第3章動態(tài)系統(tǒng)模型及其Simulink表示

1、第3章 第第3章章 動態(tài)系統(tǒng)模型及其動態(tài)系統(tǒng)模型及其Simulink表示表示 3.1 簡單系統(tǒng)模型及表示簡單系統(tǒng)模型及表示 3.2 離散系統(tǒng)模型及表示離散系統(tǒng)模型及表示 3.3 連續(xù)系統(tǒng)模型及表示連續(xù)系統(tǒng)模型及表示 3.4 混合系統(tǒng)模型及表示混合系統(tǒng)模型及表示第3章 3.1 簡單系統(tǒng)模型及表示簡單系統(tǒng)模型及表示 3.1.1 簡單系統(tǒng)的基本概念 不同系統(tǒng)具有不同數(shù)量的輸入與輸出；一般來說，輸入輸出數(shù)目越多，系統(tǒng)越復(fù)雜。最簡單的系統(tǒng)一般只有一個輸入與一個輸出，而且任意時刻的輸出只與當(dāng)前時刻的輸入有關(guān)。本節(jié)首先介紹簡單系統(tǒng)的基本概念以及簡單系統(tǒng)的Simulink表示。第3章 【定義3.1】 簡單系統(tǒng)

2、。對于滿足下列條件的系統(tǒng)，我們稱之為簡單系統(tǒng)： (1) 系統(tǒng)某一時刻的輸出直接且唯一依賴于該時刻的輸入量。 (2) 系統(tǒng)對同樣的輸入，其輸出響應(yīng)不隨時間的變化而變化。 (3) 系統(tǒng)中不存在輸入的狀態(tài)量，所謂的狀態(tài)量是指系統(tǒng)輸入的微分項（即輸入的導(dǎo)數(shù)項）。第3章 設(shè)簡單系統(tǒng)的輸入為x，系統(tǒng)輸出為y，x可以具有不同的物理含義。對于任何系統(tǒng)，都可以將它視為對輸入變量x的某種變換，因此可以用T 表示任意一個系統(tǒng)，即yT x 對于簡單系統(tǒng)，x一般為時間變量或其它的物理變量，并具有一定的輸入范圍。系統(tǒng)輸出變量y僅與x的當(dāng)前值相關(guān)，從數(shù)學(xué)的角度來看，y是x的一個函數(shù)，給出一個x值，便有一個y值與之對應(yīng)。第3

3、章 【例3.1】 對于如下的一個系統(tǒng)：1, 1 , 0,212tutuy 其中為系統(tǒng)的輸入變量，為時間變量，y為系統(tǒng)的輸出變量。輸入變量。很顯然，此系統(tǒng)服從簡單系統(tǒng)的條件，為一簡單系統(tǒng)。系統(tǒng)輸出僅由系統(tǒng)當(dāng)前時刻的輸入決定。第3章 3.1.1 簡單系統(tǒng)的描述方式 一般來講，簡單系統(tǒng)都可以采用代數(shù)方程與邏輯結(jié)構(gòu)相結(jié)合的方式進行描述。 1. 代數(shù)方程 采用數(shù)學(xué)方程對簡單系統(tǒng)進行描述，可以很容易由系統(tǒng)輸入求出系統(tǒng)輸出，并且由此可方便地對系統(tǒng)進行定量分析。 2. 邏輯結(jié)構(gòu) 一般來說，系統(tǒng)輸入都有一定的范圍。對于不同范圍的輸入，系統(tǒng)輸出與輸入之間遵從不同的關(guān)系。由系統(tǒng)的邏輯結(jié)構(gòu)可以很容易了解系統(tǒng)的基本概況

