【課件】8.1成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性課件-2021-2022學年高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第三冊

1、成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性那么，該如何刻畫這兩個變量之間的關(guān)系呢？例如，人的體重與身高存在關(guān)系，但由一個人的身高值并不能確定他的體重值。兩個變量之間有關(guān)系，但密切程度又達不到函數(shù)關(guān)系的程度。然而，現(xiàn)實世界中還存在這樣的情況：yxxy我們知道，如果變量 是變量 的函數(shù)，那么由就可以唯一確定系像這樣，兩個變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關(guān)系稱相關(guān)關(guān)為1.yx例如：子女身高 與父身高之間的關(guān)系一般來說，父親的個子高，其子女的個子也會比較高；父親個子矮，其子女的個子也會比較矮。但影響子女身高的因素，除父親身高外還有其他因素，例如母親身高、飲食結(jié)構(gòu)、體育鍛煉等，因此父親身

2、高又不能完全決定子女身高但身高并不是決定體重的唯一因素，例如生活中的飲食習慣、體育鍛煉、睡眠時間以及遺傳因素等也是影響體重的重要因素。一般而言，個子高的人往往體重值較大，個子矮的人往往體重值較小。我們知道，一個人的體重與他的身高有關(guān)系。兩個變量具有相關(guān)關(guān)系的事例在現(xiàn)實中大量存在。一、變量的相關(guān)關(guān)系4.yx糧食畝產(chǎn)量 與施肥量 之間的關(guān)系在一定范圍內(nèi)，施肥量越大，糧食畝產(chǎn)量就越高。但施肥量并不是決定糧食畝產(chǎn)量的唯一因素，糧食畝產(chǎn)量還要受到土壤質(zhì)量、降水量、田間管理水平等因素的影響3.yx空氣污染指數(shù) 與汽車保有量 之間的關(guān)系一般來說，汽車保有量增加，空氣污染指數(shù)會上升。但汽車保有量并不是造成空氣

3、污染的唯一因素，氣象條件、工業(yè)生產(chǎn)排放、居民生活和取暖、垃圾焚燒等都是影響空氣污染指數(shù)的因素2.yx商品銷售收入 與廣告支出 之間的關(guān)系一般來說，廣告支出越多，商品銷售收入越高。但廣告支出并不是決定商品銷售收入的唯一因素，商品銷售收入還與商品質(zhì)量、居民收入等因素有關(guān)yx因為在相關(guān)關(guān)系中，變量 的值不能隨變量 的值的確定而唯一確定，所以我們無法直接用函數(shù)去描述變量之間的這種關(guān)系。對上述各例中兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系，我們往往會根據(jù)自己以往積累的經(jīng)驗作出推斷。例如，不同經(jīng)驗的人對同一情形可能會得出不同結(jié)論，不是所有的情形都有經(jīng)驗可循等?！敖?jīng)驗之中有規(guī)律”，經(jīng)驗的確可以為我們的決策提供一定的依據(jù)，但僅

4、憑經(jīng)驗推斷又有不足。即通過樣本數(shù)據(jù)分析，從中提取信息，并構(gòu)建適當?shù)哪Ｐ停倮媚Ｐ瓦M行估計或推斷因此，在研究兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系時，我們需要借助數(shù)據(jù)說話，在對人體的脂肪含量和年齡之間關(guān)系的研究中，科研人員獲得了一些年齡和脂肪含量的簡單隨機樣本數(shù)據(jù)，如下表所示表中每個編號下的年齡和脂肪含量數(shù)據(jù)都是對同一個體的觀測結(jié)果，它們構(gòu)成了成對數(shù)據(jù)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你能推斷人體的脂肪含量與年齡之間存在怎樣的關(guān)系嗎？探究圖由這些點組成了如下圖所示的統(tǒng)計圖我們把這樣的統(tǒng)計叫做散點圖則上表中每個編號下的成對樣本數(shù)據(jù)都可用直角坐標系中的點表示出來，用橫軸表示年齡，縱軸表示脂肪含量，我們用圖形展示成對樣本數(shù)據(jù)的變化特征

