理論力學習題(1)

1、 1.2 某船向東航行，速率為每小時15千米，在正午經過某一燈塔，另一船以同樣速度向北航行，在下午1時30分經過此燈塔，問在什么時候兩船的距離最近？最近的距離是多少？ 解解：以正午為計時零點，設東向船為A，北向船為B，以燈塔為坐標原點，建立坐標系o-xy，如圖所示。在t時刻，兩船位置分別為： vtxA5 . 1tvyB22225 . 1ttvyxSBA05 . 15 . 122222ttttvdtds則:05 . 122tt小時75. 0t（即午后45分鐘） 將值代入表達式得： 9 .155 . 175. 075. 01522minS（千米） 答：在正午后45分鐘兩船相距最近，其最近距離為15

2、.9千米。 1.3 曲柄 ，以勻角速 繞定點O轉動，此曲柄借連桿AB使滑塊B沿直線ox運動，求連桿上C點的軌跡方程及速度。設。解解：如圖所示建立坐標系oxy，C點的坐標為： rOA ABOAOBaCBAC)2(sin) 1 (coscosayarx在三角形AOB中 )3(sin2sinar由（1）（2）兩式消去 得： 222)cos(rxya即： )4(cos22yarx由（2）（3）兩式消去 得： )5(sin2ry 由（4）（5）兩式消去 得： 22222)(4yaxyr上式化簡得軌道方程為： 22222222)3()(4rayxyax對（1）（2）兩式取微商得： 對（3）式取微商得： )

3、7(cos)6(sinsinayarxcos2cosar)8(cos2cosar 將（8）代入（6）（7）得： cos21cos2cossinsinryrrx2222)cos21()cos2cossinsin(rrryxv2cos)sin(cossin4cos2rC點的速度為 1.4 細桿OL繞O點以勻角速 轉動，并推動小環(huán)C在固定的鋼絲AB上滑動，如圖所示，d為一已知常數，試求小環(huán)的速度及加速度的量值。 解解：如圖建立直角坐標系Oxy，小環(huán)在任意時刻的位矢為： yxLABCOdjijirddtgyxOCiirvddxsecddtd222式中用到： 221cossec222ddx 小環(huán)的速度的

4、量值為： ddxv22dxtgtgsecdsecddtddtdiiva2222i22222ddxx小環(huán)的加速度的量值為： 22222ddxxa 1.9 質點作平面運動，其速率保持為常數，試證明其質點作平面運動，其速率保持為常數，試證明其速度矢量速度矢量v與加速度矢量與加速度矢量a 正交。正交。證證：（已知）常數2vv vv v上式對時間取微商：上式對時間取微商：02a av v即：即：0a av v所以所以：a av v即即 與與 正交正交。va方法方法1：方法方法2：i iv vv)0(2dtdvvdtdvj jj ji ia a2 2v02j ji ia av vvv所以：所以：a av

5、v證畢證畢。 1.10 一質點沿著拋物線一質點沿著拋物線 運動，其切向加速度的量運動，其切向加速度的量值為法向加速度的值為法向加速度的 倍，如此質點從正焦弦（倍，如此質點從正焦弦（ ）的一）的一端以速度端以速度 u出發(fā)，試求其達到正焦弦另一端時的速率。出發(fā)，試求其達到正焦弦另一端時的速率。解解：k2pp,2vu uypdxdytgpxy22（由由 得得）pp,2始點：始點：（ ）454100tg),2(pp終點：終點：47421tgpxy22根據題意根據題意：kaan2dtdvdsddtdsvdsdvvadtdvan22kuev故：故：所以所以：dtdkvdtdv2kdvdv202dkvdvv

6、ukuvln積分積分： 1.11 質點沿著半徑為質點沿著半徑為r的圓周運動，其加速度矢量與的圓周運動，其加速度矢量與速度矢量間的夾角速度矢量間的夾角 保持不變。求質點的速度隨時間而變保持不變。求質點的速度隨時間而變化的規(guī)律。已知初速度為化的規(guī)律。已知初速度為 。解：按題意畫圖，如圖所示解：按題意畫圖，如圖所示。 0vOiajnaarvadtdvactgaann2ctgrvdtdv2tvvdtrctgvdv020trctgvv011 沿切向與沿切向與 同向，同向， 與與 間夾間夾角角 ，即，即 與與 間夾角為間夾角為 ，為，為常數。則常數。則 :viaaavia 1.15 當一輪船在雨中航行時，

