L6-自由電子氣1

1、物理現(xiàn)象物理現(xiàn)象或?qū)嶒?yàn)結(jié)果或?qū)嶒?yàn)結(jié)果物理模型物理模型決定因素決定因素結(jié)果與預(yù)言結(jié)果與預(yù)言驗(yàn)驗(yàn) 證證修修改改理論解釋理論解釋第五講第五講 金屬自由電子論金屬自由電子論5.1 經(jīng)典電子論經(jīng)典電子論 經(jīng)典電子論誕生的背景經(jīng)典電子論誕生的背景歐姆定律：歐姆定律：20世紀(jì)以前，有關(guān)金屬導(dǎo)電的一些經(jīng)驗(yàn)規(guī)律世紀(jì)以前，有關(guān)金屬導(dǎo)電的一些經(jīng)驗(yàn)規(guī)律分子運(yùn)動(dòng)論：分子運(yùn)動(dòng)論：在成功地處理了理想氣體問題在成功地處理了理想氣體問題電子的發(fā)現(xiàn)：電子的發(fā)現(xiàn)：1897年年J. J湯姆生發(fā)現(xiàn)電子湯姆生發(fā)現(xiàn)電子價(jià)電子價(jià)電子芯電子芯電子原子核原子核5.1 經(jīng)典電子論經(jīng)典電子論 特魯?shù)码娮託饽Ｐ吞佤數(shù)码娮託饽Ｐ停?9001900年）：

2、年）：特魯?shù)绿岢隽说谝粋€(gè)固體微觀理論特魯?shù)绿岢隽说谝粋€(gè)固體微觀理論利用利用微觀概念微觀概念計(jì)算計(jì)算宏觀實(shí)驗(yàn)觀測(cè)量宏觀實(shí)驗(yàn)觀測(cè)量 自由電子氣自由電子氣+玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)玻爾茲曼統(tǒng)計(jì) 歐姆定律歐姆定律 電子平均自由程電子平均自由程+分子運(yùn)動(dòng)論分子運(yùn)動(dòng)論 電子的熱導(dǎo)率電子的熱導(dǎo)率特魯?shù)绿佤數(shù)?Paul Drude)模型的基本假設(shè)模型的基本假設(shè)1.1.自由電子近似：自由電子近似：傳導(dǎo)電子由原子的價(jià)電子提供，離子實(shí)對(duì)電傳導(dǎo)電子由原子的價(jià)電子提供，離子實(shí)對(duì)電子的作用可以忽略不計(jì)，離子實(shí)的作用維持整個(gè)金屬晶體子的作用可以忽略不計(jì)，離子實(shí)的作用維持整個(gè)金屬晶體的電中性的電中性, ,與電子發(fā)生碰撞。與電子發(fā)生碰撞。

3、2.2.獨(dú)立電子近似：獨(dú)立電子近似：電子與電子之間的相互作用可以忽略不計(jì)。電子與電子之間的相互作用可以忽略不計(jì)。外電場(chǎng)為零時(shí)外電場(chǎng)為零時(shí), ,忽略電子之間的碰撞，兩次碰撞忽略電子之間的碰撞，兩次碰撞( (與離子實(shí)與離子實(shí)碰撞碰撞) )之間電子自由飛行。之間電子自由飛行。3.3.玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)玻爾茲曼統(tǒng)計(jì): : 自由電子氣服從玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)自由電子氣服從玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)4.4.弛豫時(shí)間近似：弛豫時(shí)間近似：電子在單位時(shí)間內(nèi)碰撞一次的幾率為電子在單位時(shí)間內(nèi)碰撞一次的幾率為1/1/ ， 稱為稱為弛豫時(shí)間弛豫時(shí)間( (即平均自由時(shí)間即平均自由時(shí)間) )。每次碰撞時(shí)。每次碰撞時(shí), , 電子失去電子失去它在電場(chǎng)作用

