第三講簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型(存儲(chǔ)模型.生豬出售的最佳時(shí)機(jī).報(bào)童問(wèn)題.森林救火問(wèn)題)

1、第三章第三章 簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型 優(yōu)化模型的數(shù)學(xué)意義優(yōu)化模型的數(shù)學(xué)意義 優(yōu)化問(wèn)題是在工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理和科學(xué)研究等領(lǐng)域優(yōu)化問(wèn)題是在工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理和科學(xué)研究等領(lǐng)域中最常遇到的一類問(wèn)題。設(shè)計(jì)師要求在滿足強(qiáng)度要求等中最常遇到的一類問(wèn)題。設(shè)計(jì)師要求在滿足強(qiáng)度要求等條件下合理選擇材料的尺寸；公司經(jīng)理要根據(jù)生產(chǎn)成本條件下合理選擇材料的尺寸；公司經(jīng)理要根據(jù)生產(chǎn)成本和市場(chǎng)需求確定產(chǎn)品價(jià)格和生產(chǎn)計(jì)劃，使利潤(rùn)達(dá)到最和市場(chǎng)需求確定產(chǎn)品價(jià)格和生產(chǎn)計(jì)劃，使利潤(rùn)達(dá)到最大；調(diào)度人員要在滿足物質(zhì)需求和裝載條件下安排從各大；調(diào)度人員要在滿足物質(zhì)需求和裝載條件下安排從各供應(yīng)點(diǎn)到各需求點(diǎn)的運(yùn)量和路線，使運(yùn)輸總費(fèi)用達(dá)到

2、最供應(yīng)點(diǎn)到各需求點(diǎn)的運(yùn)量和路線，使運(yùn)輸總費(fèi)用達(dá)到最低。低。 本章討論的是用數(shù)學(xué)建模的方法來(lái)處理優(yōu)化問(wèn)題：即本章討論的是用數(shù)學(xué)建模的方法來(lái)處理優(yōu)化問(wèn)題：即建立和求解所謂的優(yōu)化模型。注意的是建模時(shí)要作適當(dāng)建立和求解所謂的優(yōu)化模型。注意的是建模時(shí)要作適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，可能使得結(jié)果不一定完全可行或達(dá)到實(shí)際上的的簡(jiǎn)化，可能使得結(jié)果不一定完全可行或達(dá)到實(shí)際上的最優(yōu)，但是它基于客觀規(guī)律和數(shù)據(jù)，又不需要多大的費(fèi)最優(yōu)，但是它基于客觀規(guī)律和數(shù)據(jù)，又不需要多大的費(fèi)用。如果在建模的基礎(chǔ)上再輔之以適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)，就可以用。如果在建模的基礎(chǔ)上再輔之以適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)，就可以期望得到實(shí)際問(wèn)題的一個(gè)比較圓滿的回答。期望得到實(shí)際問(wèn)題的一個(gè)比較

3、圓滿的回答。 本章介紹較為簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型，歸結(jié)為微積分中的極本章介紹較為簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型，歸結(jié)為微積分中的極值問(wèn)題，因而可以直接使用微積分中的方法加以求解。值問(wèn)題，因而可以直接使用微積分中的方法加以求解。 當(dāng)你決定用數(shù)學(xué)建模的方法來(lái)處理一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，當(dāng)你決定用數(shù)學(xué)建模的方法來(lái)處理一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，首先要確定優(yōu)化的目標(biāo)，其次確定尋求的決策，以及決策首先要確定優(yōu)化的目標(biāo)，其次確定尋求的決策，以及決策受到哪些條件的限制。在處理過(guò)程中，要對(duì)實(shí)際問(wèn)題作若受到哪些條件的限制。在處理過(guò)程中，要對(duì)實(shí)際問(wèn)題作若干合理的假設(shè)。最后用微積分的進(jìn)行求解。在求出最后決干合理的假設(shè)。最后用微積分的進(jìn)行求解。在求出最后決策后

