等時圓的妙用

1、問題問題1：如圖所示，處在半徑為如圖所示，處在半徑為R的豎直圓內的的豎直圓內的任一任一光滑光滑細桿細桿OB,一端一端B在圓周上在圓周上,另另一端一端O在圓在圓的最高點的最高點,OB與豎直方向的夾角為與豎直方向的夾角為,質點質點m m沿桿沿桿從從O O點由靜止開始下滑點由靜止開始下滑, ,求它在桿上運動的時間求它在桿上運動的時間? ?cosga cos2RxOB221atxOBgRgRaxtOB2coscos222mamgcosgRt2質點沿桿下滑所需的時間質點沿桿下滑所需的時間跟桿與豎直方向的夾角跟桿與豎直方向的夾角無關無關, ,僅由半徑僅由半徑R R決定決定, ,且等且等于質點從圓的最高點于

2、質點從圓的最高點O O到最到最低點低點A A做自由落體運動的時做自由落體運動的時間間, ,這個圓就是重力場中的這個圓就是重力場中的“等時圓等時圓”，這個性質叫這個性質叫做圓的自由弦的做圓的自由弦的等時性等時性。gRt2sincosgacos2RxAB221atxABgRggRaxtAB2sincoscos222mamgmgsincos例例2:2:如圖所示如圖所示, ,一傾角為一傾角為的傳送帶上方的傳送帶上方P P點為點為原料輸入口，在原料輸入口，在P P點與傳送帶之間建立一光滑管點與傳送帶之間建立一光滑管道道, ,使原料沿管道能在最短時間內到達傳送帶上使原料沿管道能在最短時間內到達傳送帶上,

3、,則管道與豎直方向的夾角則管道與豎直方向的夾角應為多大？應為多大？解：以解：以p p點為等時圓的點為等時圓的最高點，作出等時圓最高點，作出等時圓與皮帶相切，如圖所與皮帶相切，如圖所示示, ,設切點為設切點為B,B,圓心為圓心為O,O,連接連接OB,OB,由幾何知識可由幾何知識可得得2,AOB例例242AOgtssgACt45. 2101522gRt2通過空間任一點通過空間任一點A可作無限多個斜面，將若干可作無限多個斜面，將若干個小物體從點個小物體從點A分別沿這些傾角各不相同的光滑分別沿這些傾角各不相同的光滑斜面同時滑下，那么在同一時刻這些小物體所在斜面同時滑下，那么在同一時刻這些小物體所在位置

4、所構成的面是（位置所構成的面是（ ）A.球面球面 B.拋物面拋物面 C.水平面水平面 D.無法確定無法確定A解析：由解析：由“等時圓等時圓”可知，同一時刻這些小物體可知，同一時刻這些小物體應在同一應在同一“等時圓等時圓”上，所以上，所以A正確。正確。作業(yè)作業(yè)1 ：如圖如圖:，位于豎直平面內的固定光滑圓，位于豎直平面內的固定光滑圓軌道與水平面相切于軌道與水平面相切于M點，與豎直墻相切于點點，與豎直墻相切于點A，豎直墻上另一點豎直墻上另一點B與與M的連線和水平面的夾角為的連線和水平面的夾角為600，C是圓環(huán)軌道的圓心，是圓環(huán)軌道的圓心，D是圓環(huán)上與是圓環(huán)上與M靠得靠得很近的一點（很近的一點（DM遠

5、小于遠小于CM）。已知在同一時刻：）。已知在同一時刻：a、b兩球分別由兩球分別由A、B兩點兩點從靜止開始沿光滑傾從靜止開始沿光滑傾斜直軌道運動到斜直軌道運動到M點點；c球由球由C點自由下落到點自由下落到M點；點；d球從球從D點靜止出發(fā)沿圓環(huán)運動到點靜止出發(fā)沿圓環(huán)運動到M點。點。則：（則：（ ） A. a球最先到達球最先到達M點點 B. b球最先到達球最先到達M點點C. c球最先到達球最先到達M點點 D. d球最先到達球最先到達M點點ABCDMgRgRta24gRtc2gRTtd24解析：設圓軌道半徑為解析：設圓軌道半徑為R，據(jù)，據(jù)“等時圓等時圓”理論理論c做自由落體運動做自由落體運動 d球滾下

6、是一個單擺模型，擺長為球滾下是一個單擺模型，擺長為R,所以所以c球最先到達球最先到達M點點abtt ABCDM作業(yè)作業(yè)2：如圖所示，在同一豎直線上有如圖所示，在同一豎直線上有A、B兩點，兩點，相距為相距為h，B點離地高度為點離地高度為H，現(xiàn)在要在地面上尋，現(xiàn)在要在地面上尋找一點找一點P，使得從，使得從A、B兩點分別向點兩點分別向點P安放的光滑安放的光滑木板，滿足物體從靜止開始分別由木板，滿足物體從靜止開始分別由A和和B沿木板下沿木板下滑到滑到P點的時間相等，求點的時間相等，求O、P兩點之間的距離兩點之間的距離OPABPHh O12hRO PH22( )()2hOPRH HhABPHhO O1解

7、析：由解析：由“等時圓等時圓”特征可知，當特征可知，當A、B處于等處于等時圓周上且時圓周上且P點處于等時圓的最低點時，即能滿點處于等時圓的最低點時，即能滿足題設要求足題設要求如圖所示，此時等時圓的半徑為：如圖所示，此時等時圓的半徑為： 所以所以 作業(yè)作業(yè)3:如圖，圓柱體的倉庫內有三塊長度不同如圖，圓柱體的倉庫內有三塊長度不同的滑板的滑板ao、bo、co，其下端都固定于底部圓心，其下端都固定于底部圓心o，而上端則擱在倉庫側壁，三塊滑塊與水平面的而上端則擱在倉庫側壁，三塊滑塊與水平面的夾角依次為夾角依次為300、450、600。若有三個小孩同時。若有三個小孩同時從從a、b、c處開始下滑（忽略阻力），則處開始下滑（忽略阻力），則 （ ） aObcA. a處小孩最先到處小孩最先到O點點 B. b處小孩最先到處小孩最先到O點點C. c處小孩最先到處小孩最先到O點點 D. a、c處小孩同時到處小孩同時到O點點2sin21costgR2sin42gRt解析：三塊滑塊雖然都從同一圓柱面上下滑，解析：三塊滑塊雖然都從同一圓柱面上下滑，但但a、b、c三點不可能