第15章能量法

1、16學(xué)時(shí)15.1 彈性變形勢能的計(jì)算彈性變形勢能的計(jì)算 15.1.1 外力功的計(jì)算外力功的計(jì)算 15.1.2 應(yīng)變能的計(jì)算應(yīng)變能的計(jì)算 15.1.3 應(yīng)變能密度應(yīng)變能密度15.2 虛位移原理用于變形體虛位移原理用于變形體 15.2.1 虛位移原理用于變形體虛位移原理用于變形體 15.2.2 內(nèi)力虛功的表達(dá)式內(nèi)力虛功的表達(dá)式15.3 單位載荷法單位載荷法 15.3.1 單位載荷法單位載荷法 15.3.2 單位載荷法用于線彈性結(jié)構(gòu)單位載荷法用于線彈性結(jié)構(gòu)15.4 計(jì)算莫爾積分的圖乘法計(jì)算莫爾積分的圖乘法15.5 互等定理互等定理 15.5.1 功的互等定理功的互等定理 15.5.2 位移互等定理位

2、移互等定理15.6 勢能駐值原理和最小勢能原理勢能駐值原理和最小勢能原理作業(yè)作業(yè)15.6 15.10 15.14 15.162本章主要內(nèi)容：本章主要內(nèi)容：(1) 介紹彈性體變形勢能彈性體變形勢能；(2) 將虛位移原理虛位移原理、勢能駐值原理勢能駐值原理、最小勢能原理最小勢能原理用于變形體；(3) 重點(diǎn)介紹單位載荷法單位載荷法，這是一種用能量原理求位移的方法，是一種很簡單實(shí)用的方法。315.1 彈性體勢能的計(jì)算彈性體勢能的計(jì)算彈性變形勢能（變形能、應(yīng)變能）彈性變形勢能（變形能、應(yīng)變能）(strain energy) 當(dāng)構(gòu)件發(fā)生彈性變形時(shí)，其內(nèi)部會(huì)貯存能量，從而使構(gòu)件具有作功的能力。例如，被跳水運(yùn)

3、動(dòng)員壓彎的跳板，因變形而貯存了能量，再利用釋放出來的能量對運(yùn)動(dòng)員作功，加強(qiáng)了運(yùn)動(dòng)員的彈跳力。 因彈性變形而貯存的能量，稱為彈性變形勢能彈性變形勢能，簡稱變變形能形能或應(yīng)變能應(yīng)變能。用 表示，單位：J， 。Vm1NJ應(yīng)變能密度應(yīng)變能密度 (density of strain energy) 單位體積的應(yīng)變能，稱為應(yīng)變能密度。用 表示，單位： 。v3mJ4功能原理功能原理 (principle for work and energy) 外力由零開始緩慢地增加到最終值，構(gòu)件始終處于平衡狀態(tài)，動(dòng)能的變化及其能量的損耗均可忽略不計(jì)。 根據(jù)能量守恒定律，構(gòu)件內(nèi)部貯存的應(yīng)變能在數(shù)值上等于外力所作的功W，即W

4、V ) 1 .15(此關(guān)系式稱為功能原理功能原理。515.1.1 外力功的計(jì)算外力功的計(jì)算(1) 力的功：0dfW外力由零緩慢增加到最終值F，外力作用點(diǎn)的位置發(fā)生移動(dòng)，移動(dòng)量為 （如圖所示）。(2) 服從胡克定律的力的功：FFff dOdFFff dOd若材料服從胡克定律，力和位移是線性關(guān)系，如圖，顯然外力功等于斜直線下三角形的面積FW21(3) 上述的力與位移都是廣義廣義的，外力可以是力或力偶，相應(yīng)的位移是線位移或角位移。則此力的功為6)(21NlFEAlFFNN21EAlF22N15.1.2 應(yīng)變能的計(jì)算應(yīng)變能的計(jì)算功能原理在線彈性范圍內(nèi)WV)1 .15(1) 軸向拉壓時(shí)的應(yīng)變能軸向拉壓時(shí)

