復(fù)變函數(shù)與積分變換山東大學(xué)第一章20151021

1、山東大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院（第二版）山東大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院（第二版）秦健秋 制 1.1 復(fù)數(shù)及其運(yùn)算復(fù)數(shù)及其運(yùn)算 1.2 復(fù)平面上的曲線復(fù)平面上的曲線和區(qū)域和區(qū)域 1.3 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)1 1.4 復(fù)變函數(shù)的極限復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)和連續(xù) 1.5 MATLAB運(yùn)算運(yùn)算第一章第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 早早在在1616世紀(jì)中葉，意大利卡爾丹在世紀(jì)中葉，意大利卡爾丹在15451545年解三次方程時(shí)，年解三次方程時(shí)，首先產(chǎn)生復(fù)數(shù)開(kāi)平方的首先產(chǎn)生復(fù)數(shù)開(kāi)平方的思想思想: : 17 17世紀(jì)到世紀(jì)到1818世紀(jì)，復(fù)數(shù)開(kāi)始有了幾何解釋?zhuān)阉c平面世紀(jì)，復(fù)數(shù)開(kāi)始有了幾何解釋?zhuān)阉c平面向量對(duì)應(yīng)起來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題向量

2、對(duì)應(yīng)起來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題. . 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)論產(chǎn)生于論產(chǎn)生于1818世紀(jì)，由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉作出世紀(jì)，由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉作出. .他他在在17771777年系統(tǒng)地建立了復(fù)數(shù)理論，發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角年系統(tǒng)地建立了復(fù)數(shù)理論，發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，創(chuàng)立了復(fù)變函數(shù)論的一些基本定理，并用函數(shù)的關(guān)系，創(chuàng)立了復(fù)變函數(shù)論的一些基本定理，并用“ ”作為虛數(shù)的單位作為虛數(shù)的單位. . 40(515)(515)i 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)論的全面發(fā)展在論的全面發(fā)展在1919世紀(jì)世紀(jì). .到了到了2020世紀(jì)，復(fù)變函世紀(jì)，復(fù)變函數(shù)被廣泛應(yīng)用于理論物理，彈性物理，天體力學(xué)等方面，并數(shù)被廣泛應(yīng)用于理論物理，彈性物理，

3、天體力學(xué)等方面，并且有很多復(fù)雜的計(jì)算都是用它來(lái)解決的且有很多復(fù)雜的計(jì)算都是用它來(lái)解決的. . 比如比如 元元代數(shù)方程代數(shù)方程 在在復(fù)數(shù)域中恒有解，這是著名的代數(shù)學(xué)基本問(wèn)題，它用復(fù)變函復(fù)數(shù)域中恒有解，這是著名的代數(shù)學(xué)基本問(wèn)題，它用復(fù)變函數(shù)理論來(lái)證明非常簡(jiǎn)潔數(shù)理論來(lái)證明非常簡(jiǎn)潔. . 比如比如俄國(guó)的茹柯夫斯基在設(shè)計(jì)飛機(jī)的時(shí)候，就用復(fù)變函俄國(guó)的茹柯夫斯基在設(shè)計(jì)飛機(jī)的時(shí)候，就用復(fù)變函數(shù)論解決了飛機(jī)機(jī)翼的結(jié)構(gòu)問(wèn)題，他在運(yùn)用復(fù)變函數(shù)論解決數(shù)論解決了飛機(jī)機(jī)翼的結(jié)構(gòu)問(wèn)題，他在運(yùn)用復(fù)變函數(shù)論解決流體力學(xué)和航空力學(xué)方面的問(wèn)題上也做出了貢獻(xiàn)流體力學(xué)和航空力學(xué)方面的問(wèn)題上也做出了貢獻(xiàn). .n11100nnnna xa