4、，要對(duì)結(jié)果作一些定性和定量的分析和必要的檢驗(yàn)。策后，要對(duì)結(jié)果作一些定性和定量的分析和必要的檢驗(yàn)。一、存儲(chǔ)模型一、存儲(chǔ)模型 問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出 工廠定期訂購(gòu)原料存入倉(cāng)庫(kù)供生產(chǎn)之用；車間一次加工廠定期訂購(gòu)原料存入倉(cāng)庫(kù)供生產(chǎn)之用；車間一次加工零件供裝配線生產(chǎn)之用；商店成批訂購(gòu)各種商品，放工零件供裝配線生產(chǎn)之用；商店成批訂購(gòu)各種商品，放進(jìn)貨柜以備零售；諸多問(wèn)題都涉及到一個(gè)存儲(chǔ)量為多大進(jìn)貨柜以備零售；諸多問(wèn)題都涉及到一個(gè)存儲(chǔ)量為多大的問(wèn)題：存儲(chǔ)量過(guò)大，會(huì)增加存儲(chǔ)費(fèi)用；存儲(chǔ)量過(guò)小，的問(wèn)題：存儲(chǔ)量過(guò)大，會(huì)增加存儲(chǔ)費(fèi)用；存儲(chǔ)量過(guò)小，會(huì)增加訂貨次數(shù)，從而增加不必要的訂購(gòu)費(fèi)用會(huì)增加訂貨次數(shù)，從而增加不必要的訂購(gòu)

5、費(fèi)用. 本節(jié)討論在需求穩(wěn)定的情況下，兩個(gè)簡(jiǎn)單的存儲(chǔ)模本節(jié)討論在需求穩(wěn)定的情況下，兩個(gè)簡(jiǎn)單的存儲(chǔ)模型型: 不容許缺貨和容許缺貨的存儲(chǔ)模型不容許缺貨和容許缺貨的存儲(chǔ)模型. 1.不容許缺貨的存儲(chǔ)模型不容許缺貨的存儲(chǔ)模型 例例 配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種部件配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種部件. 輪換生產(chǎn)不同輪換生產(chǎn)不同的部件時(shí)因更換設(shè)備要支付一定的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用（與產(chǎn)的部件時(shí)因更換設(shè)備要支付一定的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用（與產(chǎn)量無(wú)關(guān)）量無(wú)關(guān)）. 同一部件的產(chǎn)量大于需求時(shí)需支付存儲(chǔ)費(fèi)用同一部件的產(chǎn)量大于需求時(shí)需支付存儲(chǔ)費(fèi)用. 已知某一部件的日需求量為已知某一部件的日需求量為100件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為5000元元,

6、 存儲(chǔ)費(fèi)為每日每件一元存儲(chǔ)費(fèi)為每日每件一元. 如果生產(chǎn)能力遠(yuǎn)大于需求，如果生產(chǎn)能力遠(yuǎn)大于需求，并且不容許出現(xiàn)缺貨，試安排生產(chǎn)計(jì)劃并且不容許出現(xiàn)缺貨，試安排生產(chǎn)計(jì)劃: 即多少天生產(chǎn)即多少天生產(chǎn)一次（生產(chǎn)周期）、每次產(chǎn)量多少可使總費(fèi)用最少？一次（生產(chǎn)周期）、每次產(chǎn)量多少可使總費(fèi)用最少？ 分析分析 若每天生產(chǎn)一次，無(wú)存儲(chǔ)費(fèi)，生產(chǎn)準(zhǔn)備金若每天生產(chǎn)一次，無(wú)存儲(chǔ)費(fèi)，生產(chǎn)準(zhǔn)備金5000元，元，故每天的總費(fèi)用為故每天的總費(fèi)用為5000元；元； 若若10天生產(chǎn)一次，每次生產(chǎn)天生產(chǎn)一次，每次生產(chǎn)1000件，準(zhǔn)備金件，準(zhǔn)備金5000元，存儲(chǔ)費(fèi)元，存儲(chǔ)費(fèi)900+800+100=4500元。平均每天元。平均每天950元

7、。元。 若若50天生產(chǎn)一次，每次生產(chǎn)天生產(chǎn)一次，每次生產(chǎn)5000件，準(zhǔn)備金件，準(zhǔn)備金5000元，存儲(chǔ)費(fèi)元，存儲(chǔ)費(fèi)4900+4800+100=122500元，平均每天元，平均每天2500元。元。 以上分析表明以上分析表明: 生產(chǎn)周期過(guò)短，盡管沒(méi)有存儲(chǔ)費(fèi)，但生產(chǎn)周期過(guò)短，盡管沒(méi)有存儲(chǔ)費(fèi)，但準(zhǔn)備費(fèi)用高準(zhǔn)備費(fèi)用高, 從而造成生產(chǎn)成本的提高；生產(chǎn)周期過(guò)長(zhǎng)從而造成生產(chǎn)成本的提高；生產(chǎn)周期過(guò)長(zhǎng), 會(huì)造成大量的存儲(chǔ)費(fèi)用會(huì)造成大量的存儲(chǔ)費(fèi)用, 也提高了生產(chǎn)成本也提高了生產(chǎn)成本. 由此可以由此可以看到看到, 選擇一個(gè)合適的生產(chǎn)周期，會(huì)降低產(chǎn)品的成本；選擇一個(gè)合適的生產(chǎn)周期，會(huì)降低產(chǎn)品的成本；從而贏得競(jìng)爭(zhēng)上的優(yōu)勢(shì)。

