第2章平面匯交力系

1、PF1F2平面匯交力系：平面匯交力系： 各力的作用線在同一平面內(nèi)且匯交于一點(diǎn)的力系。各力的作用線在同一平面內(nèi)且匯交于一點(diǎn)的力系。21平面匯交力系合成與平衡的幾何法平面匯交力系合成與平衡的幾何法AF3F2F1A包括自重與包括自重與 液體重力液體重力O匯交力系中各力首尾相連，構(gòu)成一個(gè)不封閉的折線匯交力系中各力首尾相連，構(gòu)成一個(gè)不封閉的折線Oabcd，稱為稱為不封閉的力多邊形不封閉的力多邊形（力鏈）。合力為力多邊形的封閉邊（力鏈）。合力為力多邊形的封閉邊Od，方向從第一個(gè)力的起點(diǎn)指向最后一個(gè)力的終點(diǎn)。方向從第一個(gè)力的起點(diǎn)指向最后一個(gè)力的終點(diǎn)。平面匯交力系的合成的幾何法平面匯交力系的合成的幾何法力的可

2、傳性力的可傳性合力大小與分力的次序無關(guān)合力大小與分力的次序無關(guān)。1F2F3F4FO1F2F3F4FOacdbRF1F3F4F2F1RF2RFORF1F3F4F2FORF力多邊形法則力多邊形法則O力的可傳性力的可傳性1F2F3F4FO1F2F3F4FORF1F3F4F2FORF合力可以表示為：合力可以表示為： 41iiRFF若力系為若力系為n個(gè)力，合力可以表示為：個(gè)力，合力可以表示為： n1iiRFF iF匯交力系匯交力系 nFFF.,21與其與其合力等效。合力等效。合力作用線通過匯交點(diǎn)。合力作用線通過匯交點(diǎn)。平面匯交力系的合成的幾何法平面匯交力系的合成的幾何法力多邊形法則力多邊形法則平面匯交力

3、系平衡的充要條件是合力為零。平面匯交力系平衡的充要條件是合力為零。 n1iiR0FF力系中各力首尾相連，力多邊形自行封閉。力系中各力首尾相連，力多邊形自行封閉。O1F2F3F4FORF5F,FFR二二力力平平衡衡等等值值反反向向與與5 5,4321FF,F,F,F為平衡力系。為平衡力系。則則5FRF1F3F4F2FO5F （4）確定未知力的大?。捍_定未知力的大小：可量取長(zhǎng)度，用比例尺換算。也可可量取長(zhǎng)度，用比例尺換算。也可利用三角關(guān)系求得。利用三角關(guān)系求得。b3060例例1 1 如圖，如圖，P=10kN。兩桿自重不計(jì)。求兩桿的受力。兩桿自重不計(jì)。求兩桿的受力。ABCP3060OaP （3）畫力

4、多邊形：畫力多邊形：kNPFBA530sin 確定未知力方向：確定未知力方向：力多邊形中各力的方向?yàn)閷?shí)際方向，與受力圖一致。力多邊形中各力的方向?yàn)閷?shí)際方向，與受力圖一致。（5）答案：由作用反作用公理，答案：由作用反作用公理，AB受受拉力拉力 5 kN；BC受受壓力壓力 8.66 kN。 解：解：（1）研究對(duì)象：銷釘研究對(duì)象：銷釘 B （2）畫受力圖；畫受力圖；FBAFBC5kN銷釘銷釘BBFBCFBAPCBFBCFCBBAFBAFABkNPFBC66. 830cos 選取比例尺；選取比例尺；（1）選取研究對(duì)象；）選取研究對(duì)象；（2）畫受力圖；）畫受力圖；（3）按選定比例尺先畫已知力，然后在已知

5、力鏈兩端畫）按選定比例尺先畫已知力，然后在已知力鏈兩端畫 未知力作用線；未知力作用線；（4）利用）利用力多邊形自行封閉的特點(diǎn)，確定未知力的方向。力多邊形自行封閉的特點(diǎn)，確定未知力的方向。 由比例尺量取力的大小。由比例尺量取力的大小。利用幾何法求解平衡問題的步驟：利用幾何法求解平衡問題的步驟：P24P23 例題例題2-1自習(xí)自習(xí)一力在坐標(biāo)軸上的投影與力沿軸的分解一力在坐標(biāo)軸上的投影與力沿軸的分解22 平面匯交力系合成與平衡的解析法平面匯交力系合成與平衡的解析法投影定義投影定義：過力的起點(diǎn)：過力的起點(diǎn) A 和終點(diǎn)和終點(diǎn) B 向向 x 軸作垂線，垂足軸作垂線，垂足分別為分別為 a、b；垂足之間的距離