5、。類似于用直方圖描述單個變量樣本數(shù)據(jù)的分布特征，為了更加直觀地描述上述成對樣本數(shù)據(jù)中脂肪含量與年齡之間的關(guān)系，這樣，由成對樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，我們可以推斷脂肪含量變量和年齡變量之間存在著相關(guān)關(guān)系。表明隨年齡值的增加，相應(yīng)的脂肪含量值呈現(xiàn)增高的趨勢。,觀察圖 可以發(fā)現(xiàn)，這些散點大致落在一條從左下角到右上角的直線附近，如果當一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢，則稱這兩個變量負相關(guān);如果從上看，當一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢，我體們就稱這兩個變量正相關(guān)整(1)(2)兩個變量負相關(guān)時，成對樣本數(shù)據(jù)的散點圖有什么特點？你能舉出生活中兩個變量正相關(guān)或負相關(guān)的一些

6、例子嗎？思考關(guān)一般地，如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負相關(guān)，而且散點落在一條直線附近，我們就稱這兩個變線性相量而且從整體上以看出散點落在某條直線附近。,觀察散點圖 從中我們不僅可以大致看出脂肪含量和年齡呈現(xiàn)正相關(guān)性，散點圖是描述成對數(shù)據(jù)之間關(guān)系的一種直觀方法)(3圖中的散點雜亂無章，無規(guī)律可言，看不出兩個變量有什么相關(guān)性但它們既不是正相關(guān)，也不是負相關(guān)；說明這兩個變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)；)(1我們發(fā)現(xiàn)：圖中的散點落在某條曲線附近，而不是落在一條直線附近，觀察散點圖一般地，如果兩個變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那么我們就稱這兩個變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān))(2圖中的散點落在一條折線附近，

7、這兩個變量也具有相關(guān)性，1.舉例說明什么叫相關(guān)關(guān)系，相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系有什么區(qū)別？練習而函數(shù)關(guān)系是確定性的數(shù)量關(guān)系，對自變量的每個取值，因變量有唯一確定的值與之對應(yīng)相關(guān)關(guān)系是不確定性的數(shù)量關(guān)系，對其中一個變量的每個取值，另一個變量可能有多個不同的取值相關(guān)關(guān)系是指從總的變化趨勢來看，變量之間存在某種關(guān)系，但這種關(guān)系又不能用函數(shù)關(guān)系完全表達出來。受教育程度和收入水平的關(guān)系，一般來說，受教育程度高的人收入也較高但受教育程度相同的人收入未必相同答：例如，身高與腳長的關(guān)系，一般來說，身高較高的人腳長也會較長，但身高相同的人腳長未必相同；2. 根據(jù)下面的散點圖，推斷圖中的兩個變量是否存在相關(guān)關(guān)系(2)非線

8、性相關(guān)(4)(3)(2)(1)(1)解： 負相關(guān)(4)正相關(guān)(3)不相關(guān)3. 下表給出了一些地區(qū)的鳥的種類數(shù)與該地區(qū)的海拔高度的數(shù)據(jù)，鳥的種類數(shù)與海拔高度是否存在相關(guān)關(guān)系？如果是，那么這種相關(guān)關(guān)系有什么特點？10001000mm但從局部看，不管是在海拔高度以上，還是是海拔高度以下鳥的種類數(shù)和海拔高度正相關(guān)都不明顯10001000mm鳥的種類數(shù)在海拔高度以上的明顯多于在海拔高度以下的。從散點圖中散點的分布看，鳥的種類數(shù)與海拔高度正相關(guān)，解：畫出鳥的種類數(shù)與海拔高度的散點圖，如圖所示|二、樣本相關(guān)系數(shù)“”能否像引入平均值、方差等數(shù)字特征對單個變量數(shù)據(jù)進行分析那樣，引入一個適當?shù)?數(shù)字特征 ，對成對

9、樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度進行定量分析呢？散點圖雖然直觀，但無法確切地反映成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度，也就無法量化兩個變量之間相關(guān)程度的大小。通過觀察散點圖中成對樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，我們可以大致推斷兩個變量是否存在相關(guān)關(guān)系、是正相關(guān)還是負相關(guān)、是線性相關(guān)還是非線性相關(guān)等。并繪制散點圖1122( ,(,(,(,)nnx yxx yyxx yyxx yy將數(shù)據(jù)以為零點進行平移，得到平移后的成對數(shù)據(jù)為1212,.nnxxxyyyxy其中和的均值分別為 和1122,( ,) ()()nnxyx yxyxy對于變量 和變量設(shè)經(jīng)過隨機抽樣獲得的成對樣本數(shù)據(jù)為利用上述方法處理下表中的數(shù)據(jù)，得到下圖顯然，這樣的規(guī)律是由人

