由一堂探索性問題專題課想到的 - 中小學(xué)教育網(wǎng)

1、一堂“探索性問題”專題課教學(xué)實錄及啟示222300江蘇省東海高級中學(xué)翟小軍對探索性問題的研究一直是數(shù)學(xué)中的一個熱點, 它對于知識的交融及方法的靈活運用都有著較高要求, 而高考命題的一個最大的特點就是著重于在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯處命題, 從而體現(xiàn)高考命題的綜合性、靈活性, 所以對學(xué)生來講它既是一個重點, 也是一個難點. 對于這方面的教學(xué), 筆者認為著眼點不能僅僅局限于多講或多練幾個題目、總結(jié)幾種方法,而應(yīng)充分調(diào)動學(xué)生求知與探索的欲望, 激發(fā)他們的自信, 進而培養(yǎng)他們解決探索性問題的能力. 這里的關(guān)鍵是老師如何起到穿針引線的作用.不久前, 筆者就探索性問題的教學(xué)作了一個嘗試, 現(xiàn)呈現(xiàn)給大家, 權(quán)當(dāng)拋磚引

2、玉.問題1是否存在實數(shù)a、b 使得f (x ) =ax + b 對于所有的x 0, 2 都有 f (x ) - co sx f (x ) sinx 成立?若存在, 試確定a、b 的值. 若不存在, 說明理由.師:這是一道對于存在性的探索問題, 對于這種問題, 我們的一般思路都是先假設(shè)其存在, 然后根據(jù)題意進行推導(dǎo), 如能得出a、b 的值, 則可以斷定其存在, 如出現(xiàn)矛盾, 則可以斷定其不存在. 下面請同學(xué)們自己化簡處理一下.（兩分鐘后, 學(xué)生的結(jié)果基本得出.）生1: 首先得到 f (x ) - ,進一步化簡得 f (x ) ,即 ax + b ,下面我就不會做了.(一陣善意的輕笑聲)師: 先談

3、談我的看法, 首先“生1”同學(xué)的化法還是很好的, 得到的這個式子對于所有的x 0, 2 恒成立, 所以我們不妨取x = 0、2三個值看看，當(dāng)x = 0 時, 可得0 b 1 ； 當(dāng)x = 時, 可得- 1 a+ b 0 當(dāng)x = 2時, 可得0 2a + b 1 由 可得- 3 b 0, 這與 矛盾,所以滿足條件的a、b 值不存在. 完畢.(教室里一陣寂靜, 然后又是一片議論聲)生2: 老師, 首先我肯定你的結(jié)論是對的,但是你怎么知道應(yīng)該取0、2三個值的呢?我剛剛?cè)×?、, 三個值, 得出的結(jié)論卻并不矛盾啊, 所以我認為你的這種解法有點牽強.( 臺下一片贊嘆聲, 我知道, 他們一方面是同意他的

4、觀點, 另一方面是佩服他的勇氣)師: 這位同學(xué)說的很對, 我也同意他的觀點, 我也是經(jīng)過多次嘗試才找到這種解法的,既然大家都同意這個觀點, 那我們能不能來找一找有沒有別的解法?(大家一副躍躍欲試的表情, 分成幾個小組, 然后展開討論, 5 分鐘后)生3: (興奮地) 我知道了, 不用這么復(fù)雜, ax + b 0, 同時ax + b 小于 的最小值, 即ax + b 0, 而這兩者應(yīng)同時滿足, 顯然是矛盾的, 所以符合條件的a、b 值不存在. 完畢.(一片驚嘆聲, 老師微笑而不語, 一會兒)生4: 這種判斷方法是不對的. (又是一片驚詫聲, 目光又轉(zhuǎn)向了我)師: 那你先說說不對的理由.生4: 不

5、等式中的恒成立問題, 其不等號的兩邊應(yīng)是相互獨立的, 而本題中ax + b 的值與、 有關(guān), 所以不能用這種方法來判斷.師: 那能不能具體說說原因呢?大家可以討論一下.(此時教室內(nèi)的氣氛非常熱烈, 大家又開始討論了起來)生5: 我知道了, ax + b 小于 的最小值只是不等式ax + b 0 恒成立, 求實數(shù)a 的取值范圍.解答: 原不等式變形為: ax + 3 x2 .設(shè)g (x ) = ax + 3, h (x ) = x2. 由于x 0,1 時, h (x )max = 0, 所以欲使f (x ) = x2 + ax + 3 0 對x 0, 1 恒成立, 只要g (x ) = ax+