4、xa xa一、復(fù)數(shù)的概念一、復(fù)數(shù)的概念二、復(fù)數(shù)的表示法二、復(fù)數(shù)的表示法三、復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算三、復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算四、復(fù)數(shù)的乘冪與方根四、復(fù)數(shù)的乘冪與方根五、復(fù)球面五、復(fù)球面*六、課后作業(yè)六、課后作業(yè)七、課外例題七、課外例題1.1一、復(fù)數(shù)的概念一、復(fù)數(shù)的概念引入一個(gè)新的數(shù)引入一個(gè)新的數(shù) ，稱(chēng)為虛數(shù)單位，并規(guī)定，稱(chēng)為虛數(shù)單位，并規(guī)定i12i1i，即，即iyxzyx,為復(fù)數(shù)。為復(fù)數(shù)。對(duì)任意的兩個(gè)對(duì)任意的兩個(gè)實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)，稱(chēng)，稱(chēng))Im(zy 1. 復(fù)數(shù)的實(shí)部：復(fù)數(shù)的實(shí)部：)Re(zx；復(fù)數(shù)的虛部：；復(fù)數(shù)的虛部：2. 復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)的共軛共軛：若：若iyxz；稱(chēng)；稱(chēng)zxiy為其共軛為其共軛3. 判斷復(fù)數(shù)相等：設(shè)判斷復(fù)

5、數(shù)相等：設(shè)111222,zxiyzxiy若若12zz1212,xxyy注：兩個(gè)不全為0的復(fù)數(shù)不能比較大小0ifithen0ifithen思考：判斷 和 的大??？i00ifithen解答解答提示提示1 1、( (復(fù)平面上的復(fù)平面上的) )點(diǎn)點(diǎn)),(yxM二、二、復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的表示法的表示法( , )x y一對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)一對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)( , )M x y平面直角坐標(biāo)系中的任意平面直角坐標(biāo)系中的任意點(diǎn)點(diǎn) 直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)zx iy zx iy oyxx|z|r yyzxiyX軸軸 實(shí)軸，實(shí)軸，Y軸軸 虛軸，平面虛軸，平面 復(fù)平面復(fù)平面/Z平面平面2 2、復(fù)數(shù)與向量關(guān)系、復(fù)數(shù)與向量關(guān)系

6、22|yxrz| | zr（1 1）模）模 的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度 ，記記為為 ，則則OM（2 2）輻角）輻角( ( ) ) 與與 軸軸正向的夾角正向的夾角 ( (周期性周期性) )0zoxOM多多值值單值單值A(chǔ)rgarctan2,(0, 1, 2,)yzkkx 記記Argz00=argarctan, ()yzx的的主值主值:Argarg2(0, 1, 2,)zzkk 則有則有OMyxMiyxz),(點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)Z 向量向量Z 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)Z，即，即0z 0z 的輻角不能確定。的輻角不能確定。注：任一復(fù)數(shù)注：任一復(fù)數(shù) 有無(wú)窮多個(gè)輻角有無(wú)窮多個(gè)輻角；arctan00,02arg0,02arctan0,0arctan

7、0,0yxxxyzxyyxyxyxyxarctan22yx其中其中0,z (cossin )zri,cosrx sinry 其中其中irez 3 3、復(fù)數(shù)的三種表示法、復(fù)數(shù)的三種表示法iyxz（歐拉公式）（歐拉公式）sincosiei代數(shù)表示：代數(shù)表示：三角三角表示：表示：指數(shù)指數(shù)表示：表示：,|22yxzrxyarctan且且例例1 1 求下列復(fù)數(shù)的三角形式與指數(shù)形式。求下列復(fù)數(shù)的三角形式與指數(shù)形式。322argarctanarctan(3)132z13,22xy 221rzxy2322cossin33izie 解：解： z在在第二第二象限內(nèi)象限內(nèi)（1 1）（1 1）132iz （2 2）3

8、 i（例（例1.1.11.1.1）例例1 1 求下列復(fù)數(shù)的三角形式與指數(shù)形式。求下列復(fù)數(shù)的三角形式與指數(shù)形式。解：解： （2 2）22(3)( 1)2z 15argarctan63z z在三象限內(nèi)在三象限內(nèi)5()6552cos()sin()266izie （1 1）132iz （2 2）3 i（例（例1.1.11.1.1）例例2 2 求下列復(fù)數(shù)的模和主值輻角。求下列復(fù)數(shù)的模和主值輻角。解：解：| 3;arg( 1)zz （1 1）33cos()sin()cossin25251010zii（1 1）（2 2）3ie2esincos55zi（3 3）（2 2）2|;arg0zez（3 3）3| 1

