間斷點(diǎn)及其分類PPT課件

1、（2）第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)（設(shè)的是 )( xfx間斷點(diǎn)。 ）（1）第第一一類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) 若)0(xf和)0(xf都存在，則稱的是 )( xfx第一類間斷點(diǎn)。若)0()0(xfxf，則稱的是 )( xfx可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)。若)0(xf和)0(xf中至少有一個(gè)不存在，則是稱 x的 )(xf第二類間斷點(diǎn)。其中極限為者稱為無無窮窮間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)。2. 間斷點(diǎn)的分類間斷點(diǎn)的分類第1頁/共23頁例 1xytan在2x處無定義， 2x是xytan的一個(gè)間斷點(diǎn)。xxtanlim2，2x是xytan的第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)，且是無無窮窮間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)。第2頁/共23頁例 2xy1sin在0 x處無定義

2、， 0 x是xy1sin的一個(gè)間斷點(diǎn)。 xx1sinlim0不存在，0 x是xy1sin的第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)。第3頁/共23頁例 311)(2xxxf在點(diǎn)1x處無定義，1x是11)(2xxxf的一個(gè)間斷點(diǎn)。2) 1(lim11lim)(lim1211xxxxfxxx，若補(bǔ)充定義：2) 1 (f，則 1 , 2 1 ,11)(2xxxxxf在點(diǎn)1x處連續(xù)。第4頁/共23頁例 4設(shè)0 , 11sin0 , 0 0 , sin )(xxxxxxxxf，1sinlim)00(0 xxfx，1) 11sin(lim)00(0 xxfx，1)(lim0 xfx，但0)0(1)(lim0fxfx，若改

3、變定義：1)0(f，則)(xf在點(diǎn)0 x處連續(xù)。第5頁/共23頁例 5討論下列函數(shù)的連續(xù)性，并指出間斷點(diǎn)的類型。（1）xxexf111)(解：間斷點(diǎn)為0 x，1x，) (1, ,1) , 0( ,0) ,( )(在xf內(nèi)連續(xù)。xxxxexf10011lim)(lim，0 x為第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)，且是無窮間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)。第6頁/共23頁011lim)(lim111xxxxexf，111lim)(lim111xxxxexf，第7頁/共23頁（2） 1 , 1 ,11arctan) 1()(2xxxxxxf. 當(dāng)1x時(shí)， 根據(jù)初等函數(shù)在其定義區(qū)間上是連續(xù)的結(jié)論，知)(xf在) (1, 1),

4、 , 1( 1), ,(內(nèi)連續(xù)。解：)(xf是分段函數(shù)，1x是“分界點(diǎn)” 。011arctan) 1(lim)(lim211xxxfxx，1) 1 (f，) 1 ()(lim1fxfx，第8頁/共23頁11arctan) 1(lim)(lim21 1 xxxfxx，11arctan) 1(lim)(lim21 1 xxxfxx，)(lim1 xfx不存在，第9頁/共23頁1.5.1.5.5 5 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 注注：如果不是閉區(qū)間而是開區(qū)間，那么定理的結(jié)論 不一定成立。 例如：) 1 , 0(1)(Cxxf，但)(xf在) 1 , 0(內(nèi)無界。定理定理 4 4（有

5、界性定理）（有界性定理） 設(shè) ,baCf ，則 , baf 在 上有界，即0 M， ,bax，有Mxf)(。第10頁/共23頁xyoab)(xfy)(xf)(xf xx 定理定理 5 5（最大最小值定理）（最大最小值定理）設(shè) ,baCf ，則存在 , ,baxx ， ,bax，有)()()(xfxfxf 。第11頁/共23頁 （2）如果)(xf在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)，那么定理的結(jié)論 不一定成立。例如：1,0 , 10 0,0,1 , 1)(xxxxxxf在 1 , 1上無最大值和最小值。注注： （1）如果不是閉區(qū)間而是開區(qū)間，那么定理的結(jié)論不 一定成立。例如：xxf)(在) 1 , 1(內(nèi)連續(xù)，但

6、 xxf)(在) 1 , 1(內(nèi)無最大值也無最小值。xy11-1-1o第12頁/共23頁定定理理 6 6（零零點(diǎn)點(diǎn)定定理理） 設(shè) ,baCf ，且0)()(bfaf， 則至少存在一點(diǎn)) ,(bac，使得0)(cf。xyoab)(xfyc定理 6 的幾何意義是： 若連續(xù)曲線弧)(xfy的兩個(gè)端點(diǎn)位于軸 x的不同側(cè)，則這段曲線弧與軸 x至少有一個(gè)交點(diǎn)。第13頁/共23頁定理定理 7 7（介值定理）（介值定理） 設(shè) ,baCf ，且)(min,xfmbax，)(max,xfMbax，則對(duì)任意 ,Mm，都存在 ,bac，使得)(cf。定理 7 的幾何意義是：連續(xù)曲線弧)(xfy與直線y 至少有一個(gè)交點(diǎn)

7、。xyoab)(xfycMm第14頁/共23頁 由定定理理 6 6，存在,) ,( baxxc ， 則 , xxCF ，證證明明：若Mm，則)(xf在 ,ba上為常數(shù)，結(jié)論成立。 設(shè)Mm，由定理定理 5 5，存在 , ,baxx ，使得 Mxfmxf )( ,)(。不妨設(shè)xx 。若)( )(xfxf 或，則xcxc 或取即可。且0)()(xfxF，0)()( xfxF，使得0)(cF， 若)( )(xfxf ，令 )()(xfxF，即)(cf。第15頁/共23頁 證證明明：令12)(xxxf，則1 , 0Cf ， 01)0(f，01) 1 (f， 存在) 1 , 0(c，使012)(cccf，

8、即方程012xx在) 1 , 0(內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根。例 6證明方程012xx在) 1 , 0(內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根。第16頁/共23頁例 7證明：實(shí)系數(shù)方程023cbxaxx必有實(shí)根。證明證明：令cbxaxxxf23)(，則)(xf在) ,(內(nèi)連續(xù)。 )1 (lim)(lim323 xcxbxaxxfxx，)1 (lim)(lim323 xcxbxaxxfxx，必存在)( ,2121xxxx，使得0)( , 0)(21xfxf， 而 , )(21xxxf在上連續(xù)，故由零點(diǎn)定理知，必存在) ,( 21xxc，使得0)(cf，即方程023cbxaxx必有實(shí)根。第17頁/共23頁例 8設(shè) ,baCf

9、 ，證明：若bxxxak21（k為某一正整數(shù)） ，則存在 ,bac，使kiixfkcf1)(1)(。證證明明： ,baCf ， , , 1baxxk， , C (x)1kxxf，kMxfxfxfkmk)()()(21，Mxfxfxfkmk)()()(121， 由介值定理可知，存在 ,) ,( 1baxxck，使得kiixfkcf1)(1)(。因而 , )(1kxxxf在上有最小m 值和最大M 值，第18頁/共23頁1.5.6 函數(shù)的一致連續(xù)性第19頁/共23頁oxy22)(xfy x1x)(xf)(1xfx 1x 上處處連續(xù)在區(qū)間Ixf )(上一致連續(xù)在區(qū)間Ixf )( 第20頁/共23頁例9 考察下列函數(shù)的連續(xù)性和一致連續(xù)性) 1 , 0( (ii) ) 10( ) 1 ,( (i) 1)2(),( cos ) 1 (xrrxxyxx y其中第21頁/共2