MATLAB第十一講插值

1、大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)Mathematical Experiments 實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)3 3 插值與數(shù)值積分插值與數(shù)值積分計算機(jī)會“算”嗎？靠得住嗎？例：把例：把4開開n次方，再平方次方，再平方n次，結(jié)果是次，結(jié)果是4？存在誤差？存在誤差？英國著名數(shù)值分析學(xué)家英國著名數(shù)值分析學(xué)家 HighamHigham (1998): (1998): Can you count on computers?Can you count on computers?精確計算：精確計算：解析結(jié)果解析結(jié)果 (Analytical)近似計算：近似計算：數(shù)值結(jié)果數(shù)值結(jié)果(Numerical)?422n=55左右：結(jié)果變成左右：

2、結(jié)果變成1計算功效計算功效=計算工具計算工具*計算方法計算方法(算法算法)浮點(diǎn)運(yùn)算：舍入誤差浮點(diǎn)運(yùn)算：舍入誤差實(shí)驗(yàn)3的基本內(nèi)容3.3.數(shù)值積分的數(shù)值積分的梯形公式、辛普森公式和梯形公式、辛普森公式和高斯公式。高斯公式。1.1.插值的基本原理；插值的基本原理； 三種插值方法：拉格朗日插三種插值方法：拉格朗日插 值，分段線性值，分段線性 插值，三次樣條插值。插值，三次樣條插值。2.2.插值的插值的 MATLAB 實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)及插值的應(yīng)用及插值的應(yīng)用。4.4.數(shù)值積分的數(shù)值積分的 MATLAB 實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)及數(shù)值積分的應(yīng)用及數(shù)值積分的應(yīng)用。什么是插值什么是插值(Interpolation)？從查函數(shù)表說起？

3、從查函數(shù)表說起查查 函函 數(shù)數(shù) 表表xtdtex2221)(x0121.0 0.8413 0.8438 0.84611.1 0.8643 0.8665 0.86861.2 0.8849 0.8869 0.8888標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表求求 (1.114) (1.114)=0.8665 (0.8686 0.8665) 0.4=0.8673插值插值插值在圖像處理插值在圖像處理/數(shù)控加工數(shù)控加工/外觀設(shè)計等領(lǐng)域有重要應(yīng)用外觀設(shè)計等領(lǐng)域有重要應(yīng)用插值的基本原理插值的基本原理插值問題的提法插值問題的提法已知已知 n+1n+1個節(jié)點(diǎn)個節(jié)點(diǎn), 1 , 0(),(njyxjj其中其中jx互不相同

4、，不妨設(shè)互不相同，不妨設(shè)),10bxxxan求任一插值點(diǎn)求任一插值點(diǎn))(*jxx 處的插值處的插值.*y0 x1xnx0y1y節(jié)點(diǎn)可視為由節(jié)點(diǎn)可視為由)(xgy 產(chǎn)生產(chǎn)生,g表達(dá)式復(fù)雜表達(dá)式復(fù)雜,甚至無表達(dá)式甚至無表達(dá)式*x*y0 x1xnx0y1y求解插值問題的基本思路求解插值問題的基本思路構(gòu)造一個構(gòu)造一個( (相對簡單的相對簡單的) )函數(shù)函數(shù)),(xfy 通過全部節(jié)點(diǎn)通過全部節(jié)點(diǎn), ,即即), 1 ,0()(njyxfjj再用再用)(xf計算插值，即計算插值，即).(*xfy *x*y插值的插值的基本原理基本原理7), 1 , 0()(niyxPii 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上有定義

5、，且已知在點(diǎn)上有定義，且已知在點(diǎn))(xfy ,ba 上的值上的值 ，bxxxan10nyyy,10函數(shù)函數(shù) ，)(xP若存在一簡單若存在一簡單使使成立，就稱成立，就稱 為為 的的插值函數(shù)插值函數(shù)，點(diǎn)，點(diǎn) 稱為稱為插插)(xP)(xfnxxx,10值節(jié)點(diǎn)值節(jié)點(diǎn)，包含節(jié)點(diǎn)的區(qū)間包含節(jié)點(diǎn)的區(qū)間 稱為稱為插值區(qū)間插值區(qū)間，求插值函數(shù)，求插值函數(shù),ba)(xP的方法稱為的方法稱為插值法插值法.定義定義18,)(10nnxaxaaxP 若若 是次數(shù)不超過是次數(shù)不超過 的代數(shù)多項(xiàng)式，的代數(shù)多項(xiàng)式，)(xPn其中其中 為實(shí)數(shù)，就稱為實(shí)數(shù)，就稱 為為插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式，相應(yīng)的插值法相應(yīng)的插值法ia)(xP本章

6、只討論多項(xiàng)式插值與分段插值本章只討論多項(xiàng)式插值與分段插值, ,樣條插值樣條插值. 若若 為分段的多項(xiàng)式，就稱為為分段的多項(xiàng)式，就稱為分段插值分段插值. .)(xP 若若 為三角多項(xiàng)式為三角多項(xiàng)式 ，就稱為，就稱為三角插值三角插值. .)(xP即即稱為稱為多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式插值. .9 從幾何上看，插值法就是確定曲線從幾何上看，插值法就是確定曲線 ，使其通過，使其通過給定的給定的 個點(diǎn)個點(diǎn) ，并用它近似已知曲線，并用它近似已知曲線 . . )(xPy 1nniyxii, 1 , 0),()(xfy 圖圖2-12-1見圖見圖2-12-1. .10 本章主要研究如何求出插值多項(xiàng)式，分段插值函數(shù)，樣本章

