第01章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)

1、第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)李方廷李方廷物理學(xué)院、凝聚態(tài)所前沿交叉學(xué)科研究院、定量生物學(xué)中心2014,02 2014,071力學(xué)2物理學(xué)物理學(xué) 研究自然界物質(zhì)的基本結(jié)構(gòu)及其運(yùn)動(dòng)基本規(guī)律的學(xué)科研究自然界物質(zhì)的基本結(jié)構(gòu)及其運(yùn)動(dòng)基本規(guī)律的學(xué)科機(jī)械運(yùn)動(dòng)機(jī)械運(yùn)動(dòng)力學(xué)力學(xué)熱運(yùn)動(dòng)熱運(yùn)動(dòng)熱學(xué)熱學(xué)電磁運(yùn)動(dòng)電磁運(yùn)動(dòng)電磁學(xué)、光學(xué)電磁學(xué)、光學(xué)微觀粒子運(yùn)動(dòng)微觀粒子運(yùn)動(dòng)量子物理量子物理涉及大量分子的集合涉及場(chǎng)物質(zhì)物理學(xué)是建立在實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)、理論理論和計(jì)算計(jì)算三足之上的成熟的科學(xué)。物理學(xué)的訓(xùn)練對(duì)于幫助學(xué)生和研究人員在提出問題、分析和解決問題方面具有重要價(jià)值，尤其是定量化分析方法和演繹、推理的能力。3力力 學(xué)學(xué) mechanics 經(jīng)典力

2、學(xué)的創(chuàng)始人經(jīng)典力學(xué)的創(chuàng)始人Isaac Newton 16421727力學(xué)力學(xué)是研究物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)，即物體位置是研究物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)，即物體位置變動(dòng)的規(guī)律及其應(yīng)用的學(xué)科變動(dòng)的規(guī)律及其應(yīng)用的學(xué)科宏觀物體宏觀物體( (或物體內(nèi)各部分之間或物體內(nèi)各部分之間) )的相的相對(duì)位置的變化對(duì)位置的變化運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)物體運(yùn)動(dòng)的描述及各運(yùn)動(dòng)學(xué)量之間的關(guān)系；物體運(yùn)動(dòng)的描述及各運(yùn)動(dòng)學(xué)量之間的關(guān)系； 不涉及引起和改變運(yùn)動(dòng)的原因不涉及引起和改變運(yùn)動(dòng)的原因 運(yùn)動(dòng)快慢，快慢變化，軌道運(yùn)動(dòng)快慢，快慢變化，軌道動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)物體運(yùn)動(dòng)與物體間相互作用之間的內(nèi)在聯(lián)系物體運(yùn)動(dòng)與物體間相互作用之間的內(nèi)在聯(lián)系靜力學(xué)靜力學(xué)研究物體在相互作用下的平

3、衡問題研究物體在相互作用下的平衡問題經(jīng)典力學(xué)經(jīng)典力學(xué)宏觀宏觀尺寸不太小尺寸不太小 (與原子、分子大小相比與原子、分子大小相比)低速低速速度不太大速度不太大(與光速相比與光速相比)4研究?jī)?nèi)容研究物體的運(yùn)動(dòng)軌道，決定運(yùn)動(dòng)軌道的動(dòng)力學(xué)因素，建立動(dòng)力學(xué)方程。研究物體與物體之間屬于機(jī)械運(yùn)動(dòng)范疇的相互作用，諸如，推動(dòng)、沖擊、碰撞、支持、摩擦、吸引和排斥，等等；這類相互作用過(guò)程中物體運(yùn)動(dòng)量的交換和變化的規(guī)律。尋求物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中或相互作用過(guò)程中的守恒量及相應(yīng)的守恒條件。質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)組、剛體、流體的運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)和波動(dòng)力學(xué)的發(fā)展歷史概述 （I） -郭奕玲 沈慧君 物理學(xué)史 力學(xué)是物理學(xué)中發(fā)展最早的一個(gè)分支, 它和人類

