函數(shù)的極值與最值(1)課件

1、1函數(shù)的極值與最值第五節(jié)一、函數(shù)極值及求法二、最值的求法三、應(yīng)用舉例四、小結(jié)及作業(yè)2一、函數(shù)極值及求法oxyab)(xfy 1x2x4x5x6xoxyoxy0 x0 x3.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的一個極小值的一個極小值是函數(shù)是函數(shù)就稱就稱均成立均成立外外除了點除了點任何點任何點對于這鄰域內(nèi)的對于這鄰域內(nèi)的的一個鄰域的一個鄰域如果存在著點如果存在著點的一個極大值的一個極大值是函數(shù)是函數(shù)就稱就稱均成立均成立外外除了點除了點任何點任何點對于這鄰域內(nèi)的對于這鄰域內(nèi)的的一個鄰域的一個鄰域如果存在著點如果存在著點內(nèi)的一個點內(nèi)的一個點是是內(nèi)有定義內(nèi)有定

2、義在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定義定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值極值,使函數(shù)取得使函數(shù)取得極值的點稱為極值的點稱為極值點極值點.4說明：說明：值值；念念，不不是是整整個個函函數(shù)數(shù)的的最最、極極值值是是一一局局部部性性的的概概12x3x4x；、函數(shù)極值不一定唯一、函數(shù)極值不一定唯一2小值；小值；、極大值不一定大于極、極大值不一定大于極31 2 的的點點為為駐駐點點；、稱稱使使0)(4 xf軸軸。值值點點處處的的切切線線平平行行于于由由圖圖可可知知：可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)極極x1x5定理定理1 1( (必要條件必要條件

3、) ) 設(shè)設(shè))(xf在點在點0 x處具有導(dǎo)數(shù)處具有導(dǎo)數(shù), ,且且在在0 x處取得極值處取得極值, ,那末必定那末必定0)(0 xf. .證明：證明：的某個鄰域內(nèi)有的某個鄰域內(nèi)有為極大值點，則在為極大值點，則在設(shè)設(shè)00 xx)()(0 xfxf0)()(,000 xxxfxfxx時時當(dāng)當(dāng)0)()(lim)(00000 xxxfxfxfxx0)()(,000 xxxfxfxx時時當(dāng)當(dāng)0)()(lim)(00000 xxxfxfxfxx0)(0 xf6定理表明：定理表明：,)(點點的極值點必定是它的駐的極值點必定是它的駐可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)xf例如例如,3xy , 00 xy.0不不是是極極值值點點但但

4、 x反之不一定。反之不一定。點點。是是駐駐點點或或?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在的的、函函數(shù)數(shù)的的極極值值點點只只可可能能57(1)(1)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx, , 有有0)( xf，則，則)(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值. . (2)(2)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，則，則)(xf在在0 x處取得極小值處取得極小值. . (3)(3)如果當(dāng)如果當(dāng)),(00 xxx 及及),(00 xxx時時, , )(xf 符號相同符號相同, ,則則)(xf在在0 x處無極值處無極值. . 定理定

5、理2(2(第一充分條件第一充分條件) )xyoxyo0 x0 x (是極值點情形是極值點情形)問題：問題：怎樣求函數(shù)的極值？怎樣求函數(shù)的極值？8xyoxyo0 x0 x 求極值的步驟求極值的步驟: :;)2(存存在在的的點點求求函函數(shù)數(shù)的的駐駐點點及及導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不;) 3(由由定定理理判判斷斷極極值值點點.)4(求求極極值值(不是極值點情形不是極值點情形)、確定函數(shù)的定義域；、確定函數(shù)的定義域；19例例1 1解解.593)(23的的極極值值求求出出函函數(shù)數(shù) xxxxf963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得駐點得駐點列表討論列表討論x)1,( ), 3()3 , 1(

6、1 3)(xf )(xf 00極大值極大值極小值極小值)3(f極小值極小值.22 )1( f極大值極大值,10 )3)(1(3 xx10593)(23 xxxxfMm圖形如下圖形如下11例例2. 2. 求函數(shù)求函數(shù)32) 1()(xxxf的極值 .解解: : 1) 求導(dǎo)數(shù)32)(xxf3132) 1(xx35235xx 2) 求極值可疑點令,0)( xf得1x52導(dǎo)數(shù)不存在的點02x3) 列表判別x)(xf )(xf0520033. 00 x是極大點， 其極大值為;0)0(f是極小點， 其極小值為x52)(f5233. 0),(0),(520),(5212定理定理3(3(第二充分條件第二充分條

7、件) )證證)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000, 0 異異號號，與與故故xxfxxf )()(00時，時，當(dāng)當(dāng)0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 時，時，當(dāng)當(dāng)0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 所以所以,函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值13例例3 3解解.20243)(23的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2, 421 xx得得駐駐點點)2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f, 018 )4( f故故極極大大值值,60 )2(f, 018 )2(f故故極極小小值值.48 20243