7、主要研究如何求出插值多項(xiàng)式，分段插值函數(shù)，樣條插值函數(shù)；條插值函數(shù)； 討論插值多項(xiàng)式討論插值多項(xiàng)式 的存在唯一性、收斂性及誤差估計的存在唯一性、收斂性及誤差估計等等. .)(xP定理定理1 在次數(shù)不超過在次數(shù)不超過 n 的多項(xiàng)式集合的多項(xiàng)式集合 Hn 中，滿足條中，滿足條 件的件的 插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式 是存在唯一的是存在唯一的. nnHxL)(112.2 多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式插值 設(shè)在設(shè)在 a,b上給定上給定n+1個點(diǎn)個點(diǎn) 上的函數(shù)值上的函數(shù)值yi=f(xi)(i=0,n),求次數(shù)不超過求次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式P(x)，滿足，滿足P(xi)=yi, (i=0,n),bxxxan.10 既滿

8、足線性方程組既滿足線性方程組 ，nnnnnnnnnyxaxaayxaxaayxaxaa102111000010,插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式) 1 ()(0111axaxaxaxLnnnnnnnnnnnnnyyYaaAxxxxX001100,11在什么條件下）(0)det(X), 1 , 0()(njyxLjjn)2(YXA 求ia有唯一解)2(拉格朗日插值三種插值方法 1. 1. 線性插值線性插值 對給定的插值點(diǎn)，可以用多種不同的方法求得插值多項(xiàng)對給定的插值點(diǎn)，可以用多種不同的方法求得插值多項(xiàng)式式. . 先討論 的簡單情形.1n問題：給定區(qū)間給定區(qū)間 及端點(diǎn)函數(shù)值及端點(diǎn)函數(shù)值 ，,1kkxx)(),

9、(11kkkkxfyxfy要求線性插值多項(xiàng)式要求線性插值多項(xiàng)式 ，)(1xL.)(,)(1111kkkkyxLyxL拉格朗日插值拉格朗日插值使它滿足使它滿足nnxaxaaxP10)( 其幾何意義就是通過兩點(diǎn)其幾何意義就是通過兩點(diǎn) 的直線的直線. . 圖2-2如圖2-2.),(),(11kkkkyxyx由由 的幾何意義可得到表達(dá)式的幾何意義可得到表達(dá)式)(1xL)()(111kkkkkkxxxxyyyxL（點(diǎn)斜式），11111)(kkkkkkkkyxxxxyxxxxxL（兩點(diǎn)式）， 由兩點(diǎn)式看出，由兩點(diǎn)式看出， 是由兩個線性函數(shù)是由兩個線性函數(shù))(1xL,)(11kkkkxxxxxlkkkkxx

10、xxxl11)(的線性組合得到，其系數(shù)分別為的線性組合得到，其系數(shù)分別為 及及 ，即，即ky1ky).()()(111xlyxlyxLkkkk稱稱 及及 為為線性插值基函數(shù)線性插值基函數(shù)，)(xlk)(1xlk, 1)(kkxl, 0)(1kkxl, 0)(1kkxl, 1)(11kkxl顯然，顯然， 及及 也是線性插值多項(xiàng)式，在節(jié)點(diǎn)也是線性插值多項(xiàng)式，在節(jié)點(diǎn) 及及)(xlk)(1xlkkx1kx上滿足條件上滿足條件圖形見圖圖形見圖2-3.2-3.圖2-3x0 x1x2p2(x) f(x)f(x)因過三點(diǎn)的二次曲線為拋物線，故稱為拋物插值。因過三點(diǎn)的二次曲線為拋物線，故稱為拋物插值。 2.二次

11、插值多項(xiàng)式 線性插值只利用兩對值線性插值只利用兩對值 及及 求得的求得的 近近 似值，誤差較大。似值，誤差較大。設(shè)設(shè) p2(x)是是x的二次函數(shù)，稱為二次插值多項(xiàng)式。通過三點(diǎn)的的二次函數(shù)，稱為二次插值多項(xiàng)式。通過三點(diǎn)的插值問題稱為二次插值或拋物插值。插值問題稱為二次插值或拋物插值。),(kkyx),(11kkyx)(xfy ,)(,)(,)(1122112kkkkkkyxPyxPyxP二次Lagrange插值多項(xiàng)式2以過節(jié)點(diǎn)以過節(jié)點(diǎn) 的二次函數(shù)的二次函數(shù)為插值函數(shù)。為插值函數(shù)。2( )L x用基函數(shù)的方法獲得用基函數(shù)的方法獲得2( )L x其中其中1200102()()( )()()xxxxl

12、xxxxx0211012()()( )()()xxxxl xxxxx0122021()()( )()()xxxxlxxxxx( ,)(0,1,2)iix yi 設(shè)被插函數(shù)在插值節(jié)點(diǎn)設(shè)被插函數(shù)在插值節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值為處的函數(shù)值為012,yy y20 01 12 2( )( )( )( )L xy lxy l xy lx,210 xxx)., 1 ,0()(njyxLjjn 根據(jù)插值的定義根據(jù)插值的定義 應(yīng)滿足應(yīng)滿足)(xLn先定義先定義 次插值基函數(shù)次插值基函數(shù). .n 為構(gòu)造為構(gòu)造 ，)(xLn2. n次次插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式 定義定義1 1), 1 , 0,(., 0;, 1)(nkjjkjk

13、xlkj就稱這就稱這 個個 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 為節(jié)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn) 1nn)(,),(),(10 xlxlxln上的上的 次插值基函數(shù)次插值基函數(shù).nxxx,10n 若若 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 在在 個節(jié)點(diǎn)個節(jié)點(diǎn) n), 1 ,0()(njxLj1nnxxx10上滿足條件上滿足條件顯然它滿足條件顯然它滿足條件. 于是，滿足條件的插值多項(xiàng)式于是，滿足條件的插值多項(xiàng)式 L Ln n(x(x) ) 可表示為可表示為 . )()(0nkkknxlyxL)()()()()()()(110110nkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxl)., 1 , 0(nk 與前面的推導(dǎo)類似，與前面的推導(dǎo)類似， 次

