量子力學(xué)2015課件學(xué)術(shù)報(bào)告

1、1.1. 常用的李代數(shù)簡(jiǎn)單介紹常用的李代數(shù)簡(jiǎn)單介紹2.2. Yang-Baxter Yang-Baxter 方程方程3.3. YangianYangian代數(shù)及其應(yīng)用代數(shù)及其應(yīng)用4.4. 亟待解決的問(wèn)題亟待解決的問(wèn)題報(bào)告提綱報(bào)告提綱單李代數(shù),nnnnA B CD典型李代數(shù)24678,G F E E E 例外李代數(shù)特殊線性李代數(shù) sl(n+1)正交代數(shù)O(2n+1)辛代數(shù) sp(2n)正交代數(shù) O(2n)1. 1. 常用的李代數(shù)簡(jiǎn)介常用的李代數(shù)簡(jiǎn)介例如: sl(2)生成元 為:230 10 01011,0 01 00122IIH(1). sl(n+1,C)代數(shù)(1,)(1,)|0sl nCAgl

2、 nCtrA2)(1)1n階(生成元的數(shù)目：,( , , ,1,2,1)ijkljkililkjIIIIi j k ln。j-1ijjkkjjk=1I ，H =jII ；i j=1,2, ,n+1, 生成元取為 其對(duì)易關(guān)系表示為: (2). 正交O(N,C)代數(shù)(,)(,)|0tO N CAgl N CAA,IIIIIIII 1(1)2N N 階(生成元的數(shù)目)：;1,2,IN取反對(duì)稱形式的生成元表示為則對(duì)易關(guān)系為： 例: O(3)代數(shù)122313010000001100001000000010100III 非緊致的O(N,M)代數(shù) ,IIgIgIgIgI1,1,2,1,1,NgnNM 其中度

3、規(guī)：階(生成元數(shù)目)：1(1)(1)2rN NN MMN當(dāng)M=0時(shí)非緊致的O(N,M)代數(shù)回到緊致的正交代數(shù)O(2n+1,C)或O(2n,C)。, 對(duì)易關(guān)系為：取反對(duì)稱生成元集合為; ,1,2,INM (3).辛代數(shù) sp(2n,C) n nn n0EJ=E0其中J是反對(duì)稱矩陣， 一般地取為： 。(2 ,)(2 ,)|0tspn CAgln CA JJA階(生成元數(shù)目)：r=n(2n+1),IIIIIIII 1010當(dāng)其中。當(dāng) 取對(duì)稱形式的生成元為I , , =1, 2, , n, 其對(duì)易關(guān)系為：(1). Yang-Baxter方程的起源1967, C.N.Yang-C.P.Yang 一維-勢(shì)

4、多體量子力學(xué)模型的精確解 1982年 澳大利亞 R . Baxter二維統(tǒng)計(jì)物理中的六頂角模型的嚴(yán)格解2. Yang-Baxter2. Yang-Baxter方程方程Bethe Ansantz方法Yang-Baxter 方程ABC=CBA自洽條件星角關(guān)系前蘇聯(lián)法捷耶夫量子反散射方法YBE的雛形1978-1979 L.D.Faddeev, E.K.Sklyanin and L.A.Takhtajan 量子反散射方法( QISM) h=01931 H.Bethe, (一維自旋鏈模型對(duì)角化)1966. C.N.Yang-C.P.Yang Bethe Ansatz 方法1944 L. Onsager(

5、Ising model)1972. R.Baxter (6-vertex model) 轉(zhuǎn)移矩陣方法1967.C.N.Yang1979. Zamolodchikov S-矩陣因子化法經(jīng)典反散射方法(ISM)量子群QGh=0Poisson-Lie Group 量子Yang-Baxter 方程（h Planck常數(shù)）1985年 V.G. Drinfeld Yangian 代數(shù)量子代數(shù)Yang-Baxter 方程的解有理解三角解橢圓解XYZ模型 XXZ模型 sine-Gordan 模型NS模型 , XXX模型 , Haldane-Shastry模型, Hubbard模型, Calogero-Suth

6、erland模型 ,(),JJIJJJIJIJaCaCaCIII,(),()IICIIIIJCJIJ123, ,1,2,314!,ijki j kij kaCCCCx xxx x x 其中3. Yangian3. Yangian代數(shù)及其應(yīng)用代數(shù)及其應(yīng)用Drinfeld V.G. Soviet Math.Dokl, 32 (1985) 254.(1). Yangian代數(shù)的定義對(duì)于一個(gè)給定的有限維單李代數(shù)g，而與其相對(duì)應(yīng)的無(wú)限Yangian代數(shù)標(biāo)記為Y(g), 其生成元表示為 ,Yangian代數(shù)關(guān)系定義如下：,IJ()1 1()1 12IIIhJJJC 另外余乘法定義：(2). Y(sl(2)