5、的應(yīng)變能FWV21)2 .15()1 .15(FF NEAlFlNxEAxFVld2)(2N) 3 .15(niiiiiAExlFV12N2)(由n個(gè)直桿組成的桁架，整個(gè)結(jié)構(gòu)內(nèi)的應(yīng)變能F21)2 .15(7l(2) 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能WV)1 .15(tMT pGITlp21GITlTxGIxTVld2)(p2)4 .15(tMOtMtMp22GIlTt)2 .15(21M8(3) 梁彎曲時(shí)的應(yīng)變能梁彎曲時(shí)的應(yīng)變能 純彎曲：純彎曲：WV)1 .15(EIMlM21eMM EIlMexEIxMVld2)(2)5 .15(lABeMeMeMeMOe)2 .15(21MEIlM22

6、9 橫力彎曲：橫力彎曲： 橫力彎曲梁的橫截面上，有彎矩和剪力，應(yīng)分別計(jì)算與彎曲和剪切相對應(yīng)的應(yīng)變能。 剪切應(yīng)變能的表達(dá)式xGAxKFVld2)(2S其中K為量綱為1的量，它與橫截面形狀和尺寸有關(guān)。矩形截面：K=6/5實(shí)心圓截面：K=10/9薄壁圓管：K=2 對于細(xì)長梁，對應(yīng)于剪切的應(yīng)變能與彎曲應(yīng)變能相比，一般很小，所以常常忽略不計(jì)忽略不計(jì)。10(4) 組合變形構(gòu)件的應(yīng)變能組合變形構(gòu)件的應(yīng)變能 小變形情況下，各內(nèi)力分量引起的應(yīng)變能互不耦合互不耦合，因此組合變形構(gòu)件的總應(yīng)變能（不計(jì)剪力的影響）為xEIMxGITxEAFVllld2d2d22p22N)6 .15(若桿件非圓截面，將上式中的 換為 ；

7、pItI若桿件為變截面桿，上式中 均為x的函數(shù)。IIA,p1115.1.3 應(yīng)變能密度應(yīng)變能密度(1) 應(yīng)變能密度的計(jì)算應(yīng)變能密度的計(jì)算 單向拉壓：單向拉壓：O1vOvd10v21v斜線下的面積應(yīng)力應(yīng)變線性關(guān)系 純剪切：純剪切：21v12 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度：復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度：)(21332211v由廣義胡克定律上式可寫為)(221133221232221Ev)7 .15( 用應(yīng)變能密度表示應(yīng)變能：用應(yīng)變能密度表示應(yīng)變能：VVdVvVd13(density of energy due to volume change)(2) 體積改變能密度體積改變能密度 一般情況下，三向應(yīng)力

8、狀態(tài)的單元體將同時(shí)發(fā)生體積改變和形狀改變，因此應(yīng)變能密度也相應(yīng)地分為兩部分：由體積改變而形狀不變所引起的，稱為體積改變能密體積改變能密度度，用 表示；vv由形狀改變而體積不變所引起的，稱為畸變能密度畸變能密度，用 表示。dv(distortional strain energy density)畸變能密度畸變能密度14 體積改變密度：體積改變密度：123三向應(yīng)力狀態(tài)形狀不變體積改變體積不變形狀改變mmmm1m2m3 任意三向應(yīng)力狀態(tài)下的體積改變能密度體積改變能密度為)3(23212m2m)7 .15(vEv)(31321m)8 .15()3(2212mE2321)(621E15 畸變能密度：畸

9、變能密度：)()()(2)()()(21m1m3m3m2m2m12m32m22m1)7 .15(dEv 任意三向應(yīng)力狀態(tài)下的畸變能密度為)8 .15( 顯然dv)9 .15()8 .15()7 .15(vvv例題15.1)(232)(2321321m2m133221321m2m232221E)(31133221232221E213232221)()()(61E1615.2 虛位移原理用于變形固體虛位移原理用于變形固體15.2.1 虛位移原理用于變形固體虛位移原理用于變形固體變形固體的虛位移原理（虛功原理）變形固體的虛位移原理（虛功原理） 變形固體平衡的充分必要條件變形固體平衡的充分必要條件：作