8、)(23 xxxxf圖形如下圖形如下14Mm注意注意: :. 2,)(,0)(00仍仍用用定定理理處處不不一一定定取取極極值值在在點點時時xxfxf 154例例xexfxxfxxxf 131)()1(2)() 1(),()(滿滿足足對對一一切切設(shè)設(shè)證明：證明：具有一、二階導(dǎo)數(shù)，具有一、二階導(dǎo)數(shù)，因為因為)(xf, 0)()(afaxxf點點取取得得極極值值必必有有在在所所以以若若) 1(11)(1 aaeafa, 01, 0111aeaa時時，當(dāng)當(dāng), 0)( af, 01, 0111aeaa時時，當(dāng)當(dāng), 0)( af為極小值。為極小值。即即)(af極極小小值值。點點取取得得極極值值，證證明明它

9、它是是在在如如果果) 1()(aaxxf165例例的某個鄰域內(nèi)連續(xù)，且的某個鄰域內(nèi)連續(xù)，且在在設(shè)設(shè)0 xxf)()(2)()()(lim000為為正正整整數(shù)數(shù)nxxxfxfnxx點點的的極極值值問問題題。在在試試研研究究0)(xxxf解：解：02)()()(lim000nxxxxxfxf的的某某鄰鄰域域使使存存在在0 x0)()()(00nxxxfxf為奇數(shù)時，為奇數(shù)時，）若）若（n10)()(0 xfxf從從而而, 0)(00nxxxx當(dāng)當(dāng)0)()(0 xfxf從從而而不不取取得得極極值值。在在由由定定義義，0)(xxf, 0)(00nxxxx當(dāng)當(dāng)17為偶數(shù)時，為偶數(shù)時，）若）若（n2, 0

10、)(00nxxxx當(dāng)當(dāng), 0)(00nxxxx當(dāng)當(dāng)0)()(0 xfxf從從而而取得極小值。取得極小值。在在由定義，由定義，0)(xxf186例例設(shè) 在點 的某鄰域內(nèi)有五階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且： )(xf0 x?)()(,?()(, 0)(, 0)()()()(0000)5(0)4(000的的拐拐點點是是否否是是曲曲線線的的極極值值點點是是否否是是試試問問xfyxfxxfxxfxfxfxfxf 解： ,)(, 0)(, 0)(00)4(0)5(的的一一個個極極小小值值點點是是故故xfxxfxf 所以不論 ，還是 均有 0 xx 0 xx ,)()(00 xfxf單調(diào)增加，單調(diào)增加，于是于是)(xf 時

11、時，當(dāng)當(dāng)0 xx , 0)()(0 xfxf有有時時，當(dāng)當(dāng)0 xx , 0)()(0 xfxf有有的的一一個個拐拐點點。是是所所以以)()(,(00 xfyxfx19時，時，因為當(dāng)因為當(dāng)0 xx , 0)()(0 xfxf有有時時，當(dāng)當(dāng)0 xx , 0)()(0 xfxf有有的的極極小小值值，是是所所以以)()(xfxf00)()(0 xfxf即即單單增增，所所以以)(xf的的極極小小值值點點。不不是是)(0 xfx20二、最值的求法oxyoxybaoxyabab.,)(,)(在在上的最大值與最小值存上的最大值與最小值存在在上連續(xù)，則上連續(xù)，則在在若函數(shù)若函數(shù)baxfbaxf是極值點。是極值點

12、。區(qū)域內(nèi)部的最值點一定區(qū)域內(nèi)部的最值點一定21步驟步驟: :1.求駐點和不可導(dǎo)點求駐點和不可導(dǎo)點;2.求區(qū)間端點及駐點和不可導(dǎo)點的函數(shù)值求區(qū)間端點及駐點和不可導(dǎo)點的函數(shù)值,比比較大小較大小,那個大那個就是最大值那個大那個就是最大值,那個小那個就那個小那個就是最小值是最小值;注意注意: :如果區(qū)間內(nèi)只有一個極值如果區(qū)間內(nèi)只有一個極值,則這個極值就則這個極值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)1x2x問題：問題：開區(qū)間怎樣求最值？開區(qū)間怎樣求最值？22三、應(yīng)用舉例例例1 1解解)1)(2(6)( xxxf.4 , 314123223上的最大值與最小值上的最大值與最小值的在的在求函數(shù)求函