14、插值基函數(shù)為次插值基函數(shù)為 n), 1 , 0,(., 0;, 1)(nkjjkjkxlkj25由由 的定義，知的定義，知)(xlk)., 1 ,0()()(0njyxlyxLjnkjkkjn容易求得容易求得 ),()()()(1101nkkkkkkknxxxxxxxxx),()()(101nnxxxxxxx 若引入記號若引入記號 . )()(0nkkknxlyxL稱為拉格郎日（稱為拉格郎日（Lagrange)插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式而線性插值與拋物線插值是而線性插值與拋物線插值是 n=1 和和 n=2 的特殊情形的特殊情形于是上述公式可改寫成于是上述公式可改寫成 .)()()()(011nkkn

15、knknxxxxyxL 注意: 次插值多項(xiàng)式 通常是次數(shù)為 的多項(xiàng)式，n)(xLnn特殊情況下次數(shù)可能小于特殊情況下次數(shù)可能小于 . .n 關(guān)于插值多項(xiàng)式存在唯一性有以下定理關(guān)于插值多項(xiàng)式存在唯一性有以下定理. . )()(0nkkknxlyxL),()!1()()()()(11(xnfxLxfxRnnnn3. 3. 插值余項(xiàng)與誤差估計插值余項(xiàng)與誤差估計 設(shè)設(shè) 在在 上連續(xù)，上連續(xù)， 在在 內(nèi)內(nèi))()(xfn,ba)()1(xfn),(ba存在，節(jié)點(diǎn)存在，節(jié)點(diǎn) 是滿足條件是滿足條件的插值多項(xiàng)式，的插值多項(xiàng)式，)(,10 xLbxxxann則對任何則對任何 ，插值余項(xiàng)，插值余項(xiàng),bax 若在若在

16、 上用上用 近似近似 ， ,ba)(xLn)(xf),()()(xLxfxRnn則其截斷誤差為則其截斷誤差為也稱為插值多項(xiàng)式的也稱為插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)余項(xiàng).定理定理2 2 .),(ba 由給定條件知 在節(jié)點(diǎn) 上為零，即 ，)(xRn), 1 ,0(nkxk), 1 ,0(0)(nkxRkn其中 是與 有關(guān)的待定函數(shù). )(xKx),()()()()()(110 xxKxxxxxxxKxRnnn 現(xiàn)把 看成 上的一個固定點(diǎn)，作函數(shù) x,ba),()()()()()(10nnxtxtxtxKtLtft根據(jù)插值條件及余項(xiàng)定義，可知 在點(diǎn) 及)(tnxxx,10處均為零，故 在 上有 個零點(diǎn).)(t,b

17、a2nx證明證明于是根據(jù)羅爾定理， 在 的兩個零點(diǎn)間至少有一個零點(diǎn)，)(t)(t故 在 內(nèi)至少有 個零點(diǎn).)(t,ba1n 對 再應(yīng)用羅爾定理，可知 在 內(nèi)至少有 個零點(diǎn). )(t)(t ,ban 依此類推， 在 內(nèi)至少有一個零點(diǎn)，記為 ，)()1(tn),(ba),(ba, 0)()!1()()()1()1(xKnfnn使于是 將它代入， 余項(xiàng)表達(dá)式只有在 的高階導(dǎo)數(shù)存在時才能應(yīng)用. )(xf 但 在 內(nèi)的具體位置通常不可能給出，),(ba如果可以求出 那么插值多項(xiàng)式 逼近 的截斷誤差限是 ,)(max1)1(nnbxaMxf)(xLn)(xf. )()!1()(11xnMxRnnn),(,

18、)!1()()()1(banfxKn. x且依賴于就得到余項(xiàng)表達(dá)式. 當(dāng)當(dāng) 時，線性插值余項(xiàng)為時，線性插值余項(xiàng)為 1n),)()(21)()(21)(1021xxxxfxfxR ).,(10 xx當(dāng)當(dāng) 時，拋物插值余項(xiàng)為時，拋物插值余項(xiàng)為 2n),)()()(61)(2102xxxxxxfxR ).,(20 xx若取若取 ，則，則 0m.1)(0nkkxl 根據(jù)定理根據(jù)定理2 2，.,1,0,)(0nmxxlxnkmkmk可得可得, 1 , 0,)(nmxxfm若令若令它可用來檢驗(yàn)函數(shù)組它可用來檢驗(yàn)函數(shù)組 的正確性的正確性. ., 1 ,0),(nkxlk由題意由題意, , 取取 ,31456

19、7. 0,32. 000yx.352274. 0,36. 022yx 用線性插值計算用線性插值計算，,333487. 034. 0sin,314567. 032. 0sin,352274.036.0sin,333487. 0,34. 011yx例例1 1已知已知的值并估計截斷誤差的值并估計截斷誤差. . 3367.0sin用線性插值及拋物插值計算用線性插值及拋物插值計算解解,34. 0,32. 010 xx取取由由點(diǎn)斜式點(diǎn)斜式公式公式)()(111kkkkkkxxxxyyyxL（點(diǎn)斜式），)3367. 0(3367. 0sin1L0167. 002. 001892. 0314567. 0)33

20、67. 0(00101xxxyyy.330365. 0 其截斷誤差其截斷誤差,)(2)(1021xxxxMxR其中其中 )(max102xfMxxx 于是于是 )3367.0(3367.0sin)3367.0(11LR0033. 00167. 03335. 021xxxxsinmax10,3335. 0sin1x.1092. 05 用拋物插值計算，由公式得用拋物插值計算，由公式得 )()()()(3367. 0sin21012012010210 xxxxxxxxyxxxxxxxxy)()(1202102xxxxxxxxy)3367.0(2L333487. 00008. 0107689. 031

