NnnNnkjNkzekHN65單位圓上的頻響為：?jiǎn)挝粓A上的頻響為：12/01( )1jNNjkjkjNHeeH kNee10212/2sin2/sin)(1NkNkNjeNkNkHN10()()NjkkHke這是一個(gè)內(nèi)插公

43、式。這是一個(gè)內(nèi)插公式。66式中式中NkNjjkeNkNNe212/2sin)2/sin(1為內(nèi)插函數(shù)為內(nèi)插函數(shù)令令, 1, 1 , 0,2NiiN則則kikieiNjk01)(2所以：所以：121200( )()( )()0,0,1,2,1NNjijNkkikNH kikH eH keik iN67內(nèi)插公式表明：內(nèi)插公式表明： 1、在每個(gè)采樣點(diǎn)上，、在每個(gè)采樣點(diǎn)上， 逼近誤差為零，逼近誤差為零，頻響頻響 嚴(yán)格地與理想頻響的采樣值嚴(yán)格地與理想頻響的采樣值H(k)相等；相等；)()(kHeHkj)(jeH 2、在采樣點(diǎn)之間，頻響由各采樣點(diǎn)的內(nèi)插函數(shù)延伸迭加、在采樣點(diǎn)之間，頻響由各采樣點(diǎn)的內(nèi)插函數(shù)延

44、伸迭加而形成，因而有一定的逼近誤差，誤差大小與理想頻率響應(yīng)而形成，因而有一定的逼近誤差，誤差大小與理想頻率響應(yīng)的曲線(xiàn)形狀有關(guān)，的曲線(xiàn)形狀有關(guān)，理想特性平滑，則誤差小理想特性平滑，則誤差小；反之，誤差大。；反之，誤差大。在理想頻率響應(yīng)的不連續(xù)點(diǎn)附近，在理想頻率響應(yīng)的不連續(xù)點(diǎn)附近， 會(huì)產(chǎn)生肩峰和波會(huì)產(chǎn)生肩峰和波紋。紋。)(jeH3、N增大，則采樣點(diǎn)變密，逼近誤差減小。增大，則采樣點(diǎn)變密，逼近誤差減小。68圖圖5.3.1 5.3.1 頻率采樣的不同頻率特性頻率采樣的不同頻率特性69四、四、 約束條件約束條件 為了設(shè)計(jì)線(xiàn)性相位的為了設(shè)計(jì)線(xiàn)性相位的FIR濾波器，采樣值濾波器，采樣值 H(k)要滿(mǎn)足要滿(mǎn)足

45、一定的約束條件。一定的約束條件。 前已指出前已指出,具有線(xiàn)性相位的具有線(xiàn)性相位的FIR濾波器，其單位脈沖響應(yīng)濾波器，其單位脈沖響應(yīng)h(n)是實(shí)序列，且滿(mǎn)足是實(shí)序列，且滿(mǎn)足 ，由此得到的，由此得到的幅頻和相頻特性，就是對(duì)幅頻和相頻特性，就是對(duì)H(k)的約束的約束(P193表表5.1)。)1()(nNhnh (1)若若要設(shè)計(jì)第一類(lèi)線(xiàn)性相位要設(shè)計(jì)第一類(lèi)線(xiàn)性相位FIR濾波器，即濾波器，即N為奇數(shù)，為奇數(shù)，h(n)偶對(duì)稱(chēng)，則偶對(duì)稱(chēng)，則:21)(NjjeHeH幅度函數(shù)幅度函數(shù)H()應(yīng)具有偶對(duì)稱(chēng)性：應(yīng)具有偶對(duì)稱(chēng)性：)2()( HH70kjkeHkH)(令：令：則則 必須滿(mǎn)足偶對(duì)稱(chēng)性：必須滿(mǎn)足偶對(duì)稱(chēng)性：,kN