7、代數(shù)：( , ,1,2,3)Ci 結(jié)構(gòu)常數(shù)取為：Yangian代數(shù)的對(duì)易關(guān)系簡(jiǎn)化為下列獨(dú)立的關(guān)系：3333333,2,2,1,()4IIIIIIIJIIJJJIJJJJ II JI 生成元為,;1,2,3IJ1212,.IIiIJJiJ取10000010( )01000001R uuPIP,是4維交換算符, I是4 4單位陣.對(duì)于給定YBE最簡(jiǎn)單的有理解(1)( )( )(1)( )( )( )( ), ,0( ,0)nmnmnmmnbcadbcadacbdacbdTTTTT TTTn m( )1( )nnnT uIu T轉(zhuǎn)移矩陣取為代入RTT關(guān)系得到各階轉(zhuǎn)移矩陣之間的關(guān)系：RTT關(guān)系：()(

8、 ( )( )( ( )( ) ()R uv T uT vT vT u R uv(3). Y(sl(2)代數(shù)與轉(zhuǎn)移矩陣間的關(guān)系233(1)(2)23321222212JIJIIhhTTIIJJIhh 當(dāng)m=0, n=1和m=n=1時(shí)分別確定：(1)(1)( )(2)( )(1)(1)( ),0(0)nnnnnbdacac bdbcadacbdacbdTTTTT TT Tn來(lái)確定，即：( )(3)nTn 對(duì)于時(shí)由下列遞推關(guān)系( )( )(,)(3)nnTTIJn。( )()( )()( ),( )0,0,0( ,2)nmnmtrT u trT vtrTtrTtrTTn m( )1( )( )nn

9、trT utrTu取，有11221221()det( )( )(1)( )(1)det( ),0qmqT uTu TuTu TuT u T引入量子行列式： 可證明：( )( )( )1( )()det( ),( , ),0nnnnqnnmT uuI JT若；則 對(duì)Yangian代數(shù)的實(shí)現(xiàn)與實(shí)際物理模型有關(guān)，而哈密頓量一般地包含在 的各階之中, 即( )( )trT uT uq或det( )( )1.,2;2.,2nnHtrTnHn若哈密頓量H與Yangian代數(shù)不對(duì)易，若哈密頓量H與Yangian代數(shù)對(duì)易，。101:,0,0ln( ) |,NmmmmnmmnXXXXXXNXXXummXXXss

10、YangianIsJissHIHJdHtrT ussdu mmXXX例：一維自旋鏈模型， 其哈密頓量為: H=實(shí)現(xiàn)為這樣H與轉(zhuǎn)移矩陣T(u)建立了聯(lián)系 求其精確解可用QISM.為了說(shuō)明Yangian代數(shù)的物理意義, 取兩個(gè)格點(diǎn)情況：1212312,|,|0,|( , )mmmmmmmmIssJisssss 11101 100|1(|)2|1(|)2 三重態(tài)單態(tài)各態(tài)之間躍遷圖1110001 1IIIIJJJJ3J(4).Y(so(5)代數(shù),22315134245124534144235143425,(),(),(, , , ,)4!abcdbcadadbcacbdbdacab cd efefab

11、cdbcadadbcacbdbdacab cd efefabbaabbaIIiIIIICIIJiJJJJCJIIJJihJJIIIIIIIIIIII ,; ,1,2,3,4,5ababIJa b 取其反對(duì)稱生成元為，根據(jù)Yangian的定義式我們能夠得到最簡(jiǎn)化的獨(dú)立表達(dá)式為：ab,cd,efC()bcaedfadbecfacbedfbdaecfi 其中結(jié)構(gòu)常數(shù)而對(duì)于Y(so(5)代數(shù)與RTT關(guān)系問(wèn)題我們同樣也進(jìn)行了詳細(xì)地討論, 此時(shí)取YBE的二次有理解:2233( )( )()22R uf u u Pu AIPx IH.B.Zhang, M.L.Ge and K.Xue J.Phys.A: M

12、ath.Gen. 33 (2000) L345-L352()( ,1,2,3,4)( )Hcdxxxx 系統(tǒng)的哈密頓量被給如下： 其中是表示費(fèi)米場(chǎng)算符。我們很容易證明：該模型具有Y(so(5)對(duì)稱性, 即 ,0.ababIHJH1( )( )( )( )2( )( )()( )( )22()ababababababaccbababaIIx dxIxxxxiicJxdxxy Ix Iy dxdyxi 而是4 4狄拉克矩陣 。對(duì)于該模型代數(shù)能夠被實(shí)現(xiàn)為下列形式:(4.1). 一維四分量費(fèi)米場(chǎng)的非線性薛定諤模型H.B.Zhang, M.L.Ge and K.Xue J.Phys.A: Math.Ge