8、從而贏得競(jìng)爭(zhēng)上的優(yōu)勢(shì)。 模型假設(shè)模型假設(shè) 為處理上的方便，假設(shè)模型是連續(xù)型的，即周期為處理上的方便，假設(shè)模型是連續(xù)型的，即周期 ，產(chǎn)量產(chǎn)量 均為連續(xù)變量均為連續(xù)變量.TQ1.每天的需求量為常數(shù)每天的需求量為常數(shù) ；r2.每次生產(chǎn)的準(zhǔn)備費(fèi)用為每次生產(chǎn)的準(zhǔn)備費(fèi)用為 每天每件的存儲(chǔ)費(fèi)為每天每件的存儲(chǔ)費(fèi)為1,c2,c3.生產(chǎn)能力無(wú)限大，即當(dāng)存儲(chǔ)量為零時(shí)，生產(chǎn)能力無(wú)限大，即當(dāng)存儲(chǔ)量為零時(shí)， 件產(chǎn)品可以件產(chǎn)品可以立即生產(chǎn)出來(lái)立即生產(chǎn)出來(lái).Q 建模建模 設(shè)存儲(chǔ)量為設(shè)存儲(chǔ)量為 以以 遞減，直到遞減，直到 則有則有 ,0.q tqQ q tr 0.q T .QrTt q trQT2TA 在一個(gè)微小時(shí)間中段在一個(gè)

9、微小時(shí)間中段 中，存儲(chǔ)費(fèi)為中，存儲(chǔ)費(fèi)為因而在一個(gè)周期中，總存儲(chǔ)因而在一個(gè)周期中，總存儲(chǔ)費(fèi)用為費(fèi)用為t 2,cq tt 220.2Tccq t dtQT準(zhǔn)備費(fèi)用為準(zhǔn)備費(fèi)用為 ，故總費(fèi)用為，故總費(fèi)用為1c所以，每天的平均費(fèi)用為所以，每天的平均費(fèi)用為2121211.22cccQTccr T 121.2cc Tcr TT 模型求解模型求解 原問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)槭乖瓎?wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)槭谷O小值的問(wèn)題。利用求極值的方取極小值的問(wèn)題。利用求極值的方法，對(duì)法，對(duì)式求導(dǎo)，并令其為零式求導(dǎo)，并令其為零: 1220.2cc rc TT 即有即有:2112222,.ccTTc rc r而而122.c rQrTc將將代入到代入到式，得

10、最小的平均費(fèi)用為式，得最小的平均費(fèi)用為1 22.Cc c r，被稱為經(jīng)濟(jì)訂貨批量公式（被稱為經(jīng)濟(jì)訂貨批量公式（EOQ公式）公式）. 結(jié)果解釋結(jié)果解釋 由由，式可以看到，當(dāng)式可以看到，當(dāng) （準(zhǔn)備費(fèi)用）提高時(shí)，生（準(zhǔn)備費(fèi)用）提高時(shí)，生產(chǎn)周期和產(chǎn)量都變大；當(dāng)產(chǎn)周期和產(chǎn)量都變大；當(dāng) 存儲(chǔ)費(fèi)增加時(shí)，生產(chǎn)周期和存儲(chǔ)費(fèi)增加時(shí)，生產(chǎn)周期和產(chǎn)量都變小；當(dāng)需求量產(chǎn)量都變?。划?dāng)需求量 增加時(shí)，生產(chǎn)周期變小而產(chǎn)量增加時(shí)，生產(chǎn)周期變小而產(chǎn)量變大。這些結(jié)果都是符合常識(shí)的。變大。這些結(jié)果都是符合常識(shí)的。1c2cr 以以 代入代入、 式得式得 元元.125000,1,100ccr10,T 1000c 注意的是：用此公式計(jì)算的

11、結(jié)果與原題有一定的誤注意的是：用此公式計(jì)算的結(jié)果與原題有一定的誤差，原因在于變量選擇的不同差，原因在于變量選擇的不同. 敏感性分析敏感性分析 討論參數(shù)討論參數(shù) 對(duì)生產(chǎn)周期對(duì)生產(chǎn)周期 的影響的影響.12,c c rT 我們用相對(duì)改變量來(lái)衡量結(jié)果對(duì)參數(shù)的敏感程度我們用相對(duì)改變量來(lái)衡量結(jié)果對(duì)參數(shù)的敏感程度.對(duì)對(duì) 的敏感程度記為的敏感程度記為 定義式為定義式為T(mén)1c1,s T c再由再由 得得1/2122,cTc r1/21121 221,2cdTdcc rc c r11111/,./cT TdTs T cccdcT而而1 21112,2/2c c rccTcc r代入上式，得代入上式，得1111,.