46、kHHkH1, 1 , 0Nk而而 必須取為：必須取為：k,) 1(212NkNNkNk1, 1 , 0Nk (2)若要設(shè)計(jì)第二種線(xiàn)性相位若要設(shè)計(jì)第二種線(xiàn)性相位FIR濾波器，即濾波器，即N為偶數(shù)，為偶數(shù)，h(n)偶對(duì)稱(chēng)，由于幅度特性是奇對(duì)稱(chēng)的，偶對(duì)稱(chēng)，由于幅度特性是奇對(duì)稱(chēng)的， 2HH71因此，因此，Hk 也必須滿(mǎn)足奇對(duì)稱(chēng)性：也必須滿(mǎn)足奇對(duì)稱(chēng)性：,kNkHH1, 1 , 0Nk相位關(guān)系同上，相位關(guān)系同上，1, 1 , 0,) 1(NkNkNk 其它兩種線(xiàn)性相位其它兩種線(xiàn)性相位FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，同樣也要數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，同樣也要滿(mǎn)足幅度與相位的約束條件滿(mǎn)足幅度與相位的約束條件 (3)若要設(shè)計(jì)

47、第三種線(xiàn)性相位若要設(shè)計(jì)第三種線(xiàn)性相位FIR濾波器，即濾波器，即N為奇數(shù)，為奇數(shù)，h(n)奇對(duì)稱(chēng)，由于幅度特性是奇對(duì)稱(chēng)的，奇對(duì)稱(chēng)，由于幅度特性是奇對(duì)稱(chēng)的， 2HH72因此，因此，Hk 也必須滿(mǎn)足奇對(duì)稱(chēng)性：也必須滿(mǎn)足奇對(duì)稱(chēng)性：,kNkHH1, 1 , 0Nk1, 1 , 0,2) 1(NkNkNk (4)若要設(shè)計(jì)第四種線(xiàn)性相位若要設(shè)計(jì)第四種線(xiàn)性相位FIR濾波器，即濾波器，即N為偶數(shù)，為偶數(shù)，h(n)奇對(duì)稱(chēng)，由于幅度特性是偶對(duì)稱(chēng)的，奇對(duì)稱(chēng)，由于幅度特性是偶對(duì)稱(chēng)的， 2HH則則 必須滿(mǎn)足偶對(duì)稱(chēng)性：必須滿(mǎn)足偶對(duì)稱(chēng)性：kH,kNkHH1, 1 , 0Nk相位關(guān)系如下，相位關(guān)系如下，1, 1 , 0,2)

48、1(NkNkNk73例例5.6：利用頻率采樣法設(shè)計(jì)一個(gè)線(xiàn)性相位利用頻率采樣法設(shè)計(jì)一個(gè)線(xiàn)性相位FIR數(shù)字?jǐn)?shù)字 LP 濾波濾波器，其理想特性為器，其理想特性為 采樣點(diǎn)數(shù)采樣點(diǎn)數(shù) N=33。5 .005 .001jdeH 解解：根據(jù)：根據(jù)P.193的表的表5.1，能設(shè)計(jì)低通線(xiàn)性相位數(shù)字濾波器，能設(shè)計(jì)低通線(xiàn)性相位數(shù)字濾波器的只有的只有1、2兩種，因兩種，因N為奇數(shù)，所以為奇數(shù)，所以只能選擇第一種只能選擇第一種。即即 h(n)=h(N-1-n)，N為奇數(shù)為奇數(shù); 幅頻特性關(guān)于幅頻特性關(guān)于偶對(duì)稱(chēng)偶對(duì)稱(chēng)，也即，也即 HK 偶對(duì)稱(chēng)偶對(duì)稱(chēng),HK =HN-K。用。用 HK 的對(duì)稱(chēng)性的對(duì)稱(chēng)性,求求2區(qū)間的頻響采樣值

49、。區(qū)間的頻響采樣值。 根據(jù)指標(biāo)要求，在根據(jù)指標(biāo)要求，在02內(nèi)有內(nèi)有33個(gè)取樣點(diǎn)，所以第個(gè)取樣點(diǎn)，所以第k點(diǎn)對(duì)點(diǎn)對(duì)應(yīng)頻率為應(yīng)頻率為 而截止頻率而截止頻率 0.5位于位于 之間，所以，之間，所以，k=08時(shí)，取樣值為時(shí)，取樣值為1（為通帶）（為通帶）；k33293328332和74258HH033,HH132,HH 故故 k=2532時(shí)，取樣值也為時(shí)，取樣值也為1，其余樣本值為，其余樣本值為0；因；因 k=33 為下一周期，所以為下一周期，所以0區(qū)間有區(qū)間有9個(gè)值為個(gè)值為 1的采樣點(diǎn)，的采樣點(diǎn)，2區(qū)區(qū)間有間有8個(gè)值為個(gè)值為 1 的采樣點(diǎn)，因此：的采樣點(diǎn)，因此：圖圖5.3.2 過(guò)渡帶不設(shè)采樣點(diǎn)設(shè)計(jì)實(shí)

