第一節(jié)系統(tǒng)微分方程

1、第三章 系統(tǒng)數(shù)學模型機械工程控制基礎第一節(jié) 系統(tǒng)微分方程 主講人 ：王 輝第三章 系統(tǒng)數(shù)學模型機械工程控制基礎一、控制系統(tǒng)的數(shù)學模型一、控制系統(tǒng)的數(shù)學模型 研究一個自動控制系統(tǒng)，單是分析系統(tǒng)的作用原理及其大致的運動過程是不夠的，還必須同時進行數(shù)量上的分析，才能做到深入掌握自動控制系統(tǒng)運動規(guī)律的實質(zhì)，才能將理論有效的應用到實際工程中去。 第三章 系統(tǒng)數(shù)學模型機械工程控制基礎1、什么是控制系統(tǒng)的數(shù)學模型 描述系統(tǒng)輸入、輸出物理量，以及內(nèi)部物理量之間關系的數(shù)學表達式。2、線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)： 系統(tǒng)的數(shù)學模型能用線性微分方程描述的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。否則為非線性系統(tǒng)第三章 系統(tǒng)數(shù)學模型機械工程控制基礎

2、第三章 系統(tǒng)數(shù)學模型機械工程控制基礎4、數(shù)學模型的類型第三章 系統(tǒng)數(shù)學模型機械工程控制基礎5、系統(tǒng)數(shù)學模型的建立方法 分析法：從元件或系統(tǒng)所依據(jù)的物理或化學規(guī)律出發(fā)，建立數(shù)學模型并經(jīng)實驗驗證。如電學上的歐母定律，力學上的牛頓定律等 實驗法：根據(jù)實驗數(shù)據(jù)，擬合出比較接近實際的數(shù)學模型。如：對實際系統(tǒng)加入一定形式的輸入信號，用求取系統(tǒng)輸出響應的方法建立數(shù)學模型。第三章 系統(tǒng)數(shù)學模型機械工程控制基礎二、二、 列寫系統(tǒng)微分方程式的一般方法列寫系統(tǒng)微分方程式的一般方法 系統(tǒng)微分方程(differential equation)是描述控制系統(tǒng)動態(tài)性能的一種數(shù)學模型。 為使所建立的數(shù)學模型即簡單又具有足夠的

3、精度，在推演系統(tǒng)的數(shù)學模型時，必須對系統(tǒng)作全面深入考察，以求能把那些對系統(tǒng)性能影響較小的一些次要因數(shù)略去。 用解析法推演系統(tǒng)的數(shù)學模型的前提是對系統(tǒng)的作用原理和系統(tǒng)中個元件的物理屬性有著深入的了解。第三章 系統(tǒng)數(shù)學模型機械工程控制基礎用解析法建立系統(tǒng)微分方程式的一般步驟是：用解析法建立系統(tǒng)微分方程式的一般步驟是：(1) 確定系統(tǒng)和各元件的輸入量和輸出量；(2) 根據(jù)基本的物理、化學等定律，列寫出系統(tǒng)中每個元件的輸入與輸出的微分方程式；(3) 在所有元件的方程中消去中間變量，從而求得描述系統(tǒng)輸入與輸出關系的微分方程式。(4) 整理所得的微分方程。將與輸出有關的項放在方程的左側，與輸入有關的項放在

4、方程的右側，各階導數(shù)按降冪排列第三章 系統(tǒng)數(shù)學模型機械工程控制基礎第三章 系統(tǒng)數(shù)學模型機械工程控制基礎1. 電學系統(tǒng)電學系統(tǒng)例例3-1 圖圖3-1為一電路，試寫出輸入電壓與輸出電壓之間的微為一電路，試寫出輸入電壓與輸出電壓之間的微分方程式。分方程式。rcuudtdiLiRidtCuc1解: 根據(jù)基爾霍爾夫定律，可寫出下列方程組圖圖3-1 電路網(wǎng)絡電路網(wǎng)絡第三章 系統(tǒng)數(shù)學模型機械工程控制基礎 消去中間消去中間i i變量變量,則得則得 或?qū)懽骰驅(qū)懽魇街?，式中?式（式（3-1）就是圖）就是圖3-1所示電路的數(shù)學模型，所示電路的數(shù)學模型，它描它描述了該電路在述了該電路在 作用下電容兩端電壓作用下電容

5、兩端電壓 的變化規(guī)律的變化規(guī)律。 22CCCrd uduLCRCuudtdtrccCcCLuudtduTdtudTT22 （31） .,RCTRLTCLcuru第三章 系統(tǒng)數(shù)學模型機械工程控制基礎例例3-2 已知一已知一R-C網(wǎng)絡如圖所示，試寫出該網(wǎng)網(wǎng)絡如圖所示，試寫出該網(wǎng)絡輸入與輸出之間的微分方程。絡輸入與輸出之間的微分方程。解解 當后級的輸入阻抗很大，即對前級網(wǎng)絡的影響可以當后級的輸入阻抗很大，即對前級網(wǎng)絡的影響可以忽略不計時，由基爾霍夫電流定律寫出下列的方程組忽略不計時，由基爾霍夫電流定律寫出下列的方程組圖圖3-2 兩級兩級R-C電路電路第三章 系統(tǒng)數(shù)學模型機械工程控制基礎ruRidti

6、iC11211)(1dtiiCRidtiC)(112112222cudtiC221消去中間變量消去中間變量 ,得得 或?qū)憺榛驅(qū)憺?1ii 、rcccuudtduCRCRCRdtudCCRR)(212211222121rcccuudtduTTTdtudTT)(3212221（3-2）第三章 系統(tǒng)數(shù)學模型機械工程控制基礎kd-反電勢常數(shù)Km-電磁力矩常數(shù)例例3-3:圖3-3第三章 系統(tǒng)數(shù)學模型機械工程控制基礎圖33第三章 系統(tǒng)數(shù)學模型機械工程控制基礎2. 機械系統(tǒng)機械系統(tǒng)2. 機械系統(tǒng)機械系統(tǒng)例例:3-4圖圖34 機械系統(tǒng)機械系統(tǒng)第三章 系統(tǒng)數(shù)學模型機械工程控制基礎例例:3-5圖圖35 機械系統(tǒng)機械系統(tǒng)第三章 系統(tǒng)數(shù)學模型機械工程控制基礎三、三、 非線性微分方程的線性化非線性微分方程的線性化第三章 系統(tǒng)數(shù)學模型機械工程控制基