21、4567. 040008. 0105511. 0352274. 00004. 01089. 344.330374. 0 ,)()(6)(21032xxxxxxMxR其中 )(max203xfMxxx 于是 這個結(jié)果與這個結(jié)果與6 6位有效數(shù)字的正弦函數(shù)表完全一樣，位有效數(shù)字的正弦函數(shù)表完全一樣，0cos x,828.0這說明查表時用二次插值精度已相當(dāng)高了這說明查表時用二次插值精度已相當(dāng)高了. . 截斷誤差限截斷誤差限)3367.0(3367.0sin)3367.0(22LR0233. 0033. 00167. 0828. 061.10178.06分段線性插值法 一般來說，高次插值多項(xiàng)式是不妥當(dāng)

22、的，從一般來說，高次插值多項(xiàng)式是不妥當(dāng)?shù)?，從?shù)值計算上可解釋為高次插值多項(xiàng)式的計算會帶數(shù)值計算上可解釋為高次插值多項(xiàng)式的計算會帶來舍入誤差的增大，從而引起計算失真。因此，來舍入誤差的增大，從而引起計算失真。因此，實(shí)踐上作插值時一般只用一次、二次最多用三次實(shí)踐上作插值時一般只用一次、二次最多用三次插值多項(xiàng)式。插值多項(xiàng)式。 那么如何提高插值精度呢？那么如何提高插值精度呢？ 采用分段插值是一種辦法。采用分段插值是一種辦法。高次插值的病態(tài)分析 適當(dāng)?shù)靥岣卟逯刀囗?xiàng)式的次數(shù)，有可能提高計算結(jié)果的準(zhǔn)確程度。 但是決不可由此得出結(jié)論，認(rèn)為插值多項(xiàng)式的次數(shù)越高越好，利用被插函數(shù)節(jié)點(diǎn)信息越多，誤差越小。由插值多項(xiàng)

23、式的截斷誤差公式可見： (1)1( )( )( )( )( )(1)!nnnnfRxf xpxxn其中其中 1010( )()()()()nnniixxxxxxxxx 截斷誤差同f(n+1)()與n+1(x)有關(guān)，其絕對值不一定隨次數(shù)n增加而減小。龍格現(xiàn)象龍格現(xiàn)象考慮一個典型的例子，設(shè)21( ) (55)1f xxx 取等距節(jié)點(diǎn)105 (0,1, )kinxkn 所構(gòu)造的拉格朗日插值多項(xiàng)式為2001()1nninjijjiijxxLxxxx在-5，5上取一點(diǎn)55nx 計算出n=2,4,20的( )( )nL xR x和n20.137931 0.759615-0.62168440.066390

24、-0.3568260.42321660.054463 0.607879-0.55341680.049651 -0.8310170.880668100.047059 1.578721-1.531662120.045440 -2.755002.800440140.044334 50.332742-5.288409160.043530 -10.17386710.217397180.042920 20.123671-20.080751200.042440 -39.95244939.994889( )nL x ( )R x ( )f x 隨著n的增加， 不但沒有減少，反而成倍地增加。( )nR x 這個

25、例子最早是在20世紀(jì)初由龍格(Runge)研究的。這種節(jié)點(diǎn)變密但誤差增大的現(xiàn)象稱為龍格(Runge)現(xiàn)象。-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52n=2n=4n=6n=8n=10f(x)=1/(1+x2)不同次數(shù)的Lagrange插值多項(xiàng)式的比較圖Runge現(xiàn)象2 分段線性插值分段線性插值 當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)很多時，使用高次插值多項(xiàng)式未必能夠得到好當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)很多時，使用高次插值多項(xiàng)式未必能夠得到好的效果。的效果。 我們介紹分段插值法，就是將插值區(qū)間分成若干個子區(qū)間，我們介紹分段插值法，就是將插值區(qū)間分成若干個子區(qū)間，然后在每個子區(qū)間上使用線性插值多項(xiàng)式，然后在每個子區(qū)間上

26、使用線性插值多項(xiàng)式，分段線性插值分段線性插值: :通過插值點(diǎn)用折線段連接起來逼近通過插值點(diǎn)用折線段連接起來逼近f (x) 。 設(shè)設(shè)f (x)在在n+1+1個節(jié)點(diǎn)個節(jié)點(diǎn) a = x0 x1 x2 xn= b上上的函數(shù)值為的函數(shù)值為 f (xk) ( k = 0,1,2, n)，將將a,b分成分成n個小區(qū)間，個小區(qū)間，在每個小在每個小區(qū)間區(qū)間 xk , xk+1 上作線性插值，得上作線性插值，得111111( )( )() ()kkkkkkkkkkx xx xL xf xf xxxxxxxx 若要計算點(diǎn)若要計算點(diǎn)xxi處函數(shù)值處函數(shù)值f (x)的近似值?？上冗x取兩個節(jié)點(diǎn)的近似值?？上冗x取兩個節(jié)點(diǎn)x

27、i-1與與xi，使，使xxi-1,xi ；然后在小區(qū)間上作線性插值，計算；然后在小區(qū)間上作線性插值，計算函數(shù)值。函數(shù)值。111111( )( )()( ), iiiiiiiiiix xx xf xL xf xf xxxxxxxx在幾何上就是用通過曲線在幾何上就是用通過曲線n+1個點(diǎn)個點(diǎn)(xi, yi)的的折線，去近似代替曲折線，去近似代替曲線線 。故分段線性插值又稱折線插值。故分段線性插值又稱折線插值。分段線性插值的余項(xiàng)估計式：分段線性插值的余項(xiàng)估計式：11112( )( )()()() (,)kkkkkkf xL xfxxxxx x注意在注意在xi-1, xi上21114()(), kkkk

28、kkxxxxhhxx推得推得)()()(10211xxxxfxR 1111112218max( )( )max()()() max( )kkkkkkkkkxx xxx xkxx xf xL xfxxxxhfx 這表明，只要小區(qū)間長度這表明，只要小區(qū)間長度hk充分小，便可保證充分小，便可保證 充分充分靠近靠近f (x) ，即，即 時分段線性插值函數(shù)時分段線性插值函數(shù) 收斂于被插函數(shù)收斂于被插函數(shù)f (x) 。1( )Lx1max0kknhh1( )Lx0110110121801max( )( )max( )( ) max max( )( ) max max( )( ) maxmnkkkka x