9、;arg10zz三、復(fù)數(shù)三、復(fù)數(shù)的運(yùn)算的運(yùn)算1 1、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算111,zxiy222,zxiy若若則有則有121212()()zzxxi yy121122()()zzxiyxiy1122222(0)|zz zzzzz12122112()()x xy yi x yx y三、復(fù)數(shù)的運(yùn)算三、復(fù)數(shù)的運(yùn)算1 1、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算1221,zzzz1221zzzz123123()()zzzzzz123123()()zzzzzz1231213()zzzzzzz交換律交換律分配分配律律結(jié)合律結(jié)合律2 2、復(fù)數(shù)的、復(fù)數(shù)的共軛共軛運(yùn)算運(yùn)算1212();zzzz1 21 2();z

10、 zz z1122()zzzz2Re( ); 2 Im( )zzzzziz2222Re( )Im( )zzzzxy21|zzzzz3 3、復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的相關(guān)性質(zhì)、復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的相關(guān)性質(zhì)加法加法: :復(fù)數(shù)加法與相應(yīng)的向量的加法（平行四邊形法則復(fù)數(shù)加法與相應(yīng)的向量的加法（平行四邊形法則）運(yùn)算運(yùn)算一致一致. .1212(1)| |zzzz1212(2)| |zzzz(3)|Re | |,|Im| |zzzz2(4)| zzz12|zz1z2z表示表示與與之間的距離，則有：之間的距離，則有：3 3、復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的相關(guān)性質(zhì)、復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的相關(guān)性質(zhì)乘乘法法: :復(fù)數(shù)加法與相應(yīng)的向量的加法（平行四邊形法則復(fù)

11、數(shù)加法與相應(yīng)的向量的加法（平行四邊形法則）運(yùn)算運(yùn)算一致一致. .除法除法: :兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商，兩個(gè)兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商，兩個(gè)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差. .21()2211izrezr12()121 2iz zrr e1 212rg()rg( )rg()Az zAzAz2211rg()rg()rg( )zAAzAzz2211zzzz1212zzzz兩邊是角的集合兩邊是角的集合相等相等121122,iizrezr e，設(shè)設(shè)則則解：解：22222( 3)(1)|1|3|iizii由由2cos()sin()66zi所

12、以所以| 2;z 三角式為三角式為()62ize例例3 3 將復(fù)數(shù)將復(fù)數(shù) 化為三角式和指數(shù)式。化為三角式和指數(shù)式。(2 32 )(1)( 3)(1)iizii（例（例1.1.21.1.2）(13 )()3iii1argargtan36z 指數(shù)式為指數(shù)式為四、復(fù)數(shù)的乘冪與方根四、復(fù)數(shù)的乘冪與方根1、復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的乘冪的乘冪(cossin )cossinninin棣模佛棣模佛(De (De MoivreMoivre) )公式公式z.nzn定義：定義： 個(gè)相同的復(fù)數(shù)個(gè)相同的復(fù)數(shù)的乘積，稱(chēng)為的乘積，稱(chēng)為z的的次冪，記作次冪，記作nnnzz zz 共 個(gè)即即cossiniei由由，有，有1nnzznninz

13、r e定義定義，則，則四、復(fù)數(shù)四、復(fù)數(shù)的乘冪與方根的乘冪與方根2、復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的方根的方根0k接接正正邊形的頂點(diǎn)，當(dāng)邊形的頂點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，n0w稱(chēng)為稱(chēng)為主值主值.1.nnwzz記作記作z問(wèn)題問(wèn)題：給定復(fù)數(shù)：給定復(fù)數(shù)，求所有滿足，求所有滿足nwz的復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù).wwnr的的n n個(gè)值恰為以原點(diǎn)為中心，個(gè)值恰為以原點(diǎn)為中心，為半徑為半徑的的圓周的內(nèi)圓周的內(nèi)122(cossin)(0,1,1)nnkkwzriknnnnzw定義定義：若：若，則稱(chēng)，則稱(chēng)w為復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù)z的的n次方根次方根.注：開(kāi)方注：開(kāi)方乘方的逆運(yùn)算乘方的逆運(yùn)算.例例4 計(jì)算下列各式。計(jì)算下列各式。（1 1）（2 2）5(13 ) i23(c

14、ossin)88(cossin)66ii解：解：55533(2)2iiee1332()16 16 322ii 24362cos()sin()88()iiiieee42222iei（1 1）原式原式（2 2）原式原式例例4 計(jì)算下列各式。計(jì)算下列各式。（3 3）（4 4）31422i解：解：（例（例1.1.41.1.4）1cos0sin0i0000,cossin133kwi022131,cossin3322kwii 244132,cossin3322kwii （3 3）由）由302021cossin(0,1,2)33kkik則則（4 4）參見(jiàn)教材例）參見(jiàn)教材例1.1.41.1.4NSPyzZx五