10、用于變形固體上的外力系和內(nèi)力系在任意一組虛位移上所作的虛功之和為零，即虛位移原理（虛功原理）虛位移原理（虛功原理）(principle of virtual displacement) 虛位移原理是分析力學(xué)的一個(gè)基本原理，適用于任意質(zhì)任意質(zhì)點(diǎn)系點(diǎn)系。 虛位移原理應(yīng)用于變形固體時(shí)，外力在虛位移上作功（外力虛功外力虛功 ），內(nèi)力在相應(yīng)的變形虛位移上也作功（內(nèi)內(nèi)力虛功力虛功 ）。eWiW0ieWW)10.15(17虛位移的含義虛位移的含義虛位移原理的適用范圍虛位移原理的適用范圍(1) 虛位移是除作用在桿件上的原力系本身以外除作用在桿件上的原力系本身以外，由其他因素所引起的滿足約束條件的假想的無限小位

11、移滿足約束條件的假想的無限小位移。虛位移是在原力系作用下的平衡位置上的再增加的位移平衡位置上的再增加的位移。(2)虛位移可以是真實(shí)位移的增量真實(shí)位移的增量，也可以是與真實(shí)位移無與真實(shí)位移無關(guān)的其他位移關(guān)的其他位移。(3)例如：另外的廣義力或溫度變化、支座移動(dòng)等引起的位移，甚至是完全虛擬的位移。但是這種虛位移必須滿足虛位移必須滿足邊界位邊界位移條件移條件和變形連續(xù)條件，變形連續(xù)條件，并符合小變形小變形要求。 虛位移既然與作用的力無關(guān)，就不受外力與位移關(guān)系的限制，也不受材料應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的限制，所以虛位移原理可虛位移原理可以用于以用于非線性情況非線性情況。1815.2.2 內(nèi)力虛功的表達(dá)式內(nèi)力虛功的

12、表達(dá)式xdNNdFF NFSFSSdFF MMMd2)(d*l2)(d*l2d*2d*2d*2d*2d*2d*微段的虛位移可分為剛性虛位移剛性虛位移和變形虛位移變形虛位移：該微段因其他各微段的變形而引起的虛位移稱為剛性虛位移剛性虛位移；由該微段本身變形而引起的虛位移稱為變形虛位移變形虛位移。19)(deW*S*Ndd)(dFMlF略去高階無窮小項(xiàng)由虛位移原理：0)(d)(d)10.15(ieWW則有)(d)(deiWW整個(gè)結(jié)構(gòu)的內(nèi)力虛功為*S*Nidd)(dFMlFW式中求和符號(hào)表示考慮結(jié)構(gòu)中的所有桿件。若橫截面上存在扭矩扭矩則上式改寫為*S*Niddd)(dTFMlFW2)(d)d(2)(d

13、*NN*NlFFlF2d)d(2d*MMM2d)d(2d*SS*SFFF*S*Ndd)(dFMlF20虛位移原理應(yīng)用于變形固體的具體表達(dá)式：虛位移原理應(yīng)用于變形固體的具體表達(dá)式：*S*N*ddd)(dTFMlFFii)11.15(iF作用在結(jié)構(gòu)上的原力系中的廣義力；*i點(diǎn)i沿 作用方向的廣義虛位移。iF 的符號(hào)與 指向或轉(zhuǎn)向一致者為“”，相反者為“”。規(guī)定：規(guī)定：*d,d,d,)(d,liTFMFFi,SN21llllTFMlFddd)(dSNaa15.3 單位載荷法單位載荷法 由虛位移原理可以得到計(jì)算結(jié)構(gòu)中一點(diǎn)位移的單位載荷法。KKaaK1dd)(d1SN)11.15(lllFMlF 一般情

14、況下，求結(jié)構(gòu)中一點(diǎn)位移的單位載荷法單位載荷法的計(jì)算公式為15.3.1 單位載荷法單位載荷法(dummy-load method, unit load method)12.15(單位力引起的內(nèi)力SN,FMF22單位載荷法計(jì)算公式的解釋單位載荷法計(jì)算公式的解釋(1) 所求的位移及施加的單位力都是廣義的。 若要求某點(diǎn)的線位移線位移，則應(yīng)在該點(diǎn)沿所求位移的方向施加單位力單位力； 若要求的是角位移角位移，則應(yīng)相應(yīng)地施加單位力偶矩單位力偶矩； 若要求兩點(diǎn)間的相對線位移相對線位移，則應(yīng)在兩點(diǎn)處同時(shí)相應(yīng)地施加一對方向相反的單位力一對方向相反的單位力； 若要求兩橫截面間的相對角位移相對角位移，則應(yīng)在兩橫截面處同