4、的生活與生產(chǎn)聯(lián)系最為密切。機(jī)械運(yùn)動(dòng)是最直觀、最簡(jiǎn)單、也最便于觀察和最早得到研究的一種運(yùn)動(dòng)形式。 早在遙遠(yuǎn)的古代, 人們就在生產(chǎn)勞動(dòng)中應(yīng)用了杠桿、螺旋、滑輪、斜面等簡(jiǎn)單機(jī)械, 從而促進(jìn)了靜力學(xué)的發(fā)展。 古希臘時(shí)代, 就已形成比重和重心的概念, 出現(xiàn)杠桿原理; 阿基米德(Archimedes , 約公元前287212) 的浮力原理提出于公元前二百多年。我國(guó)古代的春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期, 以墨經(jīng)為代表作的墨家, 總結(jié)了大量力學(xué)知識(shí), 例如: 時(shí)間與空間的聯(lián)系、運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性、力的概念、杠桿平衡、斜面的應(yīng)用以及滾動(dòng)和慣性等現(xiàn)象的分析, 涉及力學(xué)的許多部門。雖然這些知識(shí)尚屬力學(xué)科學(xué)的萌芽, 但在力學(xué)發(fā)展史中應(yīng)有一定

5、的地位。 5力學(xué)的發(fā)展歷史概述 （II） 16 世紀(jì)以后, 由于航海、戰(zhàn)爭(zhēng)和工業(yè)生產(chǎn)的需要, 力學(xué)的研究得到了真正的發(fā)展。鐘表工業(yè)鐘表工業(yè)促進(jìn)了勻速運(yùn)動(dòng)的理論; 水磨機(jī)械水磨機(jī)械促進(jìn)了摩擦和齒輪傳動(dòng)的研究; 火炮火炮的運(yùn)用推動(dòng)了拋射體的研究。 天體運(yùn)行的規(guī)律提供了機(jī)械運(yùn)動(dòng)最純粹、最精確的數(shù)據(jù)資料,使得人們有可能排除摩擦和空氣阻力的干擾, 得到規(guī)律性的認(rèn)識(shí)。天文學(xué)的發(fā)展為力學(xué)天文學(xué)的發(fā)展為力學(xué)找到了一個(gè)最理想的找到了一個(gè)最理想的“實(shí)驗(yàn)室實(shí)驗(yàn)室” 天體。天體。但是, 天文學(xué)的發(fā)展又和航海事業(yè)分不開, 只有等到16、17 世紀(jì),這時(shí)資本主義生產(chǎn)方式開始興起, 海外貿(mào)易和對(duì)外擴(kuò)張刺激了航海的發(fā)展, 這

6、才提出對(duì)天文作系統(tǒng)觀測(cè)的迫切要求。6力學(xué)的發(fā)展歷史概述（III）第谷第谷布拉赫布拉赫( Tycho Brahe, 15461601) 順應(yīng)了這一要求, 以畢生精力采集了大量觀測(cè)數(shù)據(jù), 為開普開普勒勒( Johannes Kepler , 15711630) 的研究作了準(zhǔn)備。開普勒于1609 年和1619 年先后提出了行星運(yùn)動(dòng)的三條規(guī)律, 即開普勒三定律。與此同時(shí), 以伽利略伽利略(Galileo Galilei, 15641642) 為代表的物理學(xué)家對(duì)力學(xué)開展了廣泛研究, 得到了落體定律。伽利略的兩部著作: 關(guān)于托勒密和哥白尼兩大世界體系的對(duì)話( 1632年) 和關(guān)于力學(xué)和運(yùn)動(dòng)兩種新科學(xué)的談話

7、( 簡(jiǎn)稱兩門新科學(xué)) ( 1638 年) , 為力學(xué)的發(fā)展奠定了思想基礎(chǔ)。7力學(xué)的發(fā)展歷史概述（IV）牛頓牛頓 ( Isaac Newton, 16421727) 把天體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和地面上的實(shí)驗(yàn)研究成果加以綜合, 進(jìn)一步得到了力學(xué)的基本規(guī)律, 建立了牛頓運(yùn)動(dòng)三定律和萬(wàn)有引力定律。 牛頓建立的力學(xué)體系經(jīng)過(guò)D. 伯努利伯努利(Daniel Bernoulli, 17001782) 、拉格朗日( J . L. Lagran ge, 17361813) 、達(dá)朗貝爾( Jean le Rond dAlember t , 17171783) 等人的推廣和完善, 形成了系統(tǒng)的理論, 取得了廣泛的應(yīng)用并發(fā)展出