29、bxx xk nxx xk nxx xkk nf xL xf xL xf xL xf xL xh 121801ax( ) max( ) (max)kkxx xka x bk nfxhfxhh 可見，分段線性插值的余項(xiàng)只依賴于二階導(dǎo)數(shù)的界。可見，分段線性插值的余項(xiàng)只依賴于二階導(dǎo)數(shù)的界。2.2.分段線性插值分段線性插值xjxj-1xj+1x0 xn其它,0,)()()(1111110jjjjjjjjjjjnjjjnxxxxxxxxxxxxxxxlxlyxI計算量與計算量與n n無關(guān)無關(guān); ;n n越大，誤差越小越大，誤差越小. .nnnxxxxgxI0),()(lim例：設(shè)例：設(shè) , -1 x 1

30、(1)將將-1，1 10 等份，用分段線性插值近似計算等份，用分段線性插值近似計算f(-0.96)。(2)將將-1，1 n 等份，用分段線性插值近似計算等份，用分段線性插值近似計算,問如何選擇問如何選擇步長步長h可使近似計算誤差可使近似計算誤差R10-4?解：解：(1)插值節(jié)點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)為xi=-1+ i/5 (i=0,1,10),h=1/5因?yàn)橐驗(yàn)?-0.96-1,-0.8,取此區(qū)間為線性插值區(qū)間，其上的插值取此區(qū)間為線性插值區(qū)間，其上的插值函數(shù)為函數(shù)為所以所以f(-0.96) (-0.96)=0.0425322511)(xxf80112941080192302018020801.)(.).

31、(.).(.)()( xxxxfxfx(2)插值節(jié)點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)為xi=-1+ ih (i=0,1,n),h=(b-a)/2=2/n由分段線性插值的余項(xiàng)估計：由分段線性插值的余項(xiàng)估計： |f(x)- (x) |=|R(x)| m2h2/8002801051210025117550251504211232222.)()(max|)(|)(|)()( hhxRxfmxxxfxxxfx實(shí)際上，上面介紹的分段低次插值，雖然具有計實(shí)際上，上面介紹的分段低次插值，雖然具有計算簡便，收斂性有保證，數(shù)值穩(wěn)定性又好且易在算簡便，收斂性有保證，數(shù)值穩(wěn)定性又好且易在計算機(jī)上實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，但它卻不能保證整條曲線計算機(jī)上實(shí)

32、現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，但它卻不能保證整條曲線的光滑性，從而不能滿足某些工程技術(shù)上的要求，的光滑性，從而不能滿足某些工程技術(shù)上的要求，從六十年代開始，首先由于航空、造船等工程設(shè)從六十年代開始，首先由于航空、造船等工程設(shè)計的需要而發(fā)展起來的樣條插值（計的需要而發(fā)展起來的樣條插值（spline)方法，方法，既保留了分段低次插值的各種優(yōu)點(diǎn)，又提高了插既保留了分段低次插值的各種優(yōu)點(diǎn)，又提高了插值函數(shù)的光滑性，在許多領(lǐng)域顯得越來越廣泛的值函數(shù)的光滑性，在許多領(lǐng)域顯得越來越廣泛的應(yīng)用。應(yīng)用。三次樣條插值1.三次樣條插值三次樣條插值 高次插值不僅計算復(fù)雜，而且可能出現(xiàn)高次插值不僅計算復(fù)雜，而且可能出現(xiàn)RungeRunge

33、現(xiàn)象。現(xiàn)象。 分段低次插值雖然具有計算簡單、穩(wěn)定性好、收斂性有保分段低次插值雖然具有計算簡單、穩(wěn)定性好、收斂性有保證且編程簡單等優(yōu)點(diǎn)；證且編程簡單等優(yōu)點(diǎn)； 但它有一個嚴(yán)重的缺點(diǎn)，就是它只能保證各小段曲線在連但它有一個嚴(yán)重的缺點(diǎn)，就是它只能保證各小段曲線在連接點(diǎn)處的連續(xù)性，卻不能保證整條曲線的接點(diǎn)處的連續(xù)性，卻不能保證整條曲線的光滑性，即插值函數(shù)，即插值函數(shù)在子區(qū)間的端點(diǎn)光滑性比較差。在子區(qū)間的端點(diǎn)光滑性比較差。 對于像飛機(jī)的機(jī)翼形線設(shè)計、船體放樣等往往要求二階光對于像飛機(jī)的機(jī)翼形線設(shè)計、船體放樣等往往要求二階光滑度，即有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)。滑度，即有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)。 這里將介紹樣條插值方法，它既保

34、留了分段低次插值多項(xiàng)這里將介紹樣條插值方法，它既保留了分段低次插值多項(xiàng)式的各種優(yōu)點(diǎn)，又提高了插值函數(shù)的光滑性。式的各種優(yōu)點(diǎn)，又提高了插值函數(shù)的光滑性。 樣條（樣條（Spline）是早期飛機(jī)、造船工業(yè)中繪圖員用來描）是早期飛機(jī)、造船工業(yè)中繪圖員用來描繪光滑曲線的一種簡單工具（細(xì)木條或細(xì)金屬線）。繪光滑曲線的一種簡單工具（細(xì)木條或細(xì)金屬線）。 繪圖時，為了把一些指定點(diǎn)連接成一條光滑曲線，往繪圖時，為了把一些指定點(diǎn)連接成一條光滑曲線，往往用壓鐵把一條富有彈性的細(xì)長材料，如木條（稱為樣條）往用壓鐵把一條富有彈性的細(xì)長材料，如木條（稱為樣條）固定在這些點(diǎn)處，因樣條有彈性，便形成通過這些點(diǎn)的光滑固定在這些

