第二章 導(dǎo)熱基本定律和導(dǎo)熱微分方程

1、一、付立葉導(dǎo)熱定律一、付立葉導(dǎo)熱定律熱導(dǎo)率（導(dǎo)熱系數(shù)）熱導(dǎo)率（導(dǎo)熱系數(shù)）（Thermal conductivity）W (mC):導(dǎo)熱基本定律：導(dǎo)熱基本定律：垂直導(dǎo)過等溫面的熱流密度，正比于該處垂直導(dǎo)過等溫面的熱流密度，正比于該處的溫度梯度，方向與溫度梯度相反。的溫度梯度，方向與溫度梯度相反。直角坐標(biāo)系中：直角坐標(biāo)系中：一維導(dǎo)熱：一維導(dǎo)熱：注：注：傅里葉定律只適用于傅里葉定律只適用于各向同性材料各向同性材料各向同性材料：各向同性材料：熱導(dǎo)率在各個(gè)方向是相同的熱導(dǎo)率在各個(gè)方向是相同的各向異性材料中：各向異性材料中： 有些天然和人造材料，如：石英、木材、疊層有些天然和人造材料，如：石英、木材、疊層

2、塑料板、疊層金屬板，其導(dǎo)熱系數(shù)隨方向而變化塑料板、疊層金屬板，其導(dǎo)熱系數(shù)隨方向而變化 各向異性材料各向異性材料二、導(dǎo)熱系數(shù)二、導(dǎo)熱系數(shù) 物質(zhì)的重要熱物性參數(shù)物質(zhì)的重要熱物性參數(shù)2.2.影響熱導(dǎo)率的因素：影響熱導(dǎo)率的因素：物質(zhì)的種類、材料成分、溫度、物質(zhì)的種類、材料成分、溫度、濕度、壓力、密度等。濕度、壓力、密度等。W (mC)1.1.熱導(dǎo)率的數(shù)值：熱導(dǎo)率的數(shù)值：就是物體中單位溫度梯度、單位時(shí)間、就是物體中單位溫度梯度、單位時(shí)間、通過單位面積的導(dǎo)熱量，表征物質(zhì)導(dǎo)熱能力大小。通過單位面積的導(dǎo)熱量，表征物質(zhì)導(dǎo)熱能力大小。（實(shí)驗(yàn)（實(shí)驗(yàn)測定）測定）3.3.溫度的影響：溫度的影響：式中：式中： 為溫度為為

3、溫度為tt的導(dǎo)熱系數(shù)；的導(dǎo)熱系數(shù)；o為溫度為為溫度為00的導(dǎo)熱系數(shù)；的導(dǎo)熱系數(shù)； 為材料為材料導(dǎo)熱系數(shù)導(dǎo)熱系數(shù)的溫度系數(shù)，為實(shí)驗(yàn)值。的溫度系數(shù)，為實(shí)驗(yàn)值。 4.4.保溫材料：保溫材料： 國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，溫度低于國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，溫度低于350350度時(shí)熱導(dǎo)率小于度時(shí)熱導(dǎo)率小于0.12W/(0.12W/(m mK)K) 的材料（絕熱材料）。的材料（絕熱材料）。1.1.氣體氣體導(dǎo)熱導(dǎo)熱氣體分子不規(guī)則熱運(yùn)動導(dǎo)致相互碰撞的結(jié)果氣體分子不規(guī)則熱運(yùn)動導(dǎo)致相互碰撞的結(jié)果三、導(dǎo)熱的物理本質(zhì)三、導(dǎo)熱的物理本質(zhì)氣體的熱導(dǎo)率：氣體的熱導(dǎo)率：0.0060.6W (m C)氣體0: 0.0244W (m C) ;C空氣20:

4、 0.026W (m C) C空氣氣體分子運(yùn)動理論：常溫常壓下氣體熱導(dǎo)率可表示為：氣體分子運(yùn)動理論：常溫常壓下氣體熱導(dǎo)率可表示為：n氣體的壓力升高時(shí)：氣體的密度增大、平均自由行程減氣體的壓力升高時(shí)：氣體的密度增大、平均自由行程減小、而兩者的乘積保持不變。小、而兩者的乘積保持不變。：氣體分子運(yùn)動的均方根速度氣體分子運(yùn)動的均方根速度：氣體分子在兩次碰撞間平均自由行程氣體分子在兩次碰撞間平均自由行程：氣體的密度；氣體的密度；：氣體的定容比熱氣體的定容比熱13vulculvcn除非壓力很低或很高，在除非壓力很低或很高，在2.672.67* *1010-3-3MPaMPa2.02.0* *10103 3