8、了流體力學(xué)、彈性力學(xué)和分析力學(xué)流體力學(xué)、彈性力學(xué)和分析力學(xué)等分支。 到了18 世紀(jì), 經(jīng)典力學(xué)已經(jīng)相當(dāng)成熟, 成了自然科學(xué)中的主導(dǎo)和領(lǐng)先學(xué)科。8第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)1.1 質(zhì)點(diǎn) 參考系 坐標(biāo)系1.2 位置矢量(位矢)、運(yùn)動(dòng)方程、軌道和位移 1.3 速度和加速度1.4 速度和加速度的坐標(biāo)表示1.5 相對(duì)運(yùn)動(dòng)1.6 角速度910第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)概念概念：質(zhì)點(diǎn)，時(shí)空，時(shí)間、空間 參照系、坐標(biāo)系矢量：位置矢量，位移矢量，速度矢量，加速度矢量角速度矢量矢量(vector)是既具有數(shù)量的大小、又具有一定方向的量嚴(yán)格而言，作為一個(gè)矢量，還必須遵從一定的合成法則與隨坐標(biāo)變換的法則，其中矢量的合成滿足平行四邊形

9、定則平行四邊形定則。11由繁到簡(jiǎn)由繁到簡(jiǎn)將物體模型化為一個(gè)點(diǎn)將物體模型化為一個(gè)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)由簡(jiǎn)到繁由簡(jiǎn)到繁質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系1.質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn) 12 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)(particle, mass point) R地地= 6400km，r日日-地地1.5108kmR地地/r日日-地地=10-4可看作質(zhì)點(diǎn)可看作質(zhì)點(diǎn)如果在我們所研究的問題中，物體的大小和形狀可以忽略，如果在我們所研究的問題中，物體的大小和形狀可以忽略，就可近似地把該物體看成只有一定質(zhì)量而忽略其大小和形狀就可近似地把該物體看成只有一定質(zhì)量而忽略其大小和形狀的理想物體的理想物體(幾何點(diǎn)幾何點(diǎn))。研究質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律是進(jìn)一步研究物體更復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)。研究

10、質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律是進(jìn)一步研究物體更復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)。質(zhì)點(diǎn)是從實(shí)際中抽象出的質(zhì)點(diǎn)是從實(shí)際中抽象出的理想簡(jiǎn)化模型理想簡(jiǎn)化模型，研究質(zhì)點(diǎn)的，研究質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是為了抓住事物的主要矛盾進(jìn)行研究分析。運(yùn)動(dòng)是為了抓住事物的主要矛盾進(jìn)行研究分析。 原子、分子在討論其內(nèi)部振動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，不能看作質(zhì)點(diǎn)原子、分子在討論其內(nèi)部振動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，不能看作質(zhì)點(diǎn) 是否質(zhì)點(diǎn)是否質(zhì)點(diǎn) ？ 力學(xué)問題的性質(zhì)決定力學(xué)問題的性質(zhì)決定 不取決于物體實(shí)際大小不取決于物體實(shí)際大小 13時(shí)間和空間時(shí)間和空間 絕對(duì)時(shí)空觀絕對(duì)時(shí)空觀 絕對(duì)空間，就其本性來(lái)說(shuō)，與任何外在的情況無(wú)關(guān)， 始終保持著相似和不變。 絕對(duì)的、純粹的數(shù)學(xué)的時(shí)間，就其本性來(lái)說(shuō)，均勻地流逝而與任

