高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)直接證明與間接證明理蘇教版

1、會(huì)計(jì)學(xué)1高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)直接證明與間接證高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)直接證明與間接證明理蘇教版明理蘇教版第1頁(yè)/共87頁(yè)1.直接證明(1)綜合法定義：從 出發(fā)，以已知的定義、公理、定理為依據(jù)，逐步下推，直到推出要證明的結(jié)論為止，這種證明方法常稱為綜合法.已知條件思維過(guò)程：由因?qū)Ч?第2頁(yè)/共87頁(yè)(2)分析法定義：從 出發(fā)，追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的條件，逐步上溯，直到使結(jié)論成立的條件和已知條件或已知事實(shí)吻合為止.這種證明方法常稱為分析法.思維過(guò)程：執(zhí)果索因.問(wèn)題的結(jié)論第3頁(yè)/共87頁(yè)2.間接證明反證法定義要證明某一結(jié)論Q是正確的，但不直接證明，而是先去假設(shè)Q不成立(即Q的反面非Q是正確的)，經(jīng)過(guò)正確的推理，

2、最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)非Q是錯(cuò)誤的，從而斷定結(jié)論Q是正確的，這種證明方法叫做反證法.第4頁(yè)/共87頁(yè)證明步驟(1)反證假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假定原結(jié)論的反面為真；(2)歸謬從反設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果；(3)存真由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立.第5頁(yè)/共87頁(yè)適用范圍(1)否定性命題；(2)命題的結(jié)論中出現(xiàn)“至少”“至多”“唯一”等詞語(yǔ)的；(3)當(dāng)命題成立非常明顯，而要直接證明所用的理論太少，且不容易說(shuō)明，而其逆否命題又是非常容易證明的；(4)要討論的情況很復(fù)雜，而反面情況很少.第6頁(yè)/共87頁(yè)u 思考辨析判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“

3、”或“”)(1)綜合法是直接證明，分析法是間接證明.( )(2)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件.( )(3)用反證法證明結(jié)論“ab”時(shí)，應(yīng)假設(shè)“ab”.( )(4)反證法是指將結(jié)論和條件同時(shí)否定，推出矛盾.( )(5)在解決問(wèn)題時(shí)，常常用分析法尋找解題的思路與方法，再用綜合法展現(xiàn)解決問(wèn)題的過(guò)程.( )(6)證明不等式 最合適的方法是分析法.( )第7頁(yè)/共87頁(yè)題號(hào)答案解析1234 pqa0，b0且ab第8頁(yè)/共87頁(yè)解析第9頁(yè)/共87頁(yè)例1對(duì)于定義域?yàn)?,1的函數(shù)f(x)，如果同時(shí)滿足：對(duì)任意的x0,1，總有f(x)0；f(1)1；若x10，x20，x1x21，都有

4、f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù).(1)若函數(shù)f(x)為理想函數(shù)，證明：f(0)0；題型一綜合法的應(yīng)用題型一綜合法的應(yīng)用思維點(diǎn)撥解析思維升華第10頁(yè)/共87頁(yè)取特殊值代入計(jì)算即可證明；例1對(duì)于定義域?yàn)?,1的函數(shù)f(x)，如果同時(shí)滿足：對(duì)任意的x0,1，總有f(x)0；f(1)1；若x10，x20，x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù).(1)若函數(shù)f(x)為理想函數(shù)，證明：f(0)0；題型一綜合法的應(yīng)用題型一綜合法的應(yīng)用思維點(diǎn)撥解析思維升華第11頁(yè)/共87頁(yè)證明取x1x20，則x1x201，f(00)f(0)f(0

5、)，f(0)0.又對(duì)任意的x0,1，總有f(x)0，f(0)0.于是f(0)0.例1對(duì)于定義域?yàn)?,1的函數(shù)f(x)，如果同時(shí)滿足：對(duì)任意的x0,1，總有f(x)0；f(1)1；若x10，x20，x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù).(1)若函數(shù)f(x)為理想函數(shù)，證明：f(0)0；題型一綜合法的應(yīng)用題型一綜合法的應(yīng)用思維點(diǎn)撥解析思維升華第12頁(yè)/共87頁(yè)綜合法是“由因?qū)Ч钡淖C明方法，它是一種從已知到未知(從題設(shè)到結(jié)論)的邏輯推理方法，即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實(shí)判斷(命題)出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列中間推理，最后導(dǎo)出所要求證結(jié)論的真實(shí)性.例1對(duì)于定義

