最小二乘估計學習教案

1、會計學1最小二乘估計最小二乘估計(gj)第一頁，共29頁。 在上節(jié)課的討論中，我們知道在上節(jié)課的討論中，我們知道(zh do)(zh do)，人，人體脂肪含量和年齡之間近似存在著線性關系，這種體脂肪含量和年齡之間近似存在著線性關系，這種線性關系可以有多種方法來進行刻畫線性關系可以有多種方法來進行刻畫. .但是這些方但是這些方法都缺少數學思想依據法都缺少數學思想依據. .問題問題1.1.用什么樣的線性關系刻畫用什么樣的線性關系刻畫(khu)(khu)會更好一會更好一些？些？想法：保證這條直線與所有點都接近（也就是想法：保證這條直線與所有點都接近（也就是(jish)(jish)距離最?。┚嚯x最小）

2、. .最小二乘法就是基于這種想法最小二乘法就是基于這種想法. .本節(jié)課我們來進行詳本節(jié)課我們來進行詳細學習！細學習！第1頁/共29頁第二頁，共29頁。1.1.了解最小二乘法的思想了解最小二乘法的思想. .2. 2. 能根據給出的線性回歸方程系數公式建立線性能根據給出的線性回歸方程系數公式建立線性回歸方程回歸方程.(.(重點重點) )3.3.會用線性回歸方程對總體進行會用線性回歸方程對總體進行(jnxng)(jnxng)估計估計.(.(難點）難點）第2頁/共29頁第三頁，共29頁。思考思考1.1.用什么樣的方法刻畫點與直線的距離會更方便用什么樣的方法刻畫點與直線的距離會更方便(fngbin)(f

3、ngbin)有效？設直線方程為有效？設直線方程為y=a+bxy=a+bx，樣本點，樣本點A A（xixi，yiyi）方法一方法一: :點到直線點到直線(zhxin)(zhxin)的的距離公式距離公式方法方法(fngf)(fngf)二二: :12baybxdii2iibxayyiiy,xiibxa ,xbxayxA A0 0第3頁/共29頁第四頁，共29頁。顯然方法二能有效地表示點顯然方法二能有效地表示點A A與直線與直線y=a+bxy=a+bx的距離，而且比方的距離，而且比方法一計算更方便，所以法一計算更方便，所以(suy)(suy)我們用它來表示二者之間的我們用它來表示二者之間的接近程度接近

4、程度. .第4頁/共29頁第五頁，共29頁。思考思考2.2.怎樣刻畫怎樣刻畫(khu)(khu)多個點與直線的接近程多個點與直線的接近程度？度？ 例如有例如有5 5個樣本點，其坐標個樣本點，其坐標(zubio)(zubio)分別為（分別為（x1x1，y1y1），（），（x2x2，y2y2），（），（x3x3，y3y3），（），（x4x4，y4y4），（），（x5x5，y5y5），與直線），與直線y=a+bxy=a+bx的接近程度：的接近程度：255244233222211bxaybxaybxaybxaybxay提示提示(tsh)：第5頁/共29頁第六頁，共29頁。若有若有n n個樣本點：（個樣

5、本點：（x1x1，y1y1）, , ,（xnxn，ynyn），可以），可以(ky)(ky)用下面的表達式來刻畫這些點與直線用下面的表達式來刻畫這些點與直線y ya+bxa+bx的接近程度的接近程度: :2211nny(abx )y(abx ) 使上式達到最小值的直線使上式達到最小值的直線(zhxin)y=a+bx(zhxin)y=a+bx就是所要求就是所要求的直線的直線(zhxin)(zhxin)，這種方法稱為最小二乘法，這種方法稱為最小二乘法. .第6頁/共29頁第七頁，共29頁。先來討論先來討論3 3個樣本個樣本(yngbn)(yngbn)點的情況點的情況2211nny(abx )y(ab