11、何外在的情況無(wú)關(guān)。 牛頓牛頓自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理時(shí)間和空間的測(cè)量與物體的存在和運(yùn)動(dòng)沒有任何關(guān)系時(shí)間和空間的測(cè)量與物體的存在和運(yùn)動(dòng)沒有任何關(guān)系往古來(lái)今謂之宙，四方上下謂之宇往古來(lái)今謂之宙，四方上下謂之宇劉安劉安淮南子淮南子齊俗齊俗位于塔干洛的水平日晷鐘表例子: (1) 時(shí)鐘時(shí)鐘 通過(guò)空間的變化指示時(shí)間的變遷。 (2) 日常生活，“今天上午上午9 9點(diǎn)鐘點(diǎn)鐘我在理科樓理科樓學(xué)物理?！鄙婕皟蓚€(gè)最基本的概念 ：時(shí)間 空間14時(shí)間時(shí)間(time)(time)時(shí)間秒的定義精度19世紀(jì)末1/86400平太陽(yáng)日110-81960年1/31556925.974回歸年110-91967年9192631770133C

12、s原子基態(tài)的兩個(gè)超精細(xì)能級(jí)間輻射躍遷周期110-13時(shí)間的單位：秒 記作 s (國(guó)際單位制 SI )其它單位：年(year)，月(month)，日(day)，時(shí)(hour)，分(minute) 毫秒(ms)，微秒(s) ，納秒(ns) ，皮秒(ps) ，飛秒(fs)時(shí)間的基準(zhǔn)：國(guó)際計(jì)量大會(huì)(General Conference on Weights and Measures，簡(jiǎn)稱CGPM)15自然界中的時(shí)間量級(jí)自然界中的時(shí)間量級(jí) (magnitude)10-6s10-4s3min400,000yr1 109yr1 109yr15 109yr16長(zhǎng)度長(zhǎng)度 (length)(length)長(zhǎng)度的單

13、位：米 記作 m (國(guó)際單位制)其它單位：光年（light-year = 9.461012公里），千米(km) 毫米(mm)，微米(m) ，納米(nm) ，費(fèi)米(fm)原子的半徑約為 ，原子核半徑 時(shí)間米的定義精度1889年鉑銥米尺（國(guó)際米原器）1927年鉑銥米尺上所刻兩條中間刻線的軸線在0時(shí)的距離110-71960年86Kr的2p10和5d5能級(jí)之間躍遷的輻射在真空中波長(zhǎng)的1650763.73倍410-91983年1/299792458秒間隔內(nèi)光在真空中行程的長(zhǎng)度10-9長(zhǎng)度的基準(zhǔn)：17自然界中長(zhǎng)度的量級(jí)： 觀測(cè)對(duì)象觀測(cè)對(duì)象 基本粒子基本粒子 核子核子 原子核原子核 原子原子 病毒病毒 細(xì)胞

14、細(xì)胞 人，建筑人，建筑 地球半徑地球半徑 地日距離地日距離 星云星云可觀察宇宙半徑可觀察宇宙半徑 工工 具具加速器加速器/ /對(duì)撞機(jī)對(duì)撞機(jī) 電子顯微鏡電子顯微鏡 顯微鏡顯微鏡 肉眼肉眼 望遠(yuǎn)鏡望遠(yuǎn)鏡 射電望遠(yuǎn)鏡射電望遠(yuǎn)鏡 對(duì)應(yīng)于不同尺度的觀測(cè)對(duì)象和研究工具18參考系參考系：參考空間+測(cè)量時(shí)間的時(shí)鐘2. 參考系參考系(frame of reference)用來(lái)描述物體運(yùn)動(dòng)而選作參考的物體或物體群。用來(lái)描述物體運(yùn)動(dòng)而選作參考的物體或物體群。xyzO參考系參考系P參考物：參考物：參考物確定了一個(gè)參考空間。參考空間：參考空間：沿左右、前后、上下三對(duì)方向無(wú)限延展， 構(gòu)成三維平直空間19坐標(biāo)系：坐標(biāo)系：參

