第三講 圖型變換與裁減3

1、1p平面幾何投影平面幾何投影p平行投影平行投影p透視投影透視投影p觀察坐標(biāo)系與透視投影變換觀察坐標(biāo)系與透視投影變換第三講第三講 圖型變換與裁減圖型變換與裁減-投影變換投影變換2o 投影變換就是把三維立體（或物體）投射到投投影變換就是把三維立體（或物體）投射到投影面上得到二維平面圖形的過(guò)程。影面上得到二維平面圖形的過(guò)程。n 平面幾何投影主要指平行投影、透視投影以平面幾何投影主要指平行投影、透視投影以及通過(guò)這些投影變換而得到的三維立體的常及通過(guò)這些投影變換而得到的三維立體的常用平面圖形：三視圖、軸測(cè)圖和透視圖等。用平面圖形：三視圖、軸測(cè)圖和透視圖等。n 觀察投影是指在觀察空間下進(jìn)行的圖形投影觀察投

2、影是指在觀察空間下進(jìn)行的圖形投影變換。變換。平面幾何投影變換平面幾何投影變換o 投影投影n將將n n維的點(diǎn)變換成小于維的點(diǎn)變換成小于n n維的點(diǎn)維的點(diǎn) n將將3 3維的點(diǎn)變換成維的點(diǎn)變換成2 2維的點(diǎn)維的點(diǎn)o 投影中心投影中心(COP:Center of Projection)(COP:Center of Projection)n三維空間中的一個(gè)點(diǎn)。三維空間中的一個(gè)點(diǎn)。n視覺(jué)系統(tǒng)視覺(jué)系統(tǒng)觀察點(diǎn)、視點(diǎn)觀察點(diǎn)、視點(diǎn)o 投影面投影面n不經(jīng)過(guò)投影中心不經(jīng)過(guò)投影中心n平面平面-照相機(jī)底片照相機(jī)底片n曲面曲面球幕電影球幕電影, ,視網(wǎng)膜視網(wǎng)膜平面幾何投影變換平面幾何投影變換o投影線投影線n從投影中心向物體

3、上各點(diǎn)發(fā)出的射線。從投影中心向物體上各點(diǎn)發(fā)出的射線。 o投影投影 n投影線與投影面之間的交點(diǎn)，即為物體上某個(gè)投影線與投影面之間的交點(diǎn)，即為物體上某個(gè)點(diǎn)點(diǎn)在投影面上的投影。投影面上的投影。o投影變換投影變換n將三維空間中的物體變換到二維圖像的過(guò)程。將三維空間中的物體變換到二維圖像的過(guò)程。 平面幾何投影變換平面幾何投影變換5平面幾何投影變換平面幾何投影變換圖圖1 1 線段線段AB的平面幾何投影的平面幾何投影 透視中心與投影平面之間的 透視中心在無(wú)窮處 距離是有限的o中心投影法（燈光）中心投影法（燈光）透視投影透視投影o平行投影法（陽(yáng)光）平行投影法（陽(yáng)光） 斜投影法、正投影法斜投影法、正投影法 透視

4、投影最接近于視覺(jué)效果；正投影法是繪制工程圖透視投影最接近于視覺(jué)效果；正投影法是繪制工程圖樣的基礎(chǔ)。樣的基礎(chǔ)。6平面幾何投影可分為兩大類(lèi)：平面幾何投影可分為兩大類(lèi)：o透視投影的投影中心到投影面之間的距離是有限的；透視投影的投影中心到投影面之間的距離是有限的；o平行投影的投影中心到投影面之間的距離是無(wú)限的。根據(jù)平行投影的投影中心到投影面之間的距離是無(wú)限的。根據(jù)投影線與投影面之間的夾角不同，又分正投影和斜投影。投影線與投影面之間的夾角不同，又分正投影和斜投影。平面幾何投影變換平面幾何投影變換圖圖2 平面幾何投影分為透視投影和平行投影平面幾何投影分為透視投影和平行投影圖圖3 平面幾何投影的分類(lèi)平面幾何

5、投影的分類(lèi)8p 平行投影可分成兩類(lèi)：正投影和斜投影。平行投影可分成兩類(lèi)：正投影和斜投影。1.1. 正投影：投影方向與投影面的夾角為正投影：投影方向與投影面的夾角為90902.2. 斜投影：投影方向與投影面的夾角不為斜投影：投影方向與投影面的夾角不為9090o 性質(zhì)：能夠精確地反映物體的實(shí)際尺寸。性質(zhì)：能夠精確地反映物體的實(shí)際尺寸。平面幾何投影變換平面幾何投影變換平行投影平行投影圖圖4 平行投影平行投影 根據(jù)投影面與坐標(biāo)軸的夾角，正投影又可分為：三視圖根據(jù)投影面與坐標(biāo)軸的夾角，正投影又可分為：三視圖和正軸測(cè)。和正軸測(cè)。1. 三視圖：三視圖：投影面與某一坐標(biāo)軸垂直，投影面與某一坐標(biāo)軸垂直，2.正軸

