第二章（函數(shù)連續(xù)性學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1第二章（函數(shù)連續(xù)性第二章（函數(shù)連續(xù)性第一頁，編輯于星期二：十五點(diǎn) 二十四分。1 變量在一點(diǎn)處的改變量（增量）：變量在一點(diǎn)處的改變量（增量）：設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xfy 自變量的改變量：自變量的改變量：,0000 xxxxxxxxx 即即：為為處處自自變變量量的的改改變變量量，記記稱稱為為在在點(diǎn)點(diǎn)則則將將終終值值自自變變量量從從初初始始值值變變到到因變量的改變量：因變量的改變量：)()(,0 xfxfyx 因因變變量量的的改改變變量量為為相相應(yīng)應(yīng)地地，時時當(dāng)當(dāng)自自變變量量的的改改變變量量為為)()(00 xfxxfy 或或xxx0或：第1頁/共40頁第二頁，編輯于星期二：十五點(diǎn) 二十四分。x

2、y00 xxx 0)(xfy x y xy00 xxx 0 x y )(xfy ，則則自自變變量量從從例例如如：變變到到31, 12 xy;213 x8)11()13()1()3(22 ffy，則則又又：自自變變量量從從變變到到23 ; 132 x5)13()12()3()2(22 ffy，則則又又：自自變變量量從從變變到到21 ;312 x3)11()1)2()1()2(22 ffy第2頁/共40頁第三頁，編輯于星期二：十五點(diǎn) 二十四分。強(qiáng)調(diào)：強(qiáng)調(diào)：可可正正可可負(fù)負(fù)；或或 yx ;沒沒有有必必然然的的正正負(fù)負(fù)關(guān)關(guān)系系與與一一般般地地，yx 乘乘的的關(guān)關(guān)系系。是是一一個個整整體體，勿勿看看成成

3、相相或或 yx 第3頁/共40頁第四頁，編輯于星期二：十五點(diǎn) 二十四分。定義定義1.)(0lim)(000處處連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)，則則稱稱的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，且且在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果函函數(shù)數(shù)xxfyyxxfyx .)()()(lim)(0000處處連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)，則則稱稱的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，且且在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果函函數(shù)數(shù)xxfyxfxfxxfyxx 定義定義2注釋：注釋：定義表明：定義表明： 處處連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)0)(xxfy;)(lim)2(0存存在在xfxx)()(lim)3(00 xfxfxx ;)(10存存在在）（xf（1）函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性定義）函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)

4、性定義第4頁/共40頁第五頁，編輯于星期二：十五點(diǎn) 二十四分。處處連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)證證明明：例例031xxy 證明：證明：,0 xx 處處取取得得增增量量設(shè)設(shè)在在)()(00 xfxxfy 則則：3030)(xxx 32020)()(33xxxxx yx 0lim)()(33lim320200 xxxxxx 0 處處連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)03xxy 第5頁/共40頁第六頁，編輯于星期二：十五點(diǎn) 二十四分。的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義：在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)0)(xxfy 左連續(xù)：左連續(xù)：.)()()(lim000處處左左連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)，則則稱稱若若xxfyxfxfxx .)(0lim00處處左左

5、連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)，則則稱稱若若xxfyyx 0 xxy0左連續(xù)左連續(xù)第6頁/共40頁第七頁，編輯于星期二：十五點(diǎn) 二十四分。右連續(xù)：右連續(xù)：.)()()(lim000處處右右連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)，則則稱稱若若xxfyxfxfxx .)(0lim00處處右右連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)，則則稱稱若若xxfyyx 0 xxy0右連續(xù)右連續(xù)第7頁/共40頁第八頁，編輯于星期二：十五點(diǎn) 二十四分。0 xxy0左連續(xù)左連續(xù)0 xxy0右連續(xù)右連續(xù)0 xxy0連續(xù)連續(xù)重要結(jié)論：重要結(jié)論：.右右連連續(xù)續(xù)左左連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)在在一一點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù) 第8頁/共40頁第九頁，編輯于星期二：十五點(diǎn) 二十四分。處處的的連連續(xù)續(xù)性性及及