15、五*、復(fù)球面、復(fù)球面復(fù)平面復(fù)平面上的點(diǎn)（含上的點(diǎn)（含|z ）與復(fù)球面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。與復(fù)球面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。0z 取一個(gè)與復(fù)平面切于原點(diǎn)取一個(gè)與復(fù)平面切于原點(diǎn)的球面，球面上的一的球面，球面上的一SS點(diǎn)點(diǎn)與原點(diǎn)重合。通過(guò)與原點(diǎn)重合。通過(guò)做垂直于復(fù)平面的直線與球面做垂直于復(fù)平面的直線與球面NNS相交相交于另一點(diǎn)于另一點(diǎn)，稱(chēng)，稱(chēng)為北極，為北極，為南極。為南極。12 （1）3 （2） （3）4 （2） （5） （6） （7） （8）課后作業(yè)一課后作業(yè)一例例1 1 判斷判斷下列命題是否正確？下列命題是否正確？（1 1）（2 2）（3 3）7512ii )57arg()21arg(ii)57Re()57I

16、m(ii（ ）（ ）（ ）課外例題一課外例題一1255(55 )( 34 )71.34( 34 )( 34 )55ziiiiziii 解：解：1271 55ziz 例例2 2 設(shè)設(shè)12 55 ,34 ,zi zi 1122 .zzzz與求求例例3 3 設(shè)設(shè)13 ,1izii Re( ), Im( ).zzz z與133 (1)31,1(1)(1)22iiiiziiii iii 31Re( ), Im( ),22zz 2222315Re( )Im( ).222z zzz 解：解：求求例例4 4 證明證明證明：左邊證明：左邊22221212122zzzzzz12121212()()()()zzzz

17、zzzz1112212211122122z zz zz zz zz zz zz zz z22122zz例例5 5 已知已知已知已知正方形正方形 的的相對(duì)相對(duì)定點(diǎn)定點(diǎn)求頂點(diǎn)求頂點(diǎn) 和和 的坐標(biāo)的坐標(biāo)。1 234z z z z1z4z13(0, 1),(2,5),zz解：解：31212122()()()2224zzizzzi413141()()(cossin)44223zzzzizi 24zi423zi 1zi 325zi例例6 6 計(jì)算計(jì)算下列各式。下列各式。41(2)1ii（）1025(1)4iii6(3)64解解（1 1）原式）原式241 3iiii 11iii，4111ii（）62264(

18、cossin)66(0,1,2,4,5)kkik（2 2）因?yàn)椋┮驗(yàn)?所以所以（3 3）原式原式例例7 7 求求滿足下列條件的復(fù)數(shù)滿足下列條件的復(fù)數(shù)z z。（1 1）（2 2） 且且3,zai|2| 2z65)2arg(zizz2|（3 3）,3)2arg(z,zxiy222xiyxyi22321.4xxyyxi3，z=4解：（解：（1 1）設(shè)）設(shè)則則由由 得得 ，故，故例例7 7 求求滿足下列條件的復(fù)數(shù)滿足下列條件的復(fù)數(shù)z z。a2323212zaizaia（2 2） 且且3,zai|2| 2z解：（解：（2 2）因?yàn)椋┮驗(yàn)?，則，則所以所以 的值為的值為 內(nèi)任一實(shí)數(shù)，內(nèi)任一實(shí)數(shù)，故滿足條件

19、的故滿足條件的 有無(wú)窮多個(gè)有無(wú)窮多個(gè).(- 3, 3)z例例7 7 求求滿足下列條件的滿足下列條件的復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z z。65)2arg(z（3 3）,3)2arg(z121212133122,22224,4 3rrrrrr 111132cossin3322zrirri22255312cossin6622zrirr i 11221331(2)(2)2222zrrirr i解解：（：（3 3）設(shè)）設(shè)則則一、復(fù)平面上的曲線方程一、復(fù)平面上的曲線方程二、簡(jiǎn)單曲線與光滑曲線二、簡(jiǎn)單曲線與光滑曲線三、區(qū)域三、區(qū)域1.2復(fù)平面上的曲線和區(qū)域復(fù)平面上的曲線和區(qū)域一、復(fù)平面上的曲線一、復(fù)平面上的曲線方程方程0),(