15、考空間中任選一點(diǎn)作為原點(diǎn)， 可建立各種坐標(biāo)系。 22dd,ddrrratt質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)一個(gè)學(xué)科是否成熟的標(biāo)志，是能否用數(shù)學(xué)的定量化一個(gè)學(xué)科是否成熟的標(biāo)志，是能否用數(shù)學(xué)的定量化語(yǔ)言來(lái)描述和分析。語(yǔ)言來(lái)描述和分析。xzyO時(shí)間的零點(diǎn)也可任選3. 坐標(biāo)系坐標(biāo)系 (coordinate)為了定量確定物體的運(yùn)動(dòng)還需要在參考系中固定坐標(biāo)系為了定量確定物體的運(yùn)動(dòng)還需要在參考系中固定坐標(biāo)系20常用坐標(biāo)系：常用坐標(biāo)系：均是正交系均是正交系 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系 柱坐標(biāo)系，自然坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系，自然坐標(biāo)系xyzoz Rzo Rxy 參考系：運(yùn)動(dòng)的參考系：運(yùn)動(dòng)的“標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)”坐標(biāo)系：度量運(yùn)動(dòng)的

16、坐標(biāo)系：度量運(yùn)動(dòng)的“尺子尺子”“坐標(biāo)系實(shí)質(zhì)上是實(shí)物構(gòu)成的參考系的數(shù)學(xué)抽象坐標(biāo)系實(shí)質(zhì)上是實(shí)物構(gòu)成的參考系的數(shù)學(xué)抽象”21質(zhì)點(diǎn)的位置用位矢表示，在所選的質(zhì)點(diǎn)的位置用位矢表示，在所選的參考系中選取一固定點(diǎn)參考系中選取一固定點(diǎn)O作為參考作為參考點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)刻點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)刻t 位于位于P點(diǎn)，則點(diǎn)，則P點(diǎn)的位矢點(diǎn)的位矢(矢徑矢徑)為為 1.2 位置矢量(位矢)、運(yùn)動(dòng)方程、軌道和位移 rOP 教材中矢量教材中矢量 用黑體字用黑體字 表示表示rr位置矢量不僅與參考系有關(guān)，還與參考點(diǎn)的選擇有關(guān)位置矢量不僅與參考系有關(guān)，還與參考點(diǎn)的選擇有關(guān)大小為大小為OP間的距離，間的距離，方向由方向由O指向指向PrPO

17、MNr書寫體必須標(biāo)箭頭符號(hào)書寫體必須標(biāo)箭頭符號(hào)O 標(biāo)量(scalar) ：僅有大小的量，如身高，體重，質(zhì)量矢量(vector)：具有大小(magnitude)和方向(direction)的量， 如力，位矢，速度22反映質(zhì)點(diǎn)在反映質(zhì)點(diǎn)在 t 時(shí)間內(nèi)位置變化的物理量時(shí)間內(nèi)位置變化的物理量位移與參考點(diǎn)選擇無(wú)關(guān)位移與參考點(diǎn)選擇無(wú)關(guān)r()( )rr ttr t 位移矢量：從初始位置指向末位置的有向線段。位移矢量：從初始位置指向末位置的有向線段。()r tt( )r tPQOMNs( )rr t軌道軌道(orbital) ：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡質(zhì)點(diǎn)在空間運(yùn)動(dòng)時(shí)，位矢是時(shí)間質(zhì)點(diǎn)在空間運(yùn)動(dòng)時(shí)，位矢是時(shí)

18、間t的函數(shù)，寫成的函數(shù)，寫成 稱為質(zhì)點(diǎn)的稱為質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程r端點(diǎn)在空間畫出的曲線端點(diǎn)在空間畫出的曲線rO 23 (2) 位移大小不等于路程，即位移大小不等于路程，即注意區(qū)分幾個(gè)量注意區(qū)分幾個(gè)量 (1) 一般位移大小不等于位置矢量大小的改變，即一般位移大小不等于位置矢量大小的改變，即srdrs (3) 微分位移微分位移dr：ddrs微分路程微分路程過(guò)過(guò)P的切線，指向運(yùn)動(dòng)方向的切線，指向運(yùn)動(dòng)方向但當(dāng)?shù)?dāng) t 0 的極限情形下有的極限情形下有r()r tt( )r tPQOMNs位置矢量位置矢量位置矢量的大小位置矢量的大小路程路程位移矢量位移矢量位移矢量三角形位移矢量三角形（P12，圖1-7