6、3 0 對x 0, 1 恒成立, 故只需即a - 3.故a 的取值范圍為(- 3, + ).師: 請大家分組討論一下, 看解答是否有誤, 你認為應(yīng)該怎樣解?5分鐘后, 我們請每個小組派一名代表發(fā)言.（教室里又充滿了積極的研討氣氛5 分鐘后）生6: (代表第一小組發(fā)言) 原不等式成立, 當(dāng)且僅當(dāng)f (x ) 在 0, 1 上的最小值大于零.f (x ) = (x + ) 2 + 3,故有或或由此可得a - 4,即a 的取值范圍為(- 4, + ).生7: (代表第二小組發(fā)言) 我們采用的是分離變量法:(1) 當(dāng)x = 0 時, 原不等式顯然成立.(2) 當(dāng)x (0, 1 時, 原不等式等價于a

7、- (x +).設(shè)g (x ) = - (x +),易證g (x ) 在 (0, 1 上是增函數(shù), 故g (x ) 在(0, 1 上的最大值為g (1) = - 4, 從而得a - 4, 即所求a 的取值范圍為(- 4, + ).師: 這個問題的解決過程再次肯定了生4和生5 同學(xué)的觀點是正確的, 以后大家在處理類似問題的時候一定要引起注意.師: 那對于問題1 大家還有沒有別的想法呢?生8: 老師, 我找到一種方法, 但不知對不對.師: 大膽的說出來, 每一種想法對于我們來講都是無價之寶. (鼓勵, 自信心是創(chuàng)造力的源泉)生8: 由 f (x )2 可得2f (x ) - 1 co sx 2f

8、(x ) + 1, 利用數(shù)形結(jié)合, 先畫出y = co sx 在 0, 2 內(nèi)的圖像,2f (x ) - 1 co sx 要成立, 則2f (x ) - 1 的圖像在 0, 2 內(nèi)的部分應(yīng)在co sx 圖像的下方,而2f (x ) + 1 的圖像可由2f (x ) - 1 的圖像向上平移2 個單位得到, 所以其圖像必與co sx的圖像有交點, 即co sx 0 恒成立, 求實數(shù)a 的取值范圍.(2) 已知點Pn (an , bn) 都在直線l: y = 2x+ 2 上, P1 為直線l與x 軸的交點, 數(shù)列an 成等差數(shù)列, 公差為1, (n N+ ). 求數(shù)列an, bn 的通項公式; 若f

9、 (n) =，問是否存在k N+ , 使得f (k + 5) = 2f (k ) - 2 成立; 若存在, 求出k 的值, 若不存在, 說明理由.啟示:(1)“運籌于帷幄之中, 決勝于千里之外”, 在整個的課堂教學(xué)中, 老師只是充當(dāng)了一個導(dǎo)演的角色, 但一個好導(dǎo)演必須肚中有貨, 各種分寸把握得當(dāng), 過程設(shè)計精致才行.(2) 永遠不要對學(xué)生的思維說“不”, 每一種想法都有其可貴的一面, 也許其不夠全面,但事物永遠沒有一成不變的道理, 老師應(yīng)鼓勵學(xué)生大膽的去想, 勇敢的去想.(3) 把學(xué)習(xí)過程當(dāng)作一種活動, 充分調(diào)動學(xué)生的積極性,讓更多的學(xué)生活動起來, 參與到學(xué)習(xí)的活動中來. 尤其對于探索性問題的學(xué)習(xí)更應(yīng)如此.(4) 在課堂教學(xué)中, 老師還要能善于處理一些突發(fā)的問題, 抓住一些思維的閃光點, 就像生8 的精彩發(fā)言一樣, 是我課前沒有想到的,從而把氣氛推向高潮, 達到一種良好的教學(xué)效果.附思考題答案:(1) a 3(2) P1 (- 1, 0) ,an = n - 2, bn = 2n - 2.f (n) =假設(shè)存在符合條件的k:若k 為偶數(shù), 則k + 5 為奇數(shù), 有f (k + 5)= k + 3, f (k ) = 2k - 2.如果f (k + 5) = 2f (k ) - 2, 則k