20、yxF平面曲線的直角坐標(biāo)平面曲線的直角坐標(biāo)方程方程形式形式i2zzy,2zzx0),(yxF令令代入代入得得0)2,2(izzzzF( ),( )xx tyy t平面曲線在直角坐標(biāo)下的參數(shù)方程形式平面曲線在直角坐標(biāo)下的參數(shù)方程形式,zxiy令令對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)形式為：對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)形式為：( )( )( )()z tx tiy tt對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)形式為：對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)形式為：（例（例1.2.11.2.1）例例1 1 將直線方程將直線方程13 yx化為復(fù)數(shù)形式?；癁閺?fù)數(shù)形式。2)()(3zzizzizzyzzx2,2解：將解：將代入方程，得代入方程，得例例2 2 指出下列方程表示什么曲線。指出下列方程表示什么曲線。4|

21、) 1 (0 zz|2|2| )2(ziz4)2Re()3( z0z解：以解：以為圓心，半徑為為圓心，半徑為 4 的圓周的圓周i 2解：點(diǎn)解：點(diǎn)與與 -2 的垂直平分線的垂直平分線42 x解：直線解：直線二、簡(jiǎn)單曲線與光滑曲線二、簡(jiǎn)單曲線與光滑曲線1 1、簡(jiǎn)單閉曲線簡(jiǎn)單閉曲線注：定義或者簡(jiǎn)單敘述為簡(jiǎn)單曲線自身不相交注：定義或者簡(jiǎn)單敘述為簡(jiǎn)單曲線自身不相交.若若是一段連續(xù)曲線是一段連續(xù)曲線.如果對(duì)如果對(duì))(),(btatzz,ba上任意不同兩點(diǎn)上任意不同兩點(diǎn)，但但不同時(shí)是不同時(shí)是的端點(diǎn)的端點(diǎn)，,ba1t2t及及我們我們，那么那么上述集合稱(chēng)為一條簡(jiǎn)單連續(xù)曲線上述集合稱(chēng)為一條簡(jiǎn)單連續(xù)曲線，)()(2

22、1tztz有有或若爾當(dāng)或若爾當(dāng)（Jordan）曲線曲線.，稱(chēng)，稱(chēng)簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單連續(xù)連續(xù)閉曲線閉曲線（若爾若爾當(dāng)當(dāng)閉曲線閉曲線）.)()(bzaz若若2 2、光滑光滑曲線曲線注注：光滑曲線一定可以求長(zhǎng)光滑曲線一定可以求長(zhǎng).若若，且，且( )( ) , x ty tC a b、22 ( ) ( )0 x ty t三三、區(qū)域、區(qū)域1 1、相關(guān)概念、相關(guān)概念內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)與開(kāi)集與開(kāi)集區(qū)域區(qū)域：連通連通的的開(kāi)集開(kāi)集邊界點(diǎn)與邊界邊界點(diǎn)與邊界鄰域鄰域0(, )U z與去心領(lǐng)域與去心領(lǐng)域閉閉區(qū)域區(qū)域與開(kāi)區(qū)域與開(kāi)區(qū)域有有界域與無(wú)界域界域與無(wú)界域注：注：閉區(qū)域不是區(qū)域閉區(qū)域不是區(qū)域.三三、區(qū)域、區(qū)域2 2、單連通區(qū)域與多連通

23、區(qū)域、單連通區(qū)域與多連通區(qū)域單連通區(qū)域與多連通區(qū)域單連通區(qū)域與多連通區(qū)域若若爾當(dāng)定理爾當(dāng)定理 任意任意一條若爾當(dāng)閉曲線把整個(gè)復(fù)平面分成兩個(gè)沒(méi)有一條若爾當(dāng)閉曲線把整個(gè)復(fù)平面分成兩個(gè)沒(méi)有公共公共點(diǎn)點(diǎn)的區(qū)域：一個(gè)有界的稱(chēng)為內(nèi)區(qū)域，一個(gè)無(wú)界的稱(chēng)為外區(qū)域的區(qū)域：一個(gè)有界的稱(chēng)為內(nèi)區(qū)域，一個(gè)無(wú)界的稱(chēng)為外區(qū)域.DD曲線的內(nèi)部總是完屬于曲線的內(nèi)部總是完屬于 ，則稱(chēng)，則稱(chēng)是單連通區(qū)域，否則稱(chēng)是單連通區(qū)域，否則稱(chēng)D是多連通區(qū)域是多連通區(qū)域.DCD設(shè)設(shè)是一個(gè)區(qū)域，在復(fù)平面是一個(gè)區(qū)域，在復(fù)平面上，如果上，如果內(nèi)任何簡(jiǎn)單閉內(nèi)任何簡(jiǎn)單閉注：?jiǎn)芜B通區(qū)域內(nèi)的任一條簡(jiǎn)單閉曲線，在其內(nèi)可以經(jīng)過(guò)注：?jiǎn)芜B通區(qū)域內(nèi)的任一條簡(jiǎn)單閉曲線，在