6、為投影的大小，由；垂足之間的距離為投影的大小，由 a 到到 b 的的指向與指向與x 軸一致投影為正；反之，為負(fù)。軸一致投影為正；反之，為負(fù)。FxPx cosPabPx ababyxBAP cosFabFRx FRyxBAsinFcosFFRRy在直角坐標(biāo)系中：在直角坐標(biāo)系中： 投影的絕對(duì)值投影的絕對(duì)值 分力的大小，分力的大小， 分力的方向與坐標(biāo)軸一致時(shí)投影為正；反之，為負(fù)。分力的方向與坐標(biāo)軸一致時(shí)投影為正；反之，為負(fù)。cosFFRRx分力大?。悍至Υ笮。阂阎σ阎?FR(作用點(diǎn)作用點(diǎn)A) 與坐標(biāo)軸與坐標(biāo)軸 x、y 夾角為夾角為、，求，求力力 FR 在在x、y 軸上的投影。軸上的投影。 bFx

7、a投影：投影：yxBFRAFybaijjiyxFFRyRxRFFF FRxFRycosFFRxsinFcosFFRRRy二二. .平面匯交力系合成的解析法平面匯交力系合成的解析法合力合力 jiFyixiiFF平面匯交力系平面匯交力系 n321F,.,F,F,F1F2F3FnFOyxjiniiyniixFF11jiFRyxFF因?yàn)橐驗(yàn)?n1iiRFF每個(gè)力每個(gè)力 合力投影定理：合力投影定理：xiniixxFFF1yiniiyyFFF1ij已知合力在直角坐標(biāo)軸的投影已知合力在直角坐標(biāo)軸的投影 Fx、Fy 時(shí)，可求力時(shí)，可求力FR 大小和大小和方向。方向。2y2xRFFF 合力的大小合力的大小 Ry

8、RRxRFFj,FcosFFi ,Fcos 合力的方向余弦合力的方向余弦合力的合力的作用點(diǎn)為力系的匯交點(diǎn)。作用點(diǎn)為力系的匯交點(diǎn)。2n1iiy2n1iixFF 例題例題2-2自習(xí)。自習(xí)。方向確定方向確定見工程力見工程力學(xué)！學(xué)！606030307070F1F2F3F4例例2：作用于吊環(huán)螺釘?shù)乃膫€(gè)力構(gòu)成平面匯交力系。已知各力大小為：作用于吊環(huán)螺釘?shù)乃膫€(gè)力構(gòu)成平面匯交力系。已知各力大小為：F1360N ，F(xiàn)2550N ，F(xiàn)3380N ，F(xiàn)4300N。試用解析法求合力的試用解析法求合力的大小和方向。大小和方向。解：解：建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系OxynxxxxFFFF 21nyyyyFFFF 21F1cos6

9、0 F2F3cos30 F4cos701162NF1sin60F3sin30 F4sin70160N22yxRFFF 1173N0.991合力方向：合力方向：FR RyRFFj,Fcos RxRFFi ,Fcos 0.136所以合力在第四象限，指向如圖。所以合力在第四象限，指向如圖。 457 i ,FR 4597 j,FR合力大?。汉狭Υ笮。簒yO平面匯交力系平衡的充要條件是：該力系的合力等于零。平面匯交力系平衡的充要條件是：該力系的合力等于零。 n1iiR0FF平面匯交力系的平衡方程平面匯交力系的平衡方程平衡的解析條件：平衡的解析條件： 力系中各力在力系中各力在x、y軸上軸上 投影投影 的代

10、數(shù)和為零。的代數(shù)和為零。 0Fxi 0Fiy0FFF2n1iyi2n1iixR 有有2個(gè)平衡方程，個(gè)平衡方程，只能求解只能求解2個(gè)個(gè)未知量。未知量。 0 xF 0yF利用平衡方程，求解平衡問題的步驟為：利用平衡方程，求解平衡問題的步驟為：1、選選選取研究對(duì)象。選取研究對(duì)象。 應(yīng)既受已知力，又受要求的力或與要求力相關(guān)的力。應(yīng)既受已知力，又受要求的力或與要求力相關(guān)的力。2、畫畫畫受力圖。畫受力圖。( (標(biāo)清幾何關(guān)系標(biāo)清幾何關(guān)系) )3、建建建立坐標(biāo)系。建立坐標(biāo)系。 原點(diǎn)可任意，使坐標(biāo)軸與較多的力平行（或垂直）。原點(diǎn)可任意，使坐標(biāo)軸與較多的力平行（或垂直）。4、列列列平衡方程。列平衡方程。 注意：不