7、它的雨蓬遮著篷的垂直投當一輪船在雨中航行時，它的雨蓬遮著篷的垂直投影后影后2 2米的甲板，篷高米的甲板，篷高4 4米，但當輪船停航時，甲板上干濕兩米，但當輪船停航時，甲板上干濕兩部分的分界線卻在篷前部分的分界線卻在篷前3 3米，如果雨點的速度為米，如果雨點的速度為8 8米米/ /秒，求秒，求輪船的速率。輪船的速率。解解：選擇：選擇： 研究對象研究對象雨點雨點 動系動系輪船輪船 靜系靜系岸邊岸邊雨對地的速度（絕對速度）為雨對地的速度（絕對速度）為 smv/8雨對船的速度（相對速度）為雨對船的速度（相對速度）為船對地的速度（牽連速度）為船對地的速度（牽連速度）為方向如圖所示。方向如圖所示。由相對運

8、動速度公式有：由相對運動速度公式有： vvv v0vvABC前后234由圖形知：由圖形知： 與速度三角形相似，則與速度三角形相似，則： ABC12343220BCABvvsmvv/800v0vvvv 1.16 寬度為寬度為d 的河流，其流速與到河岸的距離成正比，在的河流，其流速與到河岸的距離成正比，在河岸處，水流速度為零，在河流中心處，其值為河岸處，水流速度為零，在河流中心處，其值為c ，一小船以，一小船以相對速度相對速度u 沿垂直于水流的方向行駛，求船的軌跡以及船在對沿垂直于水流的方向行駛，求船的軌跡以及船在對岸靠攏的地點。岸靠攏的地點。解解：如圖所示，取船離岸處為坐標原點，如圖所示，取船離

9、岸處為坐標原點， 軸平行于河流方向，軸平行于河流方向， 軸和它垂直。軸和它垂直。 d2du uv0vxycvdykyvdy00220ydcvdck220cyudvutgdxdy20dxcudydyyx002船的軌跡為：船的軌跡為：)20(2dyyudcx船在對岸靠攏點：船在對岸靠攏點：dyd2)(2)(0yddcydkv)(20ydcudvudxdyucddudcxdy4)2(22dxcuddyydydxucd242)()2(222dyducdyudcyucxucducddudcducxdy2222船的軌跡為：船的軌跡為： 1.19 將質量為m 的質點豎直上拋于有阻力的媒質中，設阻力與速度平方

10、成正比，即 ，如上擲時的速度為 ，試證此質點又落至投擲點時的速度為：證證：1）上拋，選取坐標系，受力分析如圖所示。0v22gvmkR 202011vkvv運動微分方程為：22xgmkmgxm )1 (22xkgdxxdx利用初始條件：00vxx積分得：到達最高點：)1ln(2102022vkgkxxgxkevkxk2220222)1 (12）下落：受力分析如圖所示，運動微分方程為：利用初始條件：22xgmkmgxm )1 (22xkgdxxdx)1ln(2102022vkgkxx積分得：gxkvkxk2202222)1)(1ln(落至投擲點：10vxx1)1)(1 (20222vkxk 落至投

11、擲點的速度為：202011vkvv證畢。 1.21將一質點以初速 拋出， 與水平線所成之角為 ，此質點所受到的空氣阻力為其速度 的倍， 為質點的質量， 為比例常數。試求當此質點的速度與水平線所成之角又為 時所需的時間。解解：受力分析如圖所示。建立坐標系質點運動微分方程為：0v0vmkmkxyOOg gmR Rxy0v vmgymkymxmkxm sinvycosvxt000利用初始條件：對上式積分得： gegsinkvkyecosvxtdtk001tgecosvgegsinkvkxytktk001根據題意有：ggsinkvetk02整理得：gsinkvlnkt0211所需時間為： 1.22 如

12、向互相垂直的勻強電磁場E、H中發(fā)射一電子，并設電子的初速度V與E及H垂直，試求電子的運動規(guī)律。已知此電子所受的力為 ，B為磁感應強度，e為電子所帶的電荷，v為任一瞬時電子運動的速度。解解：取電子初速V沿x軸，電場強度E沿y軸，磁感應強度B沿z軸。 )(B Bv vE Ee電子受力： j ji ik kj ji ij jB Bv vE EF F)(00)(BxeeEByeBzyxeeEe設電子的質量為m，則運動微分方程為： )3(0)2() 1 (zmxeBeEymyeBxm 利用初始條件： ，對（3）式積分兩次得：000zzt)4(0z利用初始條件： ，對（1）式積分得： 將（5）代入（2）式