6、測(cè)：正軸測(cè)：投影面與所有坐標(biāo)軸不垂直投影面與所有坐標(biāo)軸不垂直平面幾何投影變換平面幾何投影變換正投影正投影圖圖5 正投影正投影10p 三視圖投影面分別與三視圖投影面分別與X X軸、軸、Y Y軸和軸和Z Z軸垂直，分為：軸垂直，分為：1.1. 正視圖正視圖V V（主視圖）：投影線平行與（主視圖）：投影線平行與y y軸，軸，XOZXOZ坐標(biāo)面坐標(biāo)面2.2. 俯視圖俯視圖H H（水平投影面）：投影線平行與（水平投影面）：投影線平行與z z軸，軸，XOYXOY坐標(biāo)面坐標(biāo)面3.3. 側(cè)視圖側(cè)視圖W W（左視圖）：投影線平行與（左視圖）：投影線平行與x x軸，軸，YOZYOZ坐標(biāo)面坐標(biāo)面平面幾何投影變換平面

7、幾何投影變換三視圖三視圖圖圖6 三維形體及其三視圖三維形體及其三視圖o 正投影的圖形，在長(zhǎng)寬高三個(gè)方向上的比例與實(shí)正投影的圖形，在長(zhǎng)寬高三個(gè)方向上的比例與實(shí)物保持一致，因此，常用于工程制圖。物保持一致，因此，常用于工程制圖。o 三視圖規(guī)律三視圖規(guī)律1. 正視圖反映長(zhǎng)、高；俯視圖反映長(zhǎng)、寬；側(cè)視圖正視圖反映長(zhǎng)、高；俯視圖反映長(zhǎng)、寬；側(cè)視圖反映高、寬。反映高、寬。2. 主、俯視圖主、俯視圖長(zhǎng)對(duì)正長(zhǎng)對(duì)正；主、側(cè)視圖；主、側(cè)視圖高平齊高平齊；側(cè)、俯；側(cè)、俯視圖視圖寬相等寬相等。平面幾何投影變換平面幾何投影變換三視圖三視圖12p 確定三維形體上各點(diǎn)的位置坐標(biāo)；確定三維形體上各點(diǎn)的位置坐標(biāo)；p 引入齊次坐

8、標(biāo)，求出所作變換相應(yīng)變換矩陣；引入齊次坐標(biāo)，求出所作變換相應(yīng)變換矩陣；p 將所作變換用矩陣表示，通過(guò)運(yùn)算求得三維形將所作變換用矩陣表示，通過(guò)運(yùn)算求得三維形體上各點(diǎn)體上各點(diǎn)(x,y,z)經(jīng)變換后的相應(yīng)點(diǎn)經(jīng)變換后的相應(yīng)點(diǎn)(x,y)或或(y,z) ；p 由變換后的所有二維點(diǎn)繪出三維形體投影后的由變換后的所有二維點(diǎn)繪出三維形體投影后的三視圖。三視圖。平面幾何投影變換平面幾何投影變換三視圖三視圖圖 正投影三視圖變換(a) 三面投影； (b) 三面投影展開(kāi)； (c) 三面投影平移 為使三個(gè)視圖出現(xiàn)在同一個(gè)平面上，通常：為使三個(gè)視圖出現(xiàn)在同一個(gè)平面上，通常：1.1. 投影變換，得投影變換，得V V、W W或

9、或H H面；面；2.2. 一般一般V V面不動(dòng)，面不動(dòng)，H H面繞面繞X X軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)-90-90、W W面繞面繞Z Z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)9090；3.3. H H面沿面沿Z Z方向平移方向平移-Z-Z0 0； W W面沿面沿X X方向平移方向平移-X-X0 0 。(a)(b)(c)XHVZWOYZVOXH(a)(b)ZVWXH Z0O X0(c)W平面幾何投影變換平面幾何投影變換三視圖三視圖14p 主視圖：將三維形體向主視圖：將三維形體向xoz面（又稱面（又稱V面）作垂面）作垂直投影（即正平行投影），得到主視圖。直投影（即正平行投影），得到主視圖。平面幾何投影變換平面幾何投影變換三視圖三視圖圖圖

10、7 三維形體及其主視圖三維形體及其主視圖151000010000000001vTp主視圖投影矩陣為：主視圖投影矩陣為：平面幾何投影變換平面幾何投影變換三視圖三視圖16p 俯視圖：三維形體向俯視圖：三維形體向xoyxoy面（又稱面（又稱H H面）作垂直面）作垂直投影得到俯視圖。投影得到俯視圖。平面幾何投影變換平面幾何投影變換三視圖三視圖圖圖8 三維形體及其主、俯視圖三維形體及其主、俯視圖(1) (1) 投影變換投影變換xzyOZYXY俯視圖1000000000100001xoyT(2) (2) H H面繞面繞x x軸負(fù)轉(zhuǎn)軸負(fù)轉(zhuǎn)9090，使俯視圖與主視圖在同一個(gè)平，使俯視圖與主視圖在同一個(gè)平面上。