6、x )思考思考(sko)3(sko)3：怎樣使怎樣使達到最小值？達到最小值？第7頁/共29頁第八頁，共29頁。利用利用(lyng)(lyng)配方法配方法可得可得22221122333-2-)( -)(-)(-)aa y bxy bxy bxy bx（第8頁/共29頁第九頁，共29頁。第9頁/共29頁第十頁，共29頁。同樣使用配方法可以同樣使用配方法可以(ky)(ky)得到得到，當，當從而從而(cng r)(cng r)得到直線得到直線y=+bxy=+bx的系數的系數 ，b b，且稱直線，且稱直線y=+bxy=+bx為這為這3 3個樣本點的線性回歸方程個樣本點的線性回歸方程. .第10頁/共2

7、9頁第十一頁，共29頁。用同樣的方法用同樣的方法(fngf)(fngf)我們可以推導出我們可以推導出n n個點的個點的線性回歸方程的系數：線性回歸方程的系數：niii 1n22ii 1x ynx yxnx牢記牢記(loj)公公式式第11頁/共29頁第十二頁，共29頁。特別提醒：在回歸直線方程中，特別提醒：在回歸直線方程中，b b是回歸直線方程是回歸直線方程的斜率，的斜率，a a是截距；是截距；b b的含義容易理解成增加的單位的含義容易理解成增加的單位數，而實際上，它代表數，而實際上，它代表x x每增加一個單位，每增加一個單位，y y的平均的平均增加單位數增加單位數. .一般地說，當回歸系數一般

8、地說，當回歸系數b b0 0時，說明時，說明兩個變量呈正相關關系兩個變量呈正相關關系(gun x)(gun x)，它的意義是：，它的意義是：當當x x每增加一個單位時，每增加一個單位時，y y就增加就增加b b個單位；當個單位；當b b0 0時，說明兩個變量呈負相關關系時，說明兩個變量呈負相關關系(gun x)(gun x)，它的，它的意義是：當意義是：當x x每增加一個單位時，每增加一個單位時，y y就減少就減少b b個單位個單位. .第12頁/共29頁第十三頁，共29頁。思考思考4:4:如果樣本點只有兩個，用最小二乘法得如果樣本點只有兩個，用最小二乘法得到到(d do)(d do)的直線與

9、用兩點式求出的直線一致的直線與用兩點式求出的直線一致嗎？嗎？提示提示(tsh):(tsh):是一是一致的致的. .與用兩點式相同與用兩點式相同(xin(xin tn tn).).第13頁/共29頁第十四頁，共29頁。例例1 1 在上一節(jié)練習中，從散點圖可以看出在上一節(jié)練習中，從散點圖可以看出(kn ch)(kn ch)，某小賣部某小賣部6 6天賣出熱茶的杯數（天賣出熱茶的杯數（y y）與當天氣溫（）與當天氣溫（x x）之）之間是線性相關的間是線性相關的. .數據如下表數據如下表: :氣溫（氣溫（xi） 26261818131310104 4-1-1杯數（杯數（yi）杯）杯20202424343

10、4383850506464(1)(1)試用最小二乘法求出線性回歸方程試用最小二乘法求出線性回歸方程. .(2)(2)如果某天的氣溫是如果某天的氣溫是33，請預測，請預測(yc)(yc)這天可能會這天可能會賣出熱茶多少杯賣出熱茶多少杯. . 第14頁/共29頁第十五頁，共29頁。解：（解：（1 1）由散點圖可以看出）由散點圖可以看出(kn ch)(kn ch)，兩，兩個變量個變量是線性相關的是線性相關的. .648. 1-557.57557.57648. 1612866191031153353353353115335xyabyx于是，線性回歸方程為于是，線性回歸方程為所以所以由表格可得：由表格可

11、得：，35115xy =33351151 910633b1.64835351 286633a57.557由表格得：，所以第15頁/共29頁第十六頁，共29頁。（2 2）由上面的最小二乘法）由上面的最小二乘法(chngf)(chngf)估計得出的估計得出的線性回歸方程知，當某天的氣溫是線性回歸方程知，當某天的氣溫是33時，賣出時，賣出熱茶的杯數估計為：熱茶的杯數估計為：57.557-1.64857.557-1.648(-3)63(-3)63(杯）杯）. . 第16頁/共29頁第十七頁，共29頁。1.1.利用最小二乘法估計時，首先要作出數據的散點圖，利利用最小二乘法估計時，首先要作出數據的散點圖，

