方向?qū)?shù)與梯度

1、 第九章 第六節(jié)第六節(jié)一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、梯度二、梯度 三、物理意義三、物理意義 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度l一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù)定義定義: 若函數(shù)( , )zf x y 0limz 則稱lflf22()() ,xy ,cosxcosy為函數(shù)在點 P 處沿方向 l 的方向?qū)?shù)方向?qū)?shù).0(,)( , )limf xx yyf x y 在點 ( , )P x y處沿方向 l (方向角為, ) 存在下列極限: 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 P記作記作 .Px y 注：注：在方向?qū)?shù)中，由于在方向?qū)?shù)中，由于PP 總是正的，總是正的，所以方向

2、導(dǎo)數(shù)是一種單向?qū)?shù)；所以方向?qū)?shù)是一種單向?qū)?shù)；在偏導(dǎo)數(shù)中，由于在偏導(dǎo)數(shù)中，由于,xy可正可負，所以偏導(dǎo)數(shù)是一種雙向?qū)?shù)可正可負，所以偏導(dǎo)數(shù)是一種雙向?qū)?shù)特別特別: : 當 l 與 x 軸同向有時,2,0 xflf 當 l 與 x 軸反向有時,2,xflf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對于三元函數(shù)00(,)( , , )limlimfff xx yy zzf x y zl cos,cos,cosxyz ,)()()(222zyx),(zyxf在點 ),(zyxP處沿方向 l (方向角為, ) 的方向?qū)?shù)為其中其中,),(),(處可微在點若函數(shù)zyxPzyxf),(zyxPl定理定理:則函

3、數(shù)在該點沿任意方向沿任意方向 l 的方向?qū)?shù)存在 ,flf0limcoscoscoszfyfxflf.,的方向角為其中l(wèi)證明證明: 由函數(shù)),(zyxf)(ozzfyyfxxfff則coscoscoszfyfxf且有()o在點 P 可微 , 得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 P故coscoscoszfyfxf例例1. 求函數(shù) 在點 P(1, 1, 1) 沿向量zyxu22, 1,l 3 的方向?qū)?shù) .,142coscoscoscosPuuuulxyz) 1, 1, 1 (146,141cos143cos2214xyz 1412zx1432yx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解: 向量

4、 l 的方向余弦為) 1, 1, 1 (例例2. 求函數(shù) 在點P(2, 3)沿曲線223yyxz12 xy的切線且朝 x 增大方向的方向?qū)?shù). 解解: 設(shè) 為切線朝 x 增大方向與 x 軸 正向的轉(zhuǎn)角，則22tan24xxyx 又又cossinzzzl Px Py P故故1760 xoy2Pcos0, 1617xy 174)23(2yx)3,2(121cos1tan 1,17 24sin1cos17 二、梯度二、梯度 方向?qū)?shù)公式coscoscoszfyfxflf令向量方向?qū)?shù)取最大值：機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),cos(0lGG)1(0l0lGlf,0方向一致時與當GlGlfma

5、x,fffGxyz 0cos,cos,cosl 1. 定義定義, fadrg即fadrg同樣可定義二元函數(shù)),(yxf),(yxPgrad,fffffijxyxy稱為函數(shù) f (P) 在點 P 處的梯度,fffxyz kzfjyfixf記作(gradient),在點處的梯度 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 G向量注注1：設(shè)設(shè) l 上的單位向量為上的單位向量為 0cos,cos,l 可見，可見，000coscoszzzPPPlxy000( , )(,)zf x yP xyl 在在點點處處沿沿 的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù) 0coscoszzPxy，00()grad f Pl 0() cosgrad

6、f P l （ 為為 與與梯梯度度方方向向的的夾夾角角）0( , )zf x yP 過過點點沿沿梯梯度度方方向向的的變變化化率率最最大大(0), 即沿梯度方向時，方向?qū)?shù)即沿梯度方向時，方向?qū)?shù)0zPl 取得最大值取得最大值,為梯度的模為梯度的模0() ,grad f P 22000max()xyzgrad f PffPPl 即即應(yīng)用：應(yīng)用：等值線，等高線，等溫線等值線，等高線，等溫線注注2：結(jié)論可推廣到結(jié)論可推廣到0000( , , )(,)uf x y zMxyz 在在點點處沿處沿 l 的方向?qū)?shù)為的方向?qū)?shù)為0ugradu ll cosgradu 222maxxyzugradufffl

7、例例3.,)(可導(dǎo)設(shè)rf),(222zyxPzyxr為點其中證證:xrf)()(rf yrf)()( gradrf)(1)(kzjyixrrfrrrf1)( rzrfzrf)()(0)(rrfjyrf)(kzrf)(xrrf)(222zyxxPxozy,)(ryrf ixrf)(試證：rxrf)( 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .)()(radg0rrfrf處矢徑 r 的模 ,r例例4.222( , , )4,f x y zxyz設(shè)設(shè)(1, 1,2)(1, 1,2)fgrad fl 求求及及在在處處的的最最大大變變化化率率. .三、物理意義三、物理意義（可以不看）（可以不看）函數(shù)(物理量

8、的分布)數(shù)量場數(shù)量場 (數(shù)性函數(shù))場向量場向量場(矢性函數(shù))可微函數(shù))(Pf梯度場梯度場)(gradPf( 勢 )如: 溫度場, 電位場等如: 力場,速度場等(向量場) 注意注意: 任意一個向量場不一定是梯度場.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù) 三元函數(shù) ),(zyxf在點),(zyxP沿方向 l (方向角),為的方向?qū)?shù)為coscoscoszfyfxflf 二元函數(shù) ),(yxf在點),(yxP),的方向?qū)?shù)為coscosyfxflf沿方向 l (方向角為yfxfcossin機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 梯度梯度 三元函數(shù) ),(zyxf

9、在點),(zyxP處的梯度為grad,ffffxyz 二元函數(shù) ),(yxf在點),(yxP處的梯度為 grad( , ),( , )xyffx yfx y 3. 關(guān)系關(guān)系方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 可微機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0gradlflf方向?qū)?shù)為梯度在方向 上的投影.l 備用題備用題 1. 函數(shù))ln(222zyxu在點)2,2, 1 (M處的梯度Mugrad(1,2, 2)grad,Muuuuxyz 解解:,222zyxr令則xu21rx2222(1,2, 2)222,xyzrrr 21, 2,2921, 2,29(92考研考研)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 指向 B

10、( 3, 2 , 2) 方向的方向?qū)?shù)是 .在點A( 1 , 0 , 1) 處沿點Axd d2. 函數(shù))ln(22zyxu提示提示:22 1,33 3則cos,cos,cosAxu) 1ln( x1x,21yd dAyu) 11ln(2y0y,0(96考研考研)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2,2,1 ,AB 0ABl 212ln(1)12Audzzdz coscoscosAAAuuuulxyz21思考與練習思考與練習1. 設(shè)函數(shù)zyxzyxf2),(1) 求函數(shù)在點 M ( 1, 1, 1 ) 處沿曲線 12 32tztytx在該點切線方向的方向?qū)?shù);(2) 求函數(shù)在 M( 1, 1, 1 ) 處的梯度梯度與(1)中切線方向切線方向 的夾角 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,),(2zyxzyxf曲線 12 32tztytx1. (1)在點ddd,1, 4,31dddxyztttt)