高等數(shù)學復旦大學出版社習題答案四

1、習題四1. 利用定義計算以下定積分：1 解：將區(qū)間a, bn等分，分點為記每個小區(qū)間長度為取那么得和式 由定積分定義得 (2) 解：將區(qū)間0, 1 n等分，分點為記每個小區(qū)間長度取那么和式2. 利用定積分概念求以下極限：解：原式解：原式3. 用定積分的幾何意義求以下積分值:；解:由幾何意義可知,該定積分的值等于由x軸、直線x=1、y=2x所圍成的三角形的面積，故原式=1.解：由幾何意義可知，該定積分的值等于以原點為圓心，半徑為R的圓在第一象限內(nèi)的面積，故原式=.4. 證明以下不等式：；證明：當時，即由積分的保序性知：即 (2) 證明：當時，由積分的保序性知：即5. 證明：1 證明：當時，于是而

2、由夾逼準那么知：(2) 證明：由中值定理得其中故6. 計算以下定積分：解：原式.;解：原式,其中解：原式解：原式解：原式7. 計算以下導數(shù)：解：原式.解：原式8. 求由參數(shù)式所確定的函數(shù)y對x的導數(shù).解：9. 求由方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù).解：方程兩邊對x求導，有又 故 .10. 求以下極限：解：原式解：原式11. a, b, c取何實數(shù)值才能使 成立.解：因為時，而該極限又存在，故b=0.用洛必達法那么，有所以 或 .12. 利用根本積分公式及性質(zhì)求以下積分：;解：原式.；解：原式=解：原式=3解：原式=;解：原式=解：原式=解：原式=.解：原式=.解：原式=.解：原式=解：原式=;解：原式

3、=解：原式=解：原式=.；解：原式=.;解：原式=.;解：原式=.解：原式=13. 一平面曲線過點1，0，且曲線上任一點x, y處的切線斜率為2x2，求該曲線方程.解：依題意知：兩邊積分，有又x=1時，y=0代入上式得c=1，故所求曲線方程為.14. 略.15. 利用換元法求以下積分：;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=；解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=.;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=.;解：原式=.;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原

4、式又故上式;解：原式(28) 解：原式,又故上式=.;解：原式,又, 所以,故上式.解：原式 + = t + c1 = ln |sin t+cos t| + c2故16. 用分部積分法求以下不定積分：;解：原式=;解：原式=;解：原式=.;解：原式=;解：原式=.;解：原式=;解：原式=;解：原式=.;解：原式=.解：原式又 所以 故 17. 求以下不定積分：;解：原式=;解：原式=.;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式;解：原式=;解：原式=又 故原式=.18. 求以下不定積分，并用求導方法驗證其結(jié)果正確否：;解：原式=驗證：所以，結(jié)論成立.;解：原式=驗證：所以，結(jié)論成立.;解：

5、原式=.驗證：所以，結(jié)論正確.;解：原式=驗證： 所以，結(jié)論正確.;解： 所以，原式=驗證： 故結(jié)論成立.;解：原式=驗證：.故結(jié)論成立.;解：原式=驗證： 所以，結(jié)論成立.;解：原式=驗證：所以，原式成立.;解：原式=驗證：故結(jié)論成立. (n 1，且為正整數(shù)).解：故 驗證： 故結(jié)論成立.19. 求不定積分.解： 故原式=又由函數(shù)的連續(xù)性，可知：所以 20. 利用被積函數(shù)奇偶性計算以下積分值其中a為正常數(shù)(1) 解：因為a, a上的奇函數(shù)，故 ;解：因為即被積函數(shù)為奇函數(shù)，所以原式=0.;解：因為為奇函數(shù)，故 原式=.解：因為是奇函數(shù)，故原式=21. 計算以下積分：;解：原式;解：原式=;解

6、：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解： 所以，原式=.;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式;解：原式=.解：原式=22. 證明以下等式： (a為正常數(shù))；證明：左右所以，等式成立.(2)假設，那么.證明：左.所以，等式成立.23. 利用習題22(2)證明：,并由此計算 (a為正常數(shù))證明：由習題22(2)可知又 故等式成立.24. , 求.解：原式=25. 計算以下積分n為正整數(shù)：1 解：令,當x=0時t=0，當x=1時t=,由第四章第五節(jié)例8知 (2) 解：由遞推公式 可得 26. 用定義判斷以下廣義積分的斂散性，假設收斂，那么求其值：;解：原式=解：原式= (n為正整數(shù))解：原式=;解：原式=;解：原式=.解：原式=27. 討論以下廣義積分的斂散性：;解：原式=故該廣義積分當時收斂；時發(fā)散.解：原式=綜上所述，當k1時，該廣義積分收斂，否那么發(fā)散.28. ，求：解：(1)原式=解：29. ,其中 求C.解：所以.30. 證明：無窮