6、在在，討討論論設(shè)設(shè)：例例11)(1311121)(2 xxxfxxxxxxxf解：解：處處：在在1 x )1(f11)1(2 )(lim1xfx xx1lim1 )1( f;1)(處處左左連連續(xù)續(xù)在在 xxf )(lim1xfx)12(lim1 xx11)1(2 )1( f;1)(處處右右連連續(xù)續(xù)在在 xxf.1)(處處連連續(xù)續(xù)在在 xxf第9頁/共40頁第十頁，編輯于星期二：十五點(diǎn) 二十四分。11)(1311121)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性。及及在在，討討論論設(shè)設(shè) xxxfxxxxxxxf處處：在在1 x )1(f213 )(lim1xfx)12(lim1 xx3112 )1(f 處處不不左左

7、連連續(xù)續(xù)，在在1)( xxf.1)(處處不不連連續(xù)續(xù)在在 xxfxy011313第10頁/共40頁第十一頁，編輯于星期二：十五點(diǎn) 二十四分。處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在，討討論論設(shè)設(shè)：例例0)(000)(321 xxfxxexfx解：解：0)0( f2100lim)(limxxxexf 0 )0(f .0)(處處連連續(xù)續(xù)在在 xxf第11頁/共40頁第十二頁，編輯于星期二：十五點(diǎn) 二十四分。處處連連續(xù)續(xù)在在使使得得，確確定定常常數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)：例例0)(02sin01011sin)(4 xxfaxaxxxxxxxf解：解：1)0( f )(lim0 xfx)11sin(lim0 xxx1 )0(f 處處

8、左左連連續(xù)續(xù)；在在0)( xxf )(lim0 xfx)2sin(lim0axxx axxx 22sin2lim02a 2第12頁/共40頁第十三頁，編輯于星期二：十五點(diǎn) 二十四分。處處連連續(xù)續(xù)，必必須須右右連連續(xù)續(xù)，在在要要使使得得0)( xxf)0()(lim0fxfx 12 a1 a處處連連續(xù)續(xù)在在時時0)(1 xxfa第13頁/共40頁第十四頁，編輯于星期二：十五點(diǎn) 二十四分。定義：定義：內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)：在在開開區(qū)區(qū)間間),(ba;),()(),()(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在開開區(qū)區(qū)間間一一點(diǎn)點(diǎn)都都連連續(xù)續(xù)，則則稱稱內(nèi)內(nèi)每每在在開開區(qū)區(qū)間間若若baxfybaxfy 上上連連續(xù)續(xù)：在在閉閉區(qū)區(qū)間間

9、,ba上上連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)左左連連續(xù)續(xù)，則則稱稱在在點(diǎn)點(diǎn)右右連連續(xù)續(xù)且且在在連連續(xù)續(xù)內(nèi)內(nèi)在在開開區(qū)區(qū)間間若若,)(,),()(baxfybabaxfy 注釋：注釋：表表示示上上的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)常常用用閉閉區(qū)區(qū)間間,)1(baCba上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù)是是表示表示,)(,)(baxfbaCxf 第14頁/共40頁第十五頁，編輯于星期二：十五點(diǎn) 二十四分。在在其其定定義義域域上上處處處處連連續(xù)續(xù)證證明明：例例xysin5 證明：證明：為為定定義義域域上上任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)，設(shè)設(shè)0 x,0 xx 處處取取得得增增量量且且在在)()(00 xfxxfy 則則：00sin)sin(xxx 2sin

10、)2cos(20 xxx ;02sinlim0 xx有有界界)2cos(20 xx 02sin)2cos(2lim00 xxxx0lim0 yx即即：,sin0處處連連續(xù)續(xù)在在xxy 在在其其定定義義域域上上處處處處連連續(xù)續(xù)的的任任意意性性，再再由由xyxsin0 第15頁/共40頁第十六頁，編輯于星期二：十五點(diǎn) 二十四分。注釋：注釋：（2）函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在與連續(xù)的關(guān)系：）函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在與連續(xù)的關(guān)系：存存在在點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)在在)(lim)(00 xfxxfxx第16頁/共40頁第十七頁，編輯于星期二：十五點(diǎn) 二十四分。.)(,)(00的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為稱稱點(diǎn)點(diǎn)則則的的連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)不不