5、MPaMPa范圍內(nèi)，范圍內(nèi)，氣體的熱導(dǎo)率基本不隨壓力變化。氣體的熱導(dǎo)率基本不隨壓力變化。n氣體的溫度升高時(shí)：氣體的溫度升高時(shí)：氣體分子運(yùn)動速度和定容比熱隨氣體分子運(yùn)動速度和定容比熱隨T T 升高而增大。升高而增大。氣體的熱導(dǎo)率隨溫度升高而增大。氣體的熱導(dǎo)率隨溫度升高而增大。n分子質(zhì)量小的氣體（分子質(zhì)量小的氣體（H H2 2、H He e）熱導(dǎo)率較大熱導(dǎo)率較大 分子運(yùn)分子運(yùn)動速度高動速度高。（。（如下圖如下圖）2.2.導(dǎo)熱導(dǎo)熱自由電子運(yùn)動、碰撞的結(jié)果（與氣體類似）自由電子運(yùn)動、碰撞的結(jié)果（與氣體類似）（1 1）純金屬純金屬的導(dǎo)熱：的導(dǎo)熱：依靠自由電子的遷移依靠自由電子的遷移和和晶格的振動晶格的振

6、動( (主主要依靠要依靠前者前者）n金屬導(dǎo)熱與導(dǎo)電機(jī)理一致；良導(dǎo)電體為良導(dǎo)熱體：金屬導(dǎo)熱與導(dǎo)電機(jī)理一致；良導(dǎo)電體為良導(dǎo)熱體：n 晶格振動的加強(qiáng)干擾自由電子運(yùn)動晶格振動的加強(qiáng)干擾自由電子運(yùn)動CuCu10K:12000W (m C)15K :7000W (m C)（2 2）合金：金屬中摻入任何雜質(zhì)將破壞晶格的完整性，）合金：金屬中摻入任何雜質(zhì)將破壞晶格的完整性， 干擾自由電子的運(yùn)動干擾自由電子的運(yùn)動如常溫下：如常溫下：0398w/m. c純銅0109w/m. c黃銅黃銅：黃銅：70%Cu, 30%Zn70%Cu, 30%Znn金屬的加工過程也會金屬的加工過程也會造成晶格的缺陷造成晶格的缺陷n合金的

7、導(dǎo)熱：依靠自由電子的遷移和合金的導(dǎo)熱：依靠自由電子的遷移和晶格的振動晶格的振動；n 主要依靠主要依靠后者后者n溫度升高溫度升高晶格振動加強(qiáng)晶格振動加強(qiáng)導(dǎo)熱增強(qiáng)導(dǎo)熱增強(qiáng)與純金屬相反與純金屬相反n非金屬的導(dǎo)熱：非金屬的導(dǎo)熱：依靠晶格的振動依靠晶格的振動傳遞熱量；比較小傳遞熱量；比較小n建筑隔熱保溫材料：建筑隔熱保溫材料：3.3.非金屬固體非金屬固體導(dǎo)熱導(dǎo)熱晶格振動、碰撞的結(jié)果晶格振動、碰撞的結(jié)果n大多數(shù)建筑材料和絕熱材料具有多孔或纖維結(jié)構(gòu)大多數(shù)建筑材料和絕熱材料具有多孔或纖維結(jié)構(gòu)n多孔材料的熱導(dǎo)率與多孔材料的熱導(dǎo)率與密度密度和和濕度濕度有關(guān)有關(guān)0.0253W (m C)與合金相似與合金相似4.4.