10、體脂肪含量與年齡正相關(guān)所決定的我們發(fā)現(xiàn)，這時的散點大多數(shù)分布在第一象限、第三象限，大多數(shù)散點的橫、縱坐標同號。思考 2那么關(guān)于均值平移后的大多數(shù)散點將分布在第二象限、第四象限，對應(yīng)的成對數(shù)據(jù)異號的居多，如圖所示 1那么關(guān)于均值平移后的大多數(shù)散點將分布在第一象限、第三象限，對應(yīng)的成對數(shù)據(jù)同號的居多，如圖所示；xy一般地，如果變量 和 正相關(guān)，xy如果變量 和 負相關(guān)，根據(jù)上述分析，你能利用正相關(guān)變量和負相關(guān)變量的成對樣本數(shù)據(jù)平移后呈現(xiàn)的規(guī)律，構(gòu)造一個度量成對樣本數(shù)據(jù)是正相關(guān)還是負相關(guān)的數(shù)字特征嗎？0 xyL表明成對樣本數(shù)據(jù)負相關(guān)xyL你認為的大小一定能度量出成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度嗎？1122()

11、()()1)()()(xynnLxxyyxxyyxxyyn可以構(gòu)造一個量1) (,2, )iixx yyin從上述討論得到啟發(fā)，利用散點的橫、縱坐標是否同號，0 xyL一般情形下，表明成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；思考xyL因為的大小與數(shù)據(jù)的度量單位有關(guān)，所以不宜直接用它度量成對樣本數(shù)據(jù)相關(guān)程度的大小。100 xyL例如，在研究體重與身高之間的相關(guān)程度時，如果體重的單位不變，把身高的單位由米改為厘米，則相應(yīng)的將變?yōu)樵瓉淼谋?，但單位的改變并不會導致體重與身高之間相關(guān)程度的改變rxy數(shù)我們稱 為變量 和變量樣本相關(guān)系的1122(,) ,(,) ,(,)nnxyxyxyxx yyxx yyxx yysssss

12、s,(1),2,iixxyy in分別除和得211()nyiisyyn211()nxiisxxn為了消除度量單位的影響，需要對數(shù)據(jù)作進一步的“標準化”處理。我們用12211()()()()niiinniiiixxyyxxyyxyL仿照的構(gòu)造，可以得到1122( ,) ,(,) ,(,)nnx yxyxy為簡單起見，把上述“標準化”處理后的成對數(shù)據(jù)分別記為11221()nnrx yx yx yn 1222211niiinniiiix ynx yxnxynyrr那么，樣本相關(guān)系數(shù) 的大小與成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度有什么內(nèi)在聯(lián)系呢？為此，我們先考察一下 的取值范圍當其中一個數(shù)據(jù)的值變大時，另一個數(shù)據(jù)的

13、值通常也變大這時，當其中一個數(shù)據(jù)的值變小時，另一個數(shù)據(jù)的值通常也變小；0r 當時，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)它的正負性和絕對值的大小可以反映成對樣本數(shù)據(jù)的變化特征：r樣本相關(guān)系數(shù) 是一個描述成對樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，r這樣，我們利用成對樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造了樣本相關(guān)系數(shù)當其中一個數(shù)據(jù)的值變大時，另一個數(shù)據(jù)的值通常會變小0r 當時，稱成對樣本數(shù)據(jù)負相關(guān)這時，當其中一個數(shù)據(jù)的值變小時，另一個數(shù)據(jù)的值通常會變大；12121 12 2,(,)()nnn naaaabbbbababa ba b 類似于平面或空間向量的坐標表示，對于向量和我們有,aba b cosa b 其中 為向量的夾角，,nna b我們將向量的維數(shù)推

14、廣到 維， 維向量的數(shù)量積仍然定義為r觀察 的，聯(lián)想到二維（平面）向量、三維（空間）向量數(shù)量積的坐標表示，結(jié)構(gòu)11|cosrx yxynn 12(,)nnyy yy 第二分量構(gòu)成 維向量12( ,)nnxx xx的第一分量構(gòu)成 維向量1122“”( ,) ,(,) ,(,)nnx yxyxy設(shè) 標準化 處理后的成對數(shù)據(jù)cosr樣本相關(guān)系數(shù)xy 其中 為向量和向量的夾角101,11cosr 由可知n|yn 同理可得222212321()()()()1()nniixxxxxxxxxxn22223122222()()()()nxxxxxxxxxxxxssss2222123|nxxxxx| 1r 當時