13、數(shù) xxxy得得解解方方程程, 0)( xf. 1, 221 xx計算計算 )3(f;23 )2(f;34 )1(f;7;142 )4(f23，最大值最大值142)4( f比較得比較得. 7)1( f最最小小值值14123223 xxxy24點擊圖片任意處播放點擊圖片任意處播放暫停暫停例例2 2敵人乘汽車從河的北岸敵人乘汽車從河的北岸A處以處以1千米千米/分鐘分鐘的速度向正北逃竄，同時我軍摩托車從河的的速度向正北逃竄，同時我軍摩托車從河的南岸南岸B處向正東追擊，處向正東追擊，速度為速度為2千米千米/分鐘分鐘問我軍摩托車何問我軍摩托車何時射擊最好（相時射擊最好（相距最近射擊最好）？距最近射擊最好

14、）？25解解公公里里5 . 0(1)建立敵我相距函數(shù)關(guān)系建立敵我相距函數(shù)關(guān)系).(分分追擊至射擊的時間追擊至射擊的時間處發(fā)起處發(fā)起為我軍從為我軍從設(shè)設(shè)Bt敵我相距函數(shù)敵我相距函數(shù)22)24()5 . 0()(ttts 公公里里4B A )(ts)(ts.)()2(的的最最小小值值點點求求tss )(ts.)24()5 . 0(5 . 7522ttt , 0)( ts令令得唯一駐點得唯一駐點. 5 . 1 t.5 . 1分分鐘鐘射射擊擊最最好好處處發(fā)發(fā)起起追追擊擊后后故故得得我我軍軍從從B可可驗驗證證為為極極小小值值點點26實際問題求最值應(yīng)注意實際問題求最值應(yīng)注意: :(1)建立目標(biāo)函數(shù)建立目標(biāo)

15、函數(shù);(2)求最值求最值;值值或最小或最小函數(shù)值即為所求的最函數(shù)值即為所求的最區(qū)間內(nèi)達(dá)到，則該點的區(qū)間內(nèi)達(dá)到，則該點的點，而最值點在點，而最值點在若目標(biāo)函數(shù)只有唯一駐若目標(biāo)函數(shù)只有唯一駐)(27例例3 3某房地產(chǎn)公司有某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)租金定為套公寓要出租，當(dāng)租金定為每月每月180元時，公寓會全部租出去當(dāng)租金每月元時，公寓會全部租出去當(dāng)租金每月增加增加10元時，就有一套公寓租不出去，而租出元時，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費去的房子每月需花費20元的整修維護(hù)費試問元的整修維護(hù)費試問房租定為多少可獲得最大收入？房租定為多少可獲得最大收入？解解 設(shè)房租為每月設(shè)房租為

16、每月 元，元，x租出去的房子有租出去的房子有 套，套， 1018050 x每月總收入為每月總收入為)(xR)20( x 1018050 x28 1068)20()(xxxR 101)20(1068)(xxxR570 x 0)( xR350 x（唯一駐點）（唯一駐點）故每月每套租金為故每月每套租金為350元時收入最高。元時收入最高。最大收入為最大收入為 1035068)20350()(xR)(10890 元元 29點擊圖片任意處播放點擊圖片任意處播放暫停暫停例例4 4形面積最大形面積最大所圍成的三角所圍成的三角及及線線處的切線與直處的切線與直使曲線在該點使曲線在該點上求一點，上求一點，曲邊曲邊成

17、一個曲邊三角形，在成一個曲邊三角形，在圍圍及拋物線及拋物線，由直線由直線808022 xyxyxyxy30解解如圖如圖,),(00yxP設(shè)設(shè)所所求求切切點點為為為為則切線則切線PT),(2000 xxxyy ,200 xy ),0,21(0 xA)16, 8(200 xxB ),0, 8(CTxyoPABC)16)(218(212000 xxxSABC )80(0 x31, 0)1616643(41020 xxS令令解得解得).(16,31600舍舍去去 xx8)316( s. 0 .2174096)316(為極大值為極大值 s.274096)316(最大者最大者為所有三角形中面積的為所有三角

18、形中面積的故故 s32證證明明，設(shè)設(shè)例例, 1105px1)1 (211pppxx證明：證明：ppxxxF)1 ()(令令)1 ()1 ()(1111ppppxxpxppxxF22)1)(1() 1()( ppxppxppxF得得，由由0)( xF21x0)21()21)(1()21(22 ppppF,21)(點點取取得得極極小小值值在在故故xxF-1p21)21F(1F(0)(1)F 所以F(x)在0，1 上最大值為 1。，最最小小值值為為121p1)1 (211pppxx336例例中中求求出出最最大大的的數(shù)數(shù)。在在, 3,2, 13nn解：解：)0(1xxyx設(shè)設(shè))(ln1xxey)ln1