11、面上。xzyOZYXY俯視圖100000100100000110000)90cos()90sin(00)90sin()90cos(00001RxT(3)使使H H面沿面沿z z方向平移一段距離方向平移一段距離- -z z0 0，使俯視圖與主視，使俯視圖與主視圖之間有一定的間距。圖之間有一定的間距。xzyOZYXY俯視圖1000100001000010zTTz20p俯視圖投影矩陣為：俯視圖投影矩陣為：1000000010000010zTTTTtzRxxoy平面幾何投影變換平面幾何投影變換三視圖三視圖21p 側(cè)視圖：獲得側(cè)視圖是將三維形體往側(cè)視圖：獲得側(cè)視圖是將三維形體往yoz面面（側(cè)面（側(cè)面W）

12、作垂直投影。作垂直投影。平面幾何投影變換平面幾何投影變換三視圖三視圖圖圖7-12 三維形體及其三視圖三維形體及其三視圖(1) (1) 側(cè)視圖的投影變換側(cè)視圖的投影變換1000010000100000yozTxzyOZYXY側(cè)視圖(2)使使W面繞面繞z軸正轉(zhuǎn)軸正轉(zhuǎn)90，使側(cè)視圖與主視圖在同一個(gè)，使側(cè)視圖與主視圖在同一個(gè)平面上。平面上。1000010000010010100001000090cos90sin0090sin90cosRzT(3)使使W面沿負(fù)面沿負(fù)x方向平移一段距離方向平移一段距離x0，使側(cè)視圖與主視，使側(cè)視圖與主視圖之間有一定的間距。圖之間有一定的間距。100010000100001

13、0 xTRxxzyOZYXY側(cè)視圖25p側(cè)視圖投影矩陣為：側(cè)視圖投影矩陣為：1000100000100000 xTTTTtRzyoz平面幾何投影變換平面幾何投影變換三視圖三視圖26p 最后的三視圖：最后的三視圖：平面幾何投影變換平面幾何投影變換三視圖三視圖圖圖9 三維形體及其三視圖三維形體及其三視圖o正軸測(cè)有分等軸測(cè)（正等測(cè)）、正二側(cè)和正三側(cè)三種：正軸測(cè)有分等軸測(cè)（正等測(cè)）、正二側(cè)和正三側(cè)三種：1.1.正等側(cè)：投影面與正等側(cè)：投影面與3 3個(gè)坐標(biāo)軸之間的夾角都相等。個(gè)坐標(biāo)軸之間的夾角都相等。2.2.正二側(cè)：投影面與正二側(cè)：投影面與2 2個(gè)坐標(biāo)軸之間的夾角都相等。個(gè)坐標(biāo)軸之間的夾角都相等。3.3

14、.正三側(cè)：投影面與正三側(cè)：投影面與3 3個(gè)坐標(biāo)軸之間的夾角都不相等。個(gè)坐標(biāo)軸之間的夾角都不相等。 (a)等軸圖 (b)正二側(cè) (c)正三側(cè)圖 正軸測(cè)投影投影面投影面投影面平面幾何投影變換平面幾何投影變換正軸測(cè)圖正軸測(cè)圖2022-6-2928 / 68o正軸測(cè)投影正軸測(cè)投影n當(dāng)投影方向當(dāng)投影方向不取坐標(biāo)軸方向不取坐標(biāo)軸方向，投影平面不垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，投影平面不垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，產(chǎn)生的正投影稱為正軸測(cè)投影。產(chǎn)生的正投影稱為正軸測(cè)投影。n正軸測(cè)投影分類(lèi)：正軸測(cè)投影分類(lèi)：正等測(cè)、正二測(cè)、正等測(cè)、正二測(cè)、正三測(cè)正三測(cè)n正等測(cè)正等測(cè)：投影平面與三個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離：投影平面與三個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)到坐

15、標(biāo)原點(diǎn)的距離都相等。都相等。n沿沿三個(gè)軸線三個(gè)軸線具有相同的變形系數(shù)。具有相同的變形系數(shù)。2022-6-2929 / 68o正軸測(cè)投影正軸測(cè)投影n正二測(cè)正二測(cè)：投影平面與兩個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離：投影平面與兩個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都相等。都相等。n沿沿兩個(gè)軸線兩個(gè)軸線具有相同的變形系數(shù)。具有相同的變形系數(shù)。平面幾何投影變換平面幾何投影變換正軸測(cè)圖正軸測(cè)圖2022-6-2930 / 68o正軸測(cè)投影正軸測(cè)投影n正三測(cè)正三測(cè)：投影平面與三個(gè)坐標(biāo)軸交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離都不：投影平面與三個(gè)坐標(biāo)軸交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離都不相等。相等。n沿沿三個(gè)軸線具有各不相同三個(gè)軸線具有各不相同的變形系數(shù)。的

16、變形系數(shù)。平面幾何投影變換平面幾何投影變換正軸測(cè)圖正軸測(cè)圖圖圖10 正軸測(cè)圖正軸測(cè)圖xzyOABCDEF 令：令：E E為原點(diǎn)為原點(diǎn)O O在投影面在投影面ABCABC上的投影點(diǎn)，延長(zhǎng)線上的投影點(diǎn)，延長(zhǎng)線BEBE與與ACAC交于交于D D，OFOF（E E在在OFOF的延長(zhǎng)線）為投影面的延長(zhǎng)線）為投影面ABCABC的投影方向矢量（簡(jiǎn)稱投影的投影方向矢量（簡(jiǎn)稱投影矢量），矢量），OAD=CODOAD=COD，記為，記為；EOD=DBOEOD=DBO，記為，記為。 正軸投影步驟：正軸投影步驟：將將OFOF通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換到通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換到Z Z軸上，使投影面軸上，使投影面ABCABC與與XOYXOY平行；