50、例過(guò)渡帶不設(shè)采樣點(diǎn)設(shè)計(jì)實(shí)例 根據(jù)對(duì)稱(chēng)性：根據(jù)對(duì)稱(chēng)性：kN kHH7532033322124903225;8012kkNkkHkNkk將將 代入內(nèi)插公式，求代入內(nèi)插公式，求H(ej)：kjkeHkH)(321160sin/21sin2/2kkNjjkjNNkHNH eeeNk N163202/33/2sin33233sin331jkkekkH76考慮到考慮到8k25時(shí)時(shí) Hk=0，而其它，而其它k時(shí)，時(shí)，Hk=1,令令 k=33-n，則，則32252/33/2sin33233sinkkkkH8133/)33(2sin33)33(233sinnnn8811sin 33sin 33233233sin

51、sin233233nnnnnn81332sin33233sin332sin33233sin2sin233sin331)(kjkkkkeH77圖圖5.3.3 過(guò)渡采樣點(diǎn)不同的三個(gè)過(guò)渡采樣點(diǎn)不同的三個(gè)FIR濾波器設(shè)計(jì)實(shí)例濾波器設(shè)計(jì)實(shí)例 78 從圖上從圖上 (b)可以看出，其過(guò)渡帶寬為一個(gè)頻率采樣間可以看出，其過(guò)渡帶寬為一個(gè)頻率采樣間隔隔 2/33，而最小阻帶衰減略小于，而最小阻帶衰減略小于20dB。 對(duì)大多數(shù)應(yīng)用場(chǎng)合，阻帶衰減如此小的濾波器是不能對(duì)大多數(shù)應(yīng)用場(chǎng)合，阻帶衰減如此小的濾波器是不能令人滿(mǎn)意的。令人滿(mǎn)意的。 增大阻帶衰減三種方法：增大阻帶衰減三種方法：1）增加過(guò)渡帶寬）增加過(guò)渡帶寬，以犧牲

52、過(guò)渡帶換取阻帶衰減的增加。，以犧牲過(guò)渡帶換取阻帶衰減的增加。 例如在本例中可在例如在本例中可在k=9和和k=24處各增加一個(gè)過(guò)渡帶采處各增加一個(gè)過(guò)渡帶采樣點(diǎn)樣點(diǎn)H9=H24=0.5(如如圖圖 (c)所示所示 )，使過(guò)渡帶寬增加到二個(gè)頻，使過(guò)渡帶寬增加到二個(gè)頻率采樣間隔率采樣間隔4/33，重新計(jì)算的，重新計(jì)算的H(ej)見(jiàn)圖見(jiàn)圖 (d)，其阻帶衰減，其阻帶衰減增加到約增加到約 -40dB。 根據(jù)根據(jù)H(ej)的表達(dá)式，的表達(dá)式，H(ej)是是Hk的線(xiàn)性函數(shù)，因此還可以的線(xiàn)性函數(shù)，因此還可以利用線(xiàn)性最優(yōu)化的方法確定過(guò)渡帶采樣點(diǎn)的值，得到要求的濾利用線(xiàn)性最優(yōu)化的方法確定過(guò)渡帶采樣點(diǎn)的值，得到要求的濾

53、波器的最佳逼近（而不是盲目地設(shè)定一個(gè)過(guò)渡帶值）。波器的最佳逼近（而不是盲目地設(shè)定一個(gè)過(guò)渡帶值）。 例如，本例中可以用簡(jiǎn)單的梯度搜索法來(lái)選擇例如，本例中可以用簡(jiǎn)單的梯度搜索法來(lái)選擇H9、H24,使使通帶或阻帶內(nèi)的最大絕對(duì)誤差最小化。通帶或阻帶內(nèi)的最大絕對(duì)誤差最小化。 2）過(guò)渡帶的優(yōu)化設(shè)計(jì)）過(guò)渡帶的優(yōu)化設(shè)計(jì)79 要求使阻帶內(nèi)最大絕對(duì)誤差達(dá)到最?。ㄒ布醋钚∷p達(dá)要求使阻帶內(nèi)最大絕對(duì)誤差達(dá)到最小（也即最小衰減達(dá)到最大），可計(jì)算得到最大），可計(jì)算得H9=0.3904。對(duì)應(yīng)的。對(duì)應(yīng)的 H(ej)的幅頻特性，的幅頻特性，比比H9=0.5時(shí)時(shí) 的阻帶衰減大大改善的阻帶衰減大大改善,衰減約衰減約-50dB 。如