8、液體液體導(dǎo)熱導(dǎo)熱氣體導(dǎo)熱機(jī)制非導(dǎo)電固體導(dǎo)電機(jī)制。氣體導(dǎo)熱機(jī)制非導(dǎo)電固體導(dǎo)電機(jī)制。液體的導(dǎo)熱：主要液體的導(dǎo)熱：主要依靠晶格的振動依靠晶格的振動（1 1）大多數(shù)液體（分子量）大多數(shù)液體（分子量M M不變）：不變）：（2 2）液體的熱導(dǎo)率隨壓力）液體的熱導(dǎo)率隨壓力p p的升高而增大的升高而增大 水和甘油等強(qiáng)締合液體，分子量變化，并隨溫度而變化。在不同溫度水和甘油等強(qiáng)締合液體，分子量變化，并隨溫度而變化。在不同溫度下，熱導(dǎo)率隨溫度的變化規(guī)律不一樣。下，熱導(dǎo)率隨溫度的變化規(guī)律不一樣。一、一、 導(dǎo)熱微分方程的推導(dǎo)導(dǎo)熱微分方程的推導(dǎo)傅里葉定律傅里葉定律 + + 熱力學(xué)第一定律熱力學(xué)第一定律(1) (1) 所

9、研究的物體是所研究的物體是各向同性各向同性的連續(xù)介質(zhì)。的連續(xù)介質(zhì)。 (2) (2) 熱導(dǎo)率、比熱容和密度均為已知。熱導(dǎo)率、比熱容和密度均為已知。 (3) (3) 物體內(nèi)具有內(nèi)熱源：內(nèi)熱源均勻分布；物體內(nèi)具有內(nèi)熱源：內(nèi)熱源均勻分布；q qv v表表示單位體積的導(dǎo)熱體在單位時(shí)間內(nèi)放出的熱量示單位體積的導(dǎo)熱體在單位時(shí)間內(nèi)放出的熱量W/mW/m3 3 。據(jù)付立葉定律：據(jù)付立葉定律：沿沿x x 軸方向、軸方向、x+dxx+dx的熱流密度：的熱流密度：同理，沿同理，沿y y、z z 軸方向的熱流密度：軸方向的熱流密度：dydxdztdxdzdytdydzdxtdydxddzzqqdxdzddyyqqdyd

10、zddxxqqdydxdqdxdzdqdydzdqQQQzzyyxxdzzdyydxxdzzdyydxx導(dǎo)出總熱量dxdydzdztdxdydzdytdxdydzdxt222內(nèi)熱源發(fā)熱量內(nèi)熱源發(fā)熱量 dxdydzdqvvqvqvq式中，式中， 內(nèi)熱源發(fā)熱率（內(nèi)熱源發(fā)熱率（w/w/），表示每單位體積微元體單位），表示每單位體積微元體單位時(shí)間發(fā)出的熱量，如為吸熱時(shí)間發(fā)出的熱量，如為吸熱, , 則則 0， 可以是坐標(biāo)、時(shí)間的可以是坐標(biāo)、時(shí)間的函數(shù)。函數(shù)。熱蓄集熱蓄集dxdydzdtCn微元體熱焓的變化（質(zhì)量為微元體熱焓的變化（質(zhì)量為mkgmkg）：）：(d )tmc tdxdydzcdnd d 時(shí)間

11、內(nèi)微元體中熱力學(xué)能的增量。時(shí)間內(nèi)微元體中熱力學(xué)能的增量。導(dǎo)熱微分方程導(dǎo)熱微分方程 二、導(dǎo)溫系數(shù)（熱擴(kuò)散率）二、導(dǎo)溫系數(shù)（熱擴(kuò)散率）(1)(1)物理意義物理意義綜合反映綜合反映導(dǎo)熱能力導(dǎo)熱能力和和蓄熱能力蓄熱能力。a a大則導(dǎo)熱能大則導(dǎo)熱能力強(qiáng)而蓄熱能力弱，溫度變化傳播快，整個(gè)材料的溫度趨于均力強(qiáng)而蓄熱能力弱，溫度變化傳播快，整個(gè)材料的溫度趨于均勻化；反之則反。勻化；反之則反。(2)a(2)a與與的比較的比較(3)a(3)a只在只在非穩(wěn)態(tài)傳熱非穩(wěn)態(tài)傳熱過程中起作用。對穩(wěn)態(tài)傳熱：過程中起作用。對穩(wěn)態(tài)傳熱：三、導(dǎo)熱微分方程的簡化三、導(dǎo)熱微分方程的簡化無內(nèi)熱源：無內(nèi)熱源： 付立葉方程付立葉方程穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

