將函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)

1、第6、7節(jié)兩類問(wèn)題: 在收斂域內(nèi)和函數(shù))(xSnnnxa0冪級(jí)數(shù)求 和展 開(kāi)本次內(nèi)容本次內(nèi)容:一、泰勒一、泰勒 ( Taylor ) 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 二、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)二、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) 將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 特點(diǎn):)(01xp)(0 xf)(0 xf 一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立)(xfxy)(xfy o)()(000 xxxfxf)(1xp以直代曲以直代曲0 x)(1xp)(01xp在微分應(yīng)用中已知近似公式 :需要解決的問(wèn)題如何提高精度 ?如何估計(jì)誤差 ?xx 的一次多項(xiàng)式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1. 求求 n 次近似多項(xiàng)式次近似多項(xiàng)式要

2、求要求:, )(xpn)(0!212xpan , )(0 xf ,)(0)(!1xpannnn)(0)(xfn故)(xpn)(0 xf)(00 xxxf!21!1nnnxxxf)(00)(!1n200)(xxxf !21機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 令)(xpn則)(xpn )(xpnnan!)()(xpnn)(00 xpan, )(0 xf, )()(00 xfxpn)(01xpan, )(0 xf 1a)(202xxa10)(nnxxan2!2 a20)() 1(nnxxann, )()(00 xfxpn)()(,0)(0)(xfxpnnn0annxxaxxaxxa)()()(020

3、201公式 稱為 的 n 階泰勒公式階泰勒公式 .)(xf公式 稱為n 階泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng)拉格朗日余項(xiàng) .2. 泰勒中值定理泰勒中值定理 :內(nèi)具有的某開(kāi)區(qū)間在包含若),()(0baxxf1n直到階的導(dǎo)數(shù) ,),(bax時(shí), 有)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR則當(dāng))0(之間與在xx泰勒 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 公式 稱為n 階泰勒公式的佩亞諾佩亞諾(Peano) 余項(xiàng)余項(xiàng) .在不需要余項(xiàng)的精確表達(dá)式時(shí) , 泰勒公式可寫(xiě)為)(xf)(0 xf)(00 xx

4、xf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo)()(0nnxxoxR注意到* 可以證明: 階的導(dǎo)數(shù)有直到在點(diǎn)nxxf0)( 式成立機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 特例特例:(1) 當(dāng) n = 0 時(shí), 泰勒公式變?yōu)?(xf)(0 xf)(0 xxf(2) 當(dāng) n = 1 時(shí), 泰勒公式變?yōu)榻o出拉格朗日中值定理)(xf)(0 xf)(00 xxxf20)(!2)(xxf 可見(jiàn))(xf)(0 xf)(00 xxxf201)(!2)()(xxfxR 誤差)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf n

5、nxxnxf)(!)(00)(fd)0(之間與在xx)0(之間與在xx)0(之間與在xx)0(之間與在xx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 稱為麥克勞林（麥克勞林（ Maclaurin ）公式）公式 ., ) 10(,00 xx則有)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()(在泰勒公式中若取)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之間與在xx)(xf)0(fxf)0( ,)()1(Mxfn則有誤差估計(jì)式1! ) 1()(nnx

6、nMxR2!2)0(xf nnxnf!)0()(若在公式成立的區(qū)間上麥克勞林 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 由此得近似公式二、泰勒二、泰勒 ( Taylor ) 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) )()(0 xfxf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中)(xRn( 在 x 與 x0 之間)稱為拉格朗日余項(xiàng)拉格朗日余項(xiàng) .10) 1()(! ) 1()(nnxxnf則在若函數(shù)0)(xxf在的某鄰域內(nèi)具有 n + 1 階導(dǎo)數(shù), 此式稱為 f (x) 的 n 階泰勒公式階泰勒公式 ,該鄰域內(nèi)有 :機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )(0 xf)(00 xxxf200

7、)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(為f (x) 的泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù) . 則稱當(dāng)x0 = 0 時(shí), 泰勒級(jí)數(shù)又稱為麥克勞林級(jí)數(shù)麥克勞林級(jí)數(shù) .1) 對(duì)此級(jí)數(shù), 它的收斂域是什么 ？2) 在收斂域上 , 和函數(shù)是否為 f (x) ?待解決的問(wèn)題 :若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù), 0)(xxf在機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理定理1 .各階導(dǎo)數(shù), )(0 x則 f (x) 在該鄰域內(nèi)能展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件是 f (x) 的泰勒公式中的余項(xiàng)滿足:.0)(limxRnn設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 的某一鄰域 內(nèi)具有定理定理2. 若 f (x) 能展成 x 的冪級(jí)數(shù),

8、 則這種展開(kāi)式是唯一的 , 且與它的麥克勞林級(jí)數(shù)相同.三、將函數(shù)展開(kāi)成三、將函數(shù)展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù) 1. 直接展開(kāi)法直接展開(kāi)法由泰勒級(jí)數(shù)理論可知, 展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的步函數(shù))(xf第一步 求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在 x = 0 處的值 ;第二步 寫(xiě)出麥克勞林級(jí)數(shù) , 并求出其收斂半徑 R ; 第三步 判別在收斂區(qū)間(R, R) 內(nèi))(limxRnn是否為驟如下 :展開(kāi)方法展開(kāi)方法直接展開(kāi)法 利用泰勒公式間接展開(kāi)法 利用已知其級(jí)數(shù)展開(kāi)式0. 的函數(shù)展開(kāi)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. 將函數(shù)xexf)(展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù). 解解: ,)()(xnexf), 1 ,0(1)0()(n