6、域?yàn)?,1的函數(shù)f(x)，如果同時(shí)滿足：對(duì)任意的x0,1，總有f(x)0；f(1)1；若x10，x20，x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù).(1)若函數(shù)f(x)為理想函數(shù)，證明：f(0)0；題型一綜合法的應(yīng)用題型一綜合法的應(yīng)用思維點(diǎn)撥解析思維升華第13頁(yè)/共87頁(yè)例1(2)試判斷函數(shù)f(x)2 x ( x 0 , 1 ) ， f ( x ) x2( x 0 , 1 ) ， f ( x ) (x0,1)是不是理想函數(shù).思維點(diǎn)撥解析思維升華第14頁(yè)/共87頁(yè)對(duì)照新定義中的3個(gè)條件，逐一代入驗(yàn)證，只有滿足所有條件，才能得出“是理想函數(shù)”的結(jié)論，否則得出

7、“不是理想函數(shù)”的結(jié)論.例1(2)試判斷函數(shù)f(x)2 x ( x 0 , 1 ) ， f ( x ) x2( x 0 , 1 ) ， f ( x ) (x0,1)是不是理想函數(shù).思維點(diǎn)撥解析思維升華第15頁(yè)/共87頁(yè)解對(duì)于f(x)2x，x0,1，f(1)2不滿足新定義中的條件，f(x)2x，(x0,1)不是理想函數(shù).對(duì)于f(x)x2，x0,1，顯然f(x)0，且f(1)1.例1(2)試判斷函數(shù)f(x)2 x ( x 0 , 1 ) ， f ( x ) x2( x 0 , 1 ) ， f ( x ) (x0,1)是不是理想函數(shù).思維點(diǎn)撥解析思維升華第16頁(yè)/共87頁(yè)任意的x1，x20,1，x1

8、x21，f(x1x2)f(x1)f(x2)(x1x2)2xx2x1x20，即f(x1)f(x2)f(x1x2).f(x)x2(x0,1)是理想函數(shù).例1(2)試判斷函數(shù)f(x)2 x ( x 0 , 1 ) ， f ( x ) x2( x 0 , 1 ) ， f ( x ) (x0,1)是不是理想函數(shù).思維點(diǎn)撥解析思維升華第17頁(yè)/共87頁(yè)對(duì)于f(x) ，x0,1，顯然滿足條件.對(duì)任意的x1，x20,1，x1x21，例1(2)試判斷函數(shù)f(x)2 x ( x 0 , 1 ) ， f ( x ) x2( x 0 , 1 ) ， f ( x ) (x0,1)是不是理想函數(shù).思維點(diǎn)撥解析思維升華第1

9、8頁(yè)/共87頁(yè)即f2(x1x2)f(x1)f(x2)2.f(x1x2)f(x1)f(x2)，不滿足條件.f(x) (x0,1)不是理想函數(shù).例1(2)試判斷函數(shù)f(x)2 x ( x 0 , 1 ) ， f ( x ) x2( x 0 , 1 ) ， f ( x ) (x0,1)是不是理想函數(shù).思維點(diǎn)撥解析思維升華第19頁(yè)/共87頁(yè)綜上，f(x)x2(x0,1)是理想函數(shù)，f(x)2x(x0,1)與f(x) (x0,1)不是理想函數(shù).例1(2)試判斷函數(shù)f(x)2 x ( x 0 , 1 ) ， f ( x ) x2( x 0 , 1 ) ， f ( x ) (x0,1)是不是理想函數(shù).思維點(diǎn)

10、撥解析思維升華第20頁(yè)/共87頁(yè)綜合法的邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理.例1(2)試判斷函數(shù)f(x)2 x ( x 0 , 1 ) ， f ( x ) x2( x 0 , 1 ) ， f ( x ) (x0,1)是不是理想函數(shù).思維點(diǎn)撥解析思維升華第21頁(yè)/共87頁(yè)跟蹤訓(xùn)練1(2013課標(biāo)全國(guó))設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且abc1，證明：(1)abbcac ；證明由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得a2b2c2abbcca.由題設(shè)得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca .第22頁(yè)/共87頁(yè)跟蹤訓(xùn)練1(2013課標(biāo)全國(guó))設(shè)a、b、c