15、，成對樣本數(shù)據(jù)之間具有怎樣的關(guān)系呢？思考這時，成對樣本數(shù)據(jù)的兩個分量之間滿足一種線性關(guān)系( ,)()iiyxx ysyyxxs這表明成對樣本數(shù)據(jù)都落在直線上。,1,2,iiyxyyxxinss,yx 由向量的知識可知，存在實數(shù) ，使得即1cos0|,rrxy 當時，中的或向量和共線|0r當越接近時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱但不排除它們之間有其他相關(guān)關(guān)系|1r當越接近 時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強；r樣本相關(guān)系數(shù) 的絕對值大小可以反映成對樣本數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)的程度： 1,1 . r由此可見，樣本相關(guān)系數(shù) 的取值范圍為0r 當時，只表明成對樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關(guān)關(guān)系，| r刻畫了樣本點

16、集中于某條直線的程度r樣本相關(guān)系數(shù) 也稱樣本線性相關(guān)系數(shù)，0.85 ,r 樣本相關(guān)系數(shù)表明成對樣本數(shù)據(jù)的負線性相關(guān)程度比較強。下圖是不同成對樣本數(shù)據(jù)的散點圖和相應(yīng)的樣本相關(guān)系數(shù)0.97 ,r 樣本相關(guān)系數(shù)表明成對樣本數(shù)據(jù)的正線性相關(guān)程度很強說明成對樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出線性相關(guān)關(guān)系；)(1圖中的散點有明顯的從左下角到右上角沿直線分布的趨勢，說明成對樣本數(shù)據(jù)也呈現(xiàn)出線性相關(guān)關(guān)系；)(2圖中的散點有明顯的從左上角到右下角沿直線分布的趨勢，)(4其中圖中成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度極弱(3()4圖和圖中的成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度很弱，(1()2)從樣本相關(guān)系數(shù)來看，圖中成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度要比圖中強一

17、些；即散點集中于一條直線的程度一般地，樣本容量越大，用樣本相關(guān)系數(shù)估計兩個變量的相關(guān)系數(shù)的效果越好| r的大小反映了兩個變量線性相關(guān)的程度，r的符號反映了相關(guān)關(guān)系的正負性；r而樣本相關(guān)系數(shù) 可以反映兩個隨機變量之間的線性相關(guān)程度：綜上可知，兩個隨機變量的相關(guān)性可以通過成對樣本數(shù)據(jù)進行分析，r因此樣本相關(guān)系數(shù) 也具有隨機性。對于簡單隨機樣本而言，樣本具有隨機性解：先畫出散點圖，1.例根據(jù)下表中脂肪含量和年齡的樣本數(shù)據(jù)，推斷兩個變量是否線性相關(guān)，計算樣本相關(guān)系數(shù)并推斷它們的相關(guān)程度142119403.2iiy觀察散點圖，可以看出樣本點都集中在一條直線附近，由此推斷脂肪含量和年齡線性相關(guān)142134

18、181iix14119403.2iiix y27.26y 48.07x 且相關(guān)程度很強0.97r 由樣本相關(guān)系數(shù)0.971411414222211141414iiiiiiix yx yxxy)()()()iiiiiiixxyyrxxyy可以推斷脂肪含量和年齡這兩個變量正線性相關(guān)，2219403.2 14 48.07 27.2634181 14 48.0711051.77 14 27.262.10A例有人收集了某城市居民年收入（所有居民在一年內(nèi)收入的總和）與商品銷售額的年數(shù)據(jù)，如表所示A即 商品銷售額與居民年收入有相同的變化趨勢，且相關(guān)程度很強A畫出散點圖，推斷成對樣本