54、果還要進(jìn)。如果還要進(jìn)一步改善阻帶衰減，可以進(jìn)一步加寬過(guò)渡區(qū)，添上第二個(gè)甚一步改善阻帶衰減，可以進(jìn)一步加寬過(guò)渡區(qū)，添上第二個(gè)甚至第三個(gè)不等于至第三個(gè)不等于0的頻率取樣值，當(dāng)然也可用線(xiàn)性最優(yōu)化求取的頻率取樣值，當(dāng)然也可用線(xiàn)性最優(yōu)化求取這些取樣值。這些取樣值。 3）增大）增大N 如果要進(jìn)一步增加阻帶衰減，但又不增加過(guò)渡帶寬，可增如果要進(jìn)一步增加阻帶衰減，但又不增加過(guò)渡帶寬，可增加采樣點(diǎn)數(shù)加采樣點(diǎn)數(shù)N。 例如，同樣邊界頻率例如，同樣邊界頻率c=0.5 , 以以N=65采樣，并在采樣，并在k=17和和k=48插入由阻帶衰減最優(yōu)化計(jì)算得到的采樣值插入由阻帶衰減最優(yōu)化計(jì)算得到的采樣值H17=H48=0.58

55、86,在在k=18、47處插入經(jīng)阻帶衰減最優(yōu)化計(jì)算獲得的采樣值處插入經(jīng)阻帶衰減最優(yōu)化計(jì)算獲得的采樣值H18=H47=0.1065 , 這時(shí)得到的這時(shí)得到的H(ej)，過(guò)渡帶為，過(guò)渡帶為6/65，而阻帶衰，而阻帶衰減增加了減增加了20多分貝，達(dá)多分貝，達(dá)-60dB以上以上(如圖如圖 (e)所示所示) ，當(dāng)然，代價(jià)，當(dāng)然，代價(jià)是濾波器階數(shù)增加，運(yùn)算量增加。是濾波器階數(shù)增加，運(yùn)算量增加。 80N=65;k=0:(N-1)/2;Wm=2*pi*k./N;Ad(1:(N+1)/2)=1;Ad(18)=0.5886;Ad(19)=0.1065;Ad(20:33)=0;Hd=Ad.*exp(-j*0.5*(

56、N-1)*Wm);Hd=Hd conj(fliplr( Hd(2:(N+1)/2) ) );h=real(ifft(Hd);w=linspace(0,pi-0.1,1000);H=freqz(h,1,w);plot(w/pi,20*log10(abs(H);grid;MATLAB程序：8182頻率采樣設(shè)計(jì)法優(yōu)點(diǎn)：頻率采樣設(shè)計(jì)法優(yōu)點(diǎn)： 直接從頻域進(jìn)行設(shè)計(jì)，物理概念清楚，直觀方便；直接從頻域進(jìn)行設(shè)計(jì)，物理概念清楚，直觀方便； 適合于窄帶濾波器設(shè)計(jì)，這時(shí)頻率響應(yīng)只有少數(shù)幾個(gè)非適合于窄帶濾波器設(shè)計(jì)，這時(shí)頻率響應(yīng)只有少數(shù)幾個(gè)非零值。零值。典型應(yīng)用：用一串窄帶濾波器組成多卜勒雷達(dá)接收機(jī)，覆蓋典型應(yīng)用：用一