12、2cdTs T cdcT同理可得同理可得:211,.22s T cs T r 即：即： 每增加每增加 ， 增加增加 每增加每增加 ， 減減少少 1c1% T0.5%,2c1% T0.5%.注注 此模型也可適用于商店的進(jìn)貨問(wèn)題此模型也可適用于商店的進(jìn)貨問(wèn)題. 3.容許缺貨的模型容許缺貨的模型 下面討論的是容許缺貨的問(wèn)題下面討論的是容許缺貨的問(wèn)題. 為此做以下的假設(shè)為此做以下的假設(shè): 生產(chǎn)能力無(wú)限大（相對(duì)于需求量），容許缺貨，每天生產(chǎn)能力無(wú)限大（相對(duì)于需求量），容許缺貨，每天每件產(chǎn)品缺貨造成的損失費(fèi)為每件產(chǎn)品缺貨造成的損失費(fèi)為 但缺貨量在下次補(bǔ)足。但缺貨量在下次補(bǔ)足。3,c 建模建模 因存儲(chǔ)量不足

13、而造成缺貨時(shí)，可以認(rèn)為存儲(chǔ)量因存儲(chǔ)量不足而造成缺貨時(shí)，可以認(rèn)為存儲(chǔ)量 為為負(fù)值（如圖所示），周期仍記為負(fù)值（如圖所示），周期仍記為 是每周期的存儲(chǔ)是每周期的存儲(chǔ)量，當(dāng)量，當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 故有故有 q t,T Q1tT 0,q t 在在 到到 這段缺貨時(shí)間內(nèi)需求率這段缺貨時(shí)間內(nèi)需求率不變，不變， 按原斜率繼續(xù)下降，按原斜率繼續(xù)下降，由于規(guī)定缺貨量需補(bǔ)足，所以在由于規(guī)定缺貨量需補(bǔ)足，所以在 時(shí)數(shù)量為時(shí)數(shù)量為 的產(chǎn)品立即達(dá)，的產(chǎn)品立即達(dá)，1TT q ttTRT1TArBtqQR1.QrT使下周期初的存儲(chǔ)量恢復(fù)到使下周期初的存儲(chǔ)量恢復(fù)到 .QT1TArBtqQR則每天的平均費(fèi)用為則每天的平均費(fèi)用為212

14、131/2/2,Ccc QTc r TT 與不容許缺貨的模型相似，一個(gè)周期內(nèi)的存儲(chǔ)費(fèi)是與不容許缺貨的模型相似，一個(gè)周期內(nèi)的存儲(chǔ)費(fèi)是 乘以圖中三角形乘以圖中三角形 的面積，缺貨損失費(fèi)是的面積，缺貨損失費(fèi)是 乘以三角形乘以三角形面積面積 加上準(zhǔn)備費(fèi)，得一周期內(nèi)的總費(fèi)用為加上準(zhǔn)備費(fèi)，得一周期內(nèi)的總費(fèi)用為2cA3c,B22312,.22crTQcc QC T QTrTrT 解模解模 為求使為求使 達(dá)到最小的達(dá)到最小的 在在中分別對(duì)中分別對(duì)求偏導(dǎo)，并令其為零，即求偏導(dǎo)，并令其為零，即,C T Q,T Q,T Q22312,.22crTQcc QC T QTrTrT2233122220,222c rc Q

15、cc QCTTrTrT 32,0.C T QcrTQc QQrTrT由第二個(gè)方程由第二個(gè)方程, 得得233,ccTQc r再由第一個(gè)方程再由第一個(gè)方程, 得得2222123320.rcc Qr c Tc Q即即21232232,rcccQTc r再代入前一式再代入前一式, 有有由于每周期的供貨量為由于每周期的供貨量為 有有,RrT記記1231 32 322322,.c ccc c rTQc c rccc123232.c r ccRc c233,ccc與不容許缺貨模型的結(jié)果與不容許缺貨模型的結(jié)果、進(jìn)行比較，得到進(jìn)行比較，得到,/ ,.TT QQRQ 結(jié)果分析結(jié)果分析 由由式知式知 再由再由知知1