4、。 第3章 3.1.1 簡單系統(tǒng)的Simulink描述 本章主要介紹動態(tài)系統(tǒng)的基本知識，為使用Simulink進行系統(tǒng)仿真打下基礎(chǔ)。因此這里并不準(zhǔn)備建立系統(tǒng)的Simulink模型，而是采用編寫M腳本文件的方式對系統(tǒng)進行描述并進行簡單的仿真。下面以【例3.1】中的簡單系統(tǒng)為例，說明在Simulink中如何對簡單系統(tǒng)進行描述。第3章 【例3.1】中的簡單系統(tǒng)，編寫如下的systemdemo1.m腳本文件進行描述與分析。% systemdemo1.m文件u=0:0.1:10; % 設(shè)定系統(tǒng)輸入范圍與仿真步長leng=length(u); % 計算系統(tǒng)輸入序列長度for i=1:leng % 計算系統(tǒng)

5、輸出序列 if u(i)num=2 1 5; den=1 3 6 2; dbode(num,den,1) grid; 此離散系統(tǒng)的Bode圖如圖3.3所示。26352)()(232zzzzzzUzY第3章 當(dāng)然也可以用下面的語句求出系統(tǒng)的幅值與相位而不繪制圖形： mag,phase=dbode(num,den,1);第3章 圖3.3 線性離散系統(tǒng)的Bode圖第3章 此外，在MATLAB中，離散系統(tǒng)的不同描述模型之間可以進行相互轉(zhuǎn)化。這里給出幾個比較常用的函數(shù)：zeros,poles,k=tf2zp(num,den) % 將系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)化為零極點模型num,den=zp2tf(zeros,

6、poles,k) % 將系統(tǒng)零極點模型轉(zhuǎn)化為傳遞函數(shù)模型。其中num，den分別為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)表 % 示；zeros，poles，k為系統(tǒng)的零極點模型第3章 至于線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型描述，這里不再介紹，感興趣的讀者可以參考其它有關(guān)的書籍。這里給出它與傳遞函數(shù)模型、零極點模型相互轉(zhuǎn)化的函數(shù)命令：zeros,poles,k=ss2zp(F,G,C,D) % 將系統(tǒng)狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)化為零極點模型F,G,C,D=zp2ss(zeros,poles,k) % 將系統(tǒng)零極點模型轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間模型num,den=ss2tf(F,G,C,D) % 將系統(tǒng)狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)化為傳遞函數(shù)模型F,G,C,D=tf

7、2ss(num,den) % 將系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間模型第3章 例3.5 以線性離散系統(tǒng) 為例說明系統(tǒng)模型的轉(zhuǎn)化。 解：將傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)化為零極點模型： num=2 1 5; den=1 3 6 2; zeros,poles,k=tf2zp(num,den) 結(jié)果為26352)()(232zzzzzzUzY第3章 zeros = 1.8508 -1.3508poles = -1.2980 + 1.8073i -1.2980 - 1.8073i -0.4039 k =2.0000第3章 將傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間模型： num=2 -1 -5;den=1 3 6 2;F,G,C,D=

8、tf2ss(num,den)結(jié)果為F = -3.0000 -6.0000 -2.0000 1.0000 0 0 0 1.0000 0第3章 G = 1 0 0C = 2.0000 1.0000 5.0000D =0第5章將對系統(tǒng)仿真作詳細的介紹，在此不再贅述。第3章 3.3 連續(xù)系統(tǒng)模型及表示連續(xù)系統(tǒng)模型及表示 3.1.1 連續(xù)系統(tǒng)的基本概念 與離散系統(tǒng)不同，連續(xù)系統(tǒng)是指系統(tǒng)輸出在時間上連續(xù)變化，而非僅在離散的時刻采樣取值。連續(xù)系統(tǒng)的應(yīng)用非常廣泛，下面給出連續(xù)系統(tǒng)的基本概念。第3章 【定義3.4】 連續(xù)系統(tǒng)。滿足如下條件的系統(tǒng)為連續(xù)系統(tǒng)： (1) 系統(tǒng)輸出連續(xù)變化。變化的間隔為無窮小量。 (2