13、得： Vxyt00)5(VymeBx)(VymeBeBeEym 整理得： )6(222meBVmeEymBey 特征方程為： meBirmBer02222（6）式齊次方程的通解為： tmeBCtmeBCysincos211（6）式非齊次方程的特解為： eBmVeBmEy22所以方程（6）的通解為： )7(sincos22121eBmVeBmEtmeBCtmeBCyyy（7）式取微商得： 利用初始條件： tmeBmeBCtmeBmeBCycossin210)(00021CBEVeBmCyyt代入（7）得： )8(cos)(2eBmVeBmEtmeBBEVeBmy將（8）代入（5）式得： )9(c

14、os)(BEtmeBBEVx利用初始條件： ，對（9）式積分得：00 xt)10(sin)(tBEtmeBBEVeBmx（4）（8）（10）為電子的運動方程。 1.261.26 一彈性繩上端固定，下端懸有一彈性繩上端固定，下端懸有m及及 兩質點。設兩質點。設a為繩的固有長為繩的固有長度度, ,b為加為加 m 后的伸長，后的伸長，c為加為加 后的伸長。今將后的伸長。今將 任其脫離而下墜，試任其脫離而下墜，試證質點證質點 m 在任一瞬時離上端在任一瞬時離上端o的距離為：的距離為：證證：研究對象為質點研究對象為質點 ，其受力分析如圖所，其受力分析如圖所示。示。設坐標原點設坐標原點 在在 處，向下為正

15、，處，向下為正，建立坐標軸建立坐標軸 。 mmmtbgcoscbaba 1omxo1質點平衡時質點平衡時 :mgkb bmgk 質點運動微分方程為質點運動微分方程為kxxbkmgxm 0 xmkx 其解為其解為： 000tbgsinbgAxtbgcosAtcosAx將初始條件將初始條件： 00 xcxt00cA代入得代入得： tbgcoscx故任一時刻離上端故任一時刻離上端o的距離為的距離為： tbgcoscba證畢證畢。 初始條件初始條件： 00 xcxt又解又解：選選 為坐標原點，建立坐為坐標原點，建立坐標標 ，質點運動微分方程為：質點運動微分方程為： 又解又解：選選 為坐標原點，建立坐為

16、坐標原點，建立坐標標 ， 質點運動微分方程為：質點運動微分方程為：2oxo2oxokxmgxm 00 xcbxtgxmkx 即：即：)(axkmgxm 00 xcbaxtmkagxmkx 即即： 1.29 一質量為一質量為m 的質點自光滑圓滾線的尖端無初速的下滑，試證在任的質點自光滑圓滾線的尖端無初速的下滑，試證在任何一點的壓力為何一點的壓力為 ，式中，式中 為水平線與質點運動方向間的夾角，為水平線與質點運動方向間的夾角，已知圓滾線方程為：已知圓滾線方程為： 證證：受力分析如圖所示，質點運動受力分析如圖所示，質點運動微分方程為：微分方程為：cos2mg)2cos1 ()2sin2(ayax)2

17、(cos) 1 (sin2mgNvmmgdtdvm（1）式積分）式積分：vygdyvdv00) 3()cos1 (222aggyv(4)ddscos4)()(22addyddx（3）（）（4）代入（）代入（2）得：）得：cos2cos2mgmgvmNcos2mgNP任何一點的壓力任何一點的壓力： P 方向與方向與 N 方向相反。方向相反。 1.31 假定單擺在有阻力的媒質中振動，并假定振動很小，故阻力與假定單擺在有阻力的媒質中振動，并假定振動很小，故阻力與 成正比，且可寫為成正比，且可寫為 ，式中，式中 m是擺錘的質量，是擺錘的質量，l 為擺長，為擺長，k 為比為比例系數，試證當例系數，試證當

18、 時，單擺的振動周期為：時，單擺的振動周期為： 證證：選取自然坐標系，受力分析如圖所示，選取自然坐標系，受力分析如圖所示，切向運動微分方程為：切向運動微分方程為：mklR2lgk2lkgl22) 1 (2sinmklmgdtdvm 很小很小lv sin方程可寫為方程可寫為：)2(02lgk 特征根為特征根為：lgkkr2當當 時，（時，（2）式的解為：）式的解為：lgk2)cos(2tklgAekt振動周期為振動周期為：lkgl222Rmgdtdvmsin即即： 1.32 光滑楔子以勻加速度光滑楔子以勻加速度a0 沿水平面運動，質量為沿水平面運動，質量為m的質點沿楔子的的質點沿楔子的光滑面滑下

19、，求質點的相對加速度光滑面滑下，求質點的相對加速度 和質點對楔子的壓力和質點對楔子的壓力 P 。解解：1）a0沿沿 x正向，取楔子為參照系，建立坐正向，取楔子為參照系，建立坐標系標系oxy ，受力分析如圖所示。，受力分析如圖所示。a acossin0mamgamsincos0mamgNsincoscossin00mamgNpaga所以所以：壓力壓力 P 與與N 大小相等，方向相反大小相等，方向相反。2） a0 沿沿 x 負向，取楔子為參照系，建立坐負向，取楔子為參照系，建立坐標系標系oxy ，受力分析如圖所示。，受力分析如圖所示。sincoscossin00mamgNmamgam所以所以：si