16、,.TT QQ RQ 此說(shuō)明周期及供貨量應(yīng)增加，周期初的存儲(chǔ)量減少。此說(shuō)明周期及供貨量應(yīng)增加，周期初的存儲(chǔ)量減少。缺貨損失費(fèi)缺貨損失費(fèi) 越大，越大， 越?。ㄔ浇咏叫。ㄔ浇咏?），從而），從而3c333lim, lim, lim.cccTTQQRQ由此說(shuō)明不容許缺貨是容許缺貨的特殊情況由此說(shuō)明不容許缺貨是容許缺貨的特殊情況.二、生豬出售的最佳時(shí)機(jī)二、生豬出售的最佳時(shí)機(jī) 一飼養(yǎng)場(chǎng)每天投入一飼養(yǎng)場(chǎng)每天投入4元資金用于飼料、設(shè)備、人力，元資金用于飼料、設(shè)備、人力，估計(jì)可使一頭估計(jì)可使一頭80公斤重的生豬每天增加公斤重的生豬每天增加2公斤公斤. 目前生目前生豬出售的市場(chǎng)價(jià)格為每公斤豬出售的市場(chǎng)價(jià)格為每

17、公斤8元，但是預(yù)測(cè)每天會(huì)降低元，但是預(yù)測(cè)每天會(huì)降低0.1元元. 問(wèn)該場(chǎng)該什么時(shí)候出售這樣的生豬，如果這樣問(wèn)該場(chǎng)該什么時(shí)候出售這樣的生豬，如果這樣的估計(jì)和預(yù)測(cè)有出入，對(duì)結(jié)果有多大的影響的估計(jì)和預(yù)測(cè)有出入，對(duì)結(jié)果有多大的影響. 分析分析 造成價(jià)格變化的兩大因素造成價(jià)格變化的兩大因素1.資金投入使得成本增加；資金投入使得成本增加；2.市場(chǎng)因素使得價(jià)格降低市場(chǎng)因素使得價(jià)格降低. 模型假設(shè)模型假設(shè) 每天投入每天投入4元資金使生豬體重每天增加常元資金使生豬體重每天增加常數(shù)數(shù) 公斤，生豬出售的價(jià)格每天降低常數(shù)公斤，生豬出售的價(jià)格每天降低常數(shù) （0.1元）。元）。rg 模型建立模型建立 記記 時(shí)間；時(shí)間； 生

18、豬體重；生豬體重； 出售的價(jià)格；出售的價(jià)格； 出售的收入；出售的收入； 每天的投入；每天的投入； 純利潤(rùn)。則有純利潤(rùn)。則有twpRCQ80,8,4 ,wrt pgt Rwp Ct最后得純利潤(rùn)為：最后得純利潤(rùn)為： 8804640.Q tgtrtt其中其中 求使求使 達(dá)到最大值的達(dá)到最大值的2,0.1.rg Q t. t 模型求解模型求解 該問(wèn)題是二次函數(shù)的極值問(wèn)題。在上式對(duì)該問(wèn)題是二次函數(shù)的極值問(wèn)題。在上式對(duì) 求導(dǎo)，并求導(dǎo)，并令其為零，則有令其為零，則有t80840.grtrgt得得4402.rgtrg 敏感性分析敏感性分析 因在上面的討論中，參數(shù)因在上面的討論中，參數(shù) 是預(yù)測(cè)的，下面討論當(dāng)是預(yù)

19、測(cè)的，下面討論當(dāng)它們發(fā)生變化時(shí)對(duì)模型價(jià)格的影響。它們發(fā)生變化時(shí)對(duì)模型價(jià)格的影響。, r g 是是 的增函數(shù)，下圖反映了的增函數(shù)，下圖反映了 與與 的關(guān)系。的關(guān)系。rttr4060 1.5rtrr 1.設(shè)每天生豬價(jià)格的下降率設(shè)每天生豬價(jià)格的下降率 不變，研究不變，研究 變化變化對(duì)對(duì) 的影響。由的影響。由式，得式，得0.1g rt1.522.53r5101520t下表給出了下表給出了 與與 的數(shù)據(jù)關(guān)系。的數(shù)據(jù)關(guān)系。rtr2.12.2t08.41011.4 12.7r2.93.0t13.9151616.9 17