57、串窄帶濾波器組成多卜勒雷達(dá)接收機(jī)，覆蓋不同的頻段，多卜勒頻偏可反映被測(cè)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)速度；不同的頻段，多卜勒頻偏可反映被測(cè)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)速度； 缺點(diǎn)：截止頻率難以控制。缺點(diǎn)：截止頻率難以控制。 因頻率取樣點(diǎn)都局限在因頻率取樣點(diǎn)都局限在2/N的整數(shù)倍點(diǎn)上，所以在指定的整數(shù)倍點(diǎn)上，所以在指定通帶和阻帶截止頻率時(shí)，這種方法受到限制，比較死板。通帶和阻帶截止頻率時(shí)，這種方法受到限制，比較死板。 充分加大充分加大N，可以接近任何給定的頻率，但計(jì)算量和復(fù)雜性，可以接近任何給定的頻率，但計(jì)算量和復(fù)雜性增加。增加。小結(jié)：小結(jié)：83例例5.7：設(shè)計(jì)一個(gè)線(xiàn)性相位設(shè)計(jì)一個(gè)線(xiàn)性相位FIR數(shù)字?jǐn)?shù)字帶通帶通 濾波器，其理想特濾波

58、器，其理想特性為性為 采樣點(diǎn)數(shù)采樣點(diǎn)數(shù) N=32。10.20.60jdHe其它 根據(jù)指標(biāo)要求，在根據(jù)指標(biāo)要求，在02內(nèi)有內(nèi)有32個(gè)取樣點(diǎn)，所以頻率間隔個(gè)取樣點(diǎn)，所以頻率間隔為為 下邊界頻率下邊界頻率 0.2位于位于 之間，上邊界頻率之間，上邊界頻率0.6位于位于 之間。之間。23222343232和229103232和 解解：根據(jù)：根據(jù)P.193的表的表5.1，能設(shè)計(jì)帶通線(xiàn)性相位數(shù)字濾波器，能設(shè)計(jì)帶通線(xiàn)性相位數(shù)字濾波器的有的有1、2、3三三種，因種，因N為偶數(shù)，所以為偶數(shù)，所以只能選擇第二種只能選擇第二種。即即 幅頻特性關(guān)于幅頻特性關(guān)于奇對(duì)稱(chēng)奇對(duì)稱(chēng)，也即，也即 。下面求。下面求2區(qū)區(qū)間的頻響采

59、樣值。間的頻響采樣值。-kN kHH 84-kN kHH 根據(jù)對(duì)稱(chēng)性：根據(jù)對(duì)稱(chēng)性：故故 k=49時(shí)，取樣值為時(shí)，取樣值為1， k=2328 ，取樣值為，取樣值為-1；因此：；因此：2149123280132233kkkNkHkNk 其他855.4* FIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設(shè)計(jì) 前面介紹了前面介紹了FIR數(shù)字濾波器的兩種逼近設(shè)計(jì)方法，即窗數(shù)字濾波器的兩種逼近設(shè)計(jì)方法，即窗口法（時(shí)域逼近法）和頻率采樣法（頻域逼近法），用這兩口法（時(shí)域逼近法）和頻率采樣法（頻域逼近法），用這兩種方法設(shè)計(jì)出的濾波器的頻率特性都是在不同意義上對(duì)給定種方法設(shè)計(jì)出的濾波器的頻率特性都是在不同意義上對(duì)

60、給定理想頻率特性理想頻率特性Hd(ej)的逼近。的逼近。 說(shuō)到逼近，就有一個(gè)逼近得好壞的問(wèn)題，對(duì)說(shuō)到逼近，就有一個(gè)逼近得好壞的問(wèn)題，對(duì)“好好”“”“壞壞”的衡量標(biāo)準(zhǔn)不同，也會(huì)得出不同的結(jié)論，我們前面講過(guò)的的衡量標(biāo)準(zhǔn)不同，也會(huì)得出不同的結(jié)論，我們前面講過(guò)的窗口法和頻率采樣法都是先給出逼近方法、所需變量，然后窗口法和頻率采樣法都是先給出逼近方法、所需變量，然后再討論其逼近特性，如果反過(guò)來(lái)要求在某種準(zhǔn)則下設(shè)計(jì)濾波再討論其逼近特性，如果反過(guò)來(lái)要求在某種準(zhǔn)則下設(shè)計(jì)濾波器各參數(shù)，以獲取最優(yōu)的結(jié)果，這就引出了最優(yōu)化設(shè)計(jì)的概器各參數(shù)，以獲取最優(yōu)的結(jié)果，這就引出了最優(yōu)化設(shè)計(jì)的概念，最優(yōu)化設(shè)計(jì)一般需要大量的計(jì)算，