4、下獲得的能量，即電子和周圍環(huán)境達(dá)到熱平它在電場(chǎng)作用下獲得的能量，即電子和周圍環(huán)境達(dá)到熱平衡僅僅是通過與原子實(shí)的碰撞實(shí)現(xiàn)的。衡僅僅是通過與原子實(shí)的碰撞實(shí)現(xiàn)的。特魯?shù)履Ｐ偷某晒χ幪佤數(shù)履Ｐ偷某晒χ幚禾佤數(shù)履Ｐ统晒Φ亟忉屃藲W姆定律例：特魯?shù)履Ｐ统晒Φ亟忉屃藲W姆定律E= j (上式中上式中E為外加電場(chǎng)強(qiáng)度、為外加電場(chǎng)強(qiáng)度、 為電阻率、為電阻率、j為電流密度為電流密度)特魯?shù)履Ｐ偷臉O限性特魯?shù)履Ｐ偷臉O限性金屬電子的弛豫時(shí)間金屬電子的弛豫時(shí)間金屬電阻率在金屬電阻率在10-6歐姆歐姆-厘米量級(jí)厘米量級(jí) 值落在值落在10-15至至10-14之間之間以銅為例，以銅為例，273K時(shí)電阻率為時(shí)電阻率為1.56

5、 10-6歐姆歐姆-厘米厘米，求得求得 =2.7 10-14 s特魯?shù)履Ｐ偷臉O限性特魯?shù)履Ｐ偷臉O限性金屬電子的平均自由程金屬電子的平均自由程以銅為例，以銅為例， =2.7 10-14 s電子比熱小于經(jīng)典值電子比熱小于經(jīng)典值19251925年：泡利不相容原理年：泡利不相容原理19261926年：費(fèi)米年：費(fèi)米- -狄拉克量子統(tǒng)計(jì)狄拉克量子統(tǒng)計(jì)19271927年：索末菲半經(jīng)典電子論，年：索末菲半經(jīng)典電子論，電子氣服從電子氣服從費(fèi)米費(fèi)米- -狄拉克量子統(tǒng)計(jì)狄拉克量子統(tǒng)計(jì)得出了得出了費(fèi)米能級(jí)，費(fèi)米面費(fèi)米能級(jí)，費(fèi)米面等重要等重要概念并成功地解決了電子比熱比概念并成功地解決了電子比熱比經(jīng)典值小等經(jīng)典模型所無

6、法解釋經(jīng)典值小等經(jīng)典模型所無法解釋的問題。的問題。A. Sommerfeld5.2 Sommerfeld的自由電子論的自由電子論5.2 Sommerfeld的自由電子論的自由電子論v 電子在運(yùn)動(dòng)中存在一定的散射機(jī)制。電子在運(yùn)動(dòng)中存在一定的散射機(jī)制。一、自由電子模型一、自由電子模型v 電子在一有限深度的方勢(shì)阱中運(yùn)電子在一有限深度的方勢(shì)阱中運(yùn) 動(dòng)，電子間的相互作用忽略不計(jì)；動(dòng)，電子間的相互作用忽略不計(jì)； v 電子按能量的分布遵從電子按能量的分布遵從FermiDirac統(tǒng)計(jì)；統(tǒng)計(jì)；v 電子的填充滿足電子的填充滿足Pauli不相容原理；不相容原理；二、運(yùn)動(dòng)方程及其解二、運(yùn)動(dòng)方程及其解2202VEm V

7、0：電子在勢(shì)阱底部所具有的勢(shì)能，?。弘娮釉趧?shì)阱底部所具有的勢(shì)能，取V0 0。令令222mEk 有有220k1. 運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程方程的解：方程的解： iAe k rkrA：歸一化因子，由歸一化條件確定：歸一化因子，由歸一化條件確定電子的能量：電子的能量： 222kEm k(V)1d *kkV: 金屬的體積金屬的體積1VA 1expVi krk r ：電子波矢：電子波矢 k金屬中原胞的總數(shù)：金屬中原胞的總數(shù)： N N1 N2 N311expexpVVii Nk rkraexp1i kaN2. 周期性邊界條件周期性邊界條件h為整數(shù)為整數(shù)2 h kaN設(shè)設(shè)N 是金屬沿基矢是金屬沿基矢 （ 1，2，3

8、）方向的原胞數(shù)，）方向的原胞數(shù)，a周期性邊界條件：周期性邊界條件： ， 1, 2, 3 kkrraN123123123hhh kbbbNNN1,2,3 ,N aa令令 hak2 則則 332211bhbhbhk NNN , 32132113212aaabaab 123123111bbbbNNNN 33V.88abvconst NNk在在k空間中，電子態(tài)的分布是均勻的，分布密度只與金空間中，電子態(tài)的分布是均勻的，分布密度只與金屬的體積有關(guān)屬的體積有關(guān)38abv在在 空間中，波矢空間中，波矢 的分布密度為的分布密度為 k k每一個(gè)量子態(tài)在每一個(gè)量子態(tài)在 空間中所占的體積為：空間中所占的體積為： k