11、是是函函數(shù)數(shù)如如果果點(diǎn)點(diǎn)xfxxfx間斷點(diǎn)：間斷點(diǎn)：1 概念概念 處處連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)0)(xxfy;)(10存存在在）（xf;)(lim)2(0存存在在xfxx)()(lim)3(00 xfxfxx 第17頁/共40頁第十八頁，編輯于星期二：十五點(diǎn) 二十四分。：有以下三種情形有以下三種情形的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)為為,)(0 xfx;)()1(0不不存存在在xf;)(lim)2(0不不存存在在xfxx).()(lim,)(lim,)()3(0000 xfxfxfxfxxxx 但但存存在在存存在在第18頁/共40頁第十九頁，編輯于星期二：十五點(diǎn) 二十四分。分析：分析：;)()1(0不不存存在在xfxy

12、o0 x第19頁/共40頁第二十頁，編輯于星期二：十五點(diǎn) 二十四分。;)(lim)2(0不不存存在在xfxx 相相等等左左右右極極限限都都存存在在，但但不不 存存在在，但但為為左左右右極極限限至至少少有有一一個個不不xy1sin 為為至至少少有有一一個個不不存存在在也也不不xyo0 xoxy0 xoxy0 x第20頁/共40頁第二十一頁，編輯于星期二：十五點(diǎn) 二十四分。).()(lim,)(lim,)()3(0000 xfxfxfxfxxxx 但但存存在在存存在在xy00 x第21頁/共40頁第二十二頁，編輯于星期二：十五點(diǎn) 二十四分。分類如下：分類如下：xyo0 xxy0 xo第一類間斷點(diǎn)：

13、第一類間斷點(diǎn)：左右極限都存在的間斷點(diǎn)左右極限都存在的間斷點(diǎn)oxy0 x可可去去型型間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)跳跳躍躍型型間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)稱稱為為躍躍度度)(lim)(lim00 xfxfxxxx 則則連連續(xù)續(xù)，設(shè)設(shè) 00)(lim)()(0 xxxfxxxfxgxx第22頁/共40頁第二十三頁，編輯于星期二：十五點(diǎn) 二十四分。xyo0 xoxy0 xxy1sin 左右極限至少有一個不存在的間斷點(diǎn)左右極限至少有一個不存在的間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)：第二類間斷點(diǎn)：無無窮窮型型間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)（此此處處為為振振蕩蕩型型）非非無無窮窮型型間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)第23頁/共40頁第二十四頁，編輯于星期二：十五點(diǎn) 二十四分?？偨Y(jié)：總結(jié)： 非非

14、無無窮窮型型無無窮窮型型第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)跳跳躍躍型型可可去去型型第第一一類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)左左右右極極限限都都存存在在一一個個不不存存在在左左右右極極限限至至少少有有第24頁/共40頁第二十五頁，編輯于星期二：十五點(diǎn) 二十四分。xxfxxfxxxfxxxxxxf1sin)(41)(311)(2020002)(162 ）（）（）（）（，并并判判斷斷類類型型對對下下列列函函數(shù)數(shù)找找出出間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)例例解：解： 可可能能是是間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)時時函函數(shù)數(shù)均均連連續(xù)續(xù)，只只有有及及000 xxx, 0)0( f)(lim0 xfx )2(lim0 xx)0(2f )(lim0 xfx )2

15、(lim0 xx)0(2f （1）是是第第一一類類跳跳躍躍型型間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)0 x）（且且躍躍度度為為422 第25頁/共40頁第二十六頁，編輯于星期二：十五點(diǎn) 二十四分。11)(22 xxxf）（是是間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)不不存存在在，因因此此1)1( xf)(lim1xfx11lim21 xxx2)1(lim1 xx是是第第一一類類可可去去型型間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)1 xxxf1)(3 ）（是是間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)不不存存在在，因因此此0)0( xf)(lim0 xfxxx1lim0 是是第第二二類類無無窮窮型型間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)0 x第26頁/共40頁第二十七頁，編輯于星期二：十五點(diǎn) 二十四分。xxf1sin)(4 ）（是