19、，第二版）橫向位移（速度），徑向位移（速度）橫向位移（速度），徑向位移（速度）24r()r tt( )r tPQOMsC令 ， ，橫向速度，徑向速度橫向速度，徑向速度以圓心為參考點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)， ，所以25矢量 1.3 速度和加速度速度和加速度速度速度: 運(yùn)動(dòng)快慢和方向的物理量運(yùn)動(dòng)快慢和方向的物理量當(dāng)當(dāng) t0 時(shí)平均速度的極限值叫做瞬時(shí)速度時(shí)平均速度的極限值叫做瞬時(shí)速度0dlimdtrrtt 速度大小速度大小(速率速率):速度方向：速度方向： t0時(shí)的位移的極限方向，時(shí)的位移的極限方向，沿軌道的切線方向，并指向質(zhì)點(diǎn)前進(jìn)的沿軌道的切線方向，并指向質(zhì)點(diǎn)前進(jìn)的一側(cè)一側(cè)dr的方向。的方向。ddddrst

20、t平均速度平均速度: 時(shí)間時(shí)間 t內(nèi)位移與時(shí)間的比值內(nèi)位移與時(shí)間的比值rt26加速度：速度大小和方向變化快慢的物理量加速度：速度大小和方向變化快慢的物理量220ddlimddtrattt 加速度大?。杭铀俣却笮。?2ddddraatt加速度方向：加速度方向： 的極限方向的極限方向 v(t)NMv(t +t)vv(t +t) 的方向一般不同于速度的方向一般不同于速度 的方向的方向a與與 的方向一般不同的方向一般不同aa加速度的大?。杭铀俣鹊姆较蚓褪菚r(shí)間t趨近于零時(shí)，速度增量 的極限方向。加速度與速度的方向一般不同。v加速度與速度的夾角為0或180，質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)。加速度與速度的夾角等于90，質(zhì)點(diǎn)

21、做圓周運(yùn)動(dòng)。加速度與速度的夾角大于90，速率減小。加速度與速度的夾角小于90，速率增大。質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，加速度總是指向軌跡曲線凹的一邊例題例題 已知質(zhì)點(diǎn)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為a，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。解：解：tvaddtavdd對(duì)于做直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，采用標(biāo)量形式tavddtvvtav00ddatvv0vtxddatv 0tatvxtxxd)(d00020021attvxx30例題例題 物體x軸做一維運(yùn)動(dòng)。在t0 時(shí)刻的初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為(x0,v0)，加速度a=a0+b(t-t0)，求t 時(shí)刻的位置和速度。先求 t 時(shí)刻的速度adtdv ttttttdtttbaadtdv000)(00微分關(guān)系

22、式兩邊積分)(21)(21)(212000020020000ttbtattbtattbtavvtt200001()()2vva ttb tt解：解：31ttttttdtttbaadtdv000)(00的兩種積分方法：2000200202000200)(21)()()(21)(21000ttbttatttbttbttatbtbttavvtttttt其中：其中：200020000000000)(21)()(21)()()()()(0000ttbttattbttattdttbttadtttbtavvtttttttt32再求 t 時(shí)刻的位置vdtdx 微分關(guān)系式ttttttdtttbttavvdtdx

23、000)(21)(20000兩邊積分30200000)(61)(21)(ttbttattvxx物體運(yùn)動(dòng)的初始狀態(tài)與積分常數(shù)一一對(duì)應(yīng)33 1.4 速度和加速度的坐標(biāo)表示速度和加速度的坐標(biāo)表示1.直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系xyO)(tr)(ttrrPQzxyz質(zhì)點(diǎn)的位置矢量質(zhì)點(diǎn)的位置矢量kzj yi xr運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程)(trr)( ),( ),(tzztyytxx可分解成三個(gè)直線運(yùn)動(dòng)方程可分解成三個(gè)直線運(yùn)動(dòng)方程34位移位移)()(trttrr速度速度ddrtddddddddddddxiyjzkixjykzttttttddddddxyzxyzijkijktttxyz0=0=0=kzj yi xr222