20、ncoscossin00mamgNpaga壓力壓力P 與與N 大小相等，方向相反大小相等，方向相反。 1.33 光滑鋼絲圓圈的半徑為r，其平面為豎直的。圓圈上套一小環(huán)，其重為W，如鋼絲圈以勻加速度a 沿豎直方向運動，求小環(huán)的相對速度vr及圈對小環(huán)的反作用力R。解解：以圓圈為參照系，建立坐標系oxy1）a沿y軸正向，小環(huán)受力分析如圖所示。其運動微分方程為：)2(coscos) 1 (sinsin2mamgRrvmmamgdtdvmrrddvrvdsdvvdtdsdsdvdtdvrrrrrr上式代入（1）式后，分離變量積分： 00sin)(dagrdvvrrvvrr（3）代入（2）得：2）a沿y軸

21、負向，小環(huán)受力分析如圖所示。其運動微分方程為：) 3()cos)(cos(20220agrvvrr)4()cos2cos3)(1(200gvrgarwRr)6(coscos)5(sinsin2mamgRrvmmamgdtdvmrr)cos)(cos()(210229agrvvrr綜合以上結果： )cos)(cos(20220agrvvrr)cos2cos3)(1(200gvrgarwRr)8()cos2cos3)(1(200gvrgarwRr同理解得： ) 7 ()cos)(cos(20220agrvvrr 1.251.25 滑輪上系一不可伸長的繩，繩上懸一彈簧，彈簧另一端掛一重為W 的物體，

22、當滑輪以勻速轉動時，物體以勻速 下降，如將滑輪突然停止，試求彈簧的最大伸長及最大張力。假定彈簧受 的作用時靜伸長量為 。解解：以彈簧原長處為彈性勢能零點，以彈簧平衡位置（伸長 時）為坐標原點建立坐標 ，且以 點為重力勢能零點，如圖所示。由機械能守恒得：0v0WWxxkkvgW202020212121彈簧處于平衡位置時: 代入上式并化簡得： 0kW 2202121kxvgWgvkgWvx000彈簧的最大伸長量為 gv000max且最大張力為： gvWgvWkT000000maxmax10oxoOx00v vT TW W又解又解：此過程中，只有保守力做功，機械能守恒，且初始動能全部轉化為彈性勢能：

23、即：彈簧的最大伸長量為：220)(2121xkvgWgvkgWvx000gv000max且最大張力為： gvWgvWkT000000maxmax1Ox00v vT TW W 1.27 一質點自一水平放置的光滑固定圓柱面凸面的最高點自由滑下，問滑至何處，此質點將離開圓柱面？假定圓柱體的半徑為r。解解：以質點為研究對象，受力分析如圖所示。 設質點m滑至與豎直線夾角為 處離開圓柱面，此時 ,則質點的法線方程為： 0N) 1 (2cosmgrvm質點滑動過程中，只保守力作功，機械能守恒.)2(212cosmgrmvmgr、兩式聯立得： 321 cos 1.28 重為W 的小球不受摩擦而沿半長軸為a ，

24、半短軸為b 的橢圓弧滑下，此橢圓的短軸是豎直的，如小球自長軸的端點開始運動時，其初速為零，試求小球在到達橢圓的最低點時它對橢圓的壓力。解解：小球運動過程中，只有保守力做功，機械能守恒。) 1 (212mvmgb 小球到達最低點時，法向方程為：)2(2mgNvm橢圓方程：12222byax2221axabxy2/3222)1 (axaby 曲率半徑：)3()1 (202/32bayyx 將（1）（3）代入（2）得：)21 (22abmgN對橢圓的壓力：)21 (22abWNPP與N方向相反。 1.39 一質點受一與距離的 3/2 次方成反比的引力作用在一直線上運動，試證此質點自無窮遠到達 時的速率和自 靜止出發(fā)到達 /4 時的速率相同。證證：如圖所示，質點受引力作用： , 為比例系數aaa 2/3rkrFk質點運動微分方程為：2/322krdtrdmdrdvvdtdrdrdvdtdvdtrd222/3krdrdvmv即：102/3vadrrkmvdv質點由 到 /4 ： aa2042/3vaadrrkmvdv4124amkv4114amkv21vv 證畢。 質點由無窮遠到 ： a1.45 如 及 為質點在遠日點及近日點處的速率，試證明： 證證：質點在有心