24、其內(nèi)可以經(jīng)過(guò)連續(xù)的連續(xù)的變形而收縮成變形而收縮成一點(diǎn)。一點(diǎn)。例例3 3 判斷下列區(qū)域是無(wú)界域（有界域），單連通區(qū)域（多判斷下列區(qū)域是無(wú)界域（有界域），單連通區(qū)域（多連通區(qū)域）。連通區(qū)域）。4| 1| 1| )4(; 3|1| )3(;3|arg| )2(; 1)Re() 1 (2zzzzz2222 Re(),Re()1zxiyzxyz該區(qū)域是該區(qū)域是無(wú)無(wú)界單連通區(qū)域界單連通區(qū)域.(2) argarg,333zz 角形域，無(wú)界的單連通區(qū)域角形域，無(wú)界的單連通區(qū)域.解解： (1)(1)當(dāng)當(dāng)(4)114 zz是橢圓是橢圓，該區(qū)域是此橢圓內(nèi)部，該區(qū)域是此橢圓內(nèi)部.11(3)3,3zz有界的單連通區(qū)域有

25、界的單連通區(qū)域.22 1,xy一、復(fù)變函數(shù)概念一、復(fù)變函數(shù)概念二、映射二、映射1.3復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)一一、復(fù)變函數(shù)的概念復(fù)變函數(shù)的概念Gzxiy, f設(shè)設(shè)是一個(gè)復(fù)數(shù)是一個(gè)復(fù)數(shù)的非空集合的非空集合. 如果有一個(gè)法則如果有一個(gè)法則zG wuiv使得使得，就就有一個(gè)或幾個(gè)有一個(gè)或幾個(gè)與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)復(fù)與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)復(fù)變變wz( ).wf z是復(fù)變數(shù)是復(fù)變數(shù)數(shù)數(shù)的函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)復(fù)變函數(shù)的函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)復(fù)變函數(shù).記作記作z w( )f z若若一個(gè)一個(gè)值，稱(chēng)值，稱(chēng)單值函數(shù)單值函數(shù)zw( )f z若若多多個(gè)個(gè)值，稱(chēng)值，稱(chēng)多多值函數(shù)值函數(shù)注注2：今后無(wú)特別聲明所指的函數(shù)均為單值函數(shù)：今后無(wú)特別聲明所指的函數(shù)均為單值函數(shù)

26、.注注3：一個(gè)復(fù)變函數(shù)等價(jià)于兩個(gè)自變量為實(shí)數(shù)的實(shí)值函數(shù)：一個(gè)復(fù)變函數(shù)等價(jià)于兩個(gè)自變量為實(shí)數(shù)的實(shí)值函數(shù) 例例1 1 考慮映射考慮映射 2zw 與實(shí)變函數(shù)的關(guān)系。與實(shí)變函數(shù)的關(guān)系。解：解：ixyyxiyxzw2)(2222由由22yxuxyv2，可知函數(shù)等價(jià)于可知函數(shù)等價(jià)于例例2 2 考慮下列函數(shù)是否為單值函數(shù)?？紤]下列函數(shù)是否為單值函數(shù)。 （例（例1.3.11.3.1）3(1) wz2(2) wz（例（例1.3.31.3.3）單值函數(shù)單值函數(shù)多多值函數(shù)值函數(shù)221( )()()f zxiyxiyxy例例3 3 將函數(shù)將函數(shù)222211( )(1)(1)f zxiyxyxy改寫(xiě)成關(guān)于改寫(xiě)成關(guān)于z的