11、均為正數(shù)，且abc1，證明：(2) 1.第23頁(yè)/共87頁(yè)思維點(diǎn)撥解析思維升華題型二分析法的應(yīng)用題型二分析法的應(yīng)用第24頁(yè)/共87頁(yè)用分析法，移項(xiàng)，平方，化簡(jiǎn).題型二分析法的應(yīng)用題型二分析法的應(yīng)用思維點(diǎn)撥解析思維升華第25頁(yè)/共87頁(yè)題型二分析法的應(yīng)用題型二分析法的應(yīng)用思維點(diǎn)撥解析思維升華第26頁(yè)/共87頁(yè)題型二分析法的應(yīng)用題型二分析法的應(yīng)用思維點(diǎn)撥解析思維升華第27頁(yè)/共87頁(yè)題型二分析法的應(yīng)用題型二分析法的應(yīng)用思維點(diǎn)撥解析思維升華第28頁(yè)/共87頁(yè)題型二分析法的應(yīng)用題型二分析法的應(yīng)用思維點(diǎn)撥解析思維升華第29頁(yè)/共87頁(yè)(1)逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過(guò)反推，逐步尋找使結(jié)論成立的

12、充分條件.正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問(wèn)題順利獲解的關(guān)鍵.題型二分析法的應(yīng)用題型二分析法的應(yīng)用思維點(diǎn)撥解析思維升華第30頁(yè)/共87頁(yè)(2)證明較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，可以采用兩頭湊的辦法，即通過(guò)分析法找出某個(gè)與結(jié)論等價(jià)(或充分)的中間結(jié)論，然后通過(guò)綜合法證明這個(gè)中間結(jié)論，從而使原命題得證.題型二分析法的應(yīng)用題型二分析法的應(yīng)用思維點(diǎn)撥解析思維升華第31頁(yè)/共87頁(yè)證明因?yàn)閍，b(0，)，所以要證原不等式成立，即證(a3b3)2(a2b2)3，即證a62a3b3b6a63a4b23a2b4b6，只需證2a3b33a4b23a2b4.第32頁(yè)/共87頁(yè)因?yàn)閍，b(0，)，所以即證2ab2ab成立，第33頁(yè)/共87頁(yè)

13、例3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足anSn2.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；題型三反證法的應(yīng)用題型三反證法的應(yīng)用解當(dāng)n1時(shí)，a1S12a12，則a11.又anSn2，所以an1Sn12，兩式相減得an1 an，第34頁(yè)/共87頁(yè)思維點(diǎn)撥解析思維升華例3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足anSn2.(2)求證：數(shù)列an中不存在三項(xiàng)按原來(lái)順序成等差數(shù)列.第35頁(yè)/共87頁(yè)證明(2)用反證法，假設(shè)存在三項(xiàng)，符合條件推出矛盾.例3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足anSn2.(2)求證：數(shù)列an中不存在三項(xiàng)按原來(lái)順序成等差數(shù)列.思維點(diǎn)撥解析思維升華第36頁(yè)/共87頁(yè)證明反證法：假設(shè)存在三項(xiàng)按原

14、來(lái)順序成等差數(shù)列，記為ap1，aq1，ar1(pqr，且p，q，rN*)，又因?yàn)閜qr，所以rq，rpN*.例3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足anSn2.(2)求證：數(shù)列an中不存在三項(xiàng)按原來(lái)順序成等差數(shù)列.思維點(diǎn)撥解析思維升華第37頁(yè)/共87頁(yè)所以(*)式左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，等式不成立.所以假設(shè)不成立，原命題得證.例3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足anSn2.(2)求證：數(shù)列an中不存在三項(xiàng)按原來(lái)順序成等差數(shù)列.思維點(diǎn)撥解析思維升華第38頁(yè)/共87頁(yè)(1)當(dāng)一個(gè)命題的結(jié)論是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時(shí)，可用反證法來(lái)證，反證法關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可