15、時(shí)相應(yīng)地施加一對方向相反的單位力偶矩一對方向相反的單位力偶矩； 廣義單位力引起的內(nèi)力 的量綱與外載作用下引起的 量綱相同。TFMF,SNTFMF,SN(2) 是單位力作功的縮寫。 1 為“” ，則說明單位力所作功為“”，所求位移 與單位力同向； 為“-” ，則說明單位力所作功為“-”，所求位移 與單位力反向。23(3) 剪力的影響： 由于剪力影響很小，第三項(xiàng)可以略去不計(jì)。llllTFMlFddd)(dSN)12.15(ABql例如：如圖所示懸臂梁矩形橫截面)(hb101lh則剪力引起的自由端B處的撓度和彎矩引起的B處撓度相比，僅有1。 以彎曲為主的桿件，只計(jì)第二項(xiàng)； 只受扭轉(zhuǎn)的桿件，只計(jì)第四項(xiàng)

16、； 只有軸力的桿件，只計(jì)第一項(xiàng)；若軸力為常量，例如有n根桿的桁架，則有iniilF1N24 若桿件為組合變形，則要根據(jù)具體情況確定應(yīng)包括哪幾項(xiàng)。(4) 單位載荷法對于線性問題和非線性問題都適用。例題15.22515.3.2 單位載荷法用于線彈性結(jié)構(gòu)單位載荷法用于線彈性結(jié)構(gòu) 線彈性材料服從胡克定律EAxFld)(dNxxwxddddddpddGIxTlllxGITTxEIMMxEAFFdddpNN)12.15(莫爾定理（莫爾積分）莫爾定理（莫爾積分） (Mohrs integration)13.15(莫爾定理（莫爾積分）莫爾定理（莫爾積分）xxwddd22EIxMd26莫爾定理（莫爾積分）公式的

17、適用范圍莫爾定理（莫爾積分）公式的適用范圍lllxGITTxEIMMxEAFFdddpNN)13.15(1) 對于截面高度遠(yuǎn)小于軸線曲率半徑的平面曲桿也適用的。(2) 對于平面剛架和曲桿，橫截面上通常有軸力 ，剪力 和彎矩 。剪力 的影響可以略去不計(jì)。NFSFMSF桁架的莫爾定理表達(dá)式桁架的莫爾定理表達(dá)式niliiiiiAElFF1NN)13.15(例題15.3例題15.4例題15.5實(shí)際上，軸力 的影響比彎矩 也小得多，因此當(dāng)軸力 、剪力 、彎矩 同時(shí)存在時(shí), 和 對應(yīng)的項(xiàng)都可以略去不計(jì)。NFMNFSFNFSFM27等截面直桿：15.4 計(jì)算莫爾積分的圖乘法計(jì)算莫爾積分的圖乘法lllxGIT

18、TxEIMMxEAFFdddpNN)13.15(constEAconstEIconstpGI只需計(jì)算積分xFFldNNxMMdlxTT d采用圖形相乘的方法計(jì)算。28圖乘法圖乘法 (multiplicative graph method)以 為例說明圖乘法。xMMdCxxdCxM(x)OxMxxdCx)(xMCMxMtan)(xxM)a (xxxMxxMxMlld)(tand)()()b(xxMd)(是M圖中陰影線的微分面積xxxMd)(是M圖中陰影線的微分面積對M軸的靜矩xxxMld)(是M圖的面積對M軸的靜矩設(shè)M圖的面積為 ，M圖的形心到M軸的距離為 。CxClxxxxMd)(則tand)

19、()()b(ClxxxMxM) c (CM29于是莫爾積分可寫為xEIxMxMld)()(彎矩xEAxFxFld)()(NN軸力)14.15(lxGIxTxTd)()(p扭矩EIMC彎矩EAFCN軸力pGITC扭矩30用圖乘法計(jì)算位移的注意事項(xiàng)用圖乘法計(jì)算位移的注意事項(xiàng)(1) 和 均有 之分之分。CM, 當(dāng) 圖與 圖在同一側(cè)時(shí)， ；0CMMM當(dāng) 圖與 圖分別位于軸線的兩側(cè)時(shí)， 。0CMMM(2) 當(dāng) 圖為折線折線時(shí)，需在折點(diǎn)處將 圖及 圖分段分段，分別分別圖乘圖乘，然后再按代數(shù)值疊加代數(shù)值疊加MMMniCiiEIM1(3) 有變化時(shí)有變化時(shí)，需在變化處分段變化處分段，再圖乘再圖乘。EI(4)