27、解析式。的解析式。11(),()22xzzyzzi將將代入原式代入原式,1( )f zzz整理整理得：得：zxiy將表達(dá)式湊成將表達(dá)式湊成的因式的因式:1zzz z1zz解法一（共軛法）解法一（共軛法）解法二（拼湊法）解法二（拼湊法）21 ( )(1)f xxx例例3 3 將函數(shù)將函數(shù)222211( )(1)(1)f zxiyxyxy改寫(xiě)成關(guān)于改寫(xiě)成關(guān)于z的解析式。的解析式。解法三（設(shè)零法）解法三（設(shè)零法）在在中，令中，令，zxiy0y 得得，代入原式：，代入原式：zx1xx1( )f zzz二、映射二、映射 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)反映的是兩對(duì)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，要反映的是兩對(duì)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，要

28、借助于借助于四維空間四維空間才能表示才能表示，因此因此借助于借助于兩張復(fù)平面來(lái)表示兩張復(fù)平面來(lái)表示.在幾何上在幾何上可以可以看做看做：( )wf z平面平面）平面）的映射（變換平面）的映射（變換）（zGz( )*wf zwGw（xyozx iy uvow u iv G*G平面平面z平面平面w原象原象G象（映象）象（映象）*G中的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)中的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)G*G與與映射為雙射映射為雙射為單值函數(shù)為單值函數(shù)( )wf z函數(shù)在幾何上可以看著是把函數(shù)在幾何上可以看著是把平面平面上的一個(gè)點(diǎn)集上的一個(gè)點(diǎn)集 （定（定zG義域）變到義域）變到平面平面上的一個(gè)點(diǎn)集上的一個(gè)點(diǎn)集（值域）的一個(gè)（值域）的一個(gè)映射映射

29、.W*G( )zw存在反函數(shù)（逆映射），記為存在反函數(shù)（逆映射），記為例例4 4 研究研究iwe z所構(gòu)成的映射。所構(gòu)成的映射。解：設(shè)解：設(shè)izre()iiiiwe ze rere 所以所以旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換0arg( )4z例例5 5 求區(qū)域求區(qū)域在映射在映射2wz下的象。下的象。,iizrewe222,iiwezr e解：解： 設(shè)設(shè)則有則有2 ,即即04由由02得得解：設(shè)解：設(shè)228xy例例6 6 求曲線求曲線 在映射在映射1wz下的象。下的象。,zxiywuiv111wzzwuiv則由則由22uivuv所以所以2222,uvxyuvuv代入代入228xy得：得：228uv一、復(fù)變函數(shù)的極限

30、一、復(fù)變函數(shù)的極限二、復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性二、復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性1.4復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性的極限與連續(xù)性一一、復(fù)變函數(shù)的極限復(fù)變函數(shù)的極限1、復(fù)變函數(shù)極限復(fù)變函數(shù)極限的定義的定義形式：與一元實(shí)函數(shù)的極限一致，記為形式：與一元實(shí)函數(shù)的極限一致，記為0lim( )zzf zA理解理解：對(duì)任意：對(duì)任意0zz的路徑多樣性的路徑多樣性掌握掌握：判別：判別0lim( )zzf z不存在的方法不存在的方法2、極限的運(yùn)算法則極限的運(yùn)算法則定理定理1.4.1 如果如果 000iyxz，則，則0000000,0000,lim( , )(,)lim( )lim( , )(,)xxyyzzxxyyu x yu x

31、yf zAuivv x yv xy一個(gè)復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性等價(jià)于兩個(gè)實(shí)變二元函數(shù)的連續(xù)性一個(gè)復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性等價(jià)于兩個(gè)實(shí)變二元函數(shù)的連續(xù)性3、極限極限的的四則四則運(yùn)算運(yùn)算等同于實(shí)函數(shù)的四則運(yùn)算，等同于實(shí)函數(shù)的四則運(yùn)算，參見(jiàn)教材定理參見(jiàn)教材定理1.4.2。處的極限。處的極限。例例1 1 求求( )zzf zzz在點(diǎn)在點(diǎn)(0,0)解：解：原式原式整理得整理得22222()( )xyf zxyz當(dāng)當(dāng) 沿直線沿直線ykx趨于零時(shí)，有趨于零時(shí)，有0lim( )xy kxf z221)1 (2kk22222202()limxy kxxk xxk x處的極限不存在。處的極限不存在。即函數(shù)即函數(shù)( )f z在點(diǎn)在