9、3. 能態(tài)密度能態(tài)密度 22222222xyzkEkkkmm k 343k k考慮電子自旋，如考慮電子自旋，如將每一個(gè)自旋態(tài)看作一個(gè)能態(tài)將每一個(gè)自旋態(tài)看作一個(gè)能態(tài)，在，在能量為能量為E的球體中，電子能態(tài)總數(shù)為的球體中，電子能態(tài)總數(shù)為 323233324V438322mZ EkE k在能量為在能量為E的球體中，波矢的球體中，波矢 的取值總數(shù)為的取值總數(shù)為 k 32322323VmZ EE定義：能態(tài)密度定義：能態(tài)密度 32122322VmdZN EEdE其中：其中：322322VmC 電子的能態(tài)密度并不是均勻分布的，電子能量越高，電子的能態(tài)密度并不是均勻分布的，電子能量越高，能態(tài)密度就越大。能態(tài)密

10、度就越大。12CE能態(tài)密度：在能態(tài)密度：在EEdE之間單位能量間隔中的能態(tài)數(shù)之間單位能量間隔中的能態(tài)數(shù)三、三、FermiDirac統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)1. 量子統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)量子統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)v 經(jīng)典的經(jīng)典的Boltzmann統(tǒng)計(jì)：統(tǒng)計(jì)： expBEf Ek Tv 量子統(tǒng)計(jì)：量子統(tǒng)計(jì)： FermiDirac統(tǒng)計(jì)和統(tǒng)計(jì)和BoseEinstein統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)玻色子：自旋為整數(shù)玻色子：自旋為整數(shù)n的粒子（如：光子、聲子等），的粒子（如：光子、聲子等）， 玻色子遵從玻色子遵從BoseEinstein統(tǒng)計(jì)規(guī)律，統(tǒng)計(jì)規(guī)律， 玻色子不遵從玻色子不遵從Pauli原理。原理。費(fèi)米子：自旋為半整數(shù)（費(fèi)米子：自旋為半整數(shù)（n1/2）

11、的粒子（如：電子、質(zhì)的粒子（如：電子、質(zhì) 子、中子子、中子 等），費(fèi)米子遵從等），費(fèi)米子遵從FermiDirac統(tǒng)計(jì)規(guī)統(tǒng)計(jì)規(guī) 律，費(fèi)米子的填充滿足律，費(fèi)米子的填充滿足Pauli原理。原理。BoseEinstein統(tǒng)計(jì)和統(tǒng)計(jì)和FermiDirac統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)FermiDirac統(tǒng)計(jì)：統(tǒng)計(jì)：BoseEinstein統(tǒng)計(jì)：統(tǒng)計(jì)：0 ,)(/ )( 子子是化學(xué)勢(shì)，對(duì)光子、聲是化學(xué)勢(shì)，對(duì)光子、聲其中其中11TkEBeEf0/ )(0 ,11)(FTkEETeEfB費(fèi)米能費(fèi)米能的化學(xué)勢(shì)的化學(xué)勢(shì) 2. T0時(shí)電子的分布時(shí)電子的分布T0時(shí)，電子的分布函數(shù)為時(shí)，電子的分布函數(shù)為f(E) =1 E EF00 E EF

12、0EEF001f(E)T0022FFmEk 費(fèi)米半徑費(fèi)米半徑FFFPkmV 費(fèi)米動(dòng)量費(fèi)米動(dòng)量2202FFkEm 費(fèi)米能費(fèi)米能11)(/ )( TkEBeEf FFkVm 費(fèi)米速度費(fèi)米速度系統(tǒng)的自由電子總數(shù)為系統(tǒng)的自由電子總數(shù)為 0Nf E N E dET0 00FEN E dE031220023FEFCE dEC E322322VmC在在EEdE中的電子數(shù)為：中的電子數(shù)為： dNf E N E dENnV 自由電子密度自由電子密度金屬：金屬：n：1022 1023 cm3323202323FVmNE2323220223322FNEnmVmEF0 幾個(gè)幾個(gè)eV系統(tǒng)的總能量：系統(tǒng)的總能量： 00U

