【線性代數(shù)復習提綱】大學線代考研線代題綱與習題講解

1、線性代數(shù)復習提綱第一章 行列式、行列式的定義D(1)N (m1m2 mn)a aa1 m2m2nmn注：只有二、三階行列式有對角線法則二、行列式的性質(zhì)性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.（轉(zhuǎn)置相等）性質(zhì)2 用數(shù)k乘行列式的一行（列），等于用數(shù)k乘以行列式D .（數(shù)乘運算）性質(zhì)3設行列式D的一行（列）每一元素都是兩個數(shù)之和，則D可寫成兩個行列式之和.（拆分）性質(zhì)4若行列式有兩行（列）元素相同，此行列式為 0.（相同行）性質(zhì)5若行列式有兩行（列）成比例，則行列式為 0.（成比例）性質(zhì)6把行列式一行（列）的k倍加到另一行（列），行列式不變.（線性運算）性質(zhì)7互換行列式的兩行（列），則行列式變號.（互

2、換）例1123101199310?3211231011993103211231 1 103 21三、行列式的計算方法1、定義法7 6548 930例1用定義計算行列式：102001000解：原式=(1)3 214 3 2 124注：an000a21a2200an1an2an3anna11a12a1,n 1a1na21a22a2,n 10an1000a11a12a13a1n0a22a23a2n000ann000am00a2,n 132nan1an ,n 2an ,n 1anna11000000a1 n0a220000a2,n 10000annan 1000n (n1)aiia22ann(1) 2

3、a1na2,n 1an12、性質(zhì)法a11a12a133a12a11a12a13若a21a22a231,則3a?12a21a22a23a31a32a333a312a31a32a331a123a1例31a22a23a21a32a33a31a12a13a1D1a22a23a21a32a33a3c? cc3 c11印121a21201a3123、遞推法和歸納法（不考）P2512 4、用展開法（按行列展開、拉普拉斯定理）naik丿k 1AjkD ,當i0,當i j jnD ,當 i j , jakik 1Akj0,當 i311 2例4212 1D101 0133 15、特殊行列式的計算(范德蒙行列式、奇

4、數(shù)階反對稱行列式)例5124815251251 3927124811112 532425948 125 278(5 2) (3 2) ( 2 2) (3 5) ( 2 5) ( 2 3)8407 69108508 0305300奇數(shù)階反對稱行列式為0四、行列式的應用(克萊姆法則)若n元線性方程組的系數(shù)行列式不為 0,則該方程組有唯一解,表示為：Xj 罰 1,2, ,n),第二章 矩陣、矩陣的運算1、加法、數(shù)乘統(tǒng)稱為線性運算2、矩陣乘法注意：矩陣乘法無交換律、有非零的零因子、無消去律例7下列說法是否正確1) (A B )2 A2 2AB B22)若A O且B O,則AB一定不為O3）AB = C

5、B, B 0,則 A = C3、幕運算只有方陣才有幕運算，是特殊的矩陣乘法4、矩陣轉(zhuǎn)置性質(zhì)：（AB ）T BT AT5、行列式（方陣才有行列式）設A、B為n階方陣性質(zhì)：| A| n|A |ab| a|b例8設A、B為n階方陣，且|A| 1,3, 2，貝S A*B 1二、特殊矩陣1、三角陣、數(shù)量陣（相當于數(shù)乘）、單位陣（相當于數(shù)1） 規(guī)定A0 E例9下列說法是否正確？1）若B=E為單位陣，則 AB=BA=A2）若AB=BA=A，貝卩B為單位陣2、對稱陣和反對稱陣性質(zhì)：任意矩陣A，有aat和ata均為對稱陣三、逆矩陣（重點）1、伴隨矩陣伴隨矩陣的定義伴隨矩陣的一個重要性質(zhì):* *AA AA A E

6、推論 1： A*|An1推論 2： (A*) 1 (A 1)*2、逆矩陣的定義及性質(zhì)(7個)(AB ) 1 B 1A 13、逆矩陣的求法1) 定義法(通常只用于二階)*2) 公式法A 1AIA作列變換E112例10求矩陣A120的逆矩陣1431 1 2 10解法一 : A E12 0 0114 3 00112 10 032 小1032 11 03八2001 21 12110 023 201 0112 00 1 20112100210032110311 -031101110322220303122200121154331233113) 初等變換法 (A E)作行變換,解法二：公式法（略）四、分塊

7、矩陣1、進行加法時，子塊要同型；進行乘法時，左矩陣的列分塊要與右矩陣行分塊對應2、塊對角陣的行列式及逆矩陣五、初等變換（重點）1、三種初等變換（以行為例：rir j， kj， rj kr i ）對應三種初等矩陣2、矩陣的三種形式：行階梯形矩陣、行最簡形矩陣、標準形矩陣通過行初等變換可以把任意矩陣化為行階梯形和行最簡形矩陣，可以把可逆矩陣化為單位矩陣（即標準形矩陣）通過行、列初等變換可以把任意矩陣化為標準形矩陣3、利用初等變換求逆、求秩（見三、六）4、等價矩陣（有相同的標準形矩陣，用標準形判斷等價）六、矩陣的秩（重點）1、秩的定義2、性質(zhì)：1） 若P、Q為可逆矩陣，R（FAQ ） = R（A）.