11、要列成左式等于右式的形式。注意：不要列成左式等于右式的形式。5、解解解平衡方程。解平衡方程。6、答答答案，必要時(shí)作出討論或說明。答案，必要時(shí)作出討論或說明。FBCFCBCBFBABAFABB30 FBCFBAF1F2yx（3）建立坐標(biāo)系：建立坐標(biāo)系：Bxy CABD30 60 P例例3 3 已知如圖，不計(jì)桿和滑輪重力及滑輪大小。求二桿的受力。已知如圖，不計(jì)桿和滑輪重力及滑輪大小。求二桿的受力。 0 xF 0yF（4）列平衡方程：列平衡方程：解：解：分析題意分析題意滑輪大小不計(jì)，可為點(diǎn)滑輪大小不計(jì)，可為點(diǎn)B。（1）研究對(duì)象：滑輪和銷軸。研究對(duì)象：滑輪和銷軸。（2）受力如圖受力如圖：F1sin30

12、 F2cos30FBA=0F1cos30 FBCF2sin30 =0FBA= 0.366PFBC為正，表明其方向與圖相同，為正，表明其方向與圖相同，F(xiàn)BC與圖相同，與圖相同，BC受壓。受壓。FBC= 1.366PFBA為負(fù)，表明其方向與圖相反，為負(fù)，表明其方向與圖相反，F(xiàn)BA與圖相反，與圖相反，AB受壓。受壓。（5）解得：解得：BF230 FBCFBA30 F1F1=F2=PABFABFBCFACFCAxyAPFABFACRFBRFNxyPP水平推桿水平推桿例例4 簡(jiǎn)易壓榨機(jī)。已知活塞給水平推桿的力為簡(jiǎn)易壓榨機(jī)。已知活塞給水平推桿的力為P，A、B、C三點(diǎn)鉸鏈連三點(diǎn)鉸鏈連接，托板和連桿的自重不計(jì)

13、，機(jī)構(gòu)平衡。求圖示位置，物體所受壓力。接，托板和連桿的自重不計(jì)，機(jī)構(gòu)平衡。求圖示位置，物體所受壓力。托托板板氣氣缸缸連桿連桿 0yF 0 xF 0yFxyAPFABFAC（一）研究對(duì)象：銷軸（一）研究對(duì)象：銷軸A0sinsin PFFACAB 0coscos ACABFF解得：解得： sin2PFFACAB0cos RFB FBRFNxy（二）二）研究對(duì)象：托板。研究對(duì)象：托板。ABBFF 若若 5,1 kNP則則kNPR72. 5cot2 解得：解得： cot2PR 由作用反作用公理，物體受力與由作用反作用公理，物體受力與R等值反向。等值反向。解：解： 在平面問題中，力使物體的轉(zhuǎn)動(dòng)方向只有兩

14、個(gè)，故用在平面問題中，力使物體的轉(zhuǎn)動(dòng)方向只有兩個(gè)，故用正負(fù)號(hào)表示轉(zhuǎn)向。因此平面問題中的力矩為代數(shù)量。正負(fù)號(hào)表示轉(zhuǎn)向。因此平面問題中的力矩為代數(shù)量。規(guī)定：規(guī)定：力使物體繞矩心作逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力矩為正；力使物體繞矩心作逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力矩為正； 順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力矩為負(fù)。順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力矩為負(fù)。FhFMO )(23 平面平面力對(duì)點(diǎn)之矩的概念與計(jì)算力對(duì)點(diǎn)之矩的概念與計(jì)算O為為矩心矩心(轉(zhuǎn)動(dòng)中心轉(zhuǎn)動(dòng)中心)。BAOF由圖可知：由圖可知：MO(F)= 2OABhh為矩心到力作用線的距離，稱為為矩心到力作用線的距離，稱為力臂力臂。理論上，力可以對(duì)任意點(diǎn)取矩。理論上，力可以對(duì)任意點(diǎn)取矩。力矩單位力矩單位: N.m

15、 或或 kN.m度量力使物體在平面內(nèi)繞一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的度量力使物體在平面內(nèi)繞一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的效果效果。力矩等于零的兩種情況力矩等于零的兩種情況： (1) 力等于零。力等于零。 (2) 力作用線過矩心。力作用線過矩心。合力矩定理合力矩定理 平面匯交力系的合力對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩，等于所有分力平面匯交力系的合力對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩，等于所有分力對(duì)該點(diǎn)的矩的代數(shù)和。（證明略。）對(duì)該點(diǎn)的矩的代數(shù)和。（證明略。）常用合力矩定理求力矩常用合力矩定理求力矩 !Ah0OFFhFMO )(BAOFh niiOROFMFM1)()(例：例：求求 P 對(duì)對(duì) 矩形矩形A、B、C、 D 四點(diǎn)的力矩。四點(diǎn)的力矩。PAbaDBC(a)b(