12、利用散點圖觀察數據是否用散點圖觀察數據是否(sh fu)(sh fu)具有線性關系具有線性關系. .2.2.散點圖呈現散點圖呈現(chngxin)(chngxin)線性關系時，利用最小二乘法公式線性關系時，利用最小二乘法公式求出方程求出方程. .3.3.直線擬合只是擬合的方式之一，散點圖呈現其他的規(guī)律時，直線擬合只是擬合的方式之一，散點圖呈現其他的規(guī)律時，我們也可以我們也可以(ky)(ky)利用其他的曲線進行擬合利用其他的曲線進行擬合. .【說明說明】第17頁/共29頁第十八頁，共29頁。例例2 2 下面是兩個下面是兩個(lin )(lin )變量的一組數據：變量的一組數據：x x1 12 2

13、3 34 45 56 67 78 8y y1 14 49 916162525363649496464請用最小二乘法請用最小二乘法(chngf)(chngf)求出這兩個變量之間的線性回求出這兩個變量之間的線性回歸方程歸方程. .解解5 .25, 5 . 4yx根據根據(gnj)上表數據，可以計算出：上表數據，可以計算出：其他數據如下表其他數據如下表第18頁/共29頁第十九頁，共29頁。i i1 11 11 11 11 12 22 24 44 48 83 33 39 99 927274 44 41616161664645 55 5252525251251256 66 636363636216216

14、7 77 7494949493433438 88 864646464512512合計合計36362042042042041 2961 296iiyxiy2ixix，第19頁/共29頁第二十頁，共29頁。思考思考(sko)(sko)：哪一：哪一個對呢？個對呢？y=-15+9x.y=-15+9x.第20頁/共29頁第二十一頁，共29頁。所以，利用最小二乘法估計時，要先作出數據的所以，利用最小二乘法估計時，要先作出數據的散點圖散點圖. .如果散點圖呈現一定的規(guī)律性如果散點圖呈現一定的規(guī)律性, ,我們再根我們再根據這個規(guī)律性進行擬合據這個規(guī)律性進行擬合. .如果散點圖呈現出線性關如果散點圖呈現出線性關

15、系系, ,我們可以用最小二乘法估計出線性回歸方程我們可以用最小二乘法估計出線性回歸方程; ;如果散點圖呈現出其他的曲線如果散點圖呈現出其他的曲線(qxin)(qxin)關系關系, ,我們我們就要利用其他的工具進行擬合就要利用其他的工具進行擬合. .第21頁/共29頁第二十二頁，共29頁。x0 01 12 23 3y1 13 35 57 7D D1.1.已知已知x x，y y之間的一組數據如下之間的一組數據如下(rxi)(rxi)表，則表，則y y與與x x的線性回歸方程的線性回歸方程y=a+bxy=a+bx必經過點必經過點 ( ) ( )A.A.（2 2，2 2） B. B.（1.51.5，0

16、 0）C.C.（1 1，2 2） D. D.（1.51.5，4 4）第22頁/共29頁第二十三頁，共29頁。A A第23頁/共29頁第二十四頁，共29頁。A A第24頁/共29頁第二十五頁，共29頁。4.4.某連鎖經營公司所屬某連鎖經營公司所屬5 5個零售店某月的銷售額和個零售店某月的銷售額和利潤額資料如下利潤額資料如下(rxi)(rxi)表：表：（1 1）畫出銷售額和利潤額的散點圖）畫出銷售額和利潤額的散點圖. .（2 2）若銷售額和利潤額具有相關關系，計算利潤）若銷售額和利潤額具有相關關系，計算利潤額額y y對銷售額對銷售額x x的線性回歸方程的線性回歸方程. .商店名稱商店名稱A AB BC CD DE E銷售額（銷售額（x x）/ /千萬元千萬元3 35 56 67 79 9利潤額（利潤額（y y）/ /百萬元百萬元2 23 33 34 45 5第25頁/共29頁第二十六頁，共29頁。i ix xi iy yi ix xi i2 2x xi iy yi i1 13 32 29 96 62 25 53 3252515153 36 63 3363618184 47 74 4494928285 59 95 581814545合計合計30301717200200112112（2 2）數據如下）數據如下(rxi)(rxi)表：