15、以是與已知條件矛盾，與假設(shè)矛盾，與定義、公理、定理矛盾，與事實(shí)矛盾等例3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足anSn2.(2)求證：數(shù)列an中不存在三項(xiàng)按原來(lái)順序成等差數(shù)列.思維點(diǎn)撥解析思維升華第39頁(yè)/共87頁(yè)(2)用反證法證明不等式要把握三點(diǎn)：必須否定結(jié)論；必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理；推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的.例3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足anSn2.(2)求證：數(shù)列an中不存在三項(xiàng)按原來(lái)順序成等差數(shù)列.思維點(diǎn)撥解析思維升華第40頁(yè)/共87頁(yè)跟蹤訓(xùn)練3等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11 ，S393 .(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn；第41頁(yè)/共87頁(yè)(2)設(shè)bn (nN*

16、)，求證：數(shù)列bn中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列.第42頁(yè)/共87頁(yè)p，q，rN*，pr，與pr矛盾.假設(shè)不成立，即數(shù)列bn中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列.第43頁(yè)/共87頁(yè)典例：(14分)已知數(shù)列xn滿足x1 ，xn1 ，求證：0 xn1xn .思想與方法系列思想與方法系列20 放縮有放縮有“度度”，巧證不等式，巧證不等式溫 馨 提 醒規(guī) 范 解 答思 維 點(diǎn) 撥第44頁(yè)/共87頁(yè)思 維 點(diǎn) 撥溫 馨 提 醒先證0 xn1，再求xn1xn的表達(dá)式，利用不等式放縮得出結(jié)論.規(guī) 范 解 答第45頁(yè)/共87頁(yè)證明由條件可知數(shù)列xn的各項(xiàng)均為正數(shù)，故由基本不等式，得xn1 1，2分 若xn

17、11，則xn1，這與已知條件x1 矛盾.所以0 xn1，6分 思 維 點(diǎn) 撥溫 馨 提 醒規(guī) 范 解 答第46頁(yè)/共87頁(yè)12分 思 維 點(diǎn) 撥溫 馨 提 醒規(guī) 范 解 答第47頁(yè)/共87頁(yè)14分 因上述兩個(gè)不等式中等號(hào)不可能同時(shí)成立，思 維 點(diǎn) 撥溫 馨 提 醒規(guī) 范 解 答第48頁(yè)/共87頁(yè)(1)所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性，根據(jù)證題目標(biāo)進(jìn)行合情合理的放大或縮小，在使用放縮法證題時(shí)要注意放和縮的“度”，否則就不能同向傳遞了，此法既可以單獨(dú)用來(lái)證明不等式，也可以是其他方法證題時(shí)的一個(gè)重要步驟.思 維 點(diǎn) 撥溫 馨 提 醒規(guī) 范 解 答第49頁(yè)/共87頁(yè)(2)本題技巧性較強(qiáng)，經(jīng)過(guò)了兩次放縮

18、，關(guān)鍵是放縮后的式子要盡可能地接近原式，減小放縮度，以避免運(yùn)算上的麻煩.第一次是利用基本不等式，將xn1xn轉(zhuǎn)化為常數(shù)，根據(jù)已知驗(yàn)證可判定出0 xn1；第二次放縮法是證明不等式經(jīng)常利用的方法，多采用添項(xiàng)或去項(xiàng)，分子、分母擴(kuò)大或縮小，應(yīng)用基本不等式進(jìn)行放縮，放縮時(shí)要注意放縮的方向保持一致.在此步驟中，因兩個(gè)等式中的等號(hào)不可能同時(shí)成立，所以兩式相乘后不取等號(hào)，這是易錯(cuò)之處，必須加以警惕.思 維 點(diǎn) 撥溫 馨 提 醒規(guī) 范 解 答第50頁(yè)/共87頁(yè)方 法 與 技 巧1.分析法的特點(diǎn)：從未知看需知，逐步靠攏已知.3.分析法和綜合法各有優(yōu)缺點(diǎn).分析法思考起來(lái)比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點(diǎn)是思