8、2）A的秩等于A的行階梯形矩陣、行最簡形矩陣和標準形矩陣的非零行的行數(shù)3) 等價矩陣有相同的標準形矩陣和秩3、求矩陣的秩：行初等變換化為行階梯形矩陣，觀察非零行的個 數(shù)4、滿秩矩陣的重要性質(zhì)矩陣A可逆等價于|A|m 0等價于A為滿秩矩陣矩陣A不可逆 等價于|A|=0等價于A為降秩矩陣1 a a例11設Aa 1 a且A的秩r(A)<3請討論a的取值。a a 11 a a解：r(A)<3，則A為降秩矩陣，故A a 1 a (a 2)(a 1)20a a 1故 a= -2 或 a=1如作業(yè)中：P58 30第三章 向量一、向量的運算二、向量的線性表示1、單個向量的線性表示2、向量組的線性表

9、示1) 性質(zhì)2) 求向量的線性表示(定義法、初等變換法)三、向量的線性相關(guān)性1、定義2、性質(zhì)3、判定定理（8個，會簡單應用即可）4、判斷向量組的線性相關(guān)性（重點）1）定義法2）初等變換法（利用矩陣的秩判斷向量組的線性相關(guān)性）3）行列式法（行列式為0,線性相關(guān)；行列式不為0,線性無關(guān)）四、極大無關(guān)組1、定義及其等價定義（極大無關(guān)組與原向量組等價）2、求極大無關(guān)組（重點）（初等變換法）例 12 已知向量組 A： 1 （0, 2,4,6）t， 2 （0, 1,2,3）t， 3 （0，2,4,6）t，4（4,0,4,8）t，5（1, 3,7,11）t1）判斷該向量組的線性相關(guān)性2）求該向量組的一個極大

10、無關(guān)組3）把其余向量組用極大無關(guān)組線性表示解：把向量組拍成列向量組成矩陣A,通過行初等變換化為行階梯形矩陣，從而化為行最簡形矩陣:0 02 14263.042 0446 813711行初等變換 （此處省略， 解答時請補充）.3-21-40 O O 1 o O 1 o o O 1-20 o O 1 o o O故該向量組線性相關(guān)，其一個極大無關(guān)組為4，其余向量用該極大無關(guān)組線性表示為:12 2 1313 15 2 1 4 4五、等價向量組1、定義2、性質(zhì)：極大無關(guān)組與原向量組等價第四章 線性方程組一、求線性方程組的解及解的討論求解：初等變換法解的討論：方程組AX=b有解的充要條件為：R(A) R(

11、A)方程組AX=b有唯一解的充要條件為 R(A) R(A) n方程組AX=b有無窮多解的充要條件為 R(A) R(A) r n方程組AX=b有無解的充要條件為 R(A) R(A)方程組AX=0只有零解的充要條件為R(A) n方程組ax=0有非零解的充要條件為R(A) r n二、線性方程組的解結(jié)構(gòu)（重點）1、求齊次線性方程組AX=O的通解1）化系數(shù)矩陣為行最簡形矩陣2）確定矩陣的秩r，判斷解的情況3）寫出同解方程組，確定n-r個自由未知量4） 分別取一個自由未知量不為零，其余為零，求得n-r個解，即為基礎解系（即為解空間極大無關(guān)組）5） 令自由未知量系數(shù)等于ki , k2,kn-r,即得通解Xi

12、2x 2 x 3 x 40例13求齊次線性方程組3x 16x2 x 3 3x 40的通解5x 110x 2 x 3 5x 40解：該方程組系數(shù)矩陣為1 2 11120 1A 3613行初等變換001 05 1015000 0故方程組有無窮多解，其同解方彳程組為x12x2X4,有兩個自由未X3 0知量21取x2 1和x20得基礎解系：10x40x410001X121故原齊次線性方程組的通解為：X2k 1k 20,（乩*2為任意實數(shù)）X300X4012、求非齊次線性方程組AX=b的通解1）寫出增廣矩陣，化為行最簡形矩陣，寫出對應同解方程組2）求對應齊次線性方程組AX=0的通解3）零自由未知量全取0,求求非齊次線性方程組 AX=b的一個特解4）特解+ AX=0的通解即為該AX=b的通解X12x 2 x 3 x 41例14求非齊次線性方程組3x16x 2 x3 3x42的通解5x110x 2 x3 5x 44解：該方程組增廣矩陣為1 211 1A 3613 2行初等變換5 10 15 4Xi故方程組有無窮多解，其同解方程組為2x 2 x 4，有兩個自由X3未知量由例14,對應齊次線性方程組通解為ki2100k210 ,（k1,k2為任意實數(shù)）01Xi取X2 0可得一個特解為X2X