35、點(diǎn)處，因樣條有彈性，便形成通過這些點(diǎn)的光滑曲線，沿著它可畫出所需曲線。曲線，沿著它可畫出所需曲線。 樣條函數(shù)就是對這樣的曲線進(jìn)行數(shù)學(xué)模擬得到的。樣條函數(shù)就是對這樣的曲線進(jìn)行數(shù)學(xué)模擬得到的。 機(jī)翼下輪廓線樣條函數(shù)的由來樣條函數(shù)的由來飛機(jī)、船體、汽車外形等的放樣（設(shè)計）飛機(jī)、船體、汽車外形等的放樣（設(shè)計）細(xì)木條：樣條細(xì)木條：樣條2 2 三次樣條函數(shù)三次樣條函數(shù) 001111( ),;( )( ),;( ),kkknnnSxxxxS xSxxxxSxxxx4.6 三次樣條插值(續(xù))定義定義4 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)S(x)定義在區(qū)間定義在區(qū)間a,b上，給定上，給定n+1個節(jié)點(diǎn)個節(jié)點(diǎn) a = x0 x1 x2

36、xn= b;若函數(shù)若函數(shù)S(x)若若S(x)滿足：滿足： (1) S(x) 在在a,b上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)；上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)；(2) S(x)在每個小區(qū)間在每個小區(qū)間xk , xk+1(k=0,2,，n-1)上是不高于三上是不高于三次的多項(xiàng)式；則稱次的多項(xiàng)式；則稱S(x)為三次樣條函數(shù)。若為三次樣條函數(shù)。若S(x)還滿足還滿足(3) S(xk) = f (xk) (k=0,1,n)，則稱則稱S(x)為三次樣條插值函數(shù)。為三次樣條插值函數(shù)。 由樣條插值函數(shù)定義知，由樣條插值函數(shù)定義知， S(x)在每個小區(qū)間在每個小區(qū)間xk , xk+1 上都是上都是三次函數(shù)，即三次函數(shù)，即 Sk(x) = Ak +

37、 Bkx +Ckx2+Dkx3 xxk,xk+1 (k=0,2,，n-1) 這里有四個待定系數(shù)這里有四個待定系數(shù)Ak , Bk ,Ck , Dk .。子區(qū)間共有子區(qū)間共有n個，要確定個，要確定S(x)需要確定需要確定4n個待定系數(shù)。個待定系數(shù)。 4.6 三次樣條插值(續(xù)) 另一方面，要求分段三次多項(xiàng)式另一方面，要求分段三次多項(xiàng)式S(x)在在a,b上有二階連續(xù)上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，即要求導(dǎo)數(shù)，即要求S(x)及其一階、二階導(dǎo)數(shù)在整個插值區(qū)間及其一階、二階導(dǎo)數(shù)在整個插值區(qū)間a,b上上連續(xù)，即只要它們在各個子區(qū)間的連接點(diǎn)連續(xù)，即只要它們在各個子區(qū)間的連接點(diǎn)x1,x2,xn-1上連續(xù)即上連續(xù)即可。故由條件（

38、可。故由條件（1）、（）、（3）可得待定系數(shù)應(yīng)滿足的）可得待定系數(shù)應(yīng)滿足的4n-2個方程個方程 (0)(0)(0)(0) (1,2,1) (4.49)(0)(0)kkkkkkS xS xS xS xknS xS x11 (0), (0), kkkkkkxxxxxx注（1）插值條件）插值條件()() (0,1, ) (4.48)kkS xf xkn（2）連續(xù)條件）連續(xù)條件 由此可以看出，要確定由此可以看出，要確定4n個待定系數(shù)還缺少兩個條件。個待定系數(shù)還缺少兩個條件。這兩個條件通常在插值區(qū)間這兩個條件通常在插值區(qū)間a,b的邊界點(diǎn)的邊界點(diǎn)a、b b處給出，稱為處給出，稱為邊界條件。邊界條件。 邊界

39、條件的類型很多，常見的有：邊界條件的類型很多，常見的有： (1)給定一階導(dǎo)數(shù)值給定一階導(dǎo)數(shù)值 00( )( ), ()() nnS xf xS xf x(2)給定二階導(dǎo)數(shù)值給定二階導(dǎo)數(shù)值 00()(), ()() nnS xfxS xfx（作為特例，（作為特例， 稱為自然邊界條件。滿足稱為自然邊界條件。滿足自然邊界條件的三次樣條插值函數(shù)稱為自然樣條插值函數(shù)）；自然邊界條件的三次樣條插值函數(shù)稱為自然樣條插值函數(shù)）； 0)()(0 nxSxS (3)當(dāng)當(dāng)y = f (x)是周期為是周期為xn-x0的函數(shù)時，則要求的函數(shù)時，則要求S(x)及其導(dǎo)數(shù)都是及其導(dǎo)數(shù)都是以以xn-x0為周期的函數(shù)，相應(yīng)的邊界

40、條件為為周期的函數(shù)，相應(yīng)的邊界條件為)0()0( ),0()0(00 nnxSxSxSxS（由（由f (x)的周期性知的周期性知 f (x0 0)= =f (xn )，從而必有，從而必有S(x0+0)=S(xn-0), ,故不故不必再提出此要求）。必再提出此要求）。 3 3 三次樣條函數(shù)的建立三次樣條函數(shù)的建立 雖然可以利用方程組和邊界條件求出所有待定系數(shù)雖然可以利用方程組和邊界條件求出所有待定系數(shù) Sk(x) = Ak + Bkx +Ckx2+Dkx3 xxk,xk+1 (k=0,2,，n-1) 從而得到三次樣條插值函數(shù)從而得到三次樣條插值函數(shù)S(x)在各個區(qū)間在各個區(qū)間 xk,xk+1 的

