函數(shù)的連續(xù)性(109)課件

1、一、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質一、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質定理定理5（最值定理）（最值定理） 如果函數(shù)如果函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù)，則它在這個區(qū)間上一定有最大值和最小值.)(xf,ba例如，在圖19中， 在 上連續(xù)，在點 處取得最小值 ，在點 處取得最大值 .)(xf,ba1xmM2x應注意的問題: 如果函數(shù)僅在開區(qū)間內連續(xù) 或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點 那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值或最小值 例如 函數(shù)f(x)=x在開區(qū)間(a b)內既無最大值又無最小值 推論：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在 該區(qū)間上有界.定理6 設函數(shù) f(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù) m和M分別是f(x)的最小值和最大值則對于m和之間任

2、意一個數(shù)C 在開區(qū)間(a b)內至少有一點x 使得f(x)= C.abOxyy=f(x)mMx1xx2y= CmC0，f(1)=20,二、函數(shù)間斷點及其分類二、函數(shù)間斷點及其分類定義定義設函數(shù)設函數(shù) y = f (x) 在在 x0 的一個鄰域有定義的一個鄰域有定義( (在在 x0 可以沒有定義可以沒有定義) )， 則則稱稱 x0 是函數(shù)是函數(shù) y = f (x) 的間斷點的間斷點. 也稱函數(shù)也稱函數(shù)在該點間斷在該點間斷. 如果函數(shù)如果函數(shù) f (x) 在點在點 x0 處處不連續(xù)不連續(xù)， 由函數(shù)在某點連續(xù)的定義可知，如果 在點 處有下列三種情形之一，則點 為 的一個間斷點.)(xf0 x)(xf

3、0 x（1） 在 點沒有定義，即 不存在；0 x)(xf)(0 xf（2） 不存在；)(lim0 xfxx（3） 雖然存在，但)(lim0 xfxx)()(lim00 xfxfxx 函數(shù)函數(shù) 在點 處無定義，所以在點 處間斷， 是函數(shù) 的間斷點.見圖16 112=xxy1=x1=x1=x112=xxy 函數(shù)函數(shù) 在 有定義，但， ，所以 不存在，因此 在 處不連續(xù).見圖17 =1 x ,1 , 1)(xxxxf1=x1lim1=xx2) 1(lim1=xx)(lim1xfx)(xf1=x 函數(shù) 在 時有定義，但 顯然 ，所以在 不連續(xù).=0 1, 0 ,2sin)(xxxxxf0=x22sin

4、lim)(lim00=xxxfxx1)0(=f)0()(lim0fxfx)(xf0=x 在以上幾個例子中在以上幾個例子中, ,函數(shù)在指定點均不連續(xù)，函數(shù)在指定點均不連續(xù)，但情況卻各有不同但情況卻各有不同. .1.跳躍間斷點.)(),(lim)(lim,)(00000的跳躍間斷點為函數(shù)則稱點但存在右極限都處左在點如果xfxxfxfxxfxxxx例例1 1.0, 0,1, 0,)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù)= = = =xxxxxxf解解, 0)(lim)(lim00=xxfxx)(lim)(lim00 xfxfxx.0為函數(shù)的跳躍間斷點為函數(shù)的跳躍間斷點= = xoxy, 1)1

5、(lim)(lim00=xxfxx2.可去間斷點.)()(),()(lim,)(00000的的可可去去間間斷斷點點為為函函數(shù)數(shù)義義則則稱稱點點處處無無定定在在點點或或但但處處的的極極限限存存在在在在點點如如果果xfxxxfxfAxfxxfxx = =例例2 2.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù)= = = = = =xxxxxxxfoxy112xy = =1xy2= =解解, 1)1(= =f2)(lim1= =xfx),1(f .0為為函函數(shù)數(shù)的的可可去去間間斷斷點點= = x, 2)(lim1=xfx, 2)(lim1=xfx如例如例5中中, 2)

6、1(= =f令令.1, 1,1, 10,2)(處連續(xù)處連續(xù)在在則則= = = =xxxxxxf跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點. .特點特點.0處處的的左左、右右極極限限都都存存在在函函數(shù)數(shù)在在點點 xoxy112注意注意 可去間斷點只要改變或者補充間斷處函可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.3.第二類間斷點.)(,)(00的的第第二二類類間間斷斷點點為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱點點在在右右極極限限至至少少有有一一個個不不存存處處的的左左、在在點點如如果果xfxxxf例例3 3.0, 0, 0,1)

7、(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù)= = = =xxxxxxf解解oxy, 0lim)(lim00=xxfxx.1為函數(shù)的第二類間斷點為函數(shù)的第二類間斷點= =x.斷斷點點這這種種情情況況稱稱為為無無窮窮間間,1lim)(lim00=xxfxx例例4 4.01sin)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù)= = =xxxf解解xy1sin= =,0處沒有定義處沒有定義在在 = =x.1sinlim0不不存存在在且且xx.0為為第第二二類類間間斷斷點點= =x.斷斷點點這這種種情情況況稱稱為為的的振振蕩蕩間間例例5 5 、研究下列函數(shù)在、研究下列函數(shù)在x=0 x=0的連續(xù)性，若是間斷

8、的，的連續(xù)性，若是間斷的，指出間斷點類型。指出間斷點類型。.0,10,sin)()1 = = = =xxxxxf.0,10,sin)()2 = = = =xxxxxf1)0(, 1sinlim)(lim00=fxxxfxx.0),0()(lim0是連續(xù)點=xfxfx解：1)（a為任意實數(shù)）為任意實數(shù)）.0,0,1sin)()3=xaxxxxf例例5 5 、研究下列函數(shù)在、研究下列函數(shù)在x=0 x=0的連續(xù)性，若是間斷的，的連續(xù)性，若是間斷的，指出間斷點類型。指出間斷點類型。.0,10,sin)()2 = = = =xxxxxf解：2)1sinlim|sinlim)(lim000=xxxxxfxxx1sinlim|sinlim)(lim000=xxxxxfxxx)(lim)(lim00 xfxfxx的跳躍間斷點為)(1xfx =例例5 5 、研究下列函數(shù)在、研究下列函數(shù)在x=0