17、平行；針對(duì)針對(duì)XOYXOY面作投影；面作投影；圖圖 先繞先繞y軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)-角角(1) (1) 先繞先繞y y軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角角xzyOABCDEFxzyOABCDEF33(1) 先繞先繞y軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角角10000cos0sin00100sin0cos10000)cos(0)sin(00100)sin(0)cos(RyT平面幾何投影變換平面幾何投影變換正軸測(cè)圖正軸測(cè)圖圖圖 再繞再繞x軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角角(2)再繞再繞x軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角角xzyOABCDEFxzyOABCDEF35(2) 再繞再繞x軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角角10000cos

18、sin00sincos00001RxT平面幾何投影變換平面幾何投影變換正軸測(cè)圖正軸測(cè)圖36(3) 將三維形體向?qū)⑷S形體向xoy平面作正投影平面作正投影1000000000100001pT平面幾何投影變換平面幾何投影變換正軸測(cè)圖正軸測(cè)圖37p 最后得到正軸測(cè)圖的投影變換矩陣最后得到正軸測(cè)圖的投影變換矩陣：100000sincossin00cos000sinsincos pRxRyTTTTp 此矩陣是一般正軸測(cè)圖的投影變換矩陣。此矩陣是一般正軸測(cè)圖的投影變換矩陣。平面幾何投影變換平面幾何投影變換正軸測(cè)圖正軸測(cè)圖2022-6-2938 / 68平面幾何投影變換平面幾何投影變換正軸測(cè)圖正軸測(cè)圖下面主

19、要討論下面主要討論正二測(cè)和正等測(cè)的投影變換矩陣，即確定變換矩正二測(cè)和正等測(cè)的投影變換矩陣，即確定變換矩陣中的陣中的 角和角和 角。角。-如何度量沿三個(gè)軸線方向的變形系數(shù)？如何度量沿三個(gè)軸線方向的變形系數(shù)？10cossinsin110010cos0101010sinsincos1001正軸側(cè)投影正軸側(cè)投影正軸側(cè)投影2022-6-2939 / 68形體的投影變換形體的投影變換 正二側(cè)投影需滿足：正二側(cè)投影需滿足：假定假定Z Z軸上的單位矢量經(jīng)變換后長(zhǎng)度變?yōu)檩S上的單位矢量經(jīng)變換后長(zhǎng)度變?yōu)?/21/2；即；即Z Z軸的變形系軸的變形系數(shù)恒為數(shù)恒為1/21/2：可得：可得： =22.21=22.21。,

20、 =20.71, =20.71。 變換矩陣為：變換矩陣為： 變換矩陣為變換矩陣為2222cossinsincos4/1sincossin222.1000003273. 03780. 0009354. 00001336. 0926. 0T2022-6-2940 / 68形體的投影變換形體的投影變換 正等側(cè)投影需滿足：正等側(cè)投影需滿足：可得：可得： =45=45。, =35, =35。 變換矩陣為：變換矩陣為： 變換矩陣為變換矩陣為2222cossinsincos2222cossincossin.1000004082. 07071. 0008166. 00004082. 07071. 0T41p

21、能同時(shí)反映物體的多個(gè)面，具有一定的立體效果。能同時(shí)反映物體的多個(gè)面，具有一定的立體效果。p 能使空間任意一組平行線的投影仍然保持平行。能使空間任意一組平行線的投影仍然保持平行。p 不能保持三維空間的角度關(guān)系。不能保持三維空間的角度關(guān)系。p 沿三個(gè)坐標(biāo)軸的方向均可測(cè)量距離，但要注意比沿三個(gè)坐標(biāo)軸的方向均可測(cè)量距離，但要注意比例關(guān)系。例關(guān)系。平面幾何投影變換平面幾何投影變換正軸測(cè)圖正軸測(cè)圖42o 斜投影圖，即斜軸測(cè)圖，是將三維形體向一個(gè)單一的投斜投影圖，即斜軸測(cè)圖，是將三維形體向一個(gè)單一的投影面作平行投影，但投影方向不垂直于投影面所得到的影面作平行投影，但投影方向不垂直于投影面所得到的平面圖形。平

22、面圖形。o 通常選用垂直于某個(gè)坐標(biāo)軸的投影面，使得平行于投影通常選用垂直于某個(gè)坐標(biāo)軸的投影面，使得平行于投影面的形體表面可以進(jìn)行距離和角度的測(cè)量，而其他面可面的形體表面可以進(jìn)行距離和角度的測(cè)量，而其他面可以沿坐標(biāo)軸測(cè)量距離。以沿坐標(biāo)軸測(cè)量距離。o 特點(diǎn)：既可以進(jìn)行測(cè)量距離和角度，又可以同時(shí)反映三特點(diǎn)：既可以進(jìn)行測(cè)量距離和角度，又可以同時(shí)反映三維形體的多個(gè)面，具有立體效果。維形體的多個(gè)面，具有立體效果。平面幾何投影變換平面幾何投影變換斜投影圖斜投影圖43p常用的斜軸測(cè)圖有斜等測(cè)圖和斜二測(cè)圖。常用的斜軸測(cè)圖有斜等測(cè)圖和斜二測(cè)圖。1.1.斜等測(cè)：投影方向與投影面成斜等測(cè)：投影方向與投影面成4545角