20、.8 18.6 19.320 2.設(shè)每天生豬體重的增加設(shè)每天生豬體重的增加 公斤不變，研究公斤不變，研究 變化變化對(duì)對(duì) 的影響。由的影響。由式得式得2r g即即 是是 的減函數(shù)。的減函數(shù)。tg320 00.15,gtggt0.060.06g51015202530tg0.06 0.07 0.08 0.090.10.11 0.12 0.13 0.14 0.15t3022.9 17.5 13.3107.35.0用相對(duì)改變量來(lái)衡量結(jié)果對(duì)參數(shù)的敏感程度。用相對(duì)改變量來(lái)衡量結(jié)果對(duì)參數(shù)的敏感程度。 對(duì)對(duì) 的敏的敏感程度記為感程度記為 定義式為定義式為rt( , ),

21、S t r/( , )./t tdtrS t rr rdr t由由式，得式，得2240406060,dtrrdrrr再代入再代入式，得式，得60,.4060S t rr將將 代入代入式，得式，得2r ( , )3.S t r 此說(shuō)明此說(shuō)明: 若每天的體重增加若每天的體重增加 則出售時(shí)間推遲則出售時(shí)間推遲1%,3%. 類似可以定義類似可以定義 對(duì)對(duì) 的敏感度的敏感度tg( , ),S t g/( , )./t tdtgS t gg gdgt由由式可得式可得3,.320dt gS t gdg tg 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，可得時(shí)，可得0.1g ,3.S t g 此說(shuō)明價(jià)格每降低此說(shuō)明價(jià)格每降低 則出售的時(shí)間提早

22、則出售的時(shí)間提早3%.1%, 說(shuō)明說(shuō)明: 該模型的建模和解模都較為簡(jiǎn)單該模型的建模和解模都較為簡(jiǎn)單. 我們的注意我們的注意力是放在對(duì)模型的結(jié)果分析上力是放在對(duì)模型的結(jié)果分析上, 即重點(diǎn)討論敏感性分析即重點(diǎn)討論敏感性分析上上. 另外該模型還適用與其它與之類似的模型另外該模型還適用與其它與之類似的模型.三、報(bào)童問(wèn)題三、報(bào)童問(wèn)題 問(wèn)題問(wèn)題 報(bào)童每天清晨從郵局批進(jìn)報(bào)紙進(jìn)行零售，晚上報(bào)童每天清晨從郵局批進(jìn)報(bào)紙進(jìn)行零售，晚上將賣不掉的報(bào)紙返回郵局進(jìn)行處理將賣不掉的報(bào)紙返回郵局進(jìn)行處理. 售出一份報(bào)紙可獲售出一份報(bào)紙可獲得相應(yīng)的利潤(rùn)，而處理一份報(bào)紙會(huì)造成虧損得相應(yīng)的利潤(rùn)，而處理一份報(bào)紙會(huì)造成虧損. 為此要考

23、為此要考慮報(bào)童如何確定每天的進(jìn)貨量以達(dá)到最大利潤(rùn)慮報(bào)童如何確定每天的進(jìn)貨量以達(dá)到最大利潤(rùn).隨機(jī)性的函數(shù)極值問(wèn)題隨機(jī)性的函數(shù)極值問(wèn)題 模型假設(shè)模型假設(shè) 1.報(bào)童知道賣出各個(gè)數(shù)量的概率的大小報(bào)童知道賣出各個(gè)數(shù)量的概率的大小. 2.設(shè)報(bào)童每天批進(jìn)報(bào)紙?jiān)O(shè)報(bào)童每天批進(jìn)報(bào)紙 份，進(jìn)價(jià)為份，進(jìn)價(jià)為 元，賣價(jià)為元，賣價(jià)為 元，處理價(jià)為元，處理價(jià)為 元元.nbac 建模建模 由假設(shè)，報(bào)童每賣出一份報(bào)紙獲利由假設(shè)，報(bào)童每賣出一份報(bào)紙獲利 元，每處理元，每處理一份報(bào)紙?zhí)潛p一份報(bào)紙?zhí)潛p 元。當(dāng)賣出量元。當(dāng)賣出量 時(shí)，報(bào)童獲利時(shí)，報(bào)童獲利abbcrnab rbcnr元，元，當(dāng)賣出量當(dāng)賣出量 時(shí)，報(bào)童獲利時(shí)，報(bào)童獲利rn

