高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)教學(xué)案(基礎(chǔ)知識+高頻考點+解題訓(xùn)練)二元一次不等式(組)及簡單的線性規(guī)劃問題(含解析)

1、第三節(jié)二元一次不等式(組)及簡單的線性規(guī)劃問題知識能否憶起1二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域(1)在平面直角坐標系中二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域：不等式表示區(qū)域AxByC0直線AxByC0某一側(cè)的所有點組成的平面區(qū)域不包括邊界直線AxByC0包括邊界直線不等式組各個不等式所表示平面區(qū)域的公共部分(2)二元一次不等式表示的平面區(qū)域的確定：二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的確定，一般是取不在直線上的點(x0，y0)作為測試點來進行判定，滿足不等式的，則平面區(qū)域在測試點所在的直線的一側(cè)，反之在直線的另一側(cè)2線性規(guī)劃中的基本概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的不等式(組)線性約束條件由x，y的

2、一次不等式(或方程)組成的不等式(組)目標函數(shù)關(guān)于x，y的函數(shù)解析式，如z2x3y等線性目標函數(shù)關(guān)于x，y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解(x，y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標函數(shù)的最大值或最小值問題小題能否全取1.(教材習(xí)題改編)如圖所示的平面區(qū)域(陰影部分)，用不等式表示為()A2xy30B2xy30C2xy30 D2xy30解析：選B將原點(0,0)代入2xy3得2×00330，所以不等式為2xy30.2(教材習(xí)題改編)已知實數(shù)x、y滿足則此不等式組表示的平面區(qū)域的面積是()A.B.C1 D.解

3、析：選A作出可行域為如圖所示的三角形，S×1×1.3(2012·安徽高考)若x，y滿足約束條件則zxy的最小值是()A3 B0C. D3解析：選A根據(jù)得可行域如圖中陰影部分所示，根據(jù)zxy得yxz，平移直線yx，當其經(jīng)過點(0,3)時取得最小值3.4.寫出能表示圖中陰影部分的二元一次不等式組是_解析：由可行域知不等式組為答案：5完成一項裝修工程需要木工和瓦工共同完成請木工需付工資每人50元，請瓦工需付工資每人40元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算2 000元，設(shè)木工x人，瓦工y人，則所請工人數(shù)的約束條件是_答案：1.確定二元一次不等式表示平面區(qū)域的方法與技巧確定二元一次不等式表

4、示的平面區(qū)域時，經(jīng)常采用“直線定界，特殊點定域”的方法(1)直線定界，即若不等式不含等號，則應(yīng)把直線畫成虛線；若不等式含有等號，把直線畫成實線；(2)特殊點定域，即在直線AxByC0的某一側(cè)取一個特殊點(x0，y0)作為測試點代入不等式檢驗，若滿足不等式，則表示的就是包括該點的這一側(cè)，否則就表示直線的另一側(cè)特別地，當C 0時，常把原點作為測試點；當C0時，常選點(1,0)或者(0,1)作為測試點2最優(yōu)解問題如果可行域是一個多邊形，那么目標函數(shù)一般在某頂點處取得最大值或最小值，最優(yōu)解就是該點的坐標，到底哪個頂點為最優(yōu)解，只要將目標函數(shù)的直線平行移動，最先通過或最后通過的頂點便是特別地，當表示線性

5、目標函數(shù)的直線與可行域的某條邊平行時，其最優(yōu)解可能有無數(shù)個二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域典題導(dǎo)入例1(2011·湖北高考)直線2xy100與不等式組表示的平面區(qū)域的公共點有()A0個B1個C2個 D無數(shù)個自主解答由不等式組畫出平面區(qū)域如圖(陰影部分)直線2xy100恰過點A(5,0)，且斜率k2kAB，即直線2xy100與平面區(qū)域僅有一個公共點A(5,0)答案B由題悟法二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域的判斷方法：直線定界，測試點定域注意：不等式中不等號有無等號，無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實線測試點可以選一個，也可以選多個，若直線不過原點，測試點常選取原點以題試法1(1)