23、度（角度（arctan1arctan1）。）。和投影面垂直的任何直線段，其投影的長(zhǎng)度不變。和投影面垂直的任何直線段，其投影的長(zhǎng)度不變。 比如比如op=op=opop。平面幾何投影變換平面幾何投影變換斜投影圖斜投影圖圖圖11 斜平行投影斜平行投影投影平面法向投影方向投影平面(a)斜等測(cè)pOp44p常用的斜軸測(cè)圖有斜等測(cè)圖和斜二測(cè)圖。常用的斜軸測(cè)圖有斜等測(cè)圖和斜二測(cè)圖。2.2. 斜二測(cè)：投影方向與投影面成斜二測(cè)：投影方向與投影面成arctan2arctan2角度。和投影面角度。和投影面垂直的任何直線段，其投影的長(zhǎng)度為原來(lái)的一半。垂直的任何直線段，其投影的長(zhǎng)度為原來(lái)的一半。 比如比如op=2opop

24、=2op。平面幾何投影變換平面幾何投影變換斜投影圖斜投影圖圖圖12 斜平行投影斜平行投影(b)斜二測(cè)投影方向投影平面pOp投影平面法向45圖圖13 斜平行投影的形成斜平行投影的形成m=m=z zp p/tan/tan= =z zp pctgctg； 對(duì)于點(diǎn)對(duì)于點(diǎn)q(xq(xq q,y,yq q,z,zq q) )x xp p=mcosmcos= =z zp pcoscosctgctg x xq q=x xq q+z+zq qcoscosctgctgy yp p=msinmsin= =z zp psinsinctgctg y yq q=y yq q+z+zq qsinsinctgctg平面幾何投

25、影變換平面幾何投影變換斜投影圖斜投影圖46p 斜平行投影的投影變換矩陣為：斜平行投影的投影變換矩陣為： 1 1 0 0 0 00 0 1 0 0 0 1 0 0 0= 0 = 0 1 1 0 0 0 1 0 00 0 0 1 0 0 coscosctgctg sinsinctgctg 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 10 1 0 0 0 1 0 0 0 1 x x、y y按按z z值成比例的移動(dòng)值成比例的移動(dòng) xoyxoy投影投影100000sincos00100001ctgctgT平面幾何投影變換平面幾何投影變換斜投影圖斜投影圖 對(duì)于斜等測(cè)圖有：對(duì)于斜等測(cè)圖

26、有：=45,ctg=1。斜二測(cè)圖則有：斜二測(cè)圖則有：=arctg(2),ctg=1/2。通常通常取取30或或45。圖圖14 斜平行投影斜平行投影48平面幾何投影變換平面幾何投影變換斜投影圖斜投影圖圖圖15 單位立方體的斜平行投影單位立方體的斜平行投影為為4545時(shí)時(shí)兩種斜等測(cè)投影兩種斜等測(cè)投影所有與投影面垂直的直線在投所有與投影面垂直的直線在投影中長(zhǎng)度不變影中長(zhǎng)度不變?yōu)闉閍rctan2arctan2時(shí)時(shí)兩種斜等測(cè)投影兩種斜等測(cè)投影所有與投影面垂直的直線在投影所有與投影面垂直的直線在投影中成一半長(zhǎng)度中成一半長(zhǎng)度對(duì)平行投影，所有與投影面平行的直線，其投影后長(zhǎng)度均不對(duì)平行投影，所有與投影面平行的直線

27、，其投影后長(zhǎng)度均不變變圖圖16 16 透視投影透視投影 yP(x, y, z)zOE觀察方向投影平面P*(x*, y*, z*)x 從視點(diǎn)（從視點(diǎn)（投影中心投影中心）發(fā)出的所有通過(guò)對(duì)發(fā)出的所有通過(guò)對(duì)象象( (景景) )的射線和投的射線和投影平面的交點(diǎn)形成影平面的交點(diǎn)形成三維立體的三維立體的“像像”，這 就 是這 就 是 透 視 投 影透 視 投 影 , , 如圖所示。如圖所示。 平面幾何投影變換平面幾何投影變換透視投影透視投影50)(zddyyxx圖17 透視投影 設(shè)：投影面為設(shè)：投影面為xoyxoy，投影，投影中心在中心在z z軸上（軸上（z=-dz=-d）處，）處，則空間點(diǎn)則空間點(diǎn)p(x,

28、y,zp(x,y,z) )的透的透視投影視投影p(x,y,zp(x,y,z)的坐標(biāo)為：的坐標(biāo)為：相似三角形，相似三角形， x=x/(1+z/d) x=x/(1+z/d) y=y/(1+z/d) y=y/(1+z/d) z=0 z=01000/100000100001d 1000000000100001100011000010000111dzyxzyx 100000000010000110001000010000111rzyxzyx 透視矩陣透視矩陣 xoyxoy投影矩陣投影矩陣生成透視圖分兩步進(jìn)行：生成透視圖分兩步進(jìn)行：1.1.對(duì)立體進(jìn)行透視變換；對(duì)立體進(jìn)行透視變換； 設(shè)：設(shè)：r=1/dr=1