16、b)aDABCPPxPy解：解：（1）用定義式）用定義式。hAhDhBMD (P)Py b P sin b利用合力矩定理，很容易求出利用合力矩定理，很容易求出P 對(duì)各點(diǎn)的力矩。對(duì)各點(diǎn)的力矩。MB (P) Px a P cos aMC (P)0 （2）將力將力 P 沿矩形的兩邊分解：沿矩形的兩邊分解：PxPcos MA (P)Px aPy b P cos aP sin bPyPsin （2）若平面匯交力系平衡，合力為零。平面匯交力系中）若平面匯交力系平衡，合力為零。平面匯交力系中各力對(duì)任一點(diǎn)的力矩的代數(shù)和恒等于零。即：各力對(duì)任一點(diǎn)的力矩的代數(shù)和恒等于零。即：0)(1 niioFM（3）按力系等效

17、的概念，適用于任何有合力的力系。）按力系等效的概念，適用于任何有合力的力系。注意：注意：（1）合力矩定理應(yīng)用最多的是求力矩。）合力矩定理應(yīng)用最多的是求力矩。此式為求解某些問題帶來方便。此式為求解某些問題帶來方便。講齒輪一例講齒輪一例節(jié)節(jié)圓切線圓切線節(jié)圓法線（徑向）節(jié)圓法線（徑向）FnFFr注意：注意：x、y為力作用點(diǎn)的坐標(biāo)，為力作用點(diǎn)的坐標(biāo)，F(xiàn)x 、Fy為力在為力在x、y軸上的軸上的 投影。它們都為代數(shù)量。投影。它們都為代數(shù)量。力矩與合力矩的解析表達(dá)式（了解）力矩與合力矩的解析表達(dá)式（了解）已知力已知力F，作用點(diǎn)，作用點(diǎn)A(x,y)及夾角及夾角，欲求對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)，欲求對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)O點(diǎn)之矩。點(diǎn)之矩。

18、利用合力矩定理利用合力矩定理平面上力矩的解析表達(dá)式。平面上力矩的解析表達(dá)式?；颍夯颍?xFsinyFcos力的投影：力的投影：Fx=FcosFy=FsinyxyOxAFFxFy合力矩合力矩)()()(yOxOOFMFMFM nixiiyiiROFyFxFM1)(xyOyFxFFM )( 攻絲攻絲PP絲錐絲錐實(shí)例：實(shí)例：由大小相等、方向相反且不共線的兩個(gè)平行力組成的力系，由大小相等、方向相反且不共線的兩個(gè)平行力組成的力系，稱為力偶。記作（稱為力偶。記作（F F，F(xiàn) F）。）。力偶臂力偶臂d ： 兩力作用線之間的距離兩力作用線之間的距離。力偶作用面：力偶作用面： 兩力所在的平面。兩力所在的平面。d

19、FFAB轉(zhuǎn)向器轉(zhuǎn)向器FF 符號(hào)規(guī)定：符號(hào)規(guī)定：力偶使物體逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)取正；力偶使物體逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)取正； 順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)取負(fù)。時(shí)取負(fù)。 力偶只能使物體在力偶作用面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)用力偶矩力偶只能使物體在力偶作用面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)用力偶矩來度量。來度量。平面力偶矩為代數(shù)量，單位：平面力偶矩為代數(shù)量，單位： Nm 或或 kNm力偶矩定義式力偶矩定義式 M (F，F(xiàn)）M F ddFFABM340 5 sin30 100 kNmM160 kNmM220 3 sin60 51.96 kNm1m60kN60kN30 40kN40kN5mAB20kN20kN60 3mBA力偶不能合成為一個(gè)合力，不能用

20、一個(gè)力來代替，也不能力偶不能合成為一個(gè)合力，不能用一個(gè)力來代替，也不能用一個(gè)力來平衡。用一個(gè)力來平衡。力偶中兩個(gè)力在任一坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和恒為零。力偶中兩個(gè)力在任一坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和恒為零。xFFF與與F等值、反向等值、反向 0coscos FFFx證明：證明：以后在列投影平衡方程時(shí)不考慮力偶。以后在列投影平衡方程時(shí)不考慮力偶。力偶對(duì)其作用面內(nèi)任一點(diǎn)的力矩的代數(shù)和恒等于力偶矩。力偶對(duì)其作用面內(nèi)任一點(diǎn)的力矩的代數(shù)和恒等于力偶矩。 即：力偶對(duì)物體轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)與矩心無關(guān)。（與力矩有別）即：力偶對(duì)物體轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)與矩心無關(guān)。（與力矩有別）FFdOa對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)O取矩：取矩：以后，在列力