9、) 對系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述來說，存在系統(tǒng)輸入或輸出的微分項（導(dǎo)數(shù)項）。 (3) 系統(tǒng)具有連續(xù)的狀態(tài)。在離散系統(tǒng)中，系統(tǒng)的狀態(tài)為時間的離散函數(shù)，而連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)為時間連續(xù)量。第3章 3.1.1 連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 設(shè)連續(xù)系統(tǒng)的輸入變量為，其中為連續(xù)取值的時間變量，設(shè)系統(tǒng)的輸出為；由連續(xù)系統(tǒng)的基本概念可以寫出連續(xù)系統(tǒng)的最一般的數(shù)學(xué)描述，即 系統(tǒng)的實質(zhì)為輸入變量到輸出變量的變換，注意這里系統(tǒng)的輸入變量與輸出變量既可以是標(biāo)量（單輸入單輸出系統(tǒng)），也可以是向量（多輸入多輸出系統(tǒng)）；而且在系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述中含有系統(tǒng)輸入或輸出的導(dǎo)數(shù)。),()(ttuftyc第3章 除了采用最一般的數(shù)學(xué)方程描述連續(xù)系統(tǒng)外，還可以使用

10、連續(xù)系統(tǒng)的微分方程形式對連續(xù)系統(tǒng)進行描述，即 這里分別為連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)變量、狀態(tài)變量的微分。對于線性連續(xù)系統(tǒng)來說，由連續(xù)系統(tǒng)的微分方程描述可以容易地推導(dǎo)出連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。這與使用差分方程對離散系統(tǒng)進行描述相類似。下面舉例說明連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述。輸出方程微分方程 ),(),()(),(),()(ttutxgtyttutxftxc第3章 【例3.6】 對于如下的連續(xù)系統(tǒng)： 顯然此系統(tǒng)為單輸入單輸出連續(xù)系統(tǒng)，且含有輸入變量的微分項。由此方程可以很容易得出系統(tǒng)的輸出變量為)()()(tututy,sin)(tttut0 , 1cossincos1sin)(tttttttyt0 第3章 3.3.

11、3 連續(xù)系統(tǒng)的Simulink描述 前面給出了連續(xù)系統(tǒng)的基本概念與系統(tǒng)的基本描述方法：數(shù)學(xué)方程描述與微分方程描述。本部分使用 【例3.6】給出的連續(xù)系統(tǒng) 說明如何利用Simulink對連續(xù)系統(tǒng)進行描述，并在此基礎(chǔ)上對連續(xù)系統(tǒng)進行簡單分析。與前面類似，在此并不建立系統(tǒng)的Simulink模型進行仿真，而是采用編寫M腳本文件從原理上對連續(xù)系統(tǒng)進行說明，并進行簡單的仿真。 )()()(tututy,sin)(tttu第3章 【例3.7】 編寫腳本文件systemdemo3.m，對【例3.6】中的連續(xù)系統(tǒng)進行分析。% systemdemo3.m腳本文件t=0:0.1:5;%系統(tǒng)仿真范圍，時間間隔為0.1

12、 sut=t+sin(t);%系統(tǒng)輸入變量utdot=1+cos(t);%系統(tǒng)輸入變量的導(dǎo)數(shù)yt=ut+utdot;%系統(tǒng)輸出plot(yt);grid;%繪制系統(tǒng)輸出曲線 圖3.4為此連續(xù)系統(tǒng)在時間0, 5內(nèi)的輸出曲線。由此可見，使用簡單的MATLAB語句可對系統(tǒng)性能進行簡單的分析。第3章 圖3.4 連續(xù)系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系圖第3章 3.3.4 線性連續(xù)系統(tǒng) 在介紹線性離散系統(tǒng)時，已經(jīng)給出線性系統(tǒng)的基本概念，這里做一個簡單的回顧并介紹線性連續(xù)系統(tǒng)的概念。連續(xù)系統(tǒng)可以用如下的方式來表達： 【定義3.5】 線性連續(xù)系統(tǒng)。如果一個連續(xù)系統(tǒng)能夠同時滿足如下的性質(zhì)： (1) 齊次性。對于任意的參數(shù)，系統(tǒng)滿