29、/d2.2.然后向然后向XOYXOY坐標(biāo)平面作正投影。坐標(biāo)平面作正投影。 當(dāng)當(dāng)d-d-，r-0r-0，透視，透視-平行平行52p透視投影特性透視投影特性1.1. 物體的透視投影的大小與物體到投影中心的物體的透視投影的大小與物體到投影中心的Z Z方方向距離成反比向距離成反比符合符合近大遠(yuǎn)小近大遠(yuǎn)小的視覺(jué)效果。的視覺(jué)效果。2.2. d d 的取值不同，可對(duì)形成的透視投影圖起放大和的取值不同，可對(duì)形成的透視投影圖起放大和縮小的作用?？s小的作用。平面幾何投影變換平面幾何投影變換透視投影透視投影圖圖 18 透視縮小效應(yīng)透視縮小效應(yīng)53p透視投影的深度感更強(qiáng)，更加具有真實(shí)感，但透透視投影的深度感更強(qiáng)，更加

30、具有真實(shí)感，但透視投影不能夠準(zhǔn)確反映物體的大小和形狀。視投影不能夠準(zhǔn)確反映物體的大小和形狀。p透視投影的大小與物體到投影中心的距離有關(guān)。透視投影的大小與物體到投影中心的距離有關(guān)。p一一組平行線若平行于投影平面時(shí)，它們的透視投組平行線若平行于投影平面時(shí)，它們的透視投影仍然保持平行。影仍然保持平行。p只有當(dāng)物體表面平行于投影平面時(shí)，該表面上的只有當(dāng)物體表面平行于投影平面時(shí)，該表面上的角度在透視投影中才能被保持。角度在透視投影中才能被保持。平面幾何投影變換平面幾何投影變換透視投影透視投影投影中心投影面圖圖19 19 滅點(diǎn)滅點(diǎn)o不平行于投影面的平行線的投影會(huì)匯聚到一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)不平行于投影面的平行線的投

31、影會(huì)匯聚到一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱為點(diǎn)稱為滅點(diǎn)滅點(diǎn)(Vanishing Point)(Vanishing Point)。55o 坐標(biāo)軸方向的平行線在投影面上形成的滅點(diǎn)稱作坐標(biāo)軸方向的平行線在投影面上形成的滅點(diǎn)稱作主滅點(diǎn)主滅點(diǎn)。o 一點(diǎn)透視一點(diǎn)透視有一個(gè)主滅點(diǎn)，即投影面與一個(gè)坐標(biāo)軸正交，與另有一個(gè)主滅點(diǎn)，即投影面與一個(gè)坐標(biāo)軸正交，與另外兩個(gè)坐標(biāo)軸平行。外兩個(gè)坐標(biāo)軸平行。o 兩點(diǎn)透視兩點(diǎn)透視有兩個(gè)主滅點(diǎn)，即投影面與兩個(gè)坐標(biāo)軸相交，與另有兩個(gè)主滅點(diǎn)，即投影面與兩個(gè)坐標(biāo)軸相交，與另一個(gè)坐標(biāo)軸平行。一個(gè)坐標(biāo)軸平行。o 三點(diǎn)透視三點(diǎn)透視有三個(gè)主滅點(diǎn)，即投影面與三個(gè)坐標(biāo)軸都相交。有三個(gè)主滅點(diǎn)，即投影面與三個(gè)坐標(biāo)軸都

32、相交。圖圖20 20 透視投影透視投影561000100010001rqpp 透視投影的變換矩陣：透視投影的變換矩陣：平面幾何投影變換平面幾何投影變換透視投影透視投影(1) (1) 一點(diǎn)透視一點(diǎn)透視設(shè)設(shè)r r 0 0，p=q=0, p=q=0, 對(duì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)xx，y y，zz進(jìn)行變換：進(jìn)行變換： 1 0 0 01 0 0 0 x y z 1 0 1 0 0 = x y z rz+1 x y z 1 0 1 0 0 = x y z rz+1 0 0 1 r0 0 1 r 0 0 0 10 0 0 1= x/(rz+1) y/(rz+1) z/(rz+1) 1 = x/(rz+1) y/(rz+1)

33、z/(rz+1) 1 （齊次化）（齊次化）1.1.當(dāng)當(dāng)z=0z=0（在（在XOYXOY坐標(biāo)平面內(nèi)）：坐標(biāo)平面內(nèi)）：x y z 1 = x yx y z 1 = x y 0 10 12.2.當(dāng)當(dāng) z z x y z 1 = 0 0 1/rx y z 1 = 0 0 1/r 1 1 平面幾何投影變換平面幾何投影變換透視投影透視投影現(xiàn)在來(lái)對(duì)現(xiàn)在來(lái)對(duì)z z的取值情況進(jìn)行討論：的取值情況進(jìn)行討論： 當(dāng)當(dāng)z z值無(wú)限變大時(shí)，所有點(diǎn)經(jīng)過(guò)變換后均集中于值無(wú)限變大時(shí)，所有點(diǎn)經(jīng)過(guò)變換后均集中于z z軸上的軸上的 1/r 1/r 處，于是處，于是所有平行于所有平行于z z軸的直線將延伸軸的直線將延伸相交于此點(diǎn)。相交