21、矩平衡方程時(shí)，直接寫出力偶矩。以后，在列力矩平衡方程時(shí)，直接寫出力偶矩。MO（F，F(xiàn)）MO (F) MO (F) F （d+a） F a F d M轉(zhuǎn)向器轉(zhuǎn)向器PP轉(zhuǎn)向器轉(zhuǎn)向器PP2m50kN50kN2m50kN50kN推論推論1：力偶可以在作用面內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)。：力偶可以在作用面內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)。定理定理: :在同平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，如果力偶矩相等，則兩力在同平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，如果力偶矩相等，則兩力偶彼此等效。偶彼此等效。2m50kN50kN4m25kN25kN推論推論2：只要保持力偶矩的大小和轉(zhuǎn)向不變的條件下，：只要保持力偶矩的大小和轉(zhuǎn)向不變的條件下，可以可以同同時(shí)改變力偶中力和力偶臂的大

22、小時(shí)改變力偶中力和力偶臂的大小，而不改變對(duì)剛體的作用。，而不改變對(duì)剛體的作用。定理定理: :在同平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，如果力偶矩相等，則兩力在同平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，如果力偶矩相等，則兩力偶彼此等效。偶彼此等效。推論推論1：力偶可以在作用面內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)。：力偶可以在作用面內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)。平面力偶可用帶箭頭的弧線來表示。平面力偶可用帶箭頭的弧線來表示。m 表示力偶矩的大小，箭頭代表轉(zhuǎn)向。表示力偶矩的大小，箭頭代表轉(zhuǎn)向。2m50kN50kN100kNm2m30kN30kN60kNm100kNm60kNmBAdF1F1d1d2F2F2FF3 F4F2 d2F4 d(1) 平面力偶系的合成平面力偶系的合

23、成 M = Fd =（F3F4）d F3F3F4F4F1d1F3 d= M1 + M2= F1d1F2d2 設(shè)同一平面內(nèi)有兩個(gè)力偶設(shè)同一平面內(nèi)有兩個(gè)力偶（F1，F(xiàn)1）、（）、（F2，F(xiàn)2），），力偶臂力偶臂分別為分別為d1、d2，力偶矩分別為力偶矩分別為 M1= F1d1 、M2=F2d2 。求它們的合求它們的合成結(jié)果。成結(jié)果。 dFFBA 平面力偶系的合成結(jié)果為一合力偶，合力偶矩等于各個(gè)力平面力偶系的合成結(jié)果為一合力偶，合力偶矩等于各個(gè)力偶矩的代數(shù)和。偶矩的代數(shù)和。 niiMM1(2) 平面力偶系的平衡條件平面力偶系的平衡條件 niiM10只有一個(gè)平衡方程，只能求解只有一個(gè)平衡方程，只能求解

24、一個(gè)一個(gè)未知量。未知量。 平面力偶系平衡的必要與充分條件：所有各力偶矩的代數(shù)平面力偶系平衡的必要與充分條件：所有各力偶矩的代數(shù)和等于零。和等于零。45 ABRAC（2 2） 受力如圖。受力如圖。（1）研究對(duì)象：）研究對(duì)象：AB（3 3）列平衡方程：列平衡方程：（5 5）由力偶的特點(diǎn)，）由力偶的特點(diǎn)，A點(diǎn)反力點(diǎn)反力RA=RB，方向如圖。，方向如圖。l45sinRB 0iMlMRB2 0 M（4 4）解方程解方程解解ADRCAMlRARBB例題例題1 已知如圖：求已知如圖：求A點(diǎn)點(diǎn)和和B點(diǎn)的點(diǎn)的約束力。約束力。M45 ADl例題例題2-5 2-5 自習(xí)自習(xí)AO解：解：(1) 研究對(duì)象：圓輪（含銷子）研究對(duì)象：圓輪（含銷子）,受力如圖。受力如圖。M1FA FO CAB BM2FBFA 0iM0sin1 rFMA sin1rMFA 解得：解得： 0iM0sin2 rFMAkNmMM8412 (2) 研究對(duì)象：搖桿，受力如圖研究對(duì)象：搖桿，受力如圖，F(xiàn)A FAP31例例 圓輪上的銷子放在搖桿的光滑槽內(nèi)。已知圓輪上的銷子放在搖桿的光滑槽內(nèi)。已知M