6、(2012·海淀期中)若滿足條件的整點(x，y)恰有9個，其中整點是指橫、縱坐標都是整數(shù)的點，則整數(shù)a的值為()A3 B2C1 D0(2)(2012·北京朝陽期末)在平面直角坐標系中，不等式組所表示的平面區(qū)域的面積是9，則實數(shù)a的值為_解析：(1)不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分，當a0時，只有4個整點(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；當a1時，正好增加(1，1)，(0，1)，(1，1)，(2，1)，(3，1)5個整點，故選C.(2)不等式組所表示的平面區(qū)域是如圖所示的ABC，且A(2,2)，B(a，a4)，C(a，a)，若a0，則有ABC的面積SABC

7、4，故a0，BC的長為2a4，由面積公式可得ABC的面積SABC(a2)·(2a4)9，解得a1.答案：(1)C(2)1求目標函數(shù)的最值典題導(dǎo)入例2(1)(2012·新課標全國卷)設(shè)x，y滿足約束條件則zx2y的取值范圍為_(2)(2012·廣州調(diào)研)已知實數(shù)x，y滿足若目標函數(shù)zaxy(a0)取得最小值時的最優(yōu)解有無數(shù)個，則實數(shù)a的值為_自主解答(1)依題意，畫出可行域，如圖陰影部分所示，顯然，當直線yx過點B(1,2)時，z取得最小值為3；當直線過點A(3,0)時，z取得最大值為3，綜上可知z的取值范圍為3,3(2)畫出平面區(qū)域所表示的圖形，如圖中的陰影部分所

8、示，平移直線axy0，可知當平移到與直線2x2y10重合，即a1時，目標函數(shù)zaxy的最小值有無數(shù)多個答案(1)3,3(2)1若本例(2)條件變?yōu)槟繕撕瘮?shù)zaxy(a0)僅在點處取得最小值，其它條件不變，求a的取值范圍解：由本例圖知，當直線axy0的斜率ka1，即a1時，滿足條件，所求a的取值范圍為(，1)由題悟法1求目標函數(shù)的最值的一般步驟為：一畫二移三求其關(guān)鍵是準確作出可行域，理解目標函數(shù)的意義2常見的目標函數(shù)有：(1)截距型：形如zaxby.求這類目標函數(shù)的最值常將函數(shù)zaxby轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：yx，通過求直線的截距的最值間接求出z的最值(2)距離型：形如z(xa)2(yb)2.(3

9、)斜率型：形如z.注意：轉(zhuǎn)化的等價性及幾何意義以題試法2(1)設(shè)z2xy，其中x，y滿足若z的最大值為6，則k的值為_；z的最小值為_(2)已知O是坐標原點，點A(1,0)，若點M(x，y)為平面區(qū)域上的一個動點，則|的最小值是_解析：(1)在坐標平面內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域及直線2xy6，結(jié)合圖形分析可知，要使z2xy的最大值是6，直線yk必過直線2xy6與xy0的交點，即必過點(2,2)，于是有k2；平移直線2xy6，當平移到經(jīng)過該平面區(qū)域內(nèi)的點(2,2)時，相應(yīng)直線在y軸上的截距達到最小，此時z2xy取得最小值，最小值是z2×(2)22.(2)依題意得，(x1，y)，

10、|可視為點(x，y)與點(1,0)間的距離，在坐標平面內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖形可知，在該平面區(qū)域內(nèi)的點中，由點(1,0)向直線xy2引垂線的垂足位于該平面區(qū)域內(nèi)，且與點(1,0)的距離最小，因此|的最小值是.答案：(1)22(2)線性規(guī)劃的實際應(yīng)用典題導(dǎo)入例3(2012·四川高考)某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中，要求每天消耗A、B原料都不超過12千克通過合理安排生產(chǎn)計劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種