41、表達(dá)式的表達(dá)式Sk(x)(k=1,2,n-1)。(0)(0) (1 21)(0)(0) (1,2,1)(0)(0) (1,2,1)()() kkkkkkkkS xS x k, ,nS xS xknSxSxknS xf x (0,1, )kn0)()( 0 nxSxS或)0()0( ),0()0( )3(00 nnxSxSxSxS00(1) ( )( ), ()() nnS xf xS xf x00(2) ()(), ()() nnS xfxS xfx但是，這種做法的計算工作量大，不便于實(shí)際應(yīng)用。下面但是，這種做法的計算工作量大，不便于實(shí)際應(yīng)用。下面介紹一種簡便的求法。介紹一種簡便的求法。設(shè)在節(jié)

42、點(diǎn)設(shè)在節(jié)點(diǎn)xk處處S(x)的二階導(dǎo)數(shù)為的二階導(dǎo)數(shù)為 () (0,1, )kkSxMkn 因?yàn)樵诿總€子區(qū)間因?yàn)樵诿總€子區(qū)間 xk,xk+1 上上S(x)Sk(x)是不高于三次的多是不高于三次的多項(xiàng)式，其二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)式，其二階導(dǎo)數(shù) 必是線性函數(shù)（或常數(shù)）。必是線性函數(shù)（或常數(shù)）。( )kSx11() () kkkkkkSxMSxM則有11111( ) ,kkkkkkkkkkkxxxxS xMMxx xxxxx011010110( )( )xxxxf xL xffxxxx記記hk= xk+1-xk，( ( k =0,1,=0,1, ,n-1)-1)則有則有 111( ) ,kkkkkkkkkxxxxS

43、xMMxx xhh11111( ) ,kkkkkkkkkkkxxxxS xMMxx xxxxx連續(xù)積分兩次得連續(xù)積分兩次得 3311()()( )()66kkkkkkkkkkxxxxS xMMA xxBhh其中其中Ak,Bk為積分常數(shù)。為積分常數(shù)。利用插值條件利用插值條件Sk(xk)= f (xk)和和Sk(xk+1)= f (xk+1)易得易得112()()()61()6kkkkkkkkkkkf xf xhAMMhBf xM h代入整理后可得代入整理后可得 3311221111()()( )66 ()() 66 (,; 0,1,2,1)kkkkkkkkkkkkkkkkkkkxxxxSxMMh

44、hM hxxMhxxf xf xhhxx xkn 只要確定只要確定M0、M1、Mn這這n+1+1個值，就可以定出三次樣條個值，就可以定出三次樣條插值函數(shù)插值函數(shù)S(x)。 為了求出為了求出Mk(k = 0,1, n)，我們利用一階導(dǎo)數(shù)在子區(qū)間連，我們利用一階導(dǎo)數(shù)在子區(qū)間連接點(diǎn)上連續(xù)的條件接點(diǎn)上連續(xù)的條件 (0)(0)kkS xS x1 (0)(0)kkkkSxSx即3.3.3 三次樣條函數(shù)插值法(續(xù))11 (0), (0), kkkkkkxxxxx x注求一階導(dǎo)數(shù)221111()()()()(-)( ) 226kkkkkkkkkkkkkxxxxf xf xMMSxMMhhhh 3.3.3 三次

45、樣條函數(shù)插值法(續(xù))3311221111()()( )66 ()() 66 (,; 0,1,2,1) (4.53)kkkkkkkkkkkkkkkkkkkxxxxSxMMhhM hxxMhxxf xf xhhxx xkn221111()()(-), 226kkkkkkkkkkkxxxxMMMMf xxhhh 221111()()(-)( ), 226kkkkkkkkkkkkxxxxMMSxMMf xxhhh 這樣11(-)(0), (4.54) 26kkkkkkkkkhMMSxMf xxh 1111(-)(0), (4.55)26kkkkkkkkkhMMSxMf xxh11111(-)(0),

46、26kkkkkkkkkhMMSxMf xxh類似得kx1kx1kx1kSkS0kx 0kx 將 、 的表達(dá)式代入得 1(0)(0)kkkkSxSx1(0)kkSx整理得 其中 1111,1 (1,2,.,1)6 ,kkkkkkkkkkhhhkndf xx x (0)kkSx111111(-)(-) ,=, 2626kkkkkkkkkkkkkkhMMhM MMf x xhMf xxh112 (1,2,.,1)kkkkkkMMMdkn則所得方程組可簡寫成 這是一個含有n+1個未知數(shù)、n-1個方程的線性方程組。要確定Mk的值，還需用到邊界條件。 111212322121211012 2 2 nnnn

47、nndMMMdMMMdMMM即在第（1）種邊界條件下，由于 和 已知，可以得到包含有Mk的兩個線性方程。00()()Sxfx()()nnSxfx010 2MMd即11(-)(0), 26kkkkkkkkkhMMSxMf xxh 由(4.54)01001000(-),=() 26hMMf xxMhfx得001006 ,()df x xfxh其中由(4.55)1111(-)(0), (4.55)26kkkkkkkkkhMMSxMf xxh得1111(-),()26nnnnnnnnhMMf xxMhfx1 2nnnMMd即116(),)nnnnndfxf xxh得確定M0、M1、Mn的線性方程組 1

48、11212322121211012 2 2 nnnnnndMMMdMMMdMMM010 2MMd1 2nnnMMd0011111111212 (4.59)212nnnnnnMdMdMdMd 在第（2）種邊界條件下，由于 和 已知，在方程組中實(shí)際上只包含有n-1個未知數(shù)M1、M2、Mn-1并且可以改寫成 000()()MSxfx()()nnnMSxfx111212322121211012 2 2 nnnnnndMMMdMMMdMMM111102222222211112()2 (4.60)22()nnnnnnnnnMdfxMdMdMdfx 在第（3）種邊界條件下，由 直接可得 )0()0(0 nx