19、數(shù)據(jù)是否線性相關(guān)，并通過樣本相關(guān)系數(shù)推斷居民年收入與商品銷售額的相關(guān)程度和變化趨勢的異同A由此可以推斷， 商品銷售額與居民年收入正線性相關(guān)，0.95r 由樣本數(shù)據(jù)計算得樣本相關(guān)系數(shù)A從散點圖看， 商品銷售額與居民年收入的樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出線性相關(guān)關(guān)系。解：畫出成對樣本數(shù)據(jù)的散點圖，3.25例在某校高一年級中隨機抽取名男生，測得他們的身高、體重、臂展等數(shù)據(jù)，如表所示體重與身高、臂展與身高分別具有怎樣的相關(guān)性？0.340.78通過計算得到體重與身高、臂展與身高的樣本相關(guān)系數(shù)分別約為和都為正線性相關(guān)。其中，臂展與身高的相關(guān)程度更高(1)( )2分別如圖和所示，兩個散點圖都呈現(xiàn)出線性相關(guān)的特征解：根據(jù)樣本

20、數(shù)據(jù)畫出體重與身高、臂展與身高的散點圖，1. 由簡單隨機抽樣得到的成對樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)是否一定能確切地反映變量之間的相關(guān)關(guān)系？為什么？練習顯然據(jù)此推斷兩個變量完全線性相關(guān)是不合理的。一個極端的情況是，無論兩個變量之間是什么關(guān)系，如果樣本量取2，則計算可得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值都是1（在樣本相關(guān)系數(shù)存在的情況下），一般來說，樣本量越大，根據(jù)一般相關(guān)關(guān)系數(shù)推斷變量之間相關(guān)的正負性及線性相關(guān)的程度越可靠。但由于樣本數(shù)據(jù)的隨機性，樣本相關(guān)系數(shù)往往不能確切地反映變量之間的相關(guān)關(guān)系答：樣本相關(guān)系數(shù)可以反映變量之間相關(guān)的正負性及線性相關(guān)的程度)2,) (3, 1),(5.3(,2 27,xy已知變量 和

21、變量 的 對隨機觀測數(shù)據(jù)計算成對樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)。能據(jù)此推斷這兩個變量線性相關(guān)嗎？為什么？但是由于樣本量小，據(jù)此推斷兩個變量完全線性相關(guān)并不可靠2210343( 2)31038 3 ()543 ( 2)3r 32154iiy32138iix3134iiix y 2y 103x 解：1雖然樣本相關(guān)系數(shù)為，三個樣本點在一條直線上，1 )( 2, 3) ( 1, 1) (0,1) (1,3) (2,5) (3,7)(0,0) (1,1) (2,4) (3,9) (4,16)( 2, 8) ( 1, 1) (0,0) (1,1) (2,8) (3,27)(2,0) (1,3) (0,2) ( 1

22、,33.(1,(2,(3,(4, 畫出下列成對數(shù)據(jù)的散點圖，并計算樣本相關(guān)系數(shù)據(jù)此，請你談?wù)剺颖鞠嚓P(guān)系數(shù)在刻畫成對樣本數(shù)據(jù)相關(guān)關(guān)系上的特點。),( 2,0)(4)0r (3)0.89r 可見，樣本相關(guān)系數(shù)主要刻畫的是成對樣本數(shù)據(jù)線性相關(guān)的程度(2)0.96r (1)1r (4)中成對數(shù)據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)最小，其他介于二者之間。(1)中線性相關(guān)的成對數(shù)據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)最大但從樣本相關(guān)系數(shù)看，差別很大，答：從散點圖看，以上各組成對數(shù)據(jù)都表現(xiàn)出很強的相關(guān)性4.7隨機抽取 家超市，得到其廣告支出與銷售額數(shù)據(jù)如下：10但隨著廣告支出超過萬元后，銷售額增加幅度變緩請推斷超市的銷售額與廣告支出之間的相關(guān)關(guān)系的類型、相關(guān)程度和變化趨勢的特征|說明銷售額與廣告支出正相關(guān)，且相關(guān)程度較強，0.83r 計算可得樣本相關(guān)系數(shù)從散點分布可以看出銷售額與廣告支出正相關(guān)，解：銷售額與廣告支出的散點圖如圖所示銷售額與廣告支出的變化趨勢相同，(4) 呈非線性相關(guān)關(guān)系1.4yx在以下 幅散點圖中，推斷哪些圖中的 和 之間存在相關(guān)關(guān)系？其中哪些正相關(guān)，哪些負相關(guān)？哪些圖所對應(yīng)的成對樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出線性相關(guān)關(guān)系？哪些圖所對應(yīng)的成對樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出非線性相關(guān)關(guān)系？8.1習題(2)(3) 呈線性相關(guān)關(guān)系(3) 是負相關(guān)(2)(4)其中是正