16、是間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)不不存存在在，因因此此0)0( xf)(lim0 xfxxx1sinlim0 振蕩型不存在振蕩型不存在是是第第二二類類振振蕩蕩型型間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)0 x第27頁/共40頁第二十八頁，編輯于星期二：十五點(diǎn) 二十四分。并并討討論論類類型型。的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)，問問何何處處是是設(shè)設(shè)例例)(,2212)(711xfxfxx 解：解：;0)0(是是間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)不不存存在在，因因此此 xf.1)1(是是間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)不不存存在在，因因此此 xf)(lim0 xfx 2212lim110 xxx)02 ,1,0(1 xxx時時21 第28頁/共40頁第二十九頁，編輯于星期二：十五點(diǎn) 二十四分。)(li

17、m0 xfx 2212lim110 xxx)2 ,1,0(1 xxx時時xxx110221211lim 1 )(lim0 xfx )(lim0 xfx 是是第第一一類類跳跳躍躍型型間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)0 x第29頁/共40頁第三十頁，編輯于星期二：十五點(diǎn) 二十四分。2212)(11 xxxf)(lim1xfx2212lim111 xxx01222lim111 xxx 2212lim111xxx )(lim:1xfx即即是是第第二二類類無無窮窮型型間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)1 x第30頁/共40頁第三十一頁，編輯于星期二：十五點(diǎn) 二十四分。1 連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算法則連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算法則定理定理1：兩個連續(xù)函數(shù)的和、

18、差、積、商仍是連續(xù)函數(shù)兩個連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商仍是連續(xù)函數(shù)證明：證明：只對和的情況證明：只對和的情況證明：連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)，要要證證在在點(diǎn)點(diǎn)、設(shè)設(shè)00)()()()(xxgxfxxgxf )()()(xgxfxF 設(shè)設(shè)存存在在，、)()(00 xgxf存存在在)(0 xF)()(lim)(lim00 xgxfxFxxxx )(lim)(lim00 xgxfxxxx )()(00 xgxf )(0 xF 連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)即即0)()()(xxgxfxF #第31頁/共40頁第三十二頁，編輯于星期二：十五點(diǎn) 二十四分。推論：推論： 任意有限個連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商仍是任意有限個連續(xù)函

19、數(shù)的和、差、積、商仍是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)注釋：注釋：商的情況下要求分母不為商的情況下要求分母不為0都都連連續(xù)續(xù)知知連連續(xù)續(xù)，再再由由定定理理、由由定定義義可可知知xyxyxyxyxyxycsc,sec,cot,tan1cossin 三角函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)三角函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)第32頁/共40頁第三十三頁，編輯于星期二：十五點(diǎn) 二十四分。2 反函數(shù)的連續(xù)性反函數(shù)的連續(xù)性定理定理2 ：原函數(shù)連續(xù)則反函數(shù)也連續(xù)原函數(shù)連續(xù)則反函數(shù)也連續(xù)反三角函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)反三角函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)3 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理定理3 ：連續(xù)函數(shù)復(fù)合后仍是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)復(fù)合后仍是連續(xù)函數(shù)結(jié)論：結(jié)論：

20、一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)由定義可知：由定義可知：其它基本初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)其它基本初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù))()(lim)(000 xfxfxxfxx 則則是是其其定定義義區(qū)區(qū)間間上上的的點(diǎn)點(diǎn)，是是初初等等函函數(shù)數(shù)，且且若若第33頁/共40頁第三十四頁，編輯于星期二：十五點(diǎn) 二十四分。的的連連續(xù)續(xù)區(qū)區(qū)間間）（或或：求求的的連連續(xù)續(xù)性性討討論論設(shè)設(shè)例例)()(,2sin21)(821xfxfxxxexfx 解：解：),()( 的的定定義義域域?yàn)闉閤f）上上連連續(xù)續(xù)，在在定定義義區(qū)區(qū)間間（是是初初等等函函數(shù)數(shù)，21)(211 xexf上上連連續(xù)續(xù)在在定定義義區(qū)區(qū)間間是是初初等等函函數(shù)數(shù)，), 2sin)(2 xxf 的的連連續(xù)續(xù)性性只只要要考考察察在在2 x12sin)2( f第34頁/共40頁第三十五頁，編輯于星期二：十五點(diǎn) 二十四分。)(lim2xfx )1(lim212 xxe)2(1f )(lim2xfx xx sinlim2 2sin )2