13、n. 34 (2001) 919-928221,3 ( ,)()2kk kkkVV k k n nnkm 式中;, ; ,1( , )2sckkkk kkkkkkk kHa aV a aaa p-波超導(dǎo)的哈密頓量為：kkkkkkkkaaaaaaaa 哈密頓量H中 存在 四種Cooper對(duì)，即 對(duì)每個(gè)動(dòng)量作譜生成代數(shù)so(5)，反對(duì)稱生成元 k( )(1,2,3,4,5)abIkab表示如下矩陣形式： (4.2).P-波超導(dǎo)模型的代數(shù)解法H.B.Zhang, M.L.Ge and K.Xue J.Phys.A: Math.Gen.35 (2002) L7-11其中20( )(),( ),( )k

14、kkkkkT kaaS kaaS ka a Cooper 對(duì)自旋 粒子數(shù)0001 ( )( )0211 ( )( ) ( )( )022111 ( )( ) ( )( ) ( )( )02221111 ( )( ) 2 ( )( ) ( )( ) ( )( )02222xxyyzzzzyyxxxxyyzzT k T kT k T kS kS kT k T kS kSkS kS kS kS kT k T kT k T kT k T kiii ( )Q k,1 ( ) 1( )( )4sckkkkk kHQ kV TkT k 哈密頓量代數(shù)化為了對(duì)于每一個(gè)動(dòng)量k所對(duì)應(yīng)的哈密頓量H(k)對(duì)角化， 引入

15、()exp ( )( ). .kkUd nTkhc利用平均場(chǎng)理論把哈密頓量線性化*( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )mfsckkkkk kHH kEH kQ kkTkkT kEkT kkVT k 能隙方程( )(sincos,sinsin,cos)kkkkkkd n其中自旋空間的單位矢量是復(fù)的待定常數(shù)。22( )()( ) ()( )|( )|tan2|( )|kkkkkkkH kUH k UE Q kkEk ,|()|,1( )1()2kkkkkkkUnnkEnn ( )H k的本征態(tài)和本征值為：于是對(duì)于有限溫度時(shí)，能隙方程為:( )11( )tanh()()

16、22k kkkkkkVEEKT 粒子數(shù)分布為: 111tanh()22kkkknEE粒子數(shù)分布為: 對(duì)于絕對(duì)零度T=0K時(shí)，能隙方程為:( )( )2k kkkkkVE 1(1)2kkknE另外,我們根據(jù)本征態(tài)的具體表達(dá)式能夠知道, 超導(dǎo)狀態(tài)處于超導(dǎo)狀態(tài)處于B相中相中.考慮引入相互作用項(xiàng)后, 系統(tǒng)的物理行為: ()BzkkkkkHBa aa a (1).加入定向常磁場(chǎng)，即其結(jié)果使超導(dǎo)體由原來(lái)的B相轉(zhuǎn)變?yōu)锳相.2,2(2).( )( )3( )( )3dipolekkk kHVTkT kq Tk q T k 對(duì)于原來(lái)無(wú)法對(duì)角化的問(wèn)題, 通過(guò)此代數(shù)解法把在偶極互作用下的能夠求解.哈密頓量可寫(xiě)為：i

17、nt,12int21( ( ) 1)( )( )41()()2( )( )()scfesckk kkk kfekkHHHHHQ kV TkT kHb bE bbHTkT kbb 平均場(chǎng)近似解21|( )|exp ()|()1()2fefenUnbbnEEnfeH而有精確解，即：(4.3).p-波超導(dǎo)和鐵電軟物質(zhì)共存模型*( )( )( )( )( )( )1 ( )( )( )()()2dmfakHkQ kkT kkTkkT kkbbb b|()|,( )|fekkUp qUn 引入變分相干態(tài)矢量利用變分法求系統(tǒng)的能量, , , (,)|p q ndmfakkkkkEdH 用雙平均場(chǎng)近似222

18、2A B(2AA-A )(2BB-B )把哈密頓量線性化為: , , , , , , (,)0, , (,)0, , (,)0, , (,)0p q nkkkkp q nkkkp q nkkkkp q nkkkkEdEdEdEd 把求能量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)上面的方程求解問(wèn)題，根據(jù)方程的解來(lái)討論系統(tǒng)的物理意義。對(duì)于該方程只存在兩種情況，即即:對(duì)于超導(dǎo)等自旋對(duì)和反自旋對(duì)態(tài)不能同時(shí)出現(xiàn)。對(duì)于超導(dǎo)等自旋對(duì)和反自旋對(duì)態(tài)不能同時(shí)出現(xiàn)。對(duì)應(yīng)的物理結(jié)果是加入鐵電軟物質(zhì)的效果相當(dāng)于超導(dǎo)體處在一個(gè)常的定向磁場(chǎng)對(duì)應(yīng)的物理結(jié)果是加入鐵電軟物質(zhì)的效果相當(dāng)于超導(dǎo)體處在一個(gè)常的定向磁場(chǎng)中。中。 4.亟待解決的問(wèn)題(1). Yangian代數(shù)應(yīng)用于量子信息領(lǐng)域YBE和Yangian代數(shù) 扭結(jié)理論量子信息