19、路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結(jié)論，較簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題，但不便于思考.實(shí)際證題時(shí)常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后再用綜合法敘述出來(lái).2.綜合法的特點(diǎn)：從已知看可知，逐步推出未知.第51頁(yè)/共87頁(yè)失 誤 與 防 范1.用分析法證明時(shí)，要注意書寫格式的規(guī)范性，常常用“要證(欲證)”“即證”“只需證”等，逐步分析，直至一個(gè)明顯成立的結(jié)論.2.利用反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要假設(shè)結(jié)論錯(cuò)誤，并用假設(shè)的命題進(jìn)行推理，如果沒(méi)有用假設(shè)的命題推理而推出矛盾結(jié)果，其推理過(guò)程是錯(cuò)誤的.第52頁(yè)/共87頁(yè)23456789101第53頁(yè)/共87頁(yè)23456789101即ab.答案ab第54頁(yè)/共87頁(yè)3456

20、7891012P2Q2，PQ.P0；ab0，b0；a0，b0.其中能使 2成立的條件的個(gè)數(shù)是_.234578910163第61頁(yè)/共87頁(yè)7.已知“整數(shù)對(duì)”按如下規(guī)律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，則第60個(gè)“整數(shù)對(duì)”是_.23456891017解析依題意，把“整數(shù)對(duì)”的和相同的分為一組，不難得知每組中每個(gè)“整數(shù)對(duì)”的和為n1，且每組共有n個(gè)“整數(shù)對(duì)”，這樣的前n組一共有 個(gè)“整數(shù)對(duì)”，第62頁(yè)/共87頁(yè)注意到 60 ，因此第60個(gè)“整數(shù)對(duì)”處于第11組(每個(gè)“整數(shù)對(duì)”的和為12的組)的第5個(gè)位置

21、，結(jié)合題意可知每個(gè)“整數(shù)對(duì)”的和為12的組中的各數(shù)對(duì)依次為(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，因此第60個(gè)“整數(shù)對(duì)”是(5,7).23456891017答案(5,7)第63頁(yè)/共87頁(yè)23456791018第64頁(yè)/共87頁(yè)解析f(x)sin x在區(qū)間(0，)上是凸函數(shù)，且A、B、C(0，).23456791018第65頁(yè)/共87頁(yè)23456781019證明ab，ab0.平方得：|a|2|b|22|a|b|2(|a|2|b|22ab)，只需證：|a|2|b|22|a|b|0，即(|a|b|)20，顯然成立.故原不等式得證.第66頁(yè)/共87頁(yè)10.已知四棱錐SABCD

22、中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，又SBSD ，SA1.(1)求證：SA平面ABCD；23456789110證明由已知得SA2AD2SD2，SAAD.同理SAAB.又ABADA，SA平面ABCD.第67頁(yè)/共87頁(yè)23456789110(2)在棱SC上是否存在異于S，C的點(diǎn)F，使得BF平面SAD？若存在，確定F點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解假設(shè)在棱SC上存在異于S，C的點(diǎn)F，使得BF平面SAD.BCAD，BC 平面SAD.BC平面SAD.而BCBFB，平面FBC平面SAD.這與平面SBC和平面SAD有公共點(diǎn)S矛盾，假設(shè)不成立.故不存在這樣的點(diǎn)F，使得BF平面SAD.第68頁(yè)/共87頁(yè)23451A

23、BC第69頁(yè)/共87頁(yè)2.(2013廣東)設(shè)整數(shù)n4，集合X1,2,3，n，令集合S(x，y，z)|x，y，zX，且三條件xyz，yzx，zx0)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，若f(c)0，且0 x0.(1)證明： 是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)；23514證明f(x)圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，f(x)0有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2，f(c)0，x1c是f(x)0的根，第73頁(yè)/共87頁(yè)23514第74頁(yè)/共87頁(yè)(2)試用反證法證明 c.23514第75頁(yè)/共87頁(yè)23415第76頁(yè)/共87頁(yè)23415第77頁(yè)/共87頁(yè)23415第78頁(yè)/共87頁(yè)(2)證明：數(shù)列bn中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列.證明用反證法證明.假設(shè)數(shù)列bn存在三項(xiàng)br，bs，bt(rsbsbt，則只能有2bsbrbt成立.23415第79頁(yè)/共87頁(yè)兩邊同乘以3t121r，化簡(jiǎn)得3tr2tr22sr3ts.由于