20、根據(jù)彎矩可以疊加的道理，將彎矩圖分成幾個(gè)簡單部分彎矩圖分成幾個(gè)簡單部分，例如可將梯形彎矩圖分為兩個(gè)三角形或一個(gè)三角形加一個(gè)矩形，對每一部分使用圖乘法，然后再疊加。(5) 當(dāng)梁上載荷較復(fù)雜時(shí)梁上載荷較復(fù)雜時(shí)，為使M圖面積便于計(jì)算，形心便于確定，可將其分解為若干簡單載荷單獨(dú)作用在梁上分解為若干簡單載荷單獨(dú)作用在梁上，分別畫出M圖，與 圖互乘，然后再疊加。M31(6) 只有同種類型的內(nèi)力圖才能互乘同種類型的內(nèi)力圖才能互乘，對于雙向彎曲的梁，只有同一平面內(nèi)的 M 圖和 圖才能互乘。M32常用圖形的面積和形心位置計(jì)算公式常用圖形的面積和形心位置計(jì)算公式 應(yīng)用圖乘法時(shí)，經(jīng)常要計(jì)算某些圖形的面積和形心位置，

21、現(xiàn)給出幾種常用圖形的面積和形心位置的計(jì)算公式，其中拋物線頂點(diǎn)的切線平行于基線或與基線重合。3)(bl Cl3)(al abh三角形2lh二次拋物線C83ll85lh32lh頂點(diǎn)3lh二次拋物線C4ll43lh頂點(diǎn)1nlhCl)2() 1(nlnh頂點(diǎn)n次拋物線)2( nl33例題15.6例題15.7例題15.8例題15.9例題15.10例題15.11342F1F15.5 互等定理互等定理15.5.1 功的互等定理功的互等定理ji作用于點(diǎn) j 的載荷 引起的點(diǎn) i 沿 方向的位移。jFiF(reciprocal theorem for work)功的互等定理功的互等定理以簡直梁為例說明功的互等定

22、理。111221112222351111F22F22122F22211F112112122211112121FFFW21211122222121FFFW載荷所作的功與加載順序無關(guān)：21WW 212121FF)15.15(表明： 在由 引起的位移 上所作的功等于 在由 引起的位移 上所作的功。這就是功的互等定理功的互等定理。1F2F122F1F21功的互等定理的表述：功的互等定理的表述： 第一組廣義力系在第二組廣義力系引起的位移上所作的功等于第二組廣義力系在第一組廣義力系引起的位移上所作的功。36(reciprocal theorem for displacement)位移互等定理位移互等定理1

23、5.5.2 位移互等定理位移互等定理 若 ，則21FF 21)15.15(12)16.15(表明： 若兩個(gè)廣義力 和 數(shù)值上相等，則 在 作用處沿 方向引起的廣義位移 等于 在 作用處沿 方向引起的廣義位移 。這就是位移互等定理位移互等定理。1F2F122F1F2F211F2F1F例題15.123715.6 勢能駐值原理和最小勢能原理勢能駐值原理和最小勢能原理 剛體靜力學(xué)中講述過勢能駐值原理和最小勢能原理，對變形體而言，這兩個(gè)原理仍然成立。VV總勢能V彈性變形勢能V外力勢能1. 勢能駐值原理勢能駐值原理 結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)時(shí)，總勢能的一階變分為零，或者總勢能對某一位移函數(shù)取駐值，即0)(VV)1