12、：穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱： 泊松方程泊松方程 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱& &無內(nèi)無熱源：無內(nèi)無熱源：拉普拉斯方程拉普拉斯方程 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱& &無內(nèi)無熱源無內(nèi)無熱源& &二維：二維：穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱& &無內(nèi)無熱源無內(nèi)無熱源& &一維：一維：四、非直角坐標(biāo)系的導(dǎo)熱微分方程四、非直角坐標(biāo)系的導(dǎo)熱微分方程 （1 1）圓柱坐標(biāo)系）圓柱坐標(biāo)系（r, r, , z, z）zzryrx ;sin ;cos1rztqrtqrtqz （2 2）球坐標(biāo)系）球坐標(biāo)系（r, r, ， ）11sinrtqrtqrtqr sincos ; sinsin ;

13、cosxryrzr導(dǎo)熱微分方程式導(dǎo)熱微分方程式的的不適應(yīng)不適應(yīng)范圍范圍: : 非傅里葉非傅里葉導(dǎo)熱過程導(dǎo)熱過程n極短極短時(shí)間產(chǎn)時(shí)間產(chǎn)生極大的熱流密度的熱量傳遞現(xiàn)象生極大的熱流密度的熱量傳遞現(xiàn)象，如，如激光激光加工過程加工過程。n極低溫度極低溫度( (接近于接近于0 K)0 K)時(shí)的導(dǎo)熱問題。時(shí)的導(dǎo)熱問題。五、導(dǎo)熱微分方程的定解條件五、導(dǎo)熱微分方程的定解條件 （1 1）定解條件的定義）定解條件的定義使微分方程得到特定解的附加條件使微分方程得到特定解的附加條件( (數(shù)學(xué)稱謂數(shù)學(xué)稱謂) )。（2 2）定解條件的分類）定解條件的分類A.A.幾何條件幾何條件幾何形狀，如：平壁或圓筒壁；厚度、幾何形狀，如

14、：平壁或圓筒壁；厚度、直徑等（常為已知）。直徑等（常為已知）。B.B.物理?xiàng)l件物理?xiàng)l件說明導(dǎo)熱體的物理特征，如：物性參數(shù)說明導(dǎo)熱體的物理特征，如：物性參數(shù) 、c c 和和 的數(shù)值，是否隨溫度變化；有無內(nèi)熱源、大的數(shù)值，是否隨溫度變化；有無內(nèi)熱源、大小和分布；是否各向同性（常為已知）。小和分布；是否各向同性（常為已知）。C.C.初始條件初始條件初始時(shí)刻的溫度分布；初始時(shí)刻的溫度分布；思考穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱有思考穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱有無初始條件無初始條件 n穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程不需要時(shí)間條件穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程不需要時(shí)間條件 與時(shí)間無關(guān)與時(shí)間無關(guān)n對非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程應(yīng)給出過程開始時(shí)刻導(dǎo)熱體內(nèi)對非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程應(yīng)給出過程開始時(shí)刻導(dǎo)熱體內(nèi)的溫

15、度分布：的溫度分布：D.D.邊界條件邊界條件邊界上的溫度或換熱情況，邊界上的溫度或換熱情況，說明導(dǎo)熱體說明導(dǎo)熱體邊界上過程進(jìn)行的特點(diǎn)反映過程與周圍環(huán)境相互作用的邊界上過程進(jìn)行的特點(diǎn)反映過程與周圍環(huán)境相互作用的條件。條件。a.a.第一類第一類邊界條件邊界條件給定邊界上的給定邊界上的溫度值溫度值。如：。如：wstts s 邊界面邊界面; ; t tw w = f = f ( (x,y,zx,y,z) ) 邊界面上的溫度邊界面上的溫度例：例：120, , wwxttxttoxtw1tw2穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱： t tw w = = constconst非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱： t tw w = f = f ( ( ) )b.b.第二類第二類邊界條件邊界條件給定邊界上的給定邊界上的熱流密度熱流密度。( ,)wsqqfrqw根據(jù)傅里葉定律：根據(jù)傅里葉定律：()wntqn ()wnqtn第二類邊界條件相當(dāng)于已知任何時(shí)刻物體邊界面法向的第二類邊界條件相當(dāng)于已知任何時(shí)刻物體邊界面法向的溫度梯度值溫度梯度值。穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：wqconst()wqf特例：絕熱邊界面特例：絕熱邊界面0 0wwwttqnnc.c.第三類第三類邊界條件邊界條件給定邊界上物體與周圍介質(zhì)間的給