13、Ef E N E dET0 00FEEN E dE定義定義 Fermi 溫度：溫度： 0FFBETk金屬：金屬：TF： 104 105 K物理意義：物理意義：設(shè)想將設(shè)想將EF0轉(zhuǎn)換成熱振動(dòng)能，相當(dāng)于多高溫度轉(zhuǎn)換成熱振動(dòng)能，相當(dāng)于多高溫度 下的振動(dòng)能。下的振動(dòng)能。元素元素EF0 (eV)TF (104K)元素元素EF0 (eV)TF (104K)Li4.725.48Mg7.138.27Na3.233.75Ca4.685.43K2.122.46Sr3.954.58Rb1.852.15Ba3.654.24Cs1.581.83Zn9.3910.90Cu7.008.12Cd7.468.66Ag5.486

14、.36Al11.6313.49Au5.516.39Ga10.3512.01Be14.1416.41In8.609.98一些金屬元素費(fèi)米能與費(fèi)米溫度的計(jì)算值一些金屬元素費(fèi)米能與費(fèi)米溫度的計(jì)算值3. T 0時(shí)的分布時(shí)的分布能量在能量在EEdE之間的電子數(shù)為：之間的電子數(shù)為： dNf E N E dE 1exp1Bf EEk T+ FermiDirac分布函數(shù)分布函數(shù)：電子的化學(xué)勢(shì)，其物理意義是在體積不變的情況：電子的化學(xué)勢(shì)，其物理意義是在體積不變的情況 下，系統(tǒng)增加一個(gè)電子所需的自由能。下，系統(tǒng)增加一個(gè)電子所需的自由能。當(dāng)當(dāng)E 時(shí)，時(shí)，f( )1/2 ，代表填充概率為，代表填充概率為1/2的能態(tài)。

15、的能態(tài)。 expexpexpBBBEEf Ek Tk Tk TE， f(E)迅速趨于零迅速趨于零 當(dāng)當(dāng)E 幾個(gè)幾個(gè)kBT時(shí)，時(shí)，exp(E )/ kBT 1 ，F(xiàn)ermiDirac分布過渡到經(jīng)典的分布過渡到經(jīng)典的Boltzmann分布分布E 幾個(gè)幾個(gè)kBT的能態(tài)基本上是沒有電子占據(jù)的空態(tài)的能態(tài)基本上是沒有電子占據(jù)的空態(tài) 對(duì)金屬，對(duì)金屬，T幾個(gè)幾個(gè)kBT時(shí)，時(shí)， exp(E )/ kBT 幾個(gè)幾個(gè)kBT的能態(tài)基本上是滿態(tài)。的能態(tài)基本上是滿態(tài)。在強(qiáng)簡(jiǎn)并情況下，在強(qiáng)簡(jiǎn)并情況下， EF（ EF是是T 0時(shí)的費(fèi)米能）時(shí)的費(fèi)米能）量子力學(xué)中能量的簡(jiǎn)并性：能量簡(jiǎn)并性；量子力學(xué)中能量的簡(jiǎn)并性：能量簡(jiǎn)并性；金屬

16、自由電子氣的簡(jiǎn)并性：統(tǒng)計(jì)的簡(jiǎn)并性，即指金屬金屬自由電子氣的簡(jiǎn)并性：統(tǒng)計(jì)的簡(jiǎn)并性，即指金屬自由電子氣與理想氣體遵從的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的差異性。自由電子氣與理想氣體遵從的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的差異性。 對(duì)于半導(dǎo)體，對(duì)于半導(dǎo)體，n 1017 cm-3，其，其TF 102 K,當(dāng)當(dāng)T TF時(shí)，其分布已經(jīng)很接近于經(jīng)典分布了。時(shí)，其分布已經(jīng)很接近于經(jīng)典分布了。 對(duì)于金屬而言，對(duì)于金屬而言，T 0時(shí)，只有在費(fèi)米面附近幾個(gè)時(shí)，只有在費(fèi)米面附近幾個(gè)kBT的電子受熱激發(fā)，對(duì)電子熱容量的貢獻(xiàn)主要來自的電子受熱激發(fā)，對(duì)電子熱容量的貢獻(xiàn)主要來自費(fèi)米面附近厚度費(fèi)米面附近厚度kBT的一層電子。的一層電子。FFNf EN EE 在在 EEF kBT中的電子數(shù)為中的電子數(shù)為00122FBFBN Ek TN Ek T032BFNNk TE而每個(gè)電子熱運(yùn)動(dòng)的平均能量：而每個(gè)電子熱運(yùn)動(dòng)的平均能量：32Bk T由于熱激發(fā)，系統(tǒng)所獲得的能量