32、點(diǎn)(0,0)處的極限不存在。處的極限不存在。例例2 2 證明證明Re( )|zf zz在點(diǎn)在點(diǎn)(0,0)解：解：原式原式整理得整理得22( )xf zxyz當(dāng)當(dāng) 沿直線沿直線ykx趨于零時(shí)，有趨于零時(shí)，有0lim( )xy kxf z220lim()xy kxxxkx處的極限不存在。處的極限不存在。即函數(shù)即函數(shù)( )f z在點(diǎn)在點(diǎn)(0,0)211k 二、二、復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)的的連續(xù)性連續(xù)性1、定義、定義( )f z在一點(diǎn)處連續(xù)在一點(diǎn)處連續(xù)00lim( )()zzf zf z( )f z在區(qū)域內(nèi)連續(xù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)2、復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)連續(xù)存在判別法連續(xù)

33、存在判別法( )f z連續(xù)連續(xù)函數(shù)的實(shí)部、虛部同時(shí)連續(xù)函數(shù)的實(shí)部、虛部同時(shí)連續(xù)定理定理1.4.4 連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商 ( (分母不為分母不為0)0)仍為連續(xù)函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)； 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù). .由此可推：由此可推：01( )nnP zaa za z在整個(gè)復(fù)平面內(nèi)連續(xù)在整個(gè)復(fù)平面內(nèi)連續(xù)( )( )( )P zR zQ z在復(fù)平面內(nèi)除分母為零點(diǎn)外處處在復(fù)平面內(nèi)除分母為零點(diǎn)外處處連續(xù)連續(xù)二、二、復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)的的連續(xù)性連續(xù)性例例3 試證試證在原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)在原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)（習(xí)題（習(xí)題1：16）。）。arg(

34、) z證明：證明：arg(0)因?yàn)橐驗(yàn)闊o(wú)意義無(wú)意義，0,z對(duì)負(fù)實(shí)軸上任對(duì)負(fù)實(shí)軸上任一點(diǎn)一點(diǎn)arg( )wz所以所以在在0z 點(diǎn)不連續(xù)點(diǎn)不連續(xù)。z當(dāng)當(dāng)沿平行于沿平行于y軸正向趨近于軸正向趨近于0z時(shí)，時(shí)，0limarg( );zzz z當(dāng)當(dāng)沿平行于沿平行于y軸軸負(fù)負(fù)向趨近于向趨近于0z時(shí)，時(shí)，0limarg( );zzz0limarg( )zzz所以所以不存在，函數(shù)不存在，函數(shù)arg( ) z在負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)。在負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)。綜上所述：綜上所述：在原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)在原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)。arg( ) z課后作業(yè)二課后作業(yè)二9 （1） （3）11 （2） （4）12 （2） （3）17課外例

35、題二課外例題二1z例例1 用用復(fù)數(shù)方程表示過(guò)兩復(fù)數(shù)方程表示過(guò)兩點(diǎn)點(diǎn)和和2z的直線。的直線。解解：()OPOAt OBOA 121()zzt zzt 其中其中1z2zABPOxywz例例2 研究映射研究映射。解：設(shè)解：設(shè),iyxz,ivuwiba則有則有byvz這是一個(gè)這是一個(gè)平面到平面到w平面的雙射。平面的雙射。, axu 平移平移 即即 ，這是一條直線。，這是一條直線。uv34解：解：22)43()2(titiw(2)zi t例例3 求曲線求曲線 在映射在映射2wz下的象。下的象。1wz例例4 研究映射研究映射。映射映射 是一個(gè)關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱(chēng)映射；是一個(gè)關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱(chēng)映射；1zw 解：它解：

36、它可以可以分解為以下兩個(gè)映射的復(fù)合：分解為以下兩個(gè)映射的復(fù)合：,11zz 1zwzz11映射映射 把把 映射成映射成 ，其輻角與，其輻角與 相同；相同；z1zz而模而模 ，滿足，滿足 。|1|1|1zzz1|1zz我們稱(chēng)我們稱(chēng) 為關(guān)于單位圓的對(duì)稱(chēng)映射，為關(guān)于單位圓的對(duì)稱(chēng)映射， 與與 稱(chēng)稱(chēng) zz11z1z為關(guān)于單位圓的相互對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。為關(guān)于單位圓的相互對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。例例5 求曲線求曲線 在映射在映射 下的象。下的象。 (2)zi t2wz解：解：224(2) (34 )3wi ti tvu例例6 考察函數(shù)考察函數(shù) 的連續(xù)性。的連續(xù)性。 2222( )ln()()f zxyi xy解：由于解：由于 在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)