24、ab n元元.由大數(shù)定律，報(bào)童每天的平均收入因?yàn)槊刻焓杖氲钠谕纱髷?shù)定律，報(bào)童每天的平均收入因?yàn)槊刻焓杖氲钠谕祦?lái)表示值來(lái)表示. 設(shè)每天賣出設(shè)每天賣出 份報(bào)紙的概率為份報(bào)紙的概率為 因而期望收入為因而期望收入為r ,f r 0nrG nab rbcnrf r 1.r nab nf r 從而問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蟪鲞M(jìn)貨量從而問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蟪鲞M(jìn)貨量 使期望收入使期望收入 達(dá)到最達(dá)到最大大., n G n 解模解模 為了用微積分的方法解決該問(wèn)題，將變量連續(xù)化，從為了用微積分的方法解決該問(wèn)題，將變量連續(xù)化，從而相應(yīng)的概率函數(shù)而相應(yīng)的概率函數(shù) 用連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度用連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度 來(lái)表示來(lái)表示. 于

25、是由連續(xù)性隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望公式于是由連續(xù)性隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望公式 f r p r 0nG nab rbcnrp r dr .nab np r dr由極值存在的條件，對(duì)由極值存在的條件，對(duì)式求導(dǎo)并令其為零，再由含式求導(dǎo)并令其為零，再由含參變量積分的求導(dǎo)公式得參變量積分的求導(dǎo)公式得 r nG nab rbcnrp r 0nr nbcp r drab np r 0.nab p r dr整理后得整理后得: 0.nnbcp r drabp r dr即即: 0.nnp r drabbcp r dr再由合比定理得再由合比定理得 00,nnnp r drababbcp r drp r dr 00.np r

26、drabacp r dr即即再由概率密度的性質(zhì)再由概率密度的性質(zhì): 01,p r dr從而上式為從而上式為 0.nabp r drKacr p roKn 由于由于 是一個(gè)常數(shù)，當(dāng)概率密度為已知時(shí)，可由是一個(gè)常數(shù)，當(dāng)概率密度為已知時(shí)，可由式計(jì)算相應(yīng)的式計(jì)算相應(yīng)的 在統(tǒng)計(jì)學(xué)中數(shù)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中數(shù) 又稱為又稱為 分位數(shù)分位數(shù).1K . nnp 數(shù)值數(shù)值 是賣出一份報(bào)紙的收益與處理一份報(bào)是賣出一份報(bào)紙的收益與處理一份報(bào)abKac紙所造成虧損的比值。這個(gè)比值越大，進(jìn)報(bào)量就應(yīng)該紙所造成虧損的比值。這個(gè)比值越大，進(jìn)報(bào)量就應(yīng)該大一點(diǎn)，如果處理價(jià)大一點(diǎn)，如果處理價(jià) 變小，則應(yīng)該少進(jìn)一些變小，則應(yīng)該少進(jìn)一些.c 應(yīng)用舉

27、例應(yīng)用舉例 設(shè)某報(bào)亭銷售新民晚報(bào)，售價(jià)為設(shè)某報(bào)亭銷售新民晚報(bào)，售價(jià)為 元，進(jìn)價(jià)為元，進(jìn)價(jià)為元，處理價(jià)為元，處理價(jià)為 元，銷售量服從參數(shù)為元，銷售量服從參數(shù)為 的指數(shù)的指數(shù)分布，求相應(yīng)的進(jìn)貨量分布，求相應(yīng)的進(jìn)貨量0.700.400.250.015. n解解 由由0.30.67,0.45abKac即即0.01500.0150.67,nxedx在在Mathematic下計(jì)算積分，輸入命令下計(jì)算積分，輸入命令.IntegrateE(-0.015x)*0.015,x,0,74得積分值為得積分值為0.670441，即進(jìn)報(bào)紙的份數(shù)近似為，即進(jìn)報(bào)紙的份數(shù)近似為74.分析，若提高處理價(jià)，如處理價(jià)為分析，若提高處

28、理價(jià)，如處理價(jià)為 元，則元，則0.300.30.75,0.4abKac輸入命令：輸入命令：IntegrateE(-0.015x)*0.015,x,0,92得積分值為得積分值為0.748421，即進(jìn)貨量為，即進(jìn)貨量為92.四、森林救火問(wèn)題四、森林救火問(wèn)題 問(wèn)題問(wèn)題 在森林發(fā)生火災(zāi)時(shí)，要派出消防人員去滅火在森林發(fā)生火災(zāi)時(shí)，要派出消防人員去滅火.需要選擇合理的方案，使得救火的費(fèi)用和森林被毀所造需要選擇合理的方案，使得救火的費(fèi)用和森林被毀所造成的損失達(dá)到最低成的損失達(dá)到最低. 問(wèn)題分析問(wèn)題分析 設(shè)起火時(shí)間為設(shè)起火時(shí)間為 開(kāi)始滅火，開(kāi)始滅火， 時(shí)火被撲滅，時(shí)火被撲滅，在整個(gè)滅火過(guò)程中，總費(fèi)用由損失費(fèi)與救