13、足)( )(tuTty)( )( tuTtuT第3章 (2) 疊加性。對于任意輸入變量與，系統(tǒng)滿足 則此連續(xù)系統(tǒng)為線性連續(xù)系統(tǒng)。 下面舉例說明。如對【例3.6】中的連續(xù)系統(tǒng)：)( )( )()( 2121tuTtuTtutuT)()()(tututy,sin)(tttut0 第3章 3.3.5 線性連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 線性連續(xù)系統(tǒng)最一般的描述為連續(xù)系統(tǒng)的輸入輸出方程形式，即，也可以使用連續(xù)系統(tǒng)的微分方程模型進行描述： 除了使用這兩種連續(xù)系統(tǒng)通用的形式描述線性連續(xù)系統(tǒng)之外，還可以使用傳遞函數(shù)、零極點模型與狀態(tài)空間模型對其進行描述。與線性離散系統(tǒng)相類似，線性連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型與零極點模型采用連

14、續(xù)信號的拉氏變換來實現(xiàn)。輸出方程微分方程 ),(),()(),(),()(ttutxgtyttutxftxc第3章 拉氏變換具有如下兩個性質(zhì)： (1) 線性性。即對于連續(xù)信號和，設(shè)它們的拉氏變換分別為與，則拉氏變換的線性性是指拉氏變換滿足下面的關(guān)系： (2) 設(shè)連續(xù)信號的 拉氏變換為 ，則 的拉氏變換為 ， 的拉氏變換為 。)( )( )()( 2121tuLtuLtutuL)(tu)(sU)(tu )(ssU)(tu )(2sUs)()()()(tkytybtymtu 0m第3章 同時對等式的兩邊進行拉氏變換，則有。將其化為分式的形式，則有 這便是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型。 一般來說，線性連續(xù)系統(tǒng)

15、的拉氏變換總可以寫成如下傳遞函數(shù)的形式：kbsmssUsY21)()(212010)()(dsdsdnsnsUsY第3章 將其進行一定的等價變換，可以得出線性連續(xù)系統(tǒng)的零極點模型： 其中為線性連續(xù)系統(tǒng)的零點，、為系統(tǒng)的極點，為系統(tǒng)的增益。 線性連續(xù)系統(tǒng)的另外一種模型為狀態(tài)空間模型。前面已經(jīng)提到，對于線性連續(xù)系統(tǒng)，使用其微分方程很容易推導(dǎo)出系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。這里給出線性連續(xù)系統(tǒng)用狀態(tài)空間模型進行描述的一般方式：)()()(211pspszsksUsY第3章 其中， 為線性連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)變量， 分別為系統(tǒng)的輸入與輸出變量，可以為標(biāo)量，也可以為向量。下面介紹如何在Simulink中實現(xiàn)對線性連續(xù)系

16、統(tǒng)的描述。 )()()()()()(tDutCxtytButAxtx )(tx)()(tytu、第3章 3.1.1 線性連續(xù)系統(tǒng)的Simulink描述 一般來說，在Simulink中對線性連續(xù)系統(tǒng)的描述方式有以下三種： (1) 線性連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型描述：在Simulink中，傳遞函數(shù)表示為num=n0,n1; den=d0,d1,d2; 其中num表示傳遞函數(shù)的分子系數(shù)向量，den為分母系數(shù)向量。 第3章 (2) 線性連續(xù)系統(tǒng)的零極點模型描述：在Simulink中，零極點模型表示為gain=k; zeros=z1; poles=p1,p2; 其中g(shù)ain表示系統(tǒng)增益，zeros表示系統(tǒng)零