24、7.15(382. 最小勢能原理最小勢能原理滿足變形連續(xù)條件和位移邊界條件的位移，記作 。kiu(1) 結(jié)構(gòu)在穩(wěn)定平衡狀態(tài)下，所具有的總勢能恒小于在其鄰域內(nèi)其他可能位移狀態(tài)下的總勢能。(2) 可能位移：(3) 最小勢能原理：)()(kiiuuiu真是位移當(dāng) 時(shí)，ikiuu )()(kiiuu因此，對 取極小值，即可得到滿足力的平衡條件的真實(shí)位移。)(kiu最小勢能原理與平衡條件是等價(jià)的。393. 瑞利里茨法瑞利里茨法 (RayleighRitz method) 作為勢能原理的一個(gè)重要應(yīng)用，下面介紹求近似解的一種方法瑞利瑞利里茨法里茨法。瑞利瑞利里茨法的適用范圍：里茨法的適用范圍：(1) 瑞利里

25、茨法是一個(gè)很有用的方法，不僅可用于桿件結(jié)構(gòu)的變形和內(nèi)力計(jì)算，還可用于板和殼的結(jié)構(gòu)分析、穩(wěn)定理論和振動(dòng)理論；(2) 適用于線性結(jié)構(gòu)，也適用于非線性結(jié)構(gòu)；(3) 適用于靜定結(jié)構(gòu)，也適用于靜不定結(jié)構(gòu)；(4) 瑞利里茨法還是有限單元法的基礎(chǔ)，問題越復(fù)雜，其優(yōu)越性就越能充分體現(xiàn)出來。 結(jié)合簡單的桿件問題介紹瑞利里茨法的原理和方法。瑞利瑞利里茨法的原理和方法：里茨法的原理和方法：40第一步：假設(shè)一個(gè)位移函數(shù)近似地表示結(jié)構(gòu)的真實(shí)位移。作為最低要求，此位移函數(shù)需要滿足變形連續(xù)條件變形連續(xù)條件和位移邊界條件位移邊界條件，如果能滿足力的邊界條件力的邊界條件更好。此函數(shù)包括一個(gè)或多個(gè)待定的位移參數(shù)位移參數(shù)。第二步：

26、將總勢能 表達(dá)為待定位移參數(shù)的函數(shù)。第三步：第四步：求出了位移參數(shù)，意味著假設(shè)的位移函數(shù)已經(jīng)確定，進(jìn)而可以求出結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。 這種位移函數(shù)位移函數(shù)將近似于真實(shí)位移。一般來說，假設(shè)的位移函數(shù)中應(yīng)用的位移參數(shù)越多，結(jié)果越精確。 在工程實(shí)際中，取兩個(gè)或三個(gè)位移參數(shù)就可達(dá)到滿意的結(jié)果。從理論上，如果假設(shè)的位移函數(shù)為完備的函數(shù)系列構(gòu)成的無窮級數(shù)，則可得到精確的結(jié)果。根據(jù)勢能駐值原理，將總勢能 對每一個(gè)參數(shù)取偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零，得到包含待定位移參數(shù)的聯(lián)立方程組。解之，即可求得位移參數(shù)。41)0(lx 0 wEIM舉例說明瑞利舉例說明瑞利里茨法：里茨法： 以簡支梁簡支梁為例說明如何應(yīng)用瑞利里茨法得到近似的撓撓

27、曲線方程曲線方程及彎矩方程彎矩方程，并研究其精度精度。第一步：假設(shè)位移函數(shù)F2l2lxy梁的邊界條件：:0 x0w0w0 wEIQ: lx 0 wEIM0w0w0 wEIQ一般選擇三角函數(shù)或多項(xiàng)式函數(shù)為位移函數(shù)。此處選擇的位移函數(shù)（撓度函數(shù)）為lxawsin)a (其中a待定位移參數(shù)（只有一個(gè)），表示梁中點(diǎn)的撓度。 此位移函數(shù)對簡支梁特別適用，不僅滿足位移邊界條件，而且滿足力的邊界條件。42第二步：將總勢能 表示為位移參數(shù)a的函數(shù)梁的彈性變形勢能（應(yīng)變能）為3240424224dsin2d)(2d2lEIaxlxlaEIxwEIxEIMVlll 外力勢能為FaV則總勢能為FalEIaVV3244第三步：勢能駐值原理02dd34FalEIaEIFla432)b(第四步：確定撓曲線方程和彎矩方程lxEIFllxawsin2sin43)b()a(lxFlwEIMsin22 ) c ()d(43第五步：討論近似解的精確度(1) 梁