11、產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤是()A1 800元B2 400元C2 800元 D3 100元自主解答設(shè)每天分別生產(chǎn)甲產(chǎn)品x桶，乙產(chǎn)品y桶，相應(yīng)的利潤為z元，則z300x400y，在坐標平面內(nèi)畫出該不等式組表示的平面區(qū)域及直線300x400y0，平移該直線，當平移到經(jīng)過該平面區(qū)域內(nèi)的點A(4,4)時，相應(yīng)直線在y軸上的截距達到最大，此時z300x400y取得最大值，最大值是z300×4400×42 800，即該公司可獲得的最大利潤是2 800元答案C由題悟法與線性規(guī)劃有關(guān)的應(yīng)用問題，通常涉及最優(yōu)化問題如用料最省、獲利最大等，其解題步驟是：設(shè)未知數(shù)，確定線性約束條件及目標函數(shù)

12、；轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃模型；解該線性規(guī)劃問題，求出最優(yōu)解；調(diào)整最優(yōu)解以題試法3(2012·南通模擬)鐵礦石A和B的含鐵率a，冶煉每萬噸鐵礦石的CO2的排放量b及每萬噸鐵礦石的價格c如下表：ab(萬噸)c(百萬元)A50%13B70%0.56某冶煉廠至少要生產(chǎn)1.9(萬噸)鐵，若要求CO2的排放量不超過2(萬噸)，則購買鐵礦石的最少費用為_百萬元解析：可設(shè)需購買A鐵礦石x萬噸，B鐵礦石y萬噸，則根據(jù)題意得到約束條件為目標函數(shù)為z3x6y，畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示當目標函數(shù)經(jīng)過(1,2)點時目標函數(shù)取最小值，最小值為zmin3×16×215.答案：151(2012

13、·三明模擬)已知點(3，1)和點(4，6)在直線3x2ya0的兩側(cè)，則a的取值范圍為()A(24,7)B(7,24)C(，7)(24，) D(，24)(7，)解析：選B根據(jù)題意知(92a)·(1212a)0.即(a7)(a24)0，解得7a24.2已知實數(shù)對(x，y)滿足則2xy取最小值時的最優(yōu)解是()A6 B3C(2,2) D(1,1)解析：選D約束條件表示的可行域如圖中陰影三角形，令z2xy，y2xz，作初始直線l0：y2x，作與l0平行的直線l，則直線經(jīng)過點(1,1)時，(2xy)min3.3(2012·山東高考)設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)z3xy的

14、取值范圍是()A. B.C1,6 D.解析：選A不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，目標函數(shù)的幾何意義是直線在y軸上截距的相反數(shù)，其最大值在點A(2,0)處取得，最小值在點B處取得，即最大值為6，最小值為.4在不等式組確定的平面區(qū)域中，若zx2y的最大值為3，則a的值是()A1 B2C3 D4解析：選A如圖所示，作出可行域，是一個三角形區(qū)域，而由圖可知，目標函數(shù)zx2y在點A(a，a)處取得最值，故a2a3，解得a1.5(2012·石家莊質(zhì)檢)已知點Q(5,4)，動點P(x，y)滿足則|PQ|的最小值為()A5 B.C2 D7解析：選A不等式組所表示的可行域如圖所示，直線AB的方程為xy

15、20，過Q點且與直線AB垂直的直線為y4x5，即xy10，其與直線xy20的交點為，而B(1,1)，A(0,2)，因為1，所以點Q在直線xy20上的射影不在線段AB上，則|PQ|的最小值即為點Q到點B的距離，故|PQ|min5.6(2013·山東煙臺模擬)已知A(3，)，O是坐標原點，點P(x，y)的坐標滿足設(shè) Z為在上的投影，則Z的取值范圍是()A， B3,3C，3 D3， 解析：選B約束條件所表示的平面區(qū)域如圖在上的投影為|·cos 2cos (為與的夾角)，xOA30°，xOB60°，30°150°，2cos 3,37(2013