24、ddd()()()dddxyzttt速率速率35加速度加速度ddatddddddyxzijkttt222222ddddddxyzijktttxyzaaaxyza ia ja k222222222ddd()()()dddxyzaattt加速度大小加速度大小36位移位移)()(trttrr速度速度ddrtddddddxyzxyzijkijktttxyzkzj yi xr加速度加速度ddatddddddyxzijkttt222222ddddddxyzijktttxyzaaaxyza ia ja k位矢位矢37BOCxy v 例：平面拋體運(yùn)動(dòng)，初速例：平面拋體運(yùn)動(dòng)，初速 0 0，出射角，出射角 ，求運(yùn)

25、動(dòng)軌跡求運(yùn)動(dòng)軌跡0gtj00 xxyygt分量形式：分量形式：xyaaagj 0000000cossinxyxy初始條件：初始條件：消去消去 t 得得2220tan2cosgyxx0020012xyxxtyytgt演示實(shí)驗(yàn)MIT0338例（略） 空心入籃，求最佳拋射角和球出射速率Oxy水平線v12xAA拋射角21122sin21cosgtvtx122cos21singtvty0y12cossin2gvt 11122sin)2sin(cosAgxv無(wú)極大值，但有極小值24510極小值對(duì)應(yīng)的拋射角代入x-t 方程2101cos1 sinAgxv球出射速率位移矢量三角形（P12，圖1-7，第二版）橫

26、向位移（速度），徑向位移（速度）橫向位移（速度），徑向位移（速度）39r()r tt( )r tPQOMsC令 ， ，橫向速度，徑向速度橫向速度，徑向速度以圓心為參考點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)， ，所以2.極坐標(biāo)系（平面）極坐標(biāo)系（平面） （a不要求）不要求）40rrreddddrrerett22222ddd dd2dddddrrrarerettttt單位矢量分別為r()r tt( )r tPQO極軸41r()r tt( )r tPQOC極軸橫向速度與徑向速度 在質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡上任一點(diǎn)建立如下坐標(biāo)系，其中一根坐標(biāo)軸沿軌跡在該點(diǎn) P 的切線方向，該方向單位矢量用 表示；另一坐標(biāo)軸沿該點(diǎn)軌跡的法線并指向曲線凹側(cè)

27、，相應(yīng)單位矢量用 表示，這種坐標(biāo)系就叫做自然坐標(biāo)系（natural coordinates）。tene沿軌跡 上各點(diǎn)，自然坐標(biāo)軸的方位是不斷地變化著的。 一、切向加速度和法向加速度3 自然自然(本性本性)坐標(biāo)系：坐標(biāo)系：圓周運(yùn)動(dòng)和一般曲線運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)和一般曲線運(yùn)動(dòng)t)( etvv質(zhì)點(diǎn)速度的方向沿著軌跡的切向， ， 表示為 tevtddetstvaddtddetvtevddtntddeentddddetteneneRv n2t1ddevRetvaRva2nnntteaea22tddddtstva切向加速度（tangential acceleration）：法向加速度（normal acceleration）：切向加速度反映速度大小的變化。法向加速度反映速度方向的變化。n2t1ddevRetva 加速度大?。?t2naaa方向（與法向的夾角）：ntarctanaa上述切向加速度和法向加速度的表達(dá)式對(duì)任何平面曲線運(yùn)動(dòng)都適用，但式中半徑R 要用曲率半徑 代替。 一般地，曲線上各點(diǎn)處的曲率中心和曲率半徑是逐點(diǎn)變化的，但法向加速度處處指向曲率中心。 46kzj yi xr不同坐標(biāo)系的表達(dá)式不同坐標(biāo)系的表達(dá)式ddddddddrxyzijktttt222222