34、于此點(diǎn)。該點(diǎn)該點(diǎn)( 0,0,1/r)( 0,0,1/r)稱為滅點(diǎn)。稱為滅點(diǎn)。(1) (1) 二點(diǎn)透視二點(diǎn)透視設(shè)設(shè)p0p0，r r 0 0，q=0, q=0, 對(duì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)xx，y y，zz進(jìn)行變換：進(jìn)行變換： 1 0 0 p1 0 0 p x y z 1 0 1 0 0 = x y z px+rz+1 x y z 1 0 1 0 0 = x y z px+rz+1 0 0 1 r0 0 1 r 0 0 0 10 0 0 1=x/(px+rz+1) y/(px+rz+1) z/(px+rz+1) 1 =x/(px+rz+1) y/(px+rz+1) z/(px+rz+1) 1 （齊次化）（齊次化）一

35、個(gè)滅點(diǎn)（一個(gè)滅點(diǎn)（x x）在軸上的）在軸上的1/p1/p處；處；另另一個(gè)滅點(diǎn)（一個(gè)滅點(diǎn)（z z）在軸上的）在軸上的1/r1/r處處。平面幾何投影變換平面幾何投影變換透視投影透視投影xy(3)(3)三點(diǎn)透視三點(diǎn)透視 以此類(lèi)推，當(dāng)以此類(lèi)推，當(dāng) p p、q q、r r三個(gè)元素全為非三個(gè)元素全為非0 0時(shí)，變換的結(jié)時(shí)，變換的結(jié)果將形成三點(diǎn)透視。產(chǎn)生的三個(gè)滅點(diǎn)將分別位于軸上的果將形成三點(diǎn)透視。產(chǎn)生的三個(gè)滅點(diǎn)將分別位于軸上的1/p1/p處、軸上的處、軸上的 1/q 1/q 處和軸上的處和軸上的 1/r 1/r 處。處。 平面幾何投影變換平面幾何投影變換透視投影透視投影61 在生成一點(diǎn)透視圖時(shí)，為了避免特殊

36、位置透視，在生成一點(diǎn)透視圖時(shí)，為了避免特殊位置透視，使產(chǎn)生的透視圖立體感較好，通常要在進(jìn)行透視變使產(chǎn)生的透視圖立體感較好，通常要在進(jìn)行透視變換前先將立體平移到一個(gè)合適的位置（例如離開(kāi)坐換前先將立體平移到一個(gè)合適的位置（例如離開(kāi)坐標(biāo)系中心），然后再進(jìn)行透視變換。標(biāo)系中心），然后再進(jìn)行透視變換。平面幾何投影變換平面幾何投影變換透視投影透視投影設(shè)：視點(diǎn)（投影中心）在設(shè)：視點(diǎn)（投影中心）在Z Z軸上軸上（z=-dz=-d），投影面在），投影面在XOYXOY上，一點(diǎn)上，一點(diǎn)透視的步驟：透視的步驟：平移三維形體到（平移三維形體到（l l、m m、n n）確定確定d d的值，的值，透視變換透視變換向向XOY

37、XOY作正投影變換作正投影變換平面幾何投影變換平面幾何投影變換一點(diǎn)透視一點(diǎn)透視 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 01 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0Tp1=Tp1=0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 = 0 1 0 0 0 1 0 0 = 0 1 0 00 0 1 0 0 0 1 1/d 0 0 0 00 0 1 0 0 0 1 1/d 0 0 0 0 0 0 0 1/d 0 0 0 1/dl m n 1 0 0 0 1 0 0 0 1 l m 0 1+n/dl m n 1 0 0 0 1 0

38、0 0 1 l m 0 1+n/dXYZ(a) (a) 單位立方體單位立方體(b) (b) 一點(diǎn)透視一點(diǎn)透視舉例：舉例：?jiǎn)挝涣⒎襟w（如圖單位立方體（如圖a a）的一點(diǎn)透視）的一點(diǎn)透視投影。投影。要求：要求：將頂點(diǎn)（將頂點(diǎn)（0,0,00,0,0）平移（）平移（l,m,nl,m,n) )，并以并以(0,0,d)(0,0,d)為投影中心，將結(jié)果投影到為投影中心，將結(jié)果投影到z=0z=0得平面得平面（如圖（如圖b b），求變換矩陣。，求變換矩陣。已知：已知：l=0.8, m=-1.6, n=-2l=0.8, m=-1.6, n=-2，d=-2.5d=-2.51 0 0 0 1 0 0 00 1 0 0