16、·成都月考)若點P(m,3)到直線4x3y10的距離為4，且點P在不等式2xy3表示的平面區(qū)域內(nèi)，則m_.解析：由題意可得解得m3.答案：38(2012·“江南十?！甭?lián)考)已知x，y滿足則x2y2的最大值為_解析：作出如圖所示的可行域x2y2表示可行域內(nèi)的點到原點的距離的平方，易知在點A(3，4)處取最大值(3)2(4)225.答案：259(2012·上海高考)滿足約束條件|x|2|y|2的目標函數(shù)zyx的最小值是_解析：由題意知約束條件表示的可行域為如圖所示的菱形區(qū)域，所以當x2，y0時，目標函數(shù)zyx取得最小值2.答案：210畫出不等式組表示的平面區(qū)域，并回答

17、下列問題：(1)指出x，y的取值范圍；(2)平面區(qū)域內(nèi)有多少個整點？解：(1)不等式xy50表示直線xy50上及右下方的點的集合xy0表示直線xy0上及右上方的點的集合，x3表示直線x3上及左方的點的集合所以，不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示結(jié)合圖中可行域得x，y3,8(2)由圖形及不等式組知當x3時，3y8，有12個整點；當x2時，2y7，有10個整點；當x1時，1y6，有8個整點；當x0時，0y5，有6個整點；當x1時，1y4，有4個整點；當x2時，2y3，有2個整點；所以平面區(qū)域內(nèi)的整點共有2468101242(個)11某玩具生產(chǎn)公司每天計劃生產(chǎn)衛(wèi)兵、騎兵、傘兵這三種玩具共100個，生產(chǎn)一

18、個衛(wèi)兵需5分鐘，生產(chǎn)一個騎兵需7分鐘，生產(chǎn)一個傘兵需4分鐘，已知總生產(chǎn)時間不超過10小時若生產(chǎn)一個衛(wèi)兵可獲利潤5元，生產(chǎn)一個騎兵可獲利潤6元，生產(chǎn)一個傘兵可獲利潤3元(1)用每天生產(chǎn)的衛(wèi)兵個數(shù)x與騎兵個數(shù)y表示每天的利潤W(元)；(2)怎樣分配生產(chǎn)任務(wù)才能使每天的利潤最大，最大利潤是多少？解：(1)依題意每天生產(chǎn)的傘兵個數(shù)為100xy，所以利潤W5x6y3(100xy)2x3y300.(2)約束條件為整理得目標函數(shù)為W2x3y300，如圖所示，作出可行域初始直線l0：2x3y0，平移初始直線經(jīng)過點A時，W有最大值由得最優(yōu)解為A(50,50)，所以Wmax550(元)答：每天生產(chǎn)衛(wèi)兵50個，騎兵

19、50個，傘兵0個時利潤最大，為550元12變量x、y滿足(1)設(shè)z，求z的最小值；(2)設(shè)zx2y2，求z的取值范圍解：由約束條件作出(x，y)的可行域如圖所示由解得A.由解得C(1,1)由解得B(5,2)(1)z表示的幾何意義是可行域中的點與原點O連線的斜率. 觀察圖形可知zminkOB.(2)zx2y2的幾何意義是可行域上的點到原點O的距離的平方結(jié)合圖形可知，可行域上的點到原點的距離中，dmin|OC|，dmax|OB|. 故z的取值范圍為2,291(2012·龍巖階段性檢測)在平面直角坐標系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積為5，直線mxym0過該平面區(qū)域，則m的最大值是_解析：

20、平面區(qū)域如圖所示，A(a,2a)，B.SOAB××aa25，a2，即A(2,4)，B(2，1)又mxym0過定點(1,0)，即ymxm，斜率m的最大值為過A點時的值為.答案：2(2012·濟南質(zhì)檢)已知實數(shù)x，y滿足|2xy1|x2y2|，且1y1，則z2xy的最大值為()A6B5C4 D3解析：選B|2xy1|x2y2|等價于(2xy1)2(x2y2)2，即x2(y1)2，即|x|y1|.又1y1，作出可行域如圖陰影部分所示則當目標函數(shù)過C(2,1)時取得最大值，所以zmax2×215.3若x，y滿足約束條件(1)求目標函數(shù)zxy的最值(2)若目標函數(shù)za