49、SxSnMM0由條件 ,根據(jù)(4.54)和(4.55)可得 0(0)(0)nS xS x11(-)(0), (4.54) 26kkkkkkkkkhMMSxMf xxh 1111(-)(0), (4.55)26kkkkkkkkkhMMSxMf xxh01011010011(-)(-), = ,2626nnnnnnnhMMhMMf xxMhf xxMh整理后得方程 112nnnnnMMMd其中 001nnhhh1nn 01101 , ,6nnnnf x xf xxdhhnMM0111212322121211012 2 2 nnnnnndMMMdMMMdMMM11111122111122 (4.61

50、)22nnnnnnnnMdMdMdMd 不同邊界條件下，所得方程組： 0011111111212(1) 212nnnnnnMdMdMdMd 111102222222211112()2(2) 22()nnnnnnnnnMdfxMdMdMdfx 11111122111122(3) 22nnnnnnnnMdMdMdMd 這些方程組的系數(shù)矩陣都是非奇異的，都有唯一確定的解。針對不同的邊界條件，解相應(yīng)的方程組，求得M0、M1、Mn的值，將它們代入下式，就可以得到S(x)在各子區(qū)間上的表達(dá)式。 3311221111()()( )66 ()() 66 (,; 0,1,2,1) (4.53)kkkkkkkkk

51、kkkkkkkkkkxxxxSxMMhhM hxxMhxxf xf xhhxx xkn求三次樣條插值函數(shù)的步驟：（1）求,(0,1, )kkkdkn （2）對不同邊界條件選用矩陣方程，求01,nMMM（3）代入式（4.53)求出三次樣條插值函數(shù)Sk(x)定理定理3 3 對于給定的函數(shù)表 xx0 x1xny=f(x)y0y1yn(a=x0 x1xn=b) 滿足第（1）或第（2）或第（3）種邊界條件的三次樣條插值函數(shù)S(x)是存在且唯一的。 0)()( 0 nxSxS或)0()0( ),0()0( )3(00 nnxSxSxSxS00(1) ( )( ), ()() nnS xf xS xf x0

52、0(2) ()(), ()() nnS xfxS xfx例例 已知函數(shù)y=f (x)的函數(shù)值如下 x-1.5012y0.125-119在區(qū)間-1.5，2上求三次樣條插值函數(shù)S(x)，使它滿足邊界條件:75. 0)5 . 1(S14)2(S解解 先根據(jù)給定數(shù)據(jù)和邊界條件算出 、 與 ，寫出確定Mi的線性方程組。在本例中，給出的是第（1）種邊界條件，確定Mi（i=0,1,2,3）的線性方程組為 iidi0011111111212(1) 212nnnnnnMdMdMdMd x-1.5012y0.125-119由所給函數(shù)表知 h0=1.5 h1=1 h2=1f x0, x1 = -0.75 f x1,

53、 x2 =2 f x2, x3 =8 于是由 、 與 （i=0,1,2,n-1）的算式知 iiid6 . 015 . 024 . 015 . 026 . 61d182d1111,1 (1,2,.,1)6 ,)kkkkkkkkkkhhhkndf xxx由第（1）邊界條件下d0與dn的計算公式知 0010031166,()( 0.750.75)61.566(),)(148)361nnnndf xxfxhdfxf xxh 故確定M0、M1、M2與M3的方程組為 36186 . 66 21005 . 025 . 0004 . 026 . 000123210MMMM0011111111212 212nn

54、nnnnMdMdMdMd 6 . 015 . 024 . 015 . 026 . 61d182d然后解所得方程組，得到 在各節(jié)點(diǎn)xk上的值Mk。 )( xS M0= -5，M1= 4，M2= 4，M3=16 最后將所得Mi代入S(x)在各子區(qū)間上的表達(dá)式Sk(x)（k = 0,1,2,n-1）。S(x)在x0, x1上的表達(dá)式為 332200011100100100000()()( )( ( )( ( ) 6666x xMx xxxxxMS xMMf xhf xhhhhh將x0= -1.5，x1=0，f(x0)=0.125， f(x1) = -1，M0 = -5，M1= 4代入，整理后得 32

55、0( )21 1.5,0Sxxxx 3311221111()()()66 ()() 66 (,; 0,1, 2,1) (4.53)kkkkkkkkkkkkkkkkkkkxxxxSxMMhhMhxxMhxxfxfxhhxxxkn 同理可得 21( )21 0,1S xxx322( ) 2463 1,2S xxxxx故所求三次樣條插值函數(shù)為)21 ( 3642) 10( 12)05 . 1( 1223223xxxxxxxxx求它的自然三次樣條插值函數(shù)S(x) x-3-1034y711265629例例 已知函數(shù)y=f (x)的函數(shù)值如下 解解 先根據(jù)給定數(shù)據(jù)和邊界條件算出 、 與 ，寫出確定Mi的線

56、性方程組。在本例中，給出的是第（2）種邊界條件，確定Mi（i=0,1,2,3,4）的線性方程組為 iidi111102222222211112()2(2) 22()nnnnnnnnnMdfxMdMdMdfx x-3-1034f(x)711265629h0=2 h1=1 h2=3 h3=1f x0, x1 = 2 f x1, x2 =15 f x2, x3=10 f x3, x4 =-27 于是由 、 與 （i=0,1,2,n-1）的算式知 iiid3/214/123/114/32261d215/2d 4/334/132/1113d1111,1 (1,2,.,1)6 ,)kkkkkkkkkkhhhkndf xxx由第自然邊界條件下0()()0nfxfx0 40 MM則故確定M1、M2與M3的方程組為 2/1112/1526 23/43/421/41/32 321MMM3/213/114/32261d215/ 2d 4/334/132/1113d4/12111102222222211112()2(2) 22()nnnnnnnnnMdfxMdMdMdfx M1=12，M2=6，M3= - 30 最后將所得Mk代入S(x)在各子區(qū)間上的表達(dá)式Sk(x)（k=0,1,2,n-1）。整理后得：)43( 163208605) 30( 261932)01(