17、點，poles表示系統(tǒng)極點。 (3) 線性連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型描述：如果系統(tǒng)的狀態(tài)空間表示為 則在Simulink中直接輸入變換矩陣A，B，C，D即可。 )()()()()()(tutxttutxtxDCyBA第3章 一般來說，線性連續(xù)系統(tǒng)的不同模型之間可以相互轉(zhuǎn)化，MATLAB中有內(nèi)置的函數(shù)可以完成線性連續(xù)系統(tǒng)模型間的轉(zhuǎn)化。我們在線性離散系統(tǒng)模型間轉(zhuǎn)化中已經(jīng)做了介紹，這里僅列出這些函數(shù)原型： zeros,poles,k=tf2zp(num,den); num,den=zp2tf(zeros,poles,k)； zeros,poles,k=ss2zp(A,B,C,D); A,B,C,D=zp

18、2ss(zeros,poles,k) num,den=ss2tfA,B,C,D) A,B,C,D=tf2ss(num,den)第3章 【例3.8】 對于如下采用傳遞函數(shù)模型進行描述的線性連續(xù)系統(tǒng)： 要求繪制此系統(tǒng)的Bode圖、Nyquist圖，并求取系統(tǒng)的零極點模型與狀態(tài)空間模型描述。 解：在MATLAB中輸入下面的語句即可： num=1, -3; den=2, -3, -5; w=logspace(-1, 1);5323)()(2ssssUsY第3章 subplot(2,1,1); bode(num, den, w);subplot(2,1,2); nyquist(num,den,w);ze

19、ros, poles, k=tf2zp(num,den)A,B,C,D=tf2ss(num,den) 系統(tǒng)的Bode圖與Nyquist圖如圖3.5所示。 第3章 圖3.5 線性連續(xù)系統(tǒng)的Bode圖與Nyquist圖第3章 系統(tǒng)的零極點模型與狀態(tài)空間模型如下所示：zeros = 3poles = 2.5000 -1.0000k = 0.5000A = 1.5000 2.5000 1.0000 0第3章 B = 1 0C = 0.5000 -1.5000D = 0第3章 3.4 混合系統(tǒng)模型及表示混合系統(tǒng)模型及表示 3.4.1 混合系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 混合系統(tǒng)是由不同類型的系統(tǒng)共同構(gòu)成的，因此混合系統(tǒng)

20、的數(shù)學(xué)描述可以由不同類型系統(tǒng)描述共同構(gòu)成。但是由于混合系統(tǒng)的復(fù)雜性，一般難以用單獨的數(shù)學(xué)模型進行描述或表達，因此混合系統(tǒng)一般都是由系統(tǒng)各部分輸入與輸出間的數(shù)學(xué)方程所共同描述的，下面舉例說明。第3章 【例3.9】 對于如下的一個混合系統(tǒng)：設(shè)系統(tǒng)的輸入為一離散變量，系統(tǒng)由離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)串聯(lián)構(gòu)成，其中離散系統(tǒng)輸出經(jīng)過一個零階保持器后作為連續(xù)系統(tǒng)的輸入。其中離散系統(tǒng)的輸入輸出方程為且， 系統(tǒng)采樣時間為Ts=1 s。 連續(xù)系統(tǒng)的輸入輸出方程為 由于此混合系統(tǒng)中離散系統(tǒng)的輸出經(jīng)過一零階保持器后作為連續(xù)系統(tǒng)的輸入，因此與的數(shù)學(xué)關(guān)系為)(sin)()(tututysnTnytu ),()(sTnt) 1( 第3章 其中Ts=1s為離散系統(tǒng)的采樣時間。故此混合系統(tǒng)的輸入與輸出之間的關(guān)系可以由下面的方程來描述：1),(sin()()(, 1)()(3 , 2 , 1, 2/)(ntnnynytynunynnnu第3章 3.4.2 混合系統(tǒng)的Simulink描述與簡單分析 在對單獨離散系統(tǒng)或連續(xù)系統(tǒng)進行描述時，由于系統(tǒng)一般比較簡單，因而可以采用諸如差分方程、傳遞函數(shù)、狀態(tài)空間等模型表示。但對于混合系統(tǒng)，由于系統(tǒng)本身的復(fù)雜性，即使是很簡單的混