9、fn1其收斂半徑為 對(duì)任何有限數(shù) x , 其余項(xiàng)滿足 )(xRne! ) 1( n1nxxe! ) 1(1nxn故,!1!31!21132nxxnxxxenRlim!1n! ) 1(1nn0),(x( 在0與x 之間)x2!21x3!31xnxn!1故得級(jí)數(shù) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2. 將xxfsin)(展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù).解解: )()(xfn)0()(nf得級(jí)數(shù):x)sin(2 nx其收斂半徑為 ,R對(duì)任何有限數(shù) x , 其余項(xiàng)滿足 )(xRn) 1(sin(2 n! ) 1( n1nx! ) 1(1nxn12kn),2, 1,0(k3!31x5!51x12! ) 12

10、(11) 1(nnnx),(xxsinn0kn2,) 1(k,012! ) 12(115!513!31) 1(nnnxxxx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 nnxnxxx2142! )2(1) 1(!41!211cos類似可推出:),(x),(x12153! ) 12(1) 1(!51!31sinnnxnxxxx(P304 例6) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3. 將函數(shù)mxxf)1 ()(展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù), 其中m為任意常數(shù) . 解解: 易求出 , 1)0(f,)0(mf, ) 1()0( mmf, ) 1()2)(1()0()(nmmmmfn于是得 級(jí)數(shù) mx12!2)

11、 1(xmm由于1limnnnaaRnmnn1lim1nxnnmmm!) 1() 1(級(jí)數(shù)在開(kāi)區(qū)間 (1, 1) 內(nèi)收斂. 因此對(duì)任意常數(shù) m, 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(xmxm1)1 ()11(x稱為二項(xiàng)展開(kāi)式二項(xiàng)展開(kāi)式 .說(shuō)明：說(shuō)明：(1) 在 x1 處的收斂性與 m 有關(guān) .(2) 當(dāng) m 為正整數(shù)時(shí), 級(jí)數(shù)為 x 的 m 次多項(xiàng)式, 上式 就是代數(shù)學(xué)中的二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 由此得 對(duì)應(yīng)1,2121m的二項(xiàng)展開(kāi)式分別為xx21112421x364231x)11(x48642531x111

12、 x24231x3642531x)11(x486427531xx21111 x2x3x)11(xnnx) 1(x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ) 11(1112xxxxxn2. 間接展開(kāi)法間接展開(kāi)法211x x11利用一些已知的函數(shù)展開(kāi)式及冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì), 例例4. 將函數(shù)展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù).解解:nnxxx) 1(12)11(x把 x 換成2x211xnnxxx242) 1(1)11(x, 得將所給函數(shù)展開(kāi)成 冪級(jí)數(shù). （逐項(xiàng)微分、積分法；變量代換法）變量代換法例例5. 將函數(shù))1ln()(xxf展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù).解解: xxf11)()11() 1(0 xxnnn從 0 到

13、x 積分, 得xxxxnnnd) 1()1ln(00,1) 1(01nnnxn定義且連續(xù), 區(qū)間為.11x利用此題可得11) 1(41312112lnnn11x11x上式右端的冪級(jí)數(shù)在 x 1 收斂 ,有在而1)1ln(xx所以展開(kāi)式對(duì) x 1 也是成立的,于是收斂機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例6. 將xarctan展成x解解: ) 11(x的冪級(jí)數(shù). x331x551x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 211xnnxxx242) 1(1兩邊逐項(xiàng)積分得：xarctan12121) 1(nnxn) 11(xx=1或-1時(shí)：級(jí)數(shù)為收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?1，1例例7. 將3x

14、e展成 x 的冪級(jí)數(shù). 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例8. 將x2sin展成 x 的冪級(jí)數(shù). 例例9. 將22 xxx展成 x 的冪級(jí)數(shù). 利用變量代換，將 x-a 換成 t，再利用之前的間接展開(kāi)法完成展開(kāi)四、將函數(shù)展開(kāi)成四、將函數(shù)展開(kāi)成 x-a 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù) 例例12. 將xln展成 x-1 的冪級(jí)數(shù). 例例11. 將x51展成 x-2 的冪級(jí)數(shù). 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法(1) 直接展開(kāi)法 利用泰勒公式 ;(2) 間接展開(kāi)法 利用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)及已知展開(kāi)2. 常用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式xe1),(x)1 (lnxx1, 1(xx2!21x,!1nxn221x331x

15、441x11) 1(nnxn式的函數(shù) .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ! ) 12() 1(12nxnnxsinx!33x!55x!77xxcos1!22x!44x!66x! )2() 1(2nxnnmx)1 ( 1xm2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(當(dāng) m = 1 時(shí)x11,) 1(132nnxxxx),(x),(x) 1, 1(x) 1, 1(x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 函數(shù)0)(xxf在處 “有泰勒級(jí)數(shù)” 與 “能展成泰勒級(jí)數(shù)” 有何不同 ?提示提示: 后者必需證明, 0)(limxRnn前者無(wú)此要求.2. 如何求xy2sin的冪級(jí)數(shù) ?提示提示:xy2cos21210! )2(1) 1(2121nnn,! )2(4) 1(2121nnnnxn),(xnx2)2(