39、 0 1 0 0Tp1= 0 0 0 1/d = 0 0 0 0.4l m 0 1+n/d 0.8 1.6 0 1.8兩點(diǎn)透視繪圖方法兩點(diǎn)透視繪圖方法1.1. 將頂點(diǎn)（將頂點(diǎn)（0,0,00,0,0）平移（）平移（l,m,nl,m,n) )2.2. 繞繞y y軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)角度（角度（9090 ）3.3. 二點(diǎn)透視變換二點(diǎn)透視變換4.4. 向向xoyxoy平面平面( (z=0)z=0)進(jìn)行正投影變換進(jìn)行正投影變換平面幾何投影變換平面幾何投影變換二點(diǎn)透視二點(diǎn)透視xyXYZ(a)(a)單位立方體單位立方體 (b)(b)平移平移( (l,m,nl,m,n) ) (c)(c)繞繞y y旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn) (d)(d

40、)透視投影透視投影XYZXYZXYZ1 0 0 0 1 0 0 0 coscos 0 sin 0 sin 0 1 0 0 p 1 0 0 0 0 1 0 0 p 1 0 0 00 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 00 0 0 0 -sin0 0 0 0 -sin 0 0 coscos 0 0 0 1 r 0 0 0 0 0 0 0 1 r 0 0 0 0l m n 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 m n 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 coscos 0 0 0 0 p

41、cospcos- -rsinrsin = 0 1 0 0= 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 psinpsin+ +rcosrcos lcoscos+ +n nsinsin m m 0 0 p(p(lcoscos+ +nsinnsin)+)+r(ncosr(ncos- -lsinsin)+1)+1xy兩點(diǎn)透視另一種繪圖方法：兩點(diǎn)透視另一種繪圖方法：1.1. 將形體繞將形體繞y y軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)角度（右手法則，角度（右手法則，9090 ）；）；2.2. 將頂點(diǎn)（將頂點(diǎn)（0,0,00,0,0）平移（）平移（l,m,nl,m,n) )；3.3. 以以(0,0,d)(0,0,d)為投影中心向?yàn)橥队?/p>

42、中心向xoyxoy平面平面( (z=0)z=0)進(jìn)行透視投影變進(jìn)行透視投影變換換coscos 0 -sin 0 -sin 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0sinsin 0 0 coscos 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1/d 0 0 1 0 0 0 0 1/d 0 0 0 1 0 0 0 1 l m n 0 0 0 0 1 m n 0 0 0 0 1 coscos 0 0 - 0 0 -sinsin/d/d= 0= 0 1 0 0 1 0 0 sin s

43、in 0 0 0 0 coscos/d/d l m 0 n/d+1 m 0 n/d+1三點(diǎn)透視繪圖方法三點(diǎn)透視繪圖方法1.1. 將頂點(diǎn)（將頂點(diǎn)（0,0,00,0,0）平移到適當(dāng)位置平移到適當(dāng)位置(l(l，m m，n)n)2.2. 將形體繞將形體繞y y軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)角度角度3.3. 將形體繞將形體繞x x軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)角度角度4.4. 三點(diǎn)透視變換三點(diǎn)透視變換5.5. 向向xoyxoy平面平面( (z=0)z=0)進(jìn)行正投影變換進(jìn)行正投影變換平面幾何投影變換平面幾何投影變換三點(diǎn)透視三點(diǎn)透視XYZXYZXYZXYZXYZ三點(diǎn)透視繪圖方法三點(diǎn)透視繪圖方法1.1. 將頂點(diǎn)（將頂點(diǎn)（0,0,00,0,0）

44、平移到適當(dāng)位置平移到適當(dāng)位置(l(l，m m，n)n)2.2. 將形體繞將形體繞y y軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)角度角度3.3. 將形體繞將形體繞x x軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)角度角度4.4. 三點(diǎn)透視變換三點(diǎn)透視變換5.5. 向向xoyxoy平面平面( (z=0)z=0)進(jìn)行正投影變換進(jìn)行正投影變換1 0 0 0 1 0 0 0 coscos 0 -sin 0 -sin 0 0 1 0 0 0 1 0 0 p 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 p 1 0 0 00 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 coscos -sin -sin 0 0 0 1 0 q 0 1 0 q 0

45、 1 0 0 0 1 0 00 0 0 0 sin0 0 0 0 sin 0 0 coscos 0 0 0 0 -sin-sin coscos 0 0 0 1 r 0 0 0 0 0 0 0 1 r 0 0 0 0l l m n 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 m n 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1平面幾何投影變換平面幾何投影變換三點(diǎn)透視三點(diǎn)透視三點(diǎn)透視三點(diǎn)透視另一種另一種繪圖方法：繪圖方法：1.1.將形體繞將形體繞y y軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)角度；角度；2.2.將形體繞將形體繞x x軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)角度；角度；3.3.將頂點(diǎn)（將頂點(diǎn)（

46、0,0,00,0,0）平移到適當(dāng)位置平移到適當(dāng)位置(l(l，m m，n)n)；4.4.以以(0,0,d)(0,0,d)為投影中心向?yàn)橥队爸行南騲oyxoy平面平面( (z=0)z=0)進(jìn)行透視投影變換進(jìn)行透視投影變換。coscos 0 -sin 0 -sin 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 coscos sin sin 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0sinsin 0 0 coscos 0 0 0 -sin 0 -sin coscos 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1/d 0 0 1 0 0 0 0 1/d 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 l m n 1 0 0 0 1 m n 1 0 0 0 1 coscos sin sinc