19、 (112xxxx單單增增，時時，而而當(dāng)當(dāng)yyex, 0,21這時有這時有單單減減，時時，而而當(dāng)當(dāng)yyex, 0,4343nn這時有這時有, 323而而最大。最大。33exy得駐點得駐點令令034四、小結(jié)極值是函數(shù)的局部性概念極值是函數(shù)的局部性概念: :極大值可能小于極小極大值可能小于極小值值,極小值可能大于極大值極小值可能大于極大值.駐點和不可導(dǎo)點統(tǒng)稱為駐點和不可導(dǎo)點統(tǒng)稱為臨界點臨界點. .函數(shù)的極值必在函數(shù)的極值必在臨界點臨界點取得取得.判別法判別法第一充分條件第一充分條件;第二充分條件第二充分條件;(注意使用條件注意使用條件)35注意最值與極值的區(qū)別注意最值與極值的區(qū)別.注意最值與極值的

20、區(qū)別注意最值與極值的區(qū)別.最值是整體概念而極值是局部概念最值是整體概念而極值是局部概念.實際問題求最值的步驟實際問題求最值的步驟.3616053P習(xí)題1(1,3,5,7,9),3,4(2),5,7,8,1037思考題思考題 若若)(af是是)(xf在在,ba上上的的最最大大值值或或最最小小值值，且且)(af 存存在在，是是否否一一定定有有0)( af？38思考題解答思考題解答結(jié)論不成立結(jié)論不成立.因為最值點不一定是內(nèi)點因為最值點不一定是內(nèi)點. .例例xxfy )(1 , 0 x在在 有最小值，但有最小值，但0 x01)0( f39一、一、 填空題：填空題：1 1、最值可、最值可_處取得處取得.

21、 .2 2、函數(shù)、函數(shù)2332xxy ( (41 x) )的最大值為的最大值為_ _ _；最小值為；最小值為_._.3 3、 函數(shù)函數(shù)2100 xy 在在0,80,8上的最大值為上的最大值為_ _ _；最小值為；最小值為_._.4 4、 設(shè)有重量為設(shè)有重量為 5kg5kg 的物體，置于水平面上，受力的物體，置于水平面上，受力f的作用而開始移動，摩擦系數(shù)的作用而開始移動，摩擦系數(shù) =0.25=0.25，問力，問力f與與水平線的交角水平線的交角 為為_時，才可使力時，才可使力f的大小為的大小為最小，則此問題的目標(biāo)函數(shù)為最小，則此問題的目標(biāo)函數(shù)為_，討論區(qū)間為討論區(qū)間為_._.練練 習(xí)習(xí) 題題405

22、 5、 從一塊半徑為從一塊半徑為R的圓缺片上挖去一個扇形做成一個的圓缺片上挖去一個扇形做成一個漏斗，問留下的扇形的中心角為漏斗，問留下的扇形的中心角為_時，做時，做成的漏斗的容積為最大？此問題的目標(biāo)函數(shù)為成的漏斗的容積為最大？此問題的目標(biāo)函數(shù)為_考察區(qū)間為考察區(qū)間為_._.二、二、 求函數(shù)求函數(shù)xxy542 ( (0 x) )的最值的最值 . .三、三、 求數(shù)列求數(shù)列 nn210的最大項的最大項 . .四、四、 要造一圓柱形油灌，體積為要造一圓柱形油灌，體積為V，問底半徑，問底半徑r和高和高h(yuǎn)等于多少時，才能使表面積最小？這時底直徑與等于多少時，才能使表面積最??？這時底直徑與高的比是多少？高的

23、比是多少？41五五、由由2xy , ,0 y , , ax ( (0 a) )圍圍成成一一曲曲邊邊三三角角形形OAB，在在曲曲線線弧弧OB上上求求一一點點，使使得得過過此此點點所所作作曲曲線線2xy 的的切切線線與與OA，OB圍圍成成的的三三角角形形面面積積最最大大. .42一、一、1 1、區(qū)間端點及極值點；、區(qū)間端點及極值點；2 2、最大值、最大值80)4( y, , 最小值最小值5)1( y；3 3、10,610,6； 4 4、)2, 0 ,sincos,arctan pf；5 5、 38, , )2 , 0( ,42464223 RV. .二、二、3 x時函數(shù)有最小值時函數(shù)有最小值 27

24、.27.三、三、14.14.四、四、. 1:1:;22,233 hdvhvr五、五、)94,32(2aa. .練習(xí)題答案練習(xí)題答案43思考題思考題下命題正確嗎？下命題正確嗎？ 如如果果0 x為為)(xf的的極極小小值值點點，那那么么必必存存在在0 x的的某某鄰鄰域域，在在此此鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)，)(xf在在0 x的的左左側(cè)側(cè)下下降降，而而在在0 x的的右右側(cè)側(cè)上上升升.44思考題解答思考題解答不正確不正確例例 0, 20),1sin2(2)(2xxxxxf當(dāng)當(dāng)0 x時，時， )0()(fxf)1sin2(2xx 0 于是于是0 x為為)(xf的極小值點的極小值點45當(dāng)當(dāng)0 x時，時，當(dāng)當(dāng)0 x時時，, 0)1si