29、援費(fèi)構(gòu)成，設(shè)在整個(gè)滅火過(guò)程中，總費(fèi)用由損失費(fèi)與救援費(fèi)構(gòu)成，設(shè)在時(shí)刻在時(shí)刻 時(shí)，森林被毀面積為時(shí)，森林被毀面積為 則被毀總面積為則被毀總面積為 01,t tt2ttt ,B t 2.B t 考慮考慮 單位時(shí)間被毀面積，它表示的是火勢(shì)單位時(shí)間被毀面積，它表示的是火勢(shì) dB tdt的蔓延程度，注意到的蔓延程度，注意到 時(shí)，火勢(shì)越來(lái)越大，時(shí)，火勢(shì)越來(lái)越大， 時(shí)，火勢(shì)逐漸減少，且時(shí)，火勢(shì)逐漸減少，且10tt 12ttt 20.t tdB tdt 由此即得關(guān)系由此即得關(guān)系 1122 0 0 0. 0 tttdB ttttdttt 單調(diào)增加單調(diào)減少 假設(shè)假設(shè) 單位面積損失費(fèi)為單位面積損失費(fèi)為 ；1c當(dāng)當(dāng) 時(shí)

30、，時(shí)， 與時(shí)間成正比，即與時(shí)間成正比，即10tt dB tdt ,dB ttdt 稱為蔓延速度；稱為蔓延速度；派出派出 名消防隊(duì)員進(jìn)行滅火，每名隊(duì)員的滅火速度為名消防隊(duì)員進(jìn)行滅火，每名隊(duì)員的滅火速度為 ；則當(dāng)；則當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有x12ttt () .dB tx tdt每名消防隊(duì)員單位時(shí)間的滅火費(fèi)用為每名消防隊(duì)員單位時(shí)間的滅火費(fèi)用為 ，于是在滅，于是在滅2c火過(guò)程中，每名隊(duì)員的費(fèi)用為火過(guò)程中，每名隊(duì)員的費(fèi)用為 ；221ctt每名隊(duì)員的一次性開(kāi)支為每名隊(duì)員的一次性開(kāi)支為3.c 注注 模型假設(shè)的意義：火勢(shì)以起火點(diǎn)為中心，以均勻模型假設(shè)的意義：火勢(shì)以起火點(diǎn)為中心，以均勻速度向四周呈圓形蔓延，蔓延的半徑

31、速度向四周呈圓形蔓延，蔓延的半徑 與時(shí)間與時(shí)間 成正成正比。又被毀面積與比。又被毀面積與 成正比，故被毀面積成正比，故被毀面積 與與 成正成正比，從而比，從而 與與 成正比成正比.r2rtB2r/dB dtt火過(guò)程中，每名隊(duì)員的費(fèi)用為火過(guò)程中，每名隊(duì)員的費(fèi)用為 ；221ctt每名隊(duì)員的一次性開(kāi)支為每名隊(duì)員的一次性開(kāi)支為3.c 注注 模型假設(shè)的意義：火勢(shì)以起火點(diǎn)為中心，以均勻模型假設(shè)的意義：火勢(shì)以起火點(diǎn)為中心，以均勻速度向四周呈圓形蔓延，蔓延的半徑速度向四周呈圓形蔓延，蔓延的半徑 與時(shí)間與時(shí)間 成正成正比。又被毀面積與比。又被毀面積與 成正比，故被毀面積成正比，故被毀面積 與與 成正成正比，從而比，從而 與與 成正比。成正比。r2rtB2r/dB dtt火過(guò)程中，每名隊(duì)員的費(fèi)用為火過(guò)程中，每名隊(duì)員的費(fèi)用為 ；221ctt每名隊(duì)員的一次性開(kāi)支為每名隊(duì)員的一次性開(kāi)支為3.cdBdtt1t2tbx 注注 模型假設(shè)的意義：火勢(shì)以起火點(diǎn)為中心，以均勻模型假設(shè)的意義：火勢(shì)以起火點(diǎn)為中心，以均勻速度向四周呈圓形蔓延，蔓延的半徑速度向四周呈圓形蔓延，蔓延的半徑 與時(shí)間與時(shí)間 成正成正比。又被毀面積與比。又被毀面積與 成正比，故被毀面積成正比，故被毀面積 與與 成正成正比，從而比，